CC BY
6
Владикавказский математический журнал 2017, Том 19, Выпуск 1, С. 11-17
УДК 519.17
АВТОМОРФИЗМЫ МОНСТРА КАМЕРОНА С ПАРАМЕТРАМИ (6138,1197,156, 252)
В. В. Биткина
Пусть 3-(У,К, Л) схем а Е = (X, В) является расширением симметричной 2-схемы. Тогда либо Е является адамаровой 3-(4Л + 4, 2Л + 2, Л) схемой, либо V = (Л+ 1)(Л2 + 5Л + 5) и К = (Л+ 1)(Л + 2), либо V = 496 К = 40 и Л = 3. Дополнительный граф к блочному графу 3(496, 40, 3) схемы сильно регулярен с параметрами (6138, 1197, 156, 252). Назовем этот дополнительный граф монстром Камерона. В работе найдены автоморфизмы монстра Камерона.
Ключевые слова: сильно регулярный граф, вершинно симметричный граф, группа автоморфизмов графа.
1. Введение
Мы рассматриваем неориентированные графы без петель и кратных ребер. Если а, Ь — вершины графа Г т0 чеРез ^(а, Ь) обозначается расстояние между а и Ь, а через Гг(а) — подграф графа Г индуцированный множеством вершин, которые находятся в Г на расстоянии г от вершины а. Подграф Г (а) называется окрестностью вершины а и обозначается через [а]. Через а^ обозначается подграф {а} и [а].
Граф Г называется сильно регулярным графом с параметрами (у, к, X, ц), если Г содержит V вершин, является регулярным степени к, каждое ре бро Г лежит точи о в X треугольниках и для любых двух несмежных вершин а, Ь подграф [а] П [Ь] содержит точно ц вершин.
Система инцидентности (X, В) с множеством точек X и множеством блоков В называется Ь — (V, К, Л) схемой, если |Х| = V, каждый блок содержит ровно К точек и любые Ь точки лежат ровно в Л блоках. Любая 2-ехема является (V, В, К, К, Л) схемой, где В — число блоков, точка, инци^дснтн^ К блокам, и имеют место равенства VК = ВК,
(V — 1)Л = К(К — 1). Схема называется симметричной, если В = V. Схема называется квазисимметричной, если для любых двух блоков В, В' £ В имеем |ВПВ£ {х, у}. Числа х, у называются числами пересечений квазисимметричной схемы, и предполагается, что х < у.
Блочный граф квазисимметричной схемы (X, В) в качестве вершин имеет блоки схемы и два блока В, С £ В смежны, ее ли |В П С | = у. Блочный граф квазисимметричной (V, В,К, К, Л) схемы сильно регулярен с собственными значениями к = (К — 1)(К — хВ + х)/(у — х) кратности 1, (К — К — Л + х)/(у — х) кратноети V — 1 и — (К — х)/(у — х) кратности В — V.
© 2017 Биткина В. В.
1 Работа выполнена при поддержке гранта Российского научного фонда, проект № 15-11-10025 (теорема) , а также соглашения между Министерством образования и науки Российской Федерации и Уральским федеральным университетом от 27.08.2013, № 02.А03.21.0006 (следствие).
Производной схемой для (V, К, Л) схемы & = (X, В) в точке ж £ X называется схема с множеством точек Хж = X — {ж} и множеством блоков Вх = {В — {ж} : ж £ В £ В}. Схема Е называется расширением схемы если производная схемы Е в некоторой точке изоморфна Хорошо известно, что проективная плоскость расширяема, только если ее порядок равен 2 или 4. П. Камерон [1, теорема 1.35] описал расширения симметричных 2-ехем.
Предложение 1. Пусть 3-(У, К, Л) схема Е = (X, В) является расширением симметричной 2-схемы. Тогда верно одно из утверждений:
(1) Е является адамаровой 3-(4Л + 4,2Л + 2, Л) схемой;
(2) V = (Л + 1)(Л2 + 5Л + 5) и К = (Л + 1)(Л + 2);
(3) V = 496, К = 40 и Л = 3.
В случае (3) имеем Я = V — 1 = 495, В = VЯ/K = 496 ■ 495/40 = 6138 и дополнительный граф к блочному графу схемы имеет параметры (6138,1197,156, 252) и спектр 11971, 95642, —105495. Отсюда максимальный порядок коклики не больше гго/(& + т) = 6138 ■ 105/1302 = 495. В частности, граница Хофмана для коклик совпадает с грани-
3 (496, 40, 3)
монстром Камерона. В [2] доказано, что окрестность любой вершины в монстре Камеро-
(1197, 156, 15, 21)
(1197, 156, 15, 21)
Предложение 2. Пусть Г — сильно регулярный граф с параметрами (1197,156,15, 21) О = Аи^Г), д — элемент простого порядка р из О и П = Их(д). Тогда |П| ^ 171 п(О) С {2, 3, 5, 7,11,13,19} и выполняется одно из следующих утверждений:
(1) п — пустой граф, либо р = 3 и а1(д) = 72/, либо р = 7 и а1(д) = 1681 — 21, либо р = 19 и а1(д) = 4561 + 171;
(2) П является п-кликой, либо
(г) р = 13 п = 1 и а1(д) = 3121 + 156, либо
(гг) р = 2, п = 9 и а1(д) = 481 + 12 или п = 11 и а1(д) = 321 — 12, либо (ггг) р = 5, п = 2 и а1 (д) = 1201 + 45 или п = 7 и а1 (д) = 1201 — 30;
(3) П является (34 + 1)-кокликой, р = 3 и а (д) = 721 + 12 — 454;
(4) П содержит геодезический 2-путь и р ^ 13.
(1197, 156, 15, 21)
является реберно симметричным. В дэ.ннои работе найдены автоморфизмы монстра Камерона.
2. Вспомогательные результаты
Лемма 1. Пусть Г является сильно регулярным графом с параметрами (V, А, и неглавными собственными значениями т, в, в < 0. Если О — индуцированный регулярный подграф из Г степени й на т вершинах, то
т(й — й)
5 < с1----- К, г,
V — т
причем одно из равенств достигается тогда и только тогда, когда каждая вершина из Г — О смежна точно с т(к — й)/^ — т) вершинами из О.
< Это утверждение хорошо известно (см., например, [4, §2]). >
Г
рами (V, А, и собственными значениями т, —т. Если д — автоморфизм графа Г и П = Их(д), то |П| ^ V ■ шах{А,^}/(& — т).
Из лемм 1-2 следует, что для сильно регулярного графа с параметрами (6138, 1197, 156, 252) |П| < 6138 ■ 252/1188 = 31 ■ 42 = 1302.
Лемма 3. Пусть Г — сильно регулярный граф с параметрами (1197,156,15, 21) О — группа автоморфизмов графа Г 9 ~ элемент порядка 11 из О и П = Пх(д). Тогда выполняются следующие утверждения:
(1) |П| = 11Ь — 2, Ь ^ 15 степень вершины в П равна 11$ + 2, 2 ^ в ^ 10 и а\(д) = 33(8т + 9 — 5Ь);
(2) |О| 121
< Имеем |П| = 11Ь — 2 ^ 171 поэтому Ь ^ 15 Далее, степень вершины в П равна 11в + 2 в < 13 Хп = 4,15 цп = 10,21.
Допустим, что П содержит вершину с степени, не меньшей 123. Тогда число ребер между П(с) и П2(с) не меньше 123 ■ 8, но не больше 39 ■ 21, противоречие.
Допустим, что П содержит вершину с степени 13. Тогда число ребер между П(с) и П2(с) равно 10(11Ь—16), но не больше 13 96 поэтому Ь не больше 12. Теперь П(с) содержит не более одной вершины, смежной с 96 вершинами из П2(с), поэтому указанное число ребер не больше 13 ■ 85 и Ь не больше 11. Повторив данное рассуждение несколько раз, убедимся, что Ь ^ 3. Теперь число ребер между П(с) и П2(с) равно 10(11Ь — 16) =8 ■ 13 и 10Ь = 24, противоречие.
По [2, лемма 3| имеем Х\(9) = (55Ь + а1 (д)/3 — 67)/8 и а^д) = 3(81 + 67 — 55Ь) делится па 11. Поэтому I = 11т + 4 и а1(д) = 33(8т + 9 — 5Ь).
Допустим, что Н — автоморфизм порядка 121 Г Н11 = 9 П
регулярный граф с параметрами (11Ь — 2, 34,15, 21), противоречие.
Пусть и = (9, Н) — подгруппа порядка 121 в группе автоморфизмов графа Г, £ = Пх(и), а £ £. Тогда £(а) содержит не менее двух вершин. Для вершины Ь £ £(а) подграф £(а) П [Ь] содержит 4 или 15 вершин. Если £ является кликой, то |£| = 10 £(а) П [Ь] содержит 8 вершин из £(а) и еще 7 вершин, противоречие. Как и выше доказывается, что степень любой вершины в £ не меньше 24, |£| = 11е — 2.
Допустим, что для а £ £ подграф [а] не содержит и-орбиту А длины 121. Тогда для вершины и £ А подграф [и] П [а] содержит не более одной вершины из £, противоречие с тем, что 21 и 20 нб дблмтсм на, А [а]
а £ £ £
Итак, в Г нет и-орбит длины 121. Теперь 1197 ^ |£| + 12(163 — |£|) и |£| ^ 69. Далее, 156 ^ |£(а)| +12(35 — |£(а)|) и |£(а)| ^ 24 Таким образом, £ — регулярный граф степени 24 и ввиду леммы 3 имеем |£| ^ 45 ■ 19/7 противоречие. >
Доказательство теоремы опирается на метод Хигмена работы с автоморфизмами сильно регулярного графа, представленный в третьей главе монографии Камерона [6|. Если Р и Я — первая и вторая матрицы собственных значений графа, то
РЯ = QP = VI. Здесь V — число вершин, к, г, в — собственные значения графа Г кратноетей 1, — — 1 соответственно (указанные кратности образуют первый столбец матрицы Я).
Подстановочное представление группы О = Аи^Г) на вершинах графа Г обычным образом дает мономиальное матричное представление ^группы О в ОЬ(у, С). Проетран-
ство С^ является ортогональной прямой суммой собственных ^(О) инвариантных под пространств Шо, Ш1, Ш2 матрицы смежности графа Г. Пусть хг — характер представления Тогда для любого д £ О получим равенство
2
хг(д) = Ян а (д^ ¿=0
где а.^ (д) — число то чек ж из X таких, что й(ж,жд) =
Г
(6138,1197,156, 252) и спектром 11971, 95642, —105495, О = Аи^Г), д — элемент простого порядка р из О и Х2 — характер, полученный при проектировании ^(О) на подпроетран-495
Лемма 4. Имеем х2(д) = (9а0(д) — а1(д))/114 + 198/19, аг(д) = аг(д1) для любого I, не кратного р, и 495 — Х2 (д) делится на р.
< Рассмотрим сильно регулярный граф Г с параметрами (6138,1197,156, 252). Тогда
( 11 1 Я = I 5642 806/19 —217/19 455 —825/19 198/19
и х2(д) = (15а0(д) — 25а1 (д)/19 + 6а2(д)/19)/186. Подставляя в эту формулу значение а2(д) = V — а0(д) — а^д), получим х2(д) = (9а0(д) — а1(д))/114 + 198/19.
Два последних утверждения леммы следуют из леммы 1 [7]. >
3. Автоморфизмы монстра Камерона с параметрами (6138,1197,156, 252)
Лемма 5. Выполняются следующие утверждения:
(1) если П — пустой граф, то либо р = 31 и а1(д) = 31 ■ 78, либо р = 11 и а1(д) = 11(1141 — 6), либо р = 3и а1(д) = 3(1141 + 54), либо р = 2 и а1(д) = 2(1141 — 33);
(2) П п
(г) р = 19 п = 1 и а1(д) = 19(61 + 3), либо (г) р = 13 п = 2 и а1(д) = 6 ■ 13(191 — 5), либо
(ггг) р = 5, п = 3 и а1 (д) = 3(1901 + 25) или п = 8 и а1 (д) = 6(951 + 20), либо (т) р = 2 п = 10 и а1(д) = 6(381 + 4) или п = 12 и а1(д) = 6(381 — 21);
(3) если П является т-кокликой, то р = 3 т = 34, 4 ^ 70 и а1(д) = 9(381 + 10 + 34) или р = 7 т = 74 — 1 4 ^ 70 и а1 (д) = 63(381 + 8 + 4);
(4) если П содержит ребро и является объединением т (т ^ 2) изолированных клик,
р = 2 П 10 12
< Пусть П — пустой граф, аг(д) = ртг. Так как 6138 = 9 ■ 22 ■ 31, то р £ {2, 3,11, 31}.
Пусть р = 31. Тогда х2(д) = 31(—т1 + 36)/114 и а1(д) = 31(1141 — 36). Если 1 = 2, то а1(д) = 31 ■ 192 и найдется кликовая (д)-орбита длины 31, противоречие. Значит, а1(д) = 31 ■ 78 а2 (д) = 31 ■ 120.
Пусть р = 11. Тогда х2(д) = 11(—т1 + 108)/114 а1 (д) = 11(1141 — 6) и а2(д) = 11(192 — 1141).
Пусть р = 3. Тогда число х2(д) = (—т1 + 396)/38 делится па 3 и а1(д) = 3(1141 + 54).
Пусть р = 2. Тогда чиело х2(д) = (—т1 + 594)/57 нечетно и а1(д) = 2(1141 — 33). Утверждение (1) Д0КЭЗЭ.Н0.
Пусть П является п-кликой. Если п = 1, то р делит 1197 и 4940, поэтому р = 19, Х2(9) = (63 — )/6 ж а1 (9) = 19(61 + 3).
Пусть п ^ 2 ж а,Ь £ П. Так как 9 действует полурегулярно на [а] — Ь^, то р делит 158 — п р = 2, 5, 13 р = 2
п = 10,12 Если п = 10 то число х2 (9) = (213 — а1 (д)/6)/19 нечетно и а1 (9) = 6(381 + 4). Если п = 12 то число х2(9) = (216 — а1(9)/6)/19 нечетно и а1(9) = 6(381 — 21).
В случае р = 5 получим п = 3, чиело Х2(9) = (405 — а1 (9)/3)/38 делится на 5 и а1 (9) = 3(1901 + 25) или п = 8 число Х2(9) = (210 — а1(9)/6)/19 делится на 5 и а1(9) = 6(951 + 20).
В случае р = 13 получим п = 2, Х2(9) = (201 — а1 (9)/6)/19 и а1 (9) = 6 ■ 13(191 — 5).
Пусть П является ш-кокликой, 0 < ш ^ 495. Если а,Ь £ П, то 9 действует полурегулярно на [а] П [Ь], [а] — [Ь], поэтому р делит 252 и 945. Отсюда р = 3, 7. Есл и р = 3, то ш = 3Ь, Ь ^ 165 число х2(9) = 3(3Ь + 132 — а1(9)/9)/38 делится на 3 и а1(9) = 9(381 + 10 + 3Ь).
Если р = 7, то ш = 7Ь — 1, Ь ^ 70 Х2(9) = 3(7Ь + 132 — а1(9)/9)/38 и а1 (9) = 63(381 + 8 + Ь).
Пусть П содержит ребро и является объединением ш (ш ^ 2) изолированных клик. а с П 9 [а] П [с] р
252.
а Ь П 9
гулярно на [а] — Ь^, то р делит 1040. Отсюда р = 2 и порядки изолированных клик в П равны 10 или 12. >
Лемма 6. Если П содержит геодезический путь Ь, а, с, то выполняются следующие утверждения:
(1) если П содержит [а] для некоторой вершины а £ П, то р ^ 5 П = а^ и а^9) = 0;
(2) 9 точно действует на [а] для некоторого 2-пути Ь,а,с и п(О) С {2, 3, 5, 7,11,13, 19,31};
(3) если П(а) не содержит геодезических 2-путей, то П(а) — коклика и р = 3.
< Если П содержит [а] для некоторой вер шины а £ П, то П = а^ и а1(9) = 0. Далее, Х2(9) = 3(ао(9)+66)/38, и 495 — Х2(9) делится нар. Заметим, что объединение подграфов и^ — [а] то всем вершинам и из некоторой (9)-орбиты длины р содержит р(1198 — 252) вершин и 946р ^ 4940 поэтому р = 5.
9 [а] Ь, а, с П
9Г
имеем п(О) С {2, 3, 5, 7,11,13,19, 31}.
Пусть П(а) не содержит геодезических 2-путей. По предложению 2 подграф П(а) является кокликой и р = 3 >
Теорема. Пусть Г — монстр Камерона с параметрами (6138,1197,156, 252) О = АШ;(Г), 9 — элемент простого порядка р из О и П = Их(9). Тогда |П| ^ 171 п(О) С {2, 3, 5, 7, 11, 13, 19, 31}
(1) п — пустой граф, либо р = 31 и а1 (9) = 31 ■ 78 либо р = 11 и а1(9) = 11(1141 — 6), либо р = 3 и а1(9) = 3(1141 + 54), либо р = 2 и а1(9) = 2(1141 — 33);
(2) П п
(г) р = 19 п = 1 и а1(9) = 19(61 + 3), либо (г) р = 13 п = 2 и а1(9) = 6 ■ 13(191 — 5), либо
(ггг) р = 5 п = 3 и а1(9) = 3(1901 + 25) или п = 8 и а1(9) = 6(951 + 20), либо (гу) р = 2, п = 10 и а1(9) = 6(381 + 4) или п = 12 и а1(9) = 6(381 — 21);
(3) Q является m-кокликой, p = 3, m = 3t, t ^ 70 и ai (g) = 9(381 + 10 + 3t) или p = 7, m = 7t - 1 t < 70 и ai (g) = 63(381 + 8 +1);
(4) Q содержит ребро и является объединением m (m ^ 2) изолированных клик, p = 2 и порядки изолированных клик в Q равны 10 или 12;
(5) Q содержит геодезический 2-путь и p ^ 13.
< Доказательство теоремы следует из лемм 5-6 и предложения 2. >
До конца работы будем предполагать, что G действует транзитивно на множестве вершин графа Г. По теореме n(G) С {2, 3,5, 7,11,13,19, 31} и |G : Ga| = 18 ■ 11 ■ 31.
Лемма 7. Пусть f — элемент порядка 31 из G, g — элемент простого порядка p < 31 из Ca(f )• Тогда либо Q — пустой граф, p = 2 и ai (g) = 31 ■ 42, либо выполняются следующие утверждения:
(1) ecjrnp = 13, то |Q| = 31(13s + 3) s < 3и ai (g) = 3(381 +93(13s + 3) + 392);
(2) p = 11.
< Пусть f — элемент порядка 31 из G. По теореме ai(f ) = 31 ■ 78 a2(f ) = 31 ■ 120. Пусть g — элемент простого порядка p < 31 из Cc(f )■ Если Q — пустой граф, то p делит 78 и 120, поэтому p = 2, 3. В случае p = 3 число ai (g) = 3(1141 + 54) делится па 31, поэтому 71 — 13 делится па 31 и 1 ^ 24, противоречие. В случае p = 2 число ai (g) = 2(1141 — 33) делится на 31, поэтому 51 + 1 делится па 31 и 1 = 6.
Пусть Q — непустой граф. Тогда |Q| = 31t и p делит 198 — t. Далее, X2(g) = (93t + 392 — ai (g)/3)/38 и ai(g) = 3(381 + 93t + 392) делится па p.
Если p = 13, то t = 13s + 3, и с учетом неравенства 31(13s + 3) ^ 1302 имеем s ^ 3 и 8—1
Если p = 11, то t = 11s Так как g фиксирует не менее десяти (f)-орбит на W = {w | d(w,wf ) = 2}, то 10 ^ s, противоречие. >
Лемма 8. Имеем S(G) = 02,3 (G), цоколь T группы G = G/S (G) изоморф ей L2(32) и либо
(1) Ta — подгруппа порядка 16 V = S(G) является 3-группой, |V : Va| = 3 и T действует неприводимо на V, либо
(2) Ta — подгруппа порядка 32, S(G) = VW, где V является силовской 3-подгруппой из S(G), | V : Va| = 3 и T действует неприводимо на V, W является силов ской 2-подгруп-пой из S(G), |W : Wa| = 2 и T действует неприводимо на W.
< Из лемм 3, 7 следует, что S(G) = 02,з(G).
Пусть T — цоколь гру ппы G = G/S(G). По [8, таблица 1] группа T изоморф па ¿2(32) или 0'N Но в группе 0'N наименьший ивдекс собственной подгруппы равен 122760, противоречие.
Значит, T = ¿2(32^ и Ta — подгруппа порядка 16 или 32.
Если Ta — подгруппа порядка 16 то V = S (G) является абелевой 3-группой, |V : Va | = 3 и T действует неприводимо па V.
Если Ta — подгруппа порядка 32, то S (G) = VW, где V является еиловекой 3-под-группой из S(G) |V : Va| = ^ и T действует неприводимо па V, W является еиловекой 2-подгруппой из S (G), |W : Wa | = 2 и T неприводимо па W. Лемма доказ ана. >
Следствие. Пусть Г — сильно регулярный граф с параметрами (6138,1197,156, 252),
(1197, 156, 15, 21)
(в частности, Г — монстр Камерона), и группа G = Aut(r) действует транзитивно на множестве вершин графа Г. Тогда S(G) = 02,3 (G), цоколь T группы G = G/S (G) изоморфен L2(32) и либо
(1) Та — подгруппа порядка 16 V = S(G) является абелевой 3-груиной, |V : Va| = 3 и Т действует неприводимо на V, либо
(2) Та — подгруппа порядка 32, S (G) = VW, где V является силов ской 3-подгруппой из S(G), | V : Va | = 3 и Т действует неприводимо на V, W является силов ской 2-подгруи-пой из S (G), |W : Wa| = 2 и T действует неприводимо на W.
В частности, |G| не делится на 19 и Г не является реберно симметричным графом.
< Доказательство следует из лемм 7-8. >
Литература
1. Cameron P., Van Lint J. Designs, Graphs, Codes and their Links.—Cambridge: Cambr. Univ. Press, 1981.-240 p.—(London Math. Soc. Student Texts, № 22).
2. Махнев А. А. Расширения симметричных 2-схем // Межд. конф. Мальцевские чтения. Тез. докл.— Новосибирск, 2015.—С. 111.
3. Виткина В. В., Гутнова А. К., Махнев А. А. Автоморфизмы сильно регулярного графа с параметрами (1197, 156,15, 21) // Владикавк. мат. журн.—2015.—Т. 17, № 2.—С. 5-11.
4. Brouwer А. Е., Haemers W. Н. The Gewirtz graph: an exercize in the theory of graph spectra // Europ. J. Comb.-1993.-Vol. 14.-P. 397-407.
5. Behbahani M., Lam C. Strongly regular graphs with non-trivial automorphisms // Discrete Math.— 2011.-Vol. 311, № 2-3.—P. 132-144.
6. Cameron P. J. Permutation Groups.—Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1999.—232 p.—(London Math. Soc. Student Texts, №45).
7. Гаврилюк А. Л., Махнев А. А. Об автоморфизмах дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {56, 45,1; 1, 9, 56} // Докл. АН.-2010.-Т. 432, № 5.-С. 512-515.
8. Zavarnitsine А. V. Finite simple groups with narrow prime spectrum // Siberian Electronic Math. Reports.-2009.-Vol. 6.-P. 1-12.
Статья поступила 15 августа 2016 г.
Биткина Виктория Васильевна Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, ассистент кафедры прикладной математики РОССИЯ, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 46 E-mail: [email protected]
AUTOMORPHISMS OF THE CAMERON'S MONSTER WITH PARAMETERS (6138,1197,156,252)
Bitkina V. V.
Let the 3-(V, K, A) scheme E = (X, B) be an extension of the symmetric 2-scheme. Then either E is Hadamard 3-(4A + 4, 2A + 2, A) scheme, or V = (A + 1)(A2 +5A + 5) and K = (A + 1)(A + 2), or V = 496, K = 4^d A = 3. The complementary graph of a block graph of 3(496, 40, 3) scheme is strongly regular with parameters (6138, 1197, 156, 252). Let's call this complementary graph Cameron's monster. In this paper automorphisms of monster are studied.
Key words: strongly regular graph, vertex symmetric graph, automorphism group of a graph.
