Рассеяние электромагнитных волн шероховатой поверхностью в зеркальном направлении при скользящем облучении Текст научной статьи по специальности «Физика»

Электродинамика, микроволновая техника, антенны

УДК 621.396.96.06

В. В. Леонтьев, М. А. Бородин

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет

"ЛЭТИ"

Л. И. Богин

Центральный научно-исследовательский институт им. акад. А. Н. Крылова

Рассеяние электромагнитных волн шероховатой поверхностью в зеркальном направлении при скользящем облучении

Разработана методика расчета поля, рассеянного шероховатой поверхностью в зеркальном направлении при скользящих углах облучения.

Радиолокация, радиосвязь, скользящие углы облучения, рассеяние вперед, шероховатая поверхность

Для определения характеристик радиолокационного рассеяния объектов, расположенных вблизи границы раздела двух сред (например, "воздух - взволнованная морская поверхность" [1]), необходимо иметь сведения о поле, отраженном от статистически шероховатой подстилающей поверхности в зеркальном направлении. Рассеяние в этом направлении часто называют рассеянием вперед. Информация о поле, рассеянном вперед, необходима и при разработке систем радиосвязи.

Одним из основных асимптотических методов, используемых теорией для описания рассеяния вперед сантиметровых и миллиметровых радиоволн, является метод касательной плоскости (МКП) [2]. Однако при характерных для морской радиолокации малых углах скольжения МКП, строго говоря, вообще неприменим из-за соизмеримости размеров освещенной зоны и зоны полутени на рассеивающих элементах. Кроме того, при рассеянии вперед возникают проблемы, связанные с учетом переотражения радиоволн между гребнями, волн шепчущей галереи, а также затенения подошв морских волн.

Универсальные алгоритмы расчета рассеянного поля обычно получают на основе метода интегральных уравнений (ИУ). В результате процедуры алгебраизации ИУ получают линейную систему алгебраических уравнений, численное решение которой накладывает ограничение на размеры освещенной области, расположенной между источником и приемником излучения. Кроме того, сложность получения устойчивого решения системы алгебраических уравнений во многом зависит от способа аппроксимации интегрального оператора.

Как следует из [3], разработанные алгоритмы и стандартные программные средства позволяют производить расчет рассеяния от участков поверхности, размеры которых ограничены несколькими сотнями длин волн падающего излучения, в то время как в задачах

© Леонтьев В. В., Бородин М. А., Богин Л. И., 2007

3

радиолокации и радиосвязи вблизи границы раздела протяженность освещенной области может составлять десятки и даже сотни тысяч длин волн.

Цель настоящей статьи - разработка методики расчета поля, отраженного от практически неограниченной шероховатой подстилающей поверхности в зеркальном направлении при скользящих углах облучения.

Постановка задачи. Рассмотрим двумерную задачу рассеяния электромагнитного поля на заданной детерминированной шероховатой поверхности. Вид поверхности и характеризующие задачу геометрические характеристики показаны на рис. 1. Такой вид поверхности характерен, например для морской зыби при безветрии. Будем считать, что в точке A размещен источник электромагнитной волны, а приемник расположен в точке B. Введем правую декартову прямоугольную систему координат 0XYZ (рис. 1), начало 0 которой разместим в точке зеркального отражения электромагнитного поля от плоской и гладкой поверхности, совпадающей со средним уровнем шероховатой поверхности. Тогда ось 0Z указанной системы координат перпендикулярна плоскости падения электромагнитной волны, содержащей волновой вектор K и ось 0Y. Обозначим через x0, у0 и z0

орт-векторы осей 0X, 0Y и 0Z системы координат 0XYZ соответственно. Шероховатая поверхность является идеально проводящей и описывается функцией у = у (х), представ-

ляющей детерминированную реализацию случайной морской волны.

Решение задачи определения электромагнитного поля, отраженного вперед от шероховатой поверхности, проведем по классической схеме за два этапа. На первом этапе по падающему полю найдем плотность поверхностного тока; на втором - по этой плотности тока найдем рассеянное поле.

Определение плотности поверхностного тока. Рассмотрим случай TE-поляризации (горизонтальной поляризации). Тогда падающее поле будет иметь вид

Нп = H0 (-x0 sin 0- у0 cos 0) exp {ik (х cos 0- у sin 0)} exp (-irnt), (1)

где H0 - амплитуда падающей волны; 0 - угол скольжения; k = 2%/Х - волновое число; X - длина волны излучения1.

С учетом (1) поле в некоторой точке P (х, у) (рис. 2) на шероховатой поверхности

можно записать как Н = Нп + Н р, где Н р

- рассеянное поле. Представим рассеянное поле в точке P (х, у) в виде суммы двух полей:

поля Нр , распространяющегося по поверхности в сторону положительного направления оси 0X, и поля Н-, распростра-

1 Далее множитель exp (-rnt), учитывающий зависимость поля от времени, опускается.

няющегося по поверхности в противоположную сторону. Тогда плотность поверхностного тока в точке P (x, у) шероховатой поверхности можно записать в виде

j ( x) = 2 [n ( x), Нп ( x)] + j+ ( x) + j- ( x), (2)

где n (x) - нормаль к поверхности в точке P (x, у); [n, Н ] - обозначение векторного произведения; j+ (x) и j_ (x) - плотности поверхностного тока, порожденные полями Нр и Н-

соответственно. Благодаря плотности тока j (x) ни токов, ни полей под поверхностью нет, поэтому картина отраженного поля не изменится, если поместить плотность поверхностного тока (2) в воздухе, сохранив ее местоположение в пространстве, а поверхность убрать.

В связи с тем, что плотность поверхностного тока j (x) имеет только одну z-ю компоненту, уравнение (2) (а следовательно, и входящие в его правую часть слагаемые) в дальнейшем будем рассматривать в скалярном виде2.

Представим плотность поверхностного тока j+ (x) в виде [4]:

i+ (x) = *'-02 J j (xc )[n (x), [rf (xc, x), Z° JJ {krl (xc, x)} ds (xc ),

0 JJ и(1)

r° 2

(3)

где ri° (•) = ri (■)/ri (•) - единичный вектор, определяющий направление из точки P (x, у) в

точку C (xc, ус ); H(1) {•} - функция Ганкеля первого рода первого порядка; dS (xc ) =

= >/1 + MxC)}2dxC - дифференциал длины дуги в точке C (xc, ус ), У (xc) = = dy ( x )/ dx\

x=xc

Плотность поверхностного тока j (x) определим аналогично:

1

z"° 2

j (x) = k J j (xD ) n (x), [r2* (xD, x), z° ]_ H(1) {kr2 (xD, x)} dS (xD ) , (4)

x

где r2 (•) = Г2 (■)/Г2 (•) - единичный вектор, определяющий направление из точки P (x, у) в точку D ( xd , УD ); dS ( xd ) = V (+ {у' (xd )}2dxD - дифференциал длины дуги в точке D (xD, УD).

В связи с тем, что в реальных условиях радиолокации (радиосвязи) основной вклад в рассеянное поле вносит только участок поверхности, расположенный между передатчиком и целью (приемником), а вне указанного участка поверхностный ток быстро затухает, можем полагать, что плотность поверхностного тока j (x) сосредоточена на промежутке x е [R(,R2], где R( и R2 - координаты начала и конца участка соответственно. Это позволяет заменить в (3) и (4) бесконечные пределы интегрирования, соответственно, на R1 и R2 .

2 Для сокращения записи термин "z-я компонента" в дальнейшем опустим.

Расстояния r и r от точки P (x, у) до точек C (xc, ус ) и D (xD, yD) равны г12 (x, xc d ) ~^(x - хс D )2 + {У(x) - у (xc d )}2 , а векторы r и rj определяются выраже-

ниями ri,2 (x, xC,D ) = (xC,D - x) x° + {У (xC,D ) - У(x)} y0 •

Выражение для нормали, восстановленной в точке P (x, у) шероховатой поверхно-

сти, имеет вид

n(x) = \Ц\ + {у'(x)}2 {у'(x)х° + у°} •

Рассмотрим методику вычисления плотности поверхностного тока j (x). Для построения численного алгоритма разобьем поверхность на N участков и будем вычислять плотность тока в (N + \) точке с координатами границ по оси x:

xi = R\ + iAx; i = 0, 1, ..., N,

(5)

где Ax = (Rj - R\)/N - шаг дискретизации. В этой формуле можно использовать и неравномерный шаг, выбирая различные длины отрезков [ xj, xj+\ ] в зависимости от кривизны поверхности.

Первая итерация. Сначала будем полагать, что плотность тока j (x) = 0 . Поскольку волны зыби обычно длинные и пологие, радиусы кривизны морской поверхности существенно превышают длину радиоволны и в качестве начального приближения для плотности тока будем использовать первое слагаемое из правой части выражения (2). Тогда плотность тока в точке x0 определится как

ji,° (x°) = jH (x°) = 2 H°

{У' (x° ) cos 0 + sin 0} exp {ikp (x°)}

1+{у' (x° )}2

|j1,°|exP (i9l,° ),

(6)

где p (x° ) = x°cos0- у (x° ) sin 0; |j1 ° | и ф1° - модуль и фазовый сдвиг соответственно.

Первый индекс в обозначении модуля и фазового сдвига в (6) указывает на первую итерацию, второй - на номер точки, в которой определяется плотность тока.

Из (2) с учетом (3) плотность тока в точке x1 будет иметь вид

j1,1 (x1) = jH (x1) + *п°-k J jH(x) [n (x1), [r1° (x x1), z

z 2 x

x°

°

H^1 {kr1 ( x, x1)} dS ( x) =

= | j1,1exP (%,1). (7)

Вычислив плотность токов (6) и (7) в точках x° и x1, можно аппроксимировать модуль и фазовый сдвиг плотности тока на участке поверхности между этими точками линейными функциями |j (x)| = ^1 °x + ,61 °; ф (x) = C1 °x + D ° , коэффициенты в которых определяются простыми соотношениями:

^1,° = {| j1,1 (x1 )| -| j1,° (x° )|}/(x1 - x° ); 61,° = | j1,° (x° )\- ^1,°x°;

C1,°=(ф1,1 (x1) -Ф1,° (x° )/ x1- x°}; D1,°=Ф1,° (x°)- C1,° x°.

Тогда плотность тока в точке xj можно представить в виде

ji,2 (x2 ) = jH (x2 ) + ^-0k z 2

( x

J (Ai,0x + Bi,0 ) exP {* (Ci,0x + Di,0 )} [n (x2 ), [ri° (x x2 ),z

V x°

x2

хя(() {kri (x, x2 )} dS (x) + J jH (x) n (x2 ), [r° (x, x2 ), z° я(() {kri (x, x2 )} dS (x)

x.

(8)

Зная плотность тока в точке x2 (8), модуль и фазовый сдвиг плотности тока на участке поверхности между точками x( и x2 также опишем линейной моделью с коэффициентами

Ai,i = {| ji,2 (x2 )\ -| j1,1 (xi)|}/(x2 - xi); Bi,i =| ji,i (x1 ^ - Ai,ixi;

Ci,i = (ф1,2 (x2 ) -Ф1,1 (xi)}/(x2 - xi); Di,i = Ф1,1 (xi) - Ci,ixi-

В точке xm (3 < m < N)

плотность тока определяется выражением

f

ji,m (xm ) jH (xm ) + * ° 0

z 2

£ -2 + j jH (x) |_n (xm ), [ri° (x, xm ), z°

4l=2 xm-1

хЯ(() {kri (x, xm)} dS (x)),

(9)

где

xi -i

ll-2 = ] (A\,l-2x + B1,l-2 )e'(Ci’1-2X+Di’l~2) [n (xm ), [rf (x xm ), z° ]]я(() fa (x xm )} dS (x).

xl-2

Коэффициенты линейной модели для модуля и фазового сдвига плотности тока на участке поверхности между точками xm-i и xm с учетом (9) будут иметь вид

A1,m-1 _ {| j1,m (xm ^ — | j1,m-1 (xm-i )|}/(xm — xm-1); Bi,m-1 _ | ji,m-i (xm-i ^ — Ai,m-ixm-1;

Ci,m-i _ {9i,m (xm ) — 9i,m-i (xm-i)}/(xm — xm-i); Di,m-i _ 9i,m-i (xm-i) — Ci,m-ixm-i.

Ядро интеграла в (7) (а также аналогичных интегралов в (8) и (9)) при совпадении аргумента с верхним пределом имеет устранимую особенность. Для вычисления остальных интегралов в (8) и (9) можно использовать обычные квадратурные формулы с заданной точностью.

Рассмотрим методику вычисления интеграла в (7) более подробно. Преобразовав подынтегральную функцию с учетом (6), запишем интеграл в (7) в виде

xi

U ( xi) = J f (x) M ( x, xi) dx, (10)

x°

где f (x) = {y' (x) cos 0 + sin 0} exp (ik {x cos 0 - y (x) sin 0}) ;

{y' (xi)(x xi)- y(x)+y (xi)} H(i) {kri ( X xi)}

M ( x, x( ) =

01 + {y ( xi )}20 ( x - xi )2 + {y (x ) - y ( xi )}2

°

x

При х ^ xj ядро интеграла (10) имеет особенность. Выделим 5-окрестность точки xi и представим (10) в виде суммы двух интегралов:

xj-8 xj

U(xj) = J f (x)M (x, xj)dx + I f (x)M(x, xj )dx = Uj (xj) + U2 (xj), (11)

x0 x1 -8

где 5 - малая положительная величина.

Ядро первого интеграла в (11) не содержит особенности, и он может быть вычислен известными численными методами. Для вычисления второго интеграла проделаем следующее:

1. Разложим функцию у (x) в окрестности точки xj в ряд Тейлора и, учитывая, что

(x - xj) << 1, ограничимся только четырьмя членами ряда:

у(x) = у(x1) + у'(x1)(x- x1) + (V2)у"(x1)(x- x1) + (V6)ym(x1)(x- x1) . (12)

2. При аргументе, существенно меньшем 1, функцию Ганкеля представим в виде [5]:

H(1) {ц (x)} = -—. 2 2 2. (13)

nk^J(x - xj )2 + {у (x) - у (xj)}

С учетом (12) и (13) для второго интеграла в (11) получим выражение

1 1

U2 (x)=>Tk f

f (x) {у" (xj) + (13) y’" (xj)(x - xj)} dx

x1 1+{у' (x1 )}2 (j+{у' (x)+(V2) у" (x)(x - x)+(V6) у'" (x)(x - x )2

[1 + {у (x1) + (12)У" (x)(x~x1) + (16)у (x1)(x-;

Очевидно, что при x = xj ядро последнего интеграла также не содержит особенности и он может быть вычислен численно.

Таким образом, без учета плотности тока j- (x) первая итерация позволяет оценить плотность токов в дискретных точках поверхности с координатами xo, xj, ..., xN, а также создать модель плотности токов на участках поверхности между этими точками.

Вторая итерация. Вклад плотности тока j- (x) в итоговую плотность поверхностного тока (2) можно рассчитать с помощью формулы (4). Так как при x > xN плотность

2

тока j (x) не учитывалась, плотность тока в точке xN остается без изменений, т. е. j2, N ( xN ) = j1, N ( xN ) .

Плотность тока в точке xn-j определится как

1 k

j2, N-1 ( xN-1 ) - Л, N -1 ( xN-1) +

z 2

f ( A x + B N-1x+D1,N-1)

J (4,N-(x + B(,N-1) e

V xN-1

n (xn-1), [г® (x, xn-1), z0 _ нV[( {kr2 (x, xn-1)} dS (x)l.

(14)

Откорректировав плотность тока (14) в точке xn -j, необходимо изменить коэффициенты линейной модели плотности тока на участке поверхности между точками xn-j и xn :

A2, N-1 = {| j2, N ( xN )| -| j2, N-1 ( xN-1 )|}/ ( xN - xN-1); B2, N-1 =| j2, N-1 ( xN-1 ^ - A2, N-1xN-b

C2,N-1 = {ф2,N (xN)-ф2,N-1 (xN-l)}/(xN -xN-1); D2,N-1 = ф2,N-1 (xN-1)-C2,N-1xN-1, а также на участке поверхности между точками xn-2 и xn-i :

\J2, N-1 ( xN-1) - J1, N - 2 ( XN - 2 )

A2, N - 2

xN-1~ xN-2

B2,N-2 - J2,N-1 (xN-1 - A2,N-2xN-1;

C

2, N-2

Ф2, N-1 ( xN-1) ~Ф1,N-2 ( xN-2 X n'

xN-1 - xN-2

D2, N-2 -ф2, N-1 ( xN-1) - C2, N-2xN-1-

Штрих в обозначении коэффициентов линейной модели плотности тока обозначает, что эти коэффициенты будут уточнены при дальнейших итерациях.

Плотность тока в точке xn-2 будет иметь вид

1 к

J2,N - 2 ( xN - 2 ) - J1, N-2 ( xN-2 ) +

7. 2

xN-1

j (A2, N -2 x + B2,N-2 )e

V xN-2

) j(C2,N-2x+D2,N-2 ) .

n ( xn-2 ), [r2 ( x, xn-2 ), z0 _ {kr2 ( x, xn - 2 )} dS ( x) +

+

( (A y-+R \J(C 2, N -1x+D2, N -1).

J [A2, N -1x + B2, N-1) e

XN-1

(15)

n ( xn - 2 ), [r2 ( x, xn - 2 ), z0 ] H® {kr2 ( x, xn-2 )} dS ( x)).

Вычислив плотность тока (15) в точке xn-2, необходимо изменить коэффициенты линейной модели плотности тока на участке поверхности между точками xn-2 и xn-1:

J2, N-1 ( xN-1 N - J2, N -2 ( xN -2 )

A

2, N-2

C

2, N-2

xN-1 - xN - 2

Ф2, N-1 ( xN-1) - Ф2,N-2 ( xN-2 ) .

9

xN-1 - xN-2

B2,N-2 - \ J2,N-1 (xN-1 ^ - A2,N-2xN-1;

D2, N-2 = ф2, N-1( xN-1) - C2, N - 2xN-Ъ

а также на участке поверхности между точками xn-з и xn-2:

\j2, N - 2 ( xN - 2 ^ -| J1, N-3 ( xN-3 )| _ ,

A2, N-3

C2, N-3 =

xN-2~ xN-3

B2, N-3 = J2, N - 2 ( xN-2 - A2, N-3 xN - 2;

Ф2, N-2 (xN-2 ) -Ф1,N-3 ( xN-3 X ry

D2,N-3 ~ф2,N-2 (xN-2 ) - C2,N-3xN-2-

xN-2~ xN-3

В точке xn-m (3 < m < N) плотность тока определяется выражением

1 к

J2, N - m ( xN -m ) J1, N -m ( xN -m ) "*"г о n

z 2

xN-m+1

1 (A2,

-2, N - mx + B>2, N - m )e

) e'(C2,N-mx+D2,N-m ) .

V xN -m 0

n

(xN-m),[r2 (x, xN-m),z° ] H\l) {kr2 (x, xN-m)}dS(x)

m

m xN-l+2

+

,V f (A y-^R \J( C2,N-l+1x+D2, N-l+1).

+ 2. J \A2, N-l+1x + B2, N-l+1) eV •

l=2 xN-l+1

n (xN-m ) , [r2 (x xN-m ) , z° ] {^2 (x xN-m )} dS (x)) •

(16)

Откорректировав плотность тока (16) в точке xn-m, необходимо изменить коэффициенты линейной модели плотности тока на участке поверхности между точками xn-m и xn-m+i:

A2, N-m = {| j2, N-m+1 ( xN-m+1 ^ -| j2, N-m (xN-m )l}/( xN - m+1 - xN - m );

B2, N - m = j2, N - m+1 ( xN - m+1 )| — A2, N - mxN - m+1;

C2, N-m = (ф2, N - m+1 ( xN-m +1) — Ф2, N-m ( xN-m )} / ( xN - m+1 — xN-m );

D2, N - m ~ Ф2, N - m+1 ( xN - m+1) — C2, N - mxN - m+1, а также на участке поверхности между точками xn-m-\ и xn-m :

A2, N-m-1 _ { j2, N - m ( xN-m ^ — | j1, N - m-1 ( xN - m-1 )|} / ( xN - m — xN - m-1);

B2, N - m-1 = | j2, N - m ( xN-m )| — A2, N-m-\xN - m;

C2, N - m-1 ~ (ф2, N - m ( xN - m ) — Ф1, N - m-1 ( xN—m-1)} / ( xN—m — xN—m-1);

D2,N—m—1 ~ Ф2,N-m (xN-m ) — C2,N-m-\xN-m •

В связи с тем, что при x < x° плотность токов не учитывалась, в формулах (17)-(2°) 3 < m < N -1.

Таким образом, учет плотности тока j- (x) при второй итерации позволяет уточнить как плотность токов в дискретных точках поверхности с координатами x°, x^..., xn , так и коэффициенты линейной модели плотности токов на участках поверхности между этими точками.

Расчет поля в точке наблюдения. Определив плотность тока на поверхности, возможно вычислить поле, рассеянное поверхностью. Будем интересоваться полем в некоторой точке B (xB, Ув) над поверхностью. Поле в точке наблюдения B от элемента dS по-

(17)

(18) (19) (2°)

верхности имеет вид dH в - i

; j2 ( x)

4

r° z° rB, z

kH^ {кгв ( x, xb )} dS , где rB - единичный век-

тор, направленный из точки наблюдения в текущую точку поверхности; гв О - расстояние от точки B до этой точки поверхности.

Единичный вектор rB определяется выражением

rB =-

x - xb

,x° +

У ( x) - Ув ( xB )

yj(x - xB )2 + {У(x)- Ув (xB )}2 y/(x - xB )2 + {У(x)- Ув (xB )}2

°

■y .

Тогда поле в точке наблюдения, рассеянное всей шероховатой поверхностью, будет иметь вид

H

в - J dHв - HBxx° + НВуу°:

(21)

где

1°

HBx=ik Jj2(x)Hi(1){krB(xxb)} I y{f* Ув^Хв) 2Ф+{yf(x)}2dx;

R v(x - xb ) + {y (x) - Ув (xb )}

k R2 I---------

H By = *4 J h( x) H11) {krB ( X xb )} I 2 Xb X 2 A/1 + {y'( x)}2 dx ■

R1 v(x - Xb )2 + {У(x)- Ув ( Xb )}

С учетом падающего поля получим окончательное выражение полного поля в точке наблюдения B:

Hs = Hв + Нп ■ (22)

Численный эксперимент. Описанная методика расчета поля, отраженного от шероховатой подстилающей поверхности в зеркальном направлении при скользящих углах облучения, реализована в пакете MATLAB 6.5. В качестве тестовой поверхности рассмотрена цилиндрическая поверхность (рис. 3).

Уравнение поверхности, записанное в параметрической форме, имеет вид

X* = R1 + r<fyj; y* = H(1 + cosф*)/2-AHsin(фг/1.8); i = 0, 1, ..., N, (23)

где r = Л/(2п); ф* = {2п(R2 -R1)/л} (i/N); H и АН - высота морской волны и ее измене-

ние соответственно; Л - средняя длина морской волны. Поверхность, изображенная на рис. 3, является нерегулярной и отличается от периодической решетки, так как в координату y в (23) введена поправка АН sin (фг /1.8).

Алгоритм расчета плотности поверхностного тока требует оценки интеграла вида (10) N раз. Любое численное решение осуществляется только с конечной точностью, поэтому нет необходимости стремиться к получению абсолютной точности решения. При этом для уменьшения времени расчета можно ограничиться в (11) первым слагаемым, если выбрать сдвиг 5 верхнего предела интегрирования малой величиной. Тем самым интеграл, ядро которого имеет особенность, заменяется на интеграл с гладким ядром. Для количественной оценки сдвига 5 верхнего предела интегрирования рассмотрим погрешность вычисления интеграла при учете в (11) только первого слагаемого. Так как интеграл представляет собой комплексную величину, введем две погрешности:

• погрешность оценки модуля интеграла

Дм = (U + U2 - Ы)/(|{/1 + U21), (24)

• погрешность оценки его фазового сдвига

Аф = {щ-g (U1 + U2 ) - arg (U1)}/arg (U1 + U2 ) . (25)

Расчет погрешностей (24) и (25) проведен при следующих значениях параметров: Л = 10 м, Н = 1 м, АН = 0.25 м, 0 = 1°, Х = 0.03 м, Н0 = 1 А/м, R1 =-20 м, R2 = 20 м.

Исходя из временных затрат на вычисление первого интеграла, входящего в (11), сдвиг

верхнего предела интегрирования 5 = 6 -10-5 м. При этом погрешности оценки модуля и фазового сдвига интеграла в (10) составляют 1 и 0.13 % соответственно.

На рис. 4 представлены результаты расчета, полученные при первой итерации. Сплошная линия иллюстрирует изменение модуля плотности поверхностного тока | j (х )|. Штриховой линией отображен модуль | jH (х)| начального приближения плотности тока.

Расчет плотности поверхностного тока j (х) выполнен по формулам (6)-(9). Шаг

_3

дискретизации поверхности в формуле (5) равномерный и равный Лх = 5-10 м. Для расчетов использован компьютер с процессором INTEL CELERON M390, тактовая частота которого 1.7 ГГц, емкость оперативного запоминающего устройства 384 Мбайт. При шаге

интегрирования 5 -10-5 м время расчета плотности поверхностного тока на первой итерации составило 9 ч 10 мин.

На рис. 5 представлены результаты расчета модуля плотности поверхностного тока | j2 (х) (сплошная линия), вычисленного при второй итерации. Расчет произведен по формулам (14)-(16) с учетом (17)-(20). Как и на рис. 4, штриховая линия соответствует модулю | jH (х) начального приближения плотности тока. Время расчета плотности поверхностного тока на второй итерации составило 11 ч 40 мин.

Во многих задачах, например при стендовых измерениях эффективной площади рассеяния целей или при антенных измерениях, особый интерес представляет разрез поля по высоте в месте расположения исследуемого объекта или антенны. Рис. 6-9 иллюстрируют изменения модуля компонент поля по высоте над поверхностью на границе рассматриваемого участка. При этом координаты точки наблюдения имели следующие значения: хв = 20 м, ув = 1 ...2.5 м. На

рис. 6 и 7 изображены модули компонент |Ндх| и |Hgy| рассеянного поля, вычисленные по

формуле (21). Сплошные линии на рис. 8 и 9 отображают модули компонент |И 2х| и |И Sy|

полного поля, вычисленные по формуле (22). Штриховые линии иллюстрируют изменения указанных компонент поля для случая, когда в качестве границы раздела рассматривается плоская и гладкая подстилающая поверхность, коэффициент отражения Френеля которой ра-

УВ,

2 -

1.5 -1

м 0

хв =20 м

0.2 0.4 |ИВу|, А/м

Рис. 7

а/м

вен -1. Такой коэффициент отражения наблюдается при скользящем облучении гладкого моря в сантиметровом диапазоне длин волн на горизонтальной поляризации.

Из рис. 8 и 9 следует, что с изменением высоты точки наблюдения модули компонент |Я2х| и \И£у| полного поля (22) над шероховатой поверхностью изменяются более быстро,

чем над гладкой поверхностью. При этом для гладкой поверхности модули компонент полного поля с высотой изменяются синхронно: если увеличивается (уменьшается) одна из них, то увеличивается (уменьшается) и другая. Для шероховатой поверхности указанная синхронность нарушается. Это свидетельствует о том, что в случае шероховатой поверхности с изменением высоты наблюдаются не только изменения модуля полного поля, но и сильные флуктуации направления вектора Hs в пространстве. Последний факт необходимо учитывать как

при разработке систем радиосвязи, так и при проектировании систем радиолокации.

Предложенный алгоритм расчета поверхностных токов не требует хранения в оперативной памяти ЭВМ больших массивов чисел, что позволяет применять его для оценки рассеяния радиоволн на шероховатых поверхностях, протяженность которых в пространстве практически не ограничена.

Библиографический список

1. Леонтьев В. В. Вероятностная модель рассеяния сантиметровых радиоволн объектом, расположенным вблизи взволнованной морской поверхности // ЖТФ. 1997. Т. 67, № 9. С. 83-88.

2. Басс Ф. Г., Фукс И. М. Рассеяние волн на статистически неровной поверхности. М.: Наука, 1972. 424 с.

3. Галишникова Т. Н., Ильинский А. С. Численные методы в задачах дифракции. М.: Изд-во Моск. гос. ун-та, 1987. 208 с.

4. Марков Г. Т., Чаплин А. Ф. Возбуждение электромагнитных волн. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Радио и связь, 1983. 296 с.

5. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. Формулы, графики, таблицы. М.: Наука, 1977. 344 с.

V. V. Leontyev, M. A. Borodin

Saint Petersburg state electrotechnical university "LETI"

L. I. Bogin

Central research and development institute named acad. A. N. Krylov

Electromagnetic waves low grazing angle forward scattering from rough surface

The method which describes the electromagnetic waves low grazing angle forward scattering from rough surface is suggested.

Radiolocation, radiocommunication, low grazing angle, forward scattering, rough surface Статья поступила в редакцию 25 декабря 2006 г.

УДК 538.30:516.6

И. Н. Зражевская

Центральный научно-исследовательский институт им. акад. А. Н. Крылова

Излучение цилиндра, возбуждаемого нитью стороннего тока

Рассматривается излучение бесконечного цилиндра, возбуждаемого нитью стороннего тока, параллельной его оси. Строгое решение задачи проводится методом собственных функций в дуговых координатах, введенных автором ранее1. Полученное решение позволяет выявить особенности первичного поля и вычислить характеристики направленности кругового и эллиптического цилиндров, возбуждаемых электрическим сторонним током, в плоскости их нормального сечения.

Бесконечный цилиндр, резонанс излучаемого поля, распространение электромагнитных волн, характеристики направленности

Рассматривается бесконечный цилиндр, возбуждаемый нитью стороннего электрического тока, параллельной оси цилиндра, направленной вдоль оси z . Необходимо определить излучаемое электромагнитное поле, удовлетворяющее уравнениям Максвелла и граничным условиям. Пространство вне цилиндра, поверхность которого определяется уравнением y1 = а, однородно и изотропно с параметрами S1, Цц G1 = 0. Составляющие векторов напряженности полного поля находятся методом собственных функций в дуговых координатах [1].

Поскольку цилиндр возбуждается нитью тока, поперечное сечение которой стягивается до нулевого вокруг некоторой точки на плоскости z = const, то объемную плотность тока удобно описывать с помощью дельта-функций. В этом случае плотность стороннего синфазного электрического тока в дуговых координатах

jz = Jэ z 5 ( s1- b ) 5 ( 4- g) (1)

выражается через линейную плотность тока, протекающего по нити J3 , и дельта-функции 5 (•) радиальной s{ и угловой У» дуговых координат точки на плоскости, через кото-

1 См.: Зражевская И. Н. Уравнения Максвелла в дуговых координатах // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2002. Вып. 1. С. 3-11.

14

© Зражевская И. Н., 2007