Оценка точности итерационного алгоритма вычисления поля, рассеянного шероховатой поверхностью Текст научной статьи по специальности «Физика»

Радиолокация и радионавигация

УДК 621.396.96.06

М. А. Бородин, В. В. Леонтьев

Санкт-Петербургский государственный электротехнический

университет "ЛЭТИ"

I Оценка точности итерационного алгоритма вычисления поля, рассеянного шероховатой поверхностью

Представлена оценка точности итерационного алгоритма расчета поля, рассеянного шероховатой поверхностью в зеркальном направлении при скользящих углах облучения.

Радиолокация, скользящие углы облучения, рассеяние вперед, шероховатая поверхность, диаграмма рассеяния, точность

Для решения задачи рассеяния электромагнитного поля на случайной шероховатой поверхности разработаны различные методы, например, метод интегральных уравнений, метод возмущений, метод аппроксимации Кирхгофа. Выбор конкретного метода, ориентированного на исследование рассеивающих свойств заданной шероховатой поверхности, зависит от многих условий задачи.

Среди численных методов решения дифракционных задач наиболее универсальным является метод интегральных уравнений. Однако вопросы точности получаемых решений всегда требуют специального рассмотрения. Один из способов оценки точности решения базируется на законе сохранения энергии и предполагает использование диаграммы рассеяния шероховатой поверхности.

Приближенное численное решение интегрального уравнения сведением его к системе линейных алгебраических уравнений накладывает существенные ограничения на размеры шероховатой поверхности. В работе [1] предложен итерационный алгоритм решения интегрального уравнения для расчета поля, рассеянного шероховатой поверхностью в зеркальном направлении при скользящем облучении. Этот алгоритм позволяет решать двумерную задачу рассеяния на шероховатой поверхности, размеры которой практически неограничены.

Цель настоящей статьи - представить оценку точности решения задачи рассеяния электромагнитного поля на шероховатой поверхности при скользящих углах облучения, получаемую с помощью итерационного алгоритма, предложенного в [1].

Постановка задачи. Будем считать, что условия задачи рассеяния электромагнитного поля на детерминированной шероховатой поверхности полностью совпадают с условиями задачи, рассмотренной в [1], а именно, на шероховатую идеально проводящую поверхность (рис. 1) падает электромагнитная волна с горизонтальной поляризацией, угол скольжения которой 0п. Поверхность задана в прямоугольной системе координат 0ХУ2 и

54

© Бородин М. А., Леонтьев В. В., 2008

En Y ¡ i _H„. в

УВ 1

HoF J^^ Eр 1 1

(Í\B р 1

Ri

0 Z Рис. 1

R2 xb X

======================================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2008. Вып. 3

описывается функцией y = y (x). Ось 0Z указанной системы координат перпендикулярна плоскости падения электромагнитной волны, содержащей волновой вектор K и ось 0Y. Направление рассеяния определяет угол 9р, отсчитываемый от оси 0Y.

Плотность поверхностного тока h (x) определяется с помощью итерационного алгоритма

[1]. Зная эту плотность, можно вычислить рассеянное поле. Будем интересоваться полем в

некоторой точке B над поверхностью с координатами (хв, Ув ).

Определение диаграммы рассеяния. Поле в точке наблюдения B от элемента поверхности dS имеет вид

dHB = i

; h(х)

rB, z0

{krB (х, хв )} dS,

(1)

где гв - единичный вектор, направленный из точки наблюдения в текущую точку поверхности; - орт-вектор оси 02; к = 2л/Х - волновое число; {•} - функция Ганке-ля первого рода первого порядка; гв (•) - расстояние от точки В до текущей точки поверхности; [•, •] - обозначение векторного произведения.

о

Вектор гв определяется выражением х — Хв

гВ =

x0 +-

У ( х ) - Ув ( ХВ )

х - хв )2 + {У (х)- Ув (хв )}2 \J(х - хв )2 + {У(х) - Ув (хв)}

^У

где х0 и у0 - орт-векторы осей ОХ и О У соответственно.

Интегрируя (1), можно показать, что поле в точке наблюдения В, рассеянное всей шероховатой поверхностью, определяется выражением

Нв = \ Жв = Ивхх° + И ву у0, (2)

где и ^2 - координаты начала и конца участка поверхности соответственно;

Нвх = 4 J h (х)H™ {кгв (Х, Хв )}

Ri

(1)

У ( х) - Ув ( ХВ )

R

\J(х - хв )2 + {У(х) - Ув (хв)}

+ { у' ( х )}" dx

2

HBy = 4 J h(x)H}1) {кгв (x, xb )}

R

(1)

xb — x

R

x - xB )2 + {У(x) - Ув (xB)}

г-^1 + {y' (x)}2dx.

4

2

2

2

Будем считать, что расстояние r от начала системы координат 0XYZ до точки наблюдения B велико, т. е. точка наблюдения находится в дальней зоне рассеяния. Тогда расстояние от текущей точки интегрирования до точки наблюдения можно представить в виде

гв =\J(x-хв)2 + {y(х)-ув (Xb)}2 ~ r -{xsin9р + y(x)cos9р} . (3)

Для больших значений аргумента справедливо следующее асимптотическое представление функции Ганкеля [2]:

#1° {кгв} ^22(пкгв ) exp {i (кгв - 3П4)}. (4)

В дальней зоне для компонент поля (2), рассеянного всей шероховатой поверхностью, с учетом (3) и (4) получим следующие выражения:

#

Bx (r, ер) = i (к/42/(nkr ) cos ер exp {i (kr + я/4)} I (ер);

HBy (r, 9р) = i (к 14 )yl 2¡ (nkr ) sin 9р exp {i (kr - 3 л/ 4 )} I (9р)

(5)

(6)

R

где I(9p) = J72 (x)exp {-к[xsin9p + y(x)cos9pjjj^ 1 + {y'(x)) dx .

R

Представим компоненты рассеянного поля (5) и (6) в виде цилиндрических волн:

H

Bx

(r, 9р) = ¥ (r)Hx (9р);

HBy ( r, 0р ) = * (r ) #y ( 0р ) ,

где ¥ (r) = exp (ihr)/4r ; Hx (9р) = (к/4)y¡2/(пк) cos 9р exp (i 3п/4)I (9р);

Hy (9р) = (к/ 4)42¡(пк ) sin 9р exp (-i п/4) I (9р).

Поток энергии рассеянного поля определяет модуль вектора Умова-Пойнтинга:

П (0р) = (12) Zo |HS (9р) , где Zo = 120п - волновое сопротивление свободного пространства;

= >/ Hx (е, )|2 + |Hy (9, )|2. С учетом (7) и (8) выражение (9) примет вид

П (9р) = (12) Zo (к/ 8п )| I (9р)"

(7)

(8)

(9)

H

. (0р )

(10)

Полная мощность, рассеянная шероховатой поверхностью в пространство, связана с модулем вектора Умова-Пойнтинга (10) соотношением

П 2

= j |П (0Р )

d 9Г

(11)

-П 2

В (11) величину П (0р) ё0р можно трактовать как электромагнитную энергию, излучаемую поверхностью в единицу времени в элементарный угол ё9р. Следовательно,

выражение (10) описывает пространственную (или угловую) плотность потока мощности.

Подставив (10) в (11), будем иметь

7 к П2 2

рр=7тк 117(0р)12 ё0р. (12)

-л/2

Введем бистатический коэффициент рассеяния

г (еп, 0р) = |п (0р )\/Рп (еп), (13)

где Рр (0р) - мощность падающего на поверхность излучения.

Зависимость коэффициента рассеяния (13) одновременно от двух углов: 0п и 0р

принято называть пространственной бистатической диаграммой рассеяния [3]. Под биста-тической диаграммой рассеяния будем понимать зависимость коэффициента рассеяния (13) от угла 0р при фиксированном угле скольжения 0п:

Г ( «Р ) ( «п, ер ) 0в ^ (14)

Бистатическая диаграмма может быть использована для контроля точности получаемого решения задачи рассеяния электромагнитных волн на шероховатой поверхности. В соответствии с законом сохранения энергии при отсутствии потерь мощность поля, рассеянного поверхностью, должна быть равна мощности падающего поля. В рассматриваемом случае поверхность является идеально проводящей, а среда, расположенная над этой поверхностью, - свободным пространством, поэтому потери отсутствуют. Тогда должно выполняться равенство

П 2

Рр/Рп = | Г (0р )ё0р = 1. (15)

-П 2

Величина отклонения от единицы в (15) может служить совокупной мерой погрешности всех вычислений при решении рассмотренной задачи рассеяния на шероховатой поверхности. Отметим, что контроль выполнения этого равенства представляет собой универсальный способ проверки точности приближенных численных решений дифракционных задач.

Модель падающей электромагнитной волны. При любых численных расчетах неровная рассеивающая поверхность имеет конечные размеры, поэтому плотность поверхностного тока сосредоточена на промежутке х е [ Я±, ^ ], а вне указанных пределов ее полагают равной нулю. Из-за скачков плотности поверхностного тока на границе рассматриваемой шероховатой поверхности возникают краевые волны.

В действительности плотность тока на краях поверхности изменяется плавно. Для устранения влияния краевых волн на точность расчета вводят "диаграмму направленности" падающего поля [4], обеспечивающую плавное уменьшение плотности тока к краям

поверхности. В результате падающее поле перестает быть единой плоской волной и описывает пространственное распределение энергии в некотором секторе углов вблизи среднего угла скольжения 0п:

Нп = Я0 (-x0 sin 0Ш- - y0 cos 0п ) exp \jk (x cos 0п - y sin 0п ) (1 + w)] exp (-u2 ), где Ho - амплитуда падающей волны; w = (2u2 - 1)/(kg sin 0п )2 ; u = (x + y ctg 0п )/g; g -

параметр, определяющий характер изменения падающего поля.

Авторы монографии [5] рекомендуют выбирать значение параметра g из диапазона

g 4(R2 -Rl)/10,(R2 -Rl)/4].

Мощность падающего на шероховатую поверхность поля определяется соотношением

Pn =

Zo sin 0п

2

g

1-

1 + 2 ctg2 0 п

2 (kg sin 0п )2

(16)

С учетом (12) и (16) отношение мощностей рассеянного и падающего полей примет вид

V 2

* I К(9Р)2

P

Ртг

d0r

-п 2

8ng sin 0п \ 1

_ 1 + 2 ctg2 0 п

I

(17)

2 (kg 8Ш0п

Выражение (17) используем для контроля точности численных расчетов. По полученным дискретным значениям I (0р) вычислим значение величины Р^/Рп и затем в соответствии с (15) сравним с единицей. Степень отклонения Р^/Рп от единицы позволит

судить о точности расчета.

Оценка погрешности итерационного алгоритма. Оценку погрешности итерационного алгоритма вычисления поля, рассеянного шероховатой поверхностью, а также анализ бистатической диаграммы рассеяния проведем на примере двух видов границы раздела: слабовозмущенной поверхности (рис. 2) и сильно возмущенной поверхности (рис. 3).

Слабовозмущенная поверхность. Поверхность (рис. 2) представляет собой детерминированную реализацию гауссовского случайного процесса с ограниченным пространственным спектром. По критерию Релея [6] такая поверхность близка к гладкой и следует

У, м 1.5 0

- 1.5

- 3

У, м 1.05 0.7 0.35

0

- 2

- 1

0

Рис. 2

- 0.35

- 20

0

Рис. 3

1

x, м

======================================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2008. Вып. 3

ожидать, что в рассеянном на ней электромагнитном поле будет преобладать зеркальное отражение.

Расчеты погрешности и бистатической диаграммы рассеяния (14) выполнены при следующих значениях параметров: X = 0.03 м, R = -2 м; R2 = 2 м, g = 1 м, 0п = 6°, поляризация падающей электромагнитной волны - горизонтальная.

Отношение мощностей рассеянного и падающего полей, вычисленное по формуле (17), равно 1.015, что соответствует погрешности расчета 1.5 %.

На рис. 4 представлена бистатическая диаграмма рассеяния слабовозмущенной поверхности. Как и ожидалось, рассеяние носит ярко выраженный зеркальный характер. При угле падения облучающего поля 84° большая часть рассеянной энергии сосредоточена вблизи угла рассеяния 9р = 84°, что и соответствует модели зеркального отражения. Максимуму диаграммы рассеяния соответствует угол 9р = 84.5°.

Таким образом, решение задачи дифракции на шероховатой поверхности, полученное с помощью итерационного алгоритма [1], удовлетворяет энергетическому критерию (15) с высокой точностью, а вид бистатической диаграммы (14) хорошо согласуется с физическими законами рассеяния электромагнитных волн.

Сильно возмущенная поверхность. Такой вид поверхности характерен, например для морской зыби при безветрии. Изображенная на рис. 3 поверхность нерегулярна и отличается от периодической решетки. По критерию Релея такая поверхность является существенно неровной и следует ожидать рассеяния по всем возможным направлениям. Характер пространственного распределения рассеянного поля будет зависеть от условий облучения, соотношения между длиной % электромагнитной волны и размерами неровностей, а также от распределения неровностей по поверхности.

Расчеты погрешности и бистатической диаграммы рассеяния (14) выполнены при тех же значениях параметров X, g и 0п для Rj = -20 м, R2 = 20 м. Поляризация падающей электромагнитной волны - горизонтальная.

Отношение мощностей рассеянного и падающего полей, вычисленное по формуле (17), Рр1 Рп = 0.876, что соответствует погрешности расчета 12.4 %.

На рис. 5 представлена бистатическая диаграмма рассеяния сильно возмущенной поверхности. Очевидно, что механизм рассеяния носит явно незеркальный характер, однако от-

личается и от механизма рассеяния на диффузной шероховатой поверхности. Основная часть рассеянной энергии приходится на сектор углов рассеяния [40°, 70°]. Диаграмма

рассеяния имеет несколько максимумов, характеристики которых представлены в таблице. Кроме рассеяния вперед наблюдается также отражение в обратном направлении (пятый максимум диаграммы рассеяния), формирующее помеховый сигнал для радиолокационных систем.

Таким образом, итерационный алгоритм [1] обеспечивает высокую точность решения интегрального уравнения для расчета поля, рассеянного двумерной шероховатой поверхностью в зеркальном направлении при скользящем облучении. Кроме того, в отличие от алгоритма решения интегрального уравнения сведением к системе линейных алгебраических уравнений этот алгоритм практически не требует установления ограничений на размеры зондируемой шероховатой поверхности.

Библиографический список

1. Леонтьев В. В., Бородин М. А., Богин Л. И. Рассеяние электромагнитных волн шероховатой поверхностью в зеркальном направлении при скользящем облучении // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2007. Вып. 2. С. 3-13.

2. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. Формулы, графики, таблицы. М.: Наука, 1977. 344 с.

3. Леонтьев В. В. Феноменологическая теория рассеяния радиоволн морскими объектами. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ "ЛЭТИ", 2006. 216 с.

4. Thorsos E. I. The validity of the Kirchhoff approximation for rough surface scattering using a Gaussian roughness spectrum // J. of Acoust. soc. of America. 1988. Vol. 83, № 1. P. 78-92.

5. Tsang L., Kong J. A., Ding K.-H. Scattering of electromagnetic waves: Theories and application. New York: John Wiley and Sons, 2000. 436 p.

6. Бескид П. П., Винокуров В. И., Леонтьев В. В. Распространение и рассеяние волн: Учеб. пособие / ГЭТУ. СПб., 1994. 160 с.

M. A. Borodin, V. V. Leontyev

Saint Petersburg state electrotechnical university "LETI"

The accuracy of iterative algorithm for rough surface scattering calculation

The accuracy of iterative algorithm for rough surface scattering calculation to mirror direction is suggested.

Radiolocation, low grazing angle, forward scattering, rough surface, scattering pattern, accuracy Статья поступила в редакцию 17 марта 2008 г.

Номер максимума Угловое положение максимума, о Уровень относительно главно го максимума

1 46.9 1.0

2 50.4 0.56

3 53.4 0.28

4 56.9 0.17

5 - 84.5 0.13