РАСПРОСТРАНЕНИЕ ГИБРИДНЫХ ТЕ-ТЕ-ВОЛН В ПЛОСКОМ ЗАКРЫТОМ ВОЛНОВОДЕ, ЗАПОЛНЕННОМ НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДОЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958; 517.957; 621.372.8 doi:10.21685/2072-3040-2021-4-3

Распространение гибридных ТЕ-ТЕ-волн в плоском закрытом волноводе, заполненном нелинейной средой

В. Ю. Мартынова

Пензенский государственный университет, Пенза, Россия lynxbax@mail.ru

Аннотация. Актуальность и цели. Анализ новых режимов распространения волн в плоскослоистых нелинейных волноводных структурах составляет важный класс электромагнитных задач и приводит к появлению новых постановок задач. Целью данной работы является доказательство существования решения задачи о распространении гибридных ТЕ-ТЕ-волн в плоском закрытом нелинейном волноводе. Материалы и методы. Используется метод возмущения, позволяющий доказать существование решений в окрестности решений вспомогательной задачи, исследование которой в свою очередь основано на методе интегральных характеристических уравнений. Результаты. Найдено условие на толщину волновода, при котором существуют решения вспомогательной задачи; в окрестности данных решений доказана разрешимость основной задачи. Выводы. Полученные результаты представляют интерес для изучения новых режимов распространения волн в нелинейных средах.

Ключевые слова: уравнения Максвелла, планарные волноводы, нелинейная среда, нелинейные задачи на собственные значения

Финансирование: работа выполнена при поддержке стипендии Президента Российской Федерации молодым ученым и аспирантам, осуществляющим перспективные научные исследования и разработки по приоритетным направлениям модернизации российской экономики (№ СП-2051.2021.5).

Для цитирования: Мартынова В. Ю. Распространение гибридных ТЕ-ТЕ-волн в плоском закрытом волноводе, заполненном нелинейной средой // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2021. № 4. С. 27-45. doi:10.21685/2072-3040-2021-4-3

Hybrid TE-TE-wave propagation in closed plane waveguide filled with nonlinear medium

V.Yu. Martynova

Penza State University, Penza, Russia lynxbax@mail.ru

Abstract. Background. Analysis of new modes of wave propagation in planar nonlinear waveguide structures constitutes an important class of electromagnetic problems and leads to the emergence of new problem statements. The purpose of this work is to prove the existence of a solution of hybrid TE-TE wave propagation problem in a closed plane nonlinear waveguide. Material and methods. The proof of the existence of solutions to the main problem is based on the perturbation method, and the auxiliary problem is studied by the method of the integral characteristic equations. Results: In this research a condition for the existence of a solution to the auxiliary problem is found, and the solvability of the main

© Мартынова В. Ю., 2021. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.

problem in the vicinity of this solution is proved. Conclusions: The results obtained in this work are of interest for studying new modes of wave propagation in nonlinear media.

Keywords: Maxwell's equation, planar waveguides, nonlinear medium, nonlinear eigenvalue problems

Acknowledgments: the work was supported by the Scholarship of the President of the Russian Federation for Young Scientists and Postgraduates implementing promising research and development in priority fields of Russian economy modernization (No. SP-2051.2021.5).

For citation: Martynova V.Yu. Hybrid TE-TE-wave propagation in closed plane waveguide filled with nonlinear medium. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2021;(4):27-45. (In Russ.). doi:10.21685/2072-3040-2021-4-3

Введение

Теория задач о собственных волнах цилиндрических и плоскослоистых волноводов с различным заполнением [1-5] является богатым источником как новых математических методов, так и новых результатов. Так, например, исследование гибридных волн в цилиндрических волноводах [6, 7] привело к новым постановкам задач о распространении симметричных гибридных ТЕ-ТМ-волн в плоском нелинейном волноводе [8, 9]. Такие волны являются аналогом азимутально симметричных гибридных ТЕ-ТМ-волн в круглом цилиндрическом волноводе, заполненном нелинейной средой. Симметричные гибридные волны могут существовать только при наличии нелинейной среды, а задача, отвечающая распространению гибридных ТЕ-ТМ-волн, является новой с математической точки зрения. Действительно, это нелинейная двухпара-метрическая задача, в которой лишь один из параметров (постоянная распространения волны) является спектральным. Второй параметр отвечает (фиксированному) значению модуля электрического поля на выбранной границе волновода. И этот второй параметр подбирается таким образом, чтобы изучаемая система имела нетривиальное решение.

В данной работе предлагается изучение распространения в плоском закрытом анизотропном волноводе другого вида гибридных волн - гибридных ТЕ-ТЕ-волн. Вторая и третья диагональные компоненты тензора относительной диэлектрической проницаемости волновода зависят от квадратов модулей компонент электрического поля. Данная задача также сводится к новому классу нелинейных двухпараметрических задач, поскольку только постоянная распространения гибридной ТЕ-ТЕ-волны - спектральный параметр, а второй параметр, связанный с условием постоянного значения модуля магнитного поля на выбранной границе волновода, является дополнительным. Гибридная ТЕ-ТЕ-волна может рассматриваться как частный случай связанной ТЕ-ТЕ-волны [10, 11], для которой поставлено дополнительное граничное условие.

Помимо основной задачи, в работе изучено распространение двух ТЕ-волн в закрытых изотропных волноводах, нелинейности которых представлены законом Керра, а коэффициенты нелинейности связаны некоторым дополнительным условием, что сохраняет связь между ТЕ-волнами. Использование метода интегральных характеристических уравнений [5, 12] позволяет установить разрешимость данной задачи. Данный результат и метод возму-

щений [13] позволяют доказать существование решения основной задачи и распространения гибридных ТЕ-ТЕ-волн.

1. Постановка задачи

Рассмотрим плоский закрытый диэлектрический волновод

X = {(х,у,г): 0 < X<И,(у,г)е М2},

расположенный в декартовой системе координат Охуг . Бесконечно тонкие абсолютно проводящие стенки расположены на границах х = 0 , х = И .

В волноводе Z распространяются волны (E, ы)е говая частота,

—/rot

, где ro> 0 - кру-

E

= (0,Ey (x),Ez(x))e/Yz , H = (((x) + ^(x),Hy(x),Hz(x)) - (1)

комплексные амплитуды; у - постоянная распространения волны.

Данный вид волн будем называть гибридными ТЕ-ТЕ-волнами. Из формулы (1) видно, что поле гармонически зависит от переменной г с вещественным коэффициентом у, при этом параметр у подлежит определению.

Слой заполнен анизотропной немагнитной средой с диэлектрической проницаемостью вида

(

£ =

0

0 £ + а1Е2 + а2 E^

0

"y 0

0 0

£l +а 2 El + aE

л

где £/ > 1, а1 > 0, а2 > 0 - вещественные постоянные; * - элемент тензора, который не влияет на распространение гибридных ТЕ-ТЕ-волн.

Для комплексных амплитуд Е, Н справедливы уравнения Максвелла

вида

rot H = —/ro£0£E, rot E = /ro|l0H ,

(2)

где > 0 - диэлектрическая проницаемость вакуума; Цд > 0 - магнитная проницаемость вакуума. Кроме того, касательные компоненты Е обращаются в нуль при х = 0 , х = И .

Подставляя (1) в уравнения Максвелла (2), получаем следующую систему:

У2Ey —Ey = ro2|0£) (i + aiEy + aiE2Z )Ey, Y2 Ez — EZ, = ro2|0£0 (l + a 2 El + aE))

(3)

при этом Нх1 = -г(юЩ) )1 Еу, Нх2 =Y(ЮЦ0 )1 Ег , Ну =-((ШЦ0 )1 Е'2,

Н2 = (/ЮЦ0) 1 Е'у , где (•)' означает дифференцирование по х.

Следовательно, задача сводится к нахождению касательных составляющих электрического поля щ (х):= Ey (х), Ы2 (х):= Ez (x). Учитывая введенные обозначения, из (3) получаем

"1 = - (е-Т2 + Р1"12 + Р2"2 )"1,

(4)

"2 = -(е-У2 +Р2"12 +Р1"2 )"2,

где е = ко е7, в = коа1, Р2 = кЬ«2, ко = ®2^оео.

Учитывая условия на границах х = 0 , х = к , получаем следующие граничные условия для функций "1 (х), "2 (х):

"1 (0) = 0, "2 (0) = 0, (5)

"1 (0) = Аь "2 (0) = ¿2, (6)

щ (к ) = 0, "2 (к ) = 0, (7)

где ¿1, ¿2 - неизвестные постоянные, для которых справедливо

А? + ¿22 = А2 (8)

и ¿1 е (0, А), ¿2 е (0, А), где А > 0 - известная постоянная.

Таким образом, определению подлежит только одна из постоянных, например ¿1. В этом случае ¿1 будет являться дополнительным искомым параметром, а значение ¿2 может быть найдено по следующей формуле:

¿2 =7А2 - А? . (9)

Определение 1. Задача Р - найти вещественные значения у и параметров ¿1, ¿2, для которых при заданном А > 0 и условии (8) существуют функции "1 (х), "2 (х)е С2 [0,к], которые являются решением (4) и удовлетворяют условиям (5)-(7).

Задача Р является двухпараметрической, причем у - спектральный

параметр, ¿1 - дополнительный параметр, который подбирается таким образом, чтобы задача имела нетривиальное решение, а ¿2 определяется по формуле (9).

Когда коэффициент нелинейности Р1 Ф 0 , а коэффициент нелинейности Р2 = 0, получаем следующую систему:

"* = -(е-у2 +Р1"2 )"1,

(10)

"2 =-(е-у2 +Р1"2 )"2,

с условиями (5)-(7) на границах х = 0 , х = к . Заметим, что условие (8) связывает первое и второе уравнение системы (10).

Для дальнейшего анализа удобно ввести следующую замену:

"1 (х) = А^ (х), "2 (х) = ¿2У2 (х),

где для постоянных А^, ¿2 справедливо условие (8). Тогда из (10) получаем систему

' V = -( ¿У )) < (11) е-Т +Р1 ).

Для функций V (х), \2 (х) выполняются следующие краевые условия:

V (0) = 0, У2 (0) = 0, (12)

V (0 ) = 1, (0 ) = 1, (13)

V (к ) = 0, У2 (к ) = 0. (14)

Определение 2. Задача Р - найти вещественные значения у и параметров ¿1, ¿2, для которых при заданном А > 0 и условии (8) существуют функции V (х), У2 (х)е С2 [0,к], которые являются решением (11) и удовлетворяют условиям (12)-(14).

В результате получили вспомогательную задачу Р , которая все еще нелинейная задача, поскольку в Ф 0, но, в некотором смысле, проще основной задачи Р. Задача Р также является двухпараметрической, причем у -спектральный параметр, ¿1 - дополнительный параметр, который подбирается таким образом, чтобы задача имела нетривиальное решение, а ¿2 определяется по формуле (9). Заметим при этом, что задача Р соответствует двум связанным задачам распространения ТЕ-волн в плоских волноводах, заполненных диэлектрическими средами с нелинейностью Керра. При этом коэф-

22

фициенты нелинейности данных задач равны, соответственно, в ¿1 и в ¿2 и связаны условием (8).

2. Разрешимость вспомогательной задачи Р

Начнем исследование системы (11) с того, что найдем первые интегралы для входящих в нее уравнений

V'2 = С--(е-у2)) -°,5ММ, (15)

здесь и далее - = 1,2.

Используя условия на границе х = 0 (12), (13), находим значения постоянных интегрирования С = С2 = 1.

Далее для исследования разрешимости задачи Р используем метод интегральных характеристических уравнений [12], для этого введем новые переменные:

2 У] ту = ^, пу = V] •

Таким образом, в новых обозначениях система (11) имеет вид 41 = 2Т1П1,

П1 = -( + 2 + в4 Т), т2 = 2Т2П2,

П2 =-(п2 + 6-Т2 +р14 Т2).

(16)

Первые интегралы (15) теперь имеют вид

(( )т ] + ^42 т2 =1.

Поскольку ту > 0 , то выражая ту из (17), получаем

(17)

т j =

П2 +е-у2 ) +

n2 +e-Y2 ) +2ßiA

ßl A

j

Подставляя найденное во второе и четвертое уравнения системы (16), находим

П'у + ^2)2 + 2Р|42 ,

откуда следует, что Пу < 0 для всех Yе М.

Пусть Vу (х) обращается в нуль в точках ху ^ е I п у раз, где 0 < г < п у, 1=(0,И). Заметим, что если пу = 0, то функция Vу (х) не имеет нулей на отрезке I. Очевидно, что если Vу £ 0, то V у (ху ,) 0 .

Определим интервалы I ц = (ху,, хуг+1), где 0 < г < пу+1, ху0 = 0,

Xj n,+i = h ; если n j = 0 , то I j о =I •

Из того что П' j < 0 и условий на границе x = 0 (12), (13) следуют фор-

мулы

lim т j (x) = 0, lim n j (x) = +

x—+0

x—+0

lim тj (x) = 0, lim nj (x) = +^ , 1 < i < nj .

x—У xji ±0

J >'

Кроме того, учитывая условие на границе x = h (14), получаем lim тj (x) = 0, lim n j (x) = -^ .

x—h-0

x—h-0

(18)

(19)

Таким образом, функции т- (х) и п- (х) могут быть определены на каждом из интервалов I - { как решения уравнения (17) с подходящим образом выбранными из (18), (19) условиями.

Пусть м- (п-; у, А-,в) = у (п2 + е - у2) + 2^ А2 . Рассмотрим уравнение

П - = -м- (п -; У, А-, Р1) (21)

на каждом интервале I j i. Пусть также

Tj (У, Aj,в1 )= J

ds

w ( y , Aj, ft)

Утверждение 1. Задача Коши (11)—(13) глобально однозначно разрешима при х е I, а ее (классическое) решение V (х; у, ¿1, Р1), V2 (х; у, ¿2, Р1), где ¿2 определяется формулой (9), непрерывно зависит от точки (х; у, ¿1, Р1) е I х (0, ) х (0, А) х (0, ), и справедлива система

П1Т1 (y,4,fr)+ j

ds

w1 (; y, 4, P1)

(22)

n2T2 (y, A2, P1)+ j

П2 (h)

w2 (s; y, A2, P1)

где п- > 0 - число нулей V- (х; у, А-, Р1) при х е I .

Доказательство. Поскольку м- (п-; у, А-,в) строго больше нуля, можно проинтегрировать (21). Интегрируя (21) на каждом интервале I -1 и

используя условия (18), (19), после преобразования приходим к выражениям, подробный вывод которых приведен, например, в работе [12]:

0 < х

= j

jJ J wj (; y, Aj, )'

0 < х,- i —х

j,i j ,i—1

= J

wj ( y, Aj, ft)

2 < i < n

j

(23)

0 < h — xj,n} = J

П

(h) Wj (y' Aj'в)

Заметим, что правые части в (23) конечны, поскольку конечны левые части в (23). Следовательно, все несобственные интегралы в (23) сходятся.

Данный факт подразумевает существование пу = Пу (х) на каждом интервале I у,.

Первые интегралы (15) показывают, что при фиксированных Y, Ау значения переменной Vу, а следовательно и значения V у, принадлежат ограниченному подмножеству М.

Из ограниченности Vj (х), V'у (х) и существования пу = Пу (х) следует

определенность функций Vj (х) и Уу (х) для всех х е I. С учетом вышеизложенного задача Коши (11)—(13) имеет решение V = V (х; Y, А1, Р1), V2 = V2 (х; Y, Л_2, в), которое определено глобально при х е I. Из гладкости правых частей уравнений системы (11) по Vу, Y, 4 и Р1 [14, 15] получаем единственность и непрерывность (и дифференцируемость) по х е I, Yе(0, +-), А1 е (0,А) и р1 е(0, +-) решения V! = V (х;Y,Аьв),

^ = v2 (х; % Р1).

Суммируя уравнения в системе (23), находим

ху,1 + ху,2 - ху 1 + ху3 - ху,2 + - • • + ху,пу - ху,пу-1 + Ь - ху,пу =

г as г

= nj J + J

wj(s;y,Aj,ß1) nj(h) wj(s;y,Aj,ß1 г

Из последнего выражения следует формула (22). □

При условии (20) формула (22) приводит к уравнению, для которого справедлива

Теорема 1. Пара у, A1 является решением задачи P , если и только если существуют целые n1 = n1 > 0, n2 = n2 ^ 0 , такие что пара у = У , A1 = A1 при n1 = n1, n2 = «2 и условии (9) является решением

Г _Ф1 (у, A1,ß1;n1) = (n1 +1)71 (У, A1,ß1 ) = h, (24)

[ Ф2 (у, A2,ß1;n2 ) = (( +1)72 (У, A2,ß1 )= h, 1 '

при этом собственные функции Vj = Vj (x; у, Aj, ß1) имеют nj (простых) нулей xji = iTj (у, Aj,ß), 1 < i < nj •

Доказательство. Формула (14) говорит о том, что v ,■ (x)l = 0 .

J lx=h

Ранее было показано, что n j < 0 . Учитывая данный факт, а также то, что n j = v'j / Vj и Vj, Vj не равны нулю в одной и той же точке, получаем lim n j (x ) = . Теперь интегральное характеристическое уравнение (24)

x—h-0 J

получается из формулы (22) при условии (20).

Из рассуждений, проведенных при доказательстве утверждения 1, следует, что всякое решение задачи Р удовлетворяет системе (24) при некоторых « = « > 0, «2 = «2 > 0 . Кроме того, из данных рассуждений элементарно получается формула для нулей Ху { собственной функции V у , 1 < г < «у

(см. формулы (23)).

Обратное утверждение, которое говорит о том, что любое решение у,

4 системы (24) является собственным значением задачи Р , доказывается так же, как это сделано в [16]. □

Учитывая теорему 1, можно сказать, что система (24) является системой интегральных характеристических уравнений задачи Р .

Основным результатом данного раздела является следующая Теорема 2. Существует такое к > 0, что для любого Ь > к найдется

4 = 4 е(0, А) такое, что пара у = у, 4 = 4 является решением задачи Р .

Доказательство. Пусть У=У(А1) - решение первого уравнения системы (24). В работе [12] показано, что функция Ту (у, Ау,в) существует и непрерывна для всех у.

Подставим у = у(А1), найденное из первого уравнения (24), в левую часть второго уравнения (24) и оценим полученный интеграл сверху:

где

только второй интеграл /2 .

Вычислим каждый из интегралов:

существует

5*(А) /, = |

о у2 (А1 )-е^2Р1 (А2 - А2 )-

у2 (А1 )-е + . 2в1 (А2 - А

х 1п

^т2 (А1 )- -е + ^2р1 (А2 - А2 ) Ь2 (А1 )-е

^2 (А )- -е + ^ 2Р1 (А2 - А2) Ь2 (А1 )-е

Л

х

х

( ( 21п

V V

у2 (А )-е + ^ 2в1 (А - А ^2 (А )-е + ^2р! (А2 - А2) + ^/у2 (А1)- ^

2л/2а5

1п/2В1 (А2 - А2

/2 = |

5*

(А)52 -(У2(А1 )-£-

42

А2 - А2

х

у2 (А1 )-е-. 2Р1 (А2 - А,

х

( (

21п

V V

у2(А1 )-е-^2р1 (а2 -А12) + ^2(А1 )-е - Ш^в (а2 -А

/

Следовательно,

(1п у2 (А1 )-е^Л/2Р1 (а2 - А12) +>/у2 (А1 )-е

Т2 ((), А2 (А1), Р1 )< 242

у2 (А1 )-е + ^20, (А2 -А12

- +

1п

+

^у2 (А1 (А2 - А2) + ^у2 (А1 )-

^У2(А1 )-е-^2^1 (А2 -А12

-V2ln^2p, (a2 - A2

jr2(A)-e + ^Pi (a2 - A2)

+

+

Y2 (Ai )-e-^2ft (A2 - A2

(25)

Теперь оценим интеграл в левой части второго уравнения системы (24) при Y = Y(Al) снизу:

T2 ((), A2 (Ai),Pi )= j

>

2 +e-y2 (Ai ))"+2Pi (A2 - A,

"2 i

i

= i

|s2 +e-Y2 (Ai 2Pi (A2 - A2) 2ds

0 |s2 +e-Y2 (Ai )| + ^ 2Pi (a2 - A2)

s*(Ai) = i

2ds

+

+

0 Y2 (Ai )-e^2Pi (a2 - A2)-s

2ds

j _ _

s(Ai)s2 -Y2(Ai) + e + ^2Pi(A2-A2)

= 13 +14-

Как и прежде, 5*(А1 ) = ^у2 (А1 )-е , если Y2 (А1 )>е, иначе 5*(А1 ) = 0 и существует только второй интеграл /4 .

Вычислим каждый из интегралов. Сначала найдем выражение для /3 :

s*(Aj)

2ds

I3 = j ._

0 Y2 (Ai )-e^2Pi (a2 - A2)

rX

Y2 (Ai )-e + , 2ft (A2 - A

i

X

( (

2ln

V v

¡12 (a )-e + ^/2ßi (A2 - a2) + ^y2 (A )-e]- in^ß, (a2 - Af

2 2

При А ^ А1 выражение А - А1 ^ 0, следовательно справедливо сле-

дующее: /3 = О^- (А2 - А12) ) . Далее вычислим /4:

+о

'4 = !

S*

2ds

(A)s2 -(у2(Af )-e-^2ßi(A2 - A2))

'y2

(Af )-е-^

rX

A2 - Af2

X

( (

2ln

V v

fi2 (Ai)-e-^/2ßi (A2 - A2) 2(Af )-e 1 -ln^2ß, (a2 - A2)

2 2

При А ^ А1 выражение А - А1 ^ 0, следовательно справедливо сле-

дующее: '4 = O ^- ln^(a2 - Af2

Учитывая найденные оценки, получаем

lim T2 (((Af), A2 (Af),ßi ) =

Aj^ A

+00 .

Это означает, что для любых целых «1 = «1 > 0, «2 = «2 > 0 и при любых значениях Ь > Ьп, где

( ( ln

= 2л/2 («2 +!)

b2 (0 Wy 2 (0)-

Л

^у2 (0 )-e^V2ß^

ln ^/y20-e-^ßfA2^Y2(0)-

Vy 2 (0)-e^V2ß^

+

-л/2 («2 + i)l^2ßf A2

^Y2 (0 )-e^V2ßjA2 ^Y2 (0 )-e^V2ßjA

системе (24) будет удовлетворять по крайней мере одна пара Y = Y, А1 = А1 (рис. 1), при этом данная пара Y = У, А1 = А1 - решение задачи Р . Заметим, что выражение для ^ получено из оценки (25) при А ^ А1 и, следовательно, при А2 - А12 ^ 0 .□

Рис. 1. Геометрический смысл доказательства теоремы 2. Непрерывная кривая соответствует левой части второго уравнения системы (24). Черная горизонтальная пунктирная прямая соответствует правой части второго уравнения системы (24)

В классической (линейной) теории Штурма - Лиувилля используется понятие характеристической функции [17]. В случае задачи Р аналогичным образом можно ввести характеристическую функцию. Справедливо следующее

Утверждение 2. Пара Y = У, А1 = А1 является решением задачи Р , если и только если эта пара удовлетворяет системе уравнений

| Ф1 (АЪр1 )=М (;% Аь р1 ) = а

[ф2 (, А2, р1 ) = A2V2 (; Y, А2, р1 ) = 0,

где V = Vl(х;Y,А1,Р1), V2 = V2(х;Y,А2,Р1) - решение задачи Коши (11)-(13).

Доказательство. Пусть задача Коши (11)—(13) имеет решение Vl = Vl (х; у, А1, Р1), V2 = V2 (х; 7, А2, Р1), где А2 определяется из формулы (9) при А1 = А1. Если пара Y = Т, А1 = А1 удовлетворяет (26), то, очевидно, пара Y = у, А1 = А1 является решением, а Vl = Vl(х;^А1,Р1), V2 = V2(х;^А2,Р1) -

собственными функциями задачи Р .

_* —*

Пусть пара Y = Y , А1 = А1 - некоторое решение (26). Рассмотрим зада_* —*

чу Коши (11)—(13) при Y = Y , А1 = А1 . Утверждение 1 дает существование

_* —* \ / _* —* \ —*

х;Y ,А1,Р1), V2 = V2(х;Y ,А2,Р1), где А2

определяется из формулы (9) при A* = A* , указанной задачи Коши, его единственность и непрерывную зависимость от точки (x; у, А*, в* )е

. . _* —*

е IX Шх(0, А)хШ + . Если у = у , A* = А* удовлетворяют (26) для указанного

_* —* —

решения задачи Коши, то пара у = у , A* = А* - решение задачи P . Предпо-

_*

ложим противное. Пусть для указанного решения задачи Коши у = у , —*

A* = А* не удовлетворяют (26). Но отсюда следует неединственность реше-

_* —*

ния задачи Коши (ii)-(i3) при у=у , A* = А* ; для одного из них (26) выполняется, а для другого - нет. Данный факт противоречит утверждению *.

А значит, предположение о существовании решения задачи Коши (**)-(*3), _* —*

где у = у , A* = А* , для которого не выполняется (26), неверно. □

Теорема *, утверждение 2 и результаты, полученные в данной работе [*3] дают

Следствие 1. Всякое решение у = у, A* = А* (24) является решением (26) и наоборот; при этом выполняются условия:

ф* (у-5*, А*, в*) (у+8*, 4, в* )< о,

Ф2 (у-62,4, в*)) (у + 6ь A2, в* )< 0, (27)

Ф*((,А -83,в*))(у,4 + 83,в*)<о,

ф2(у,A2 -84,в*))(у,A.2 + 84,в*)<о, (28)

где A2 = A2 (a* ) определяется по формуле (9), а 8*,82,83,84 > 0 - некоторые постоянные.

3. Разрешимость задачи P

Следующее утверждение является следствием «интегральной» теоремы непрерывности [*4].

* *

Утверждение 3. Существует такое в2 > 0, что при 0 < в2 < в2 задача Коши (4)-(7) глобально однозначно разрешима при x е I , а ее (классическое) решение и* (x;у, A*,в*,в2), и2 (x;У, А*,в*,в2) непрерывно зависит от точки

(x;у,А*,в*,в2)е Iх(0, +^)х(0,A)х(0, +^)х(0, . Также при в2 ^+0 функции u* (x;у, А*,в*,в2), U2 (x;у, A*,в*,в2) равномерно при xе I стремятся к функциям A*v* (x; у, А*, в*), A2V2 (x; у, A2, в*) соответственно, где v* (x;у,А*,в*), V2 (x;у,А2,в*) - решение задачи Коши (**)-(*3). Справедливо

Утверждение 4. Пара у = у, А* = А* является решением задачи P, если и только если удовлетворяет системе уравнений

Г Ф1 (у,4,0Ьв2) =«1 (;у,¿1,0Ьв2) = 0, [ф2 (У,¿2,Ръ02 ) = «2 (У, ¿2,01,02 ) = 0,

где «1 = «1 (х; у, ¿1,01,02), «2 = «2 ( У, ¿2, Ръ Р2) - решение задачи Коши (4)-(7).

Доказательство. Пусть задача Коши (4)-(7) имеет решение щ = щ (х; у, АА1,01, 02), «2 = ы2 (х; у, ¿2, 0ь02), где ¿2 определяется из формулы (9) при ¿1 = ¿1. Если пара у = у, ¿1 = А удовлетворяет (29), то, очевидно, пара У = У, ¿1 = ¿1 является решением, а ^ = «1 (х; у, Д, 01,02),

«2 = и2 (х; У, ¿2, Ръ Р2) - собственными функциями задачи Р .

„* У*

Пусть пара у = у , ¿1 = ¿1 - некоторое решение (29). Рассмотрим зада-

у*

чу Коши (4)-(7), где у = у , ¿1 = ¿1 . Утверждение 3 дает существование не-

(Л* Л* \ / Л* Л* \

х; у, ¿1,01,02 ), «2 = «2 (х; у, ¿2,01,02 ), где

A* определяется из формулы (9) при Aj = Aj , указанной задачи Коши, его единственность и непрерывную зависимость от точки (х;у,Aj,ßj,ß2)е Iх(0, +^)х(0,A)x(0, +^)х(0, Если у = у*, Aj = A* удовлетворяют (29) для указанного решения задачи Коши, то пара у = у ,

у*

Aj = Aj - решение задачи P. Пусть для указанного решения задачи Коши

у*

у = у , Aj = Aj не удовлетворяют (29). Но отсюда следует, что существует не-

у*

единственное решение задачи Коши (4)-(9), где у = У , Aj = Aj ; для одного из них (29) выполняется, а для другого - нет. Такой вывод противоречит утверждению 3. А значит, предположение о существовании решения задачи Коши

У*

(4)-(7), где у = У , Aj = Aj , для которого не выполняется (29), неверно. □

Рассмотрим систему уравнений (29). Вычитая из левых и правых частей уравнений (29) левые части уравнений (26) и домножая полученное на —j, имеем следующую систему уравнений:

Г ф! (ßj ) — ф! ( AJ,ßj,ß2 ) = ф (4,ßj) (30)

(ф ( A2,ßj ) —ф2 (y,A2,ßJ,ß2 ) = ф2 (y,ßj ),

где все входящие выражения определены формулами (26) и (29). Доказательство существования решений задачи P основано на изучении системы (30)

при ß2 —^ +0 .

Левые части уравнений (30) зависят от параметров ßj, ß2 в то время как правые части только от ßj . Принимая во внимание существование решений у = у, Aj = Aj задачи P , при переходе через которые характеристическая функция задачи P меняет знак, получаем основной результат настоящей работы.

Теорема 3. Пусть задача Р имеет решение у = у, Ау = Ау . Тогда найдется такое в2 > 0, что для любых 0 < в2 < в2 задача Р имеет решение 7 = 7, Ау = Ау, при этом 7 = 7 содержится в некоторой окрестности 7=7, а Ау = Ау содержится в некоторой окрестности Ау = Ау.

Доказательство. Искомый результат получается из таких рассуждений. Учитывая утверждение 3, получаем, что если в2 ^+0, то

«1 (х;7,Ау,рьр2 ) М (х;7,Ау,в), (31)

«2 (х; У, А2, ву, в2 ) А2У2 (х; у, А2, ву), (32)

«1 (х; у, Ау, вь в2 ) А^у (х; У, 4, в), (33)

«2 (х; у, А2, ву, в2 ) А2у2 (х; у, А2, ву), (34)

равномерно при х е I, где «у (х; у, Ау, ву, в2), «2 (х; У, Ау, ву, в2) - решение задачи Коши (4)-(7), V (х; у, Ау, ву), V2 (х; у, А2, ву) - решение задачи Коши (ПМ^).

Учитывая формулы (3^-(34), ясно, что если в2 ^ +0, то

фу (Аьрьв2 (4^), (35)

ф2 (у,А2,ву,в2 )^Ф2 (У^Д), (36)

равномерно при уе(0, ■+»), Ау е(0, А), где фу (у, Ау, ву, в2) и фу (у, Ау, в)

определены формулами (29) и (26) соответственно.

В силу формул (35), (36) получаем, что для любого 5> 0 найдется такое 5'> 0, что для всех уе(0, Ау е(0, А) левые части формул (30) по абсолютному значению будут меньше 5, как только 0 < в2 <5'.

Нули правых частей формул (35), (36) являются решениями задачи Р . Из следствия у известно, что для всякого у = у найдется содержащий его отрезок такой, что правые части формул в системе (30), отвечающие у = у, Ау = Ау, принимают значения разных знаков на противоположных концах этого отрезка, и для всякого Ау = Ау найдется содержащий его отрезок такой, что правые части формул в системе (30), отвечающие у = у, Ау = Ау, принимают значения разных знаков на противоположных концах этого отрезка. Поскольку левые части можно уменьшать до нужного значения, а правые части не имеют зависимости от в2, непрерывны по у, Ау и меняют знак при

переходе через у = у, Ау = Ау, то при достаточно малых в2 в указанных отрезках найдутся числа у = 7, Ау = Ау, удовлетворяющие системе (30). □

Заключение

В данной работе исследованы задачи распространения гибридных ТЕ-ТЕ-волн в нелинейном плоском закрытом волноводе и распространения

ТЕ-волн в нелинейных плоских закрытых волноводах, коэффициенты нелинейности которых связаны условием (8). Обе задачи сведены к новому типу нелинейных двухпараметрических задач, в которых только постоянные распространения волн являются спектральными параметрами. Для вспомогательной задачи P найдены две системы характеристических уравнений и доказана разрешимость данной задачи. С помощью метода возмущений доказано существование решений основной задачи P в окрестности пар решений задачи P .

Список литературы

1. Eleonskii P. N., Oganesyants L. G., Silin V. P. Cylindrical Nonlinear Waveguides // Soviet Physics JETP. 1972. Vol. 35, № 1. P. 44-47.

2. Boardman A. D., Twardowski T. Transverse-electric and transverse-magnetic waves in nonlinear isotropic waveguides // Physical Review A. 1989. Vol. 39, № 5. P. 24812492.

3. Schurmann H. W., Serov V. S., Shestopalov Yu. V. Solutions to the Helmholtz equation for TE-guided waves in a three-layer structure with Kerr-type nonlinearity // Journal of Physics A: Mathematical and General. 2002. Vol. 35, № 50. P. 10789-10801.

4. Schurmann H. W., Smirnov Y., Shestopalov Y. Propagation of TE waves in cylindrical nonlinear dielectric waveguides // Physical Review E - Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics. 2005. Vol. 71, № 7. P. 016614.

5. Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г. Распространение электромагнитных волн в нелинейных слоистых средах : монография. Пенза : Изд-во ПГУ, 2010. 264 с.

6. Smolkin E. The Azimuthal Symmetric Hybrid Waves in Nonlinear Cylindrical Waveguide // Progress In Electromagnetics Research Symposium Proceedings. 2017. P. 348353.

7. Smirnov Y., Smolkin E. On the existence of non-polarized azimuthal-symmetric electromagnetic waves in circular dielectric waveguide filled with nonlinear isotropic homogeneous medium // Wave Motion. 2018. Vol. 77. P. 77-90.

8. Kurseeva V. Y. Electromagnetic Non-Polarized Symmetric Hybrid Wave Propagation in a Plane Waveguide with Nonlinear Anisotropic Permittivity // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2018. Vol. 39, № 8. P. 1075-1089.

9. Smirnov Y., Smolkin E., Kurseeva V. The new type of non-polarized symmetric electromagnetic waves in planar nonlinear waveguide // Applicable Analysis. 2019. Vol. 98, № 3. P. 483-498.

10. Smirnov Y. G., Valovik D. V. Problem of nonlinear coupled electromagnetic TE-TE wave propagation // Journal of Mathematical Physics. 2013. Vol. 54. P. 083502.

11. Kurseeva V. Yu., Smirnov Yu. G. Problem of Coupled Electromagnetic TE-TE Wave Propagation in a Layer Filled with Nonlinear Medium with Saturation // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2019. Vol. 40, № 10. P. 1673-1684.

12. Валовик Д. В. Распространение электромагнитных волн в открытом плоском диэлектрическом волноводе, заполненном нелинейной средой I: TE-волны // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2019. Т. 59, № 5. С. 838858.

13. Валовик Д. В. Метод возмущений в теории распространения двухчастотных электромагнитных волн в нелинейном волноводе I: TE-TE волны // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2021. Т. 61, № 1. С. 108-123.

14. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М. : Физматгиз, 1961. 312 с.

15. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М. : Моск. гос. ун-т, 1984. 296 с.

Валовик Д. В. Исследование одной нелинейной задачи на собственные значения методом интегрального характеристического уравнения // Дифференциальные уравнения. 2020. Т. 56, № 2. С. П5-Ш.

Марченко В. А. Спектральная теория операторов Штурма - Лиувилля. Киев : На-укова думка, *972. 2*9 с.

References

L Eleonskii P.N., Oganesyants L.G., Silin V.P. Cylindrical Nonlinear Waveguides. Soviet Physics JETP. *972;35(*):44-47.

2. Boardman A.D., Twardowski T. Transverse-electric and transverse-magnetic waves in nonlinear isotropic waveguides. Physical Review А. !989;39(5):248!-2492.

3. Schumann H.W., Serov V.S., Shestopalov Yu.V. Solutions to the Helmholtz equation for TE-guided waves in a three-layer structure with Kerr-type nonlinearity. Journal of Physics A: Mathematical and General. 2002,35(50):m789-m80L

4. Schurmann H.W., Smirnov Y., Shestopalov Y. Propagation of TE waves in cylindrical nonlinear dielectric waveguides. Physical Review E - Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics. 2005;7Ц7):0*66*4.

5. Valovik D.V., Smirnov Yu.G. Rasprostranenie elektromagnitnykh voln v nelineynykh sloistykh sredakh: monografiya = Propagation of electromagnetic waves in nonlinear layered media: monograph. Penza: Izd-vo PenzGU, 20*0:264. (In Russ.)

6. Smolkin E. The Azimuthal Symmetric Hybrid Waves in Nonlinear Cylindrical Waveguide. Progress In Electromagnetics Research Symposium Proceedings. 20*7:348-353.

7. Smirnov Y., Smolkin E. On the existence of non-polarized azimuthal-symmetric electromagnetic waves in circular dielectric waveguide filled with nonlinear isotropic homogeneous medium. Wave Motion. 20*8;77:77-90.

8. Kurseeva V.Y. Electromagnetic Non-Polarized Symmetric Hybrid Wave Propagation in a Plane Waveguide with Nonlinear Anisotropic Permittivity. Lobachevskii Journal of Mathematics. 20i8;39(8):i075-i089.

9. Smirnov Y., Smolkin E., Kurseeva V. The new type of non-polarized symmetric electromagnetic waves in planar nonlinear waveguide. Applicable Analysis. 20*9;98(3):483-498.

Ш. Smirnov Y.G., Valovik D.V. Problem of nonlinear coupled electromagnetic TE-TE wave propagation. Journal of Mathematical Physics. 20*3;54:083502.

П. Kurseeva V.Yu., Smirnov Yu.G. Problem of Coupled Electromagnetic TE-TE Wave Propagation in a Layer Filled with Nonlinear Medium with Saturation. Lobachevskii Journal of Mathematics. 2019;40(10):1673-1684.

*2. Valovik D.V. Propagation of electromagnetic waves in an open plane dielectric waveguide filled with a nonlinear medium I: TE-waves. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki = Journal of computational mathematics and mathematical physics. 20*9;59(5):838-858. (In Russ.)

*3. Valovik D.V. Perturbation method in the theory of propagation of two-frequency electromagnetic waves in a nonlinear waveguide I: TE-TE waves. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki = Journal of computational mathematics and mathematical physics. 202*;6Щ):т8-Ш. (In Russ.)

*4. Pontryagin L.S. Obyknovennye differentsial'nye uravneniya = Ordinary differential equations. Moscow: Fizmatgiz, *96*:3*2. (In Russ.)

*5. Petrovskiy I.G. Lektsii po teorii obyknovennykh differentsial'nykh uravneniy = Lectures on the theory of ordinary differential equations. Moscow: Mosk. gos. un-t, *984:296. (In Russ.)

*6. Valovik D.V. Researching eigenvalue problem by the method of integral characteristic equation. Differentsial'nye uravneniya = Differential equations. 2020;56(2):*75-*89. (In Russ.)

*7. Marchenko V.A. Spektral'naya teoriya operatorov Shturma - Liuvillya = Spectral theory of Sturm -Liouville operators. Kiev: Naukova dumka, !972:2!9.

Информация об авторах / Information about the authors

Валерия Юрьевна Мартынова старший преподаватель кафедры математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: lynxbax@mail.ru

Valeriya Yu. Martynova Senior lecturer of the sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов / The authors declare no conflicts of interests.

Поступила в редакцию / Received 20.09.2021

Поступила после рецензирования и доработки / Revised 15.10.2021 Принята к публикации / Accepted 05.11.2021