CC BY
6
УДК 517.927.4, 517.58, 519.62 DOI 10.21685/2072-3040-2019-4-6
М. А. Москалева
О ЧИСЛЕННОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ, ВОЗНИКАЮЩИХ В ТЕОРИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТМ-ВОЛН В ПЛОСКИХ ВОЛНОВОДАХ, ЗАПОЛНЕННЫХ НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДОЙ1
Аннотация.
Актуальность и цели. Рассматриваются нелинейные задачи на собственные значения, возникающие в теории распространения ТМ-волн в плоских волноводах. Основная цель настоящего исследования - обосновать численный метод нахождения приближенных собственных значений и собственных функций.
Материалы и методы. Использованы классические и современные методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Результаты. Доказана глобальная однозначная разрешимость задач Коши, отвечающих исследуемым задачам. Указанный результат позволяет обосновать метод пристрелки по спектральному параметру для вычисления собственных значений.
Выводы. Численный метод, обоснованный в данной работе, является эффективным способом приближенного вычисления собственных значений.
Ключевые слова: уравнения Максвелла, плоский волновод, нелинейная задача на собственные значения, нелинейное дифференциальное уравнение, метод пристрелки, нелинейная диэлектрическая проницаемость.
M. A. Moskaleva
ON A NUMERICAL METHOD FOR SOLVING NONLINEAR EIGENVALUE PROBLEMS IN THE THEORY OF TM-WAVES PROPAGATION IN PLANE
WAVEGUIDES FILLED WITH A NONLINEAR MEDIUM
Abstract.
Background. The paper is devoted to nonlinear eigenvalue problems for nonlinear ordinary differential equations. These problems arise in the theory of propagation of TM waves in plane waveguides. The main goal is to justify a numerical method to calculate approximated eigenvalues and eigenfunctions.
Materials and methods. Classical and modern methods of ordinary differential equations are used.
Results. The global unique solvability of Cauchy problems corresponding to the studied problems is proved. This result allows one to justify a numerical method based on shooting by the spectral parameter.
Conclusions. This numerical method is an effective tool for computation approximated eigenvalues.
1 Работа поддержана РНФ (грант №18-71-10015).
© Москалева М. А., 2019. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.
Keywords: Maxwell's equations, plane waveguides, nonlinear eigenvalue problem, nonlinear differential equation, shooting method, nonlinear permittivity.
Введение
В данной работе обоснован широко известный метод пристрелки по спектральному параметру. Ясно, что ключевым аспектом применения метода пристрелки является глобальная однозначная разрешимость вспомогательной задачи Коши для соответствующей системы дифференциальных уравнений. Одним из результатов настоящей статьи является доказательство существования глобального решения упомянутой задачи Коши.
1. Постановка задачи
Рассмотрим две задачи о распространении TM-волны (E,H )e_ifflt, где
E = (,0,ez )T • eiYz, H = (0,hy ,0)T • eiYz, (1)
компоненты полей (1) имеют вид
ex = ex (x;y) ez = ez (x;y) , hy = hy (x;Y), (2)
где ю - круговая частота; Y - неизвестный вещественный параметр (постоянная распространения) в слое X = {(x,y,z)el3: 0 <x <h, (y,z)eR2}, расположенном в декартовой системе координат Oxyz :
I. Слой X имеет идеально проводящие стенки:
00 ={(x, y, z )е Ж3: x = 0, (y, z ) Ж2}
и
Oh ={(x,y,z)e Ж3 : x = h, (y,z)e Ж2}.
II. Слой X расположен между двумя полупространствами:
Ж- ={(x, y, z )е Ж3: x < 0, (y, z )e Ж2}
и
Ж+ ={(x,y,z)e Ж3 : x >h, (y,z)e Ж2},
заполненными однородными изотропными немагнитными средами, диэлектрические проницаемости которых обозначаются ёs и ёс соответственно. Предполагается, что параметры ё s и ёс вещественны и удовлетворяют условию 0 <ё с <ё s .
Диэлектрическая проницаемость слоя X имеет вид
ё = ё/ +af (| E|2), (3)
где а и ёI - вещественные и положительные постоянные, а / - некоторая непрерывная монотонно возрастающая функция такая, что / (0) = 0 . Предполагается, что всюду ц = Цо , где Цо > 0 - магнитная проницаемость вакуума. Поля (1)-(2) удовлетворяют уравнениям Максвелла
а также некоторым дополнительным условиям, различным для задач I и II.
В случае задачи I касательные компоненты электрического поля обращаются в нуль на стенках Со и Сп волновода X; при этом предполагается,
что значение ех | х=о+о = А ^ 0 является фиксированным (без потери общности А > 0) [1].
В случае задачи II касательные компоненты электромагнитного поля непрерывны на границах х = 0 , х = Н , кроме того, электромагнитное поле экспоненциально затухает при |х| ^^ ; при этом предполагается, что значение
ех | х=0-0 = А ^ 0 является фиксированным (без потери общности А > 0) [2].
Кроме того, в случае задачи II мы считаем, что выполняется неравенство
В сформулированных задачах искомыми являются значения параметра у, которые отвечают распространяющимся в волноводе X волнам (1)-(2). Отметим, что зависимость диэлектрической проницаемости от модуля поля и выбор компонент поля в виде (2) естественно приводят к требованию о вещественности у.
Условие (5) означает, что в линейном случае среда в слое является оптически более плотной по сравнению со средами, заполняющими полупространства. Такое условие необходимо для существования распространяющихся волн вида (1)-(2) в слое X при а = 0 (см. п. 3).
Зависимость от модуля поля в формуле (3) отвечает эффектам самовоздействия в нелинейной оптике [3-5]. Функция / наделена свойствами, которые позволяют применять предложенный ниже вычислительный метод для широкого круга нелинейностей, отвечающих средам с центром инверсии [3, 4, 6]. Свойствам, наложенным на функцию / , в частности, удовлетворяют полиномы по четным степеням с положительными коэффициентами, степенная функция с произвольным положительным показателем степени, логарифмическая нелинейность, различные типы ограниченных нелинейностей [3-10]. Дальнейшие комментарии по поводу постановок задач см. в п. 1 работы [11].
Несмотря на то, что при изучении распространения ТМ-волн полная строгость достигается при использовании тензорной (анизотропной) диэлектрической проницаемости, см., например, [12], здесь рассматривается скалярная диэлектрическая проницаемость. Это объясняется тем, что во многих прикладных задачах такого подхода достаточно [13]. В связи с обсуждением тензорной диэлектрической проницаемости упомянем работы [14, 15].
rot H = -/weE, rot E = iw^H,
(4)
0 <ё С <ё 5 <ё l .
(5)
Подставив поля (1)-(2) в систему (3) и обозначив ( ) = ёх, получаем
11ех (х)- 4 (х) = /юцйу (х), ¿1йу (у ) = (х), V (у ) = -Ю£е2 (х). Отсюда после простейших преобразований находим у(х (х))' - < (х) = ю2ц£е2 (х),
<
У (х (х)) - У< (х) = ю2це(( (х))
и hy (x)="Ygex (x)•
Обозначив и (х ):= ¡вх (х), V (х):= в2 (х), из найденного получаем
Г-у'' + уи' =ev, [-V' + уи = у-1еи,
где £ :=ю2це, а :=ю2да, еу :=ю2цеу и у е{5,1, с}. В слое X система (6) имеет вид
(6)
-v" + ju' = (el + af (u2 + v2)) v, -v + yu =y-1 (el +af (u2 + v2)) u,
(7)
где и = и(х;у), V = V(х;у), хе[0,й]; при этом у - (вещественный) спектральный параметр, а>0 - постоянная, а /е С[0, +^)ПС1 (0, - монотонно возрастающая функция и /(0) = 0 . Кроме того, если / - ограниченная функция, то дополнительно предполагаем, что sf'(я) ограничена при 5е [0, .
Известно, что касательные компоненты электрического поля обращаются в нуль на идеально проводящих стенках [16]. Отсюда следуют условия
V (0 ) = 0, V (й ) = 0. (8)
Дополнительное условие в задаче I имеет вид
и(0) = и0 > 0, (9)
где ид - некоторая постоянная, определенная в п. 3. Предполагаем, что
и(х)е С1 [0,й], V(х)е С2 [0,й]. (10)
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион Также предполагается, что
у > 0. (11)
Перейдем к рассмотрению задачи II. В полупространствах х < 0 и х > Н система (6) является линейной; ее решения с учетом условий на бесконечности имеют вид
, , jAe"-', x < 0, "w=к-«-) x > h, ф)=
Aks Y~lek5x, x < 0, -Bkc Y~le~k°(x-h), x »
где :=д/у2 - еЛ. > 0, кс :=>/у2 -ес >0 и е5 > ес .
Касательные компоненты электромагнитного поля непрерывны на границе раздела сред [16, 17]. Из непрерывности компонент Ну и ег следуют
условия сопряжения:
[ей ]| х=о = 0, [еи ]| х=Н = ^ [V] х=о = ^ [V] х=Н = 0,
где
[Р]|x=x0 = limx^x0-0 p(x) +limx^x0 +0 p(x) .
Используя найденные для полупространств х < 0 и х > Н решения и условия сопряжения, получаем краевые условия
е*А = (е/ + а/(( + V2))-Уескс"Ч =(е/ + а/(н + Vi))"н , (12)
где "н := и (Н - 0), ^ := к3у 1А, Vн :=-ксу 15 - предельные значения функций и и V на границах слоя, а величина
и (0 - 0) = А > 0 (13)
является фиксированной (известной). Заметим, что постоянная А в (13) совпадает с одноименной постоянной в формулах для решений в полупространстве х < 0. Функции и(х), V(х) удовлетворяют условиям гладкости (10). Из условий к3, кс > 0 и е5 > ес следует, что
у>л/е;. (14)
Из (7), (8) видно, что если (и,V,у) - решение изучаемой задачи для
А > 0, то (и,-V,-у) и (-и,V,-у) - также ее решения для А > 0 и А < 0соот-
ветственно. Отсюда следует, что достаточно изучить случай А > 0 и у> 0
в случае задачи I и у > ^/е^ - в случае задачи II.
Итак, задачи о распространении волн с условиями I и II сведены к нелинейным задачам на собственные значения (7)-(11) и (7), (10), (12)-(14). Введем следующие определения.
Определение 1. Число у = у > 0 такое, что при фиксированном значении и(0) = "о Ф 0 (без потери "о > 0) существуют функции и = и(х;у),
V = V (х; у), которые удовлетворяют системе уравнений (7) и условиям (8)-(10), будем называть собственным значением задачи (7)-(11), а функции и (х; у), V (х; у), соответствующие собственному значению у, - собственными функциями задачи (7)-(11).
Определение 2. Число у = у > такое, что при фиксированном значении и (0 - 0 0 (без потери и (0 - 0 )> 0) существуют функции и = и (х; у),
V = V (х; у), которые удовлетворяют системе уравнений (7) и условиям (10), (12)-(13), будем называть собственным значением задачи (7), (10), (12)-(14), а функции и (х; у), V (х; у), соответствующие собственному значению у, -собственными функциями задачи (7), (10), (12)-(14).
Задачи (7)-(11) и (7), (10), (12)-(14) назовем задачами Ql и соответственно. Собственные значения каждой из задач обозначим у и уг-; во
втором случае считается, что собственные значения упорядочены по возрастанию. Мы не будем снабжать обозначения дополнительными индексами, так как в каждом случае ясно, о собственных значениях какой задачи идет речь.
Замечание 1. Определения 1, 2 являются неклассическими аналогами известного определения характеристического числа линейной оператор-функции, нелинейно зависящей от спектрального параметра [18].
2. Линейные задачи
Линейные задачи (при а = 0), отвечающие задачам Ql и , обозначим О и соответственно. Собственные значения каждой из задач обозначим у и У(; во втором случае считается, что собственные значения упорядочены по возрастанию. Как и выше, не будем снабжать обозначения дополнительными индексами, так как в каждом случае ясно, о собственных значениях какой задачи идет речь.
Задачи и являются классическими в электродинамике и хорошо изучены [19, 20].
Справедливы следующие утверждения.
Утверждение 1. Существует постоянная Ь > 0 такая, что для любого Ь > Ь) задача 0 имеет конечное число (не менее одного) положительных однократных собственных значений уг- е(0, ^ё^).
Собственные значения у = у задачи 0 вычисляются явно и имеют вид
(15)
для всех таких положительных индексов n, для которых подкоренное выражение остается положительным.
Утверждение 2. Существует постоянная Hq > 0 такая, что для любого
h > Hq задача Q0 имеет конечное число (не менее одного) положительных Physical and mathematical sciences. Mathematics 65
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион однократных собственных значений е ((ej, ). Если es = ec, то h = 0.
Собственные значения у = у задачи Q2 являются (однократными) корнями дисперсионного уравнения
, , elkl (erks +e skc) tan(klh)= 7 A 2 ' 2 ' (16)
eseckl ~elkskc
где kl =y¡e¡ -y2 >0 [16, 19, 20].
Замечание 2. Если е/ < е5 , то задача не имеет решений. 3. Основные результаты
Для сокращения записи обозначим / = /(и2 + V2), /' = /¡()|
2 2 s=u 2 + V2
Приведем систему (7) к нормальной форме. Дифференцируя по х второе уравнение системы (7), получаем
-V * + уи' = ау-1 (2ии + 2vv ')и/' + у-1 (е/ + а/ )и'.
Используя полученное соотношение, систему (7) перепишем в виде
у2(е/ +а/) + 2а(е/ -у2 +а/)и2/
и' =-/--\—-у,
у(е/ +ау + 2аи 2 у') (17)
V = -^(е/ -у2 +а/)и.
Из системы (17) получаем уравнение Мёи + = 0, где М = (е/ - у2 + а/)( + а/ + 2аи2/')и ,
N = (у2 (е/ + а/) + 2а(ё/ - у2 + а/)и2/)V .
Поскольку дМ / Эv = ЭЫ / ди , то найденное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Его решение имеет вид
( +а/)2и2 -2у2 (е/ +а/)и2 +е/у2 (и2 + V2) + ау2^ = С, (18)
2 2
F = f(u2 + V2 ) = J0 +V /(s)ds ; С
где F = F u + v = I / Is)ds ; С - постоянная.
В случае задачи 21 значение "о , указанное в (8), вычисляется следующим образом. Пусть С = А , где А > 0 - фиксированная (известная) постоянная. Подставив V(0) = 0 и С = А в (18), получаем уравнение
c(Uq2 ) = A , (19)
где левая часть определена левой частью формулы (18) при v = 0 и u = Uq .
Решения уравнения (19), однако, могут существовать не для всех у > 0 . Обозначим через ymax > 0 такое наименьшее положительное значение у, что решение uq уравнения (19) не существует. Если Uq существует для любого у> 0, то ymax = +°°. Относительно уравнения (19) в работе [1] доказан следующий результат.
Утверждение 3. Для любого уе (0, ymax) и для любой постоянной величины A > 0 существует единственное положительное число u0 такое, что Uq удовлетворяет (19); при этом ymax = +°°, если f неограничена, и Ymax
+ ^max , где fmax = limf (s ^ если f ограничена. В случае задачи Q получаем (вспомогательную) задачу Коши для системы (17) с начальными данными u(0) = uq, v(0) = vq. Таким образом, изучение задачи Q естественно начать с изучения указанной задачи Коши. В работе [1] доказано следующее утверждение.
Утверждение 4. Задача Коши для системы (7) и начальных условий u (0)= Uq, v (0) = 0 глобально однозначно разрешима; при этом ее классическое решение u = u(x;у), v = v(x;у) непрерывно зависит от (x,у)е[0,h]x х(0, ymax) ,где величина ymax определена в утверждении 3. Из условий (8) и (9) следуют условия
U (0)= Uq, v (0 )= vq, (20)
где Uq является решением первого уравнения (12), а vq = ksу-1 A и A - известная постоянная. Условия (20) составляют начальные данные задачи Коши для системы уравнений (17). Так как постоянная A предполагается известной, то Uq определяется из первого уравнения (12). При условиях, наложенных на функцию f и параметры, указанное уравнение имеет единственное
решение uq . Это решение удовлетворяет неравенству 0 < Uq < е- 1esA < A . Начнем изучение задачи Q2 с изучения вопроса о глобальной однозначной разрешимости указанной задачи Коши. Подставляя x = 0 в (18), находим
С = (е1 + afo )2 uo - 2Y2 ( + afo )UQ2 + е/у2 (UQ2 + VQ2 ) + ay2Fq , (21)
где f0:= f (uo + vo), Fo:= F(uo + vo). Ниже понадобится следующее
Утверждение 5. Определенная формулой (18) величина C = C (у) является положительной при уе ((еs, исправедлива формула
с(т) = Р1У2 +Р2 >0, (22)
где Р1 =(е/-е5)( + а2 ) ("о - А)2 + а^СЬ Р2 = -е* (е/-е* )а2. Доказательство. Формулу (21) можно привести к виду
С = "о (е/ - У2 + а/о )2 - у2 (( - у2 ) + е^) + ау2^, 2
отсюда очевидно, что С > 0 при у <е/. Принимая во внимание первое уравнение (12) и то, что V) = к3у 1А, выражение (21) можно записать следующим образом:
С = е/ (у2 -е/ )("о - А)2 + 2(у2 -е/ )(е/ -е5 )"оА +
+е5е/ ("о - А)2 +(е/ - ^) ( +(е/ -е5) а2 ) + аУ2^о.
Отсюда ясно, что С > 0 при у2 >е/. Формула (22) элементарно следует из полученного представления для С . ■
Используя (18), (21) и утверждение 5, покажем, что задача Коши (7), (20) имеет единственное непрерывное решение и = и (х; у), V = V (х; у), определенное при хе [0,Н] .
Введем новые переменные:
т = и 2 +1
v2, n = (ei +af (и 2 +v2))).
(23)
/ # (т)
В переменных (23) имеем / = /(т) и / =-.
й т
Учитывая непрерывность еи и V и используя условия (12), находим
п(0 )=^ > о и п(Н ) = -^ < 0.
кя кс
Система (17) в переменных (23) имеет вид
2 тп(е/ +а/ )2 (2у2-(е/ +а/))
(24)
т =-
Y 2атп2f + (ei +af)(п2 + ( +af)
П
Y2 (i +af )2 +(ei +af-y2 )
(25)
П
у(е/ +а/)
Интеграл (18) примет вид
(е/ +а/ )2 (ау2 ^ + е/ у 2т- С)
п2 =■
(i +af )(2 -( +af ))т-(2F + eiy2т- C
(26)
где постоянная С определена формулой (21), / = /(т), Е = Е(т).
Формула (26) неявно определяет функцию т = т(п;у). Отсюда следует, что второе уравнение системы (25) можно переписать в виде п ' = ^ (п; у), где
у2 (е, + а/ )2 + (е, + а/ -у2))
^ (п; у)=-, У ^-—. (27)
у(е/ +а/)
Функция w(п;у) > 0 для всех . Предположим, что w в какой-то
точке обращается в нуль. Из равенства w = 0 находим
п2 = -у2 (е, +а/)2
е/ +af-у2
Подставляя это выражение в (26), получаем у2т(е, + а/)( +а/ - 2у2) = ((Е + е,у2т - С)(е, +а/ - 2у2).
Легко видеть, что е, + а/ - 2У2 ^ 0 . Действительно, пусть е, + а/ = 2У2,
2 4
тогда п = -4У < 0 . Найденное противоречие показывает, что верно перво-
2
начальное заключение. Поделив полученное равенство на е, +а/ - 2у , находим
т
С = ау2 (Е-т/) = -ау21).
0
Поскольку / монотонно возрастает, то / > 0 и, значит, С < 0 . Но из утверждения 5 известно, что С > 0 для всех у > д/е^ . Это противоречие показывает, что w (п; у)> 0 для у>^/ё^ .
Итак, п' = w(п;у) > 0. Следовательно, функция п(х) монотонно возрастает. Как видно из (23), функция п непрерывна, если и только если V не обращается в нуль. Пусть V(х) имеет п > 0 нулей х},...,хп е(0,к), тогда п(х) имеет п точек разрыва Х},..., хп. Ясно, что если и = 0 и V ,= 0, то и (ху 0 для всех г = 1, п . Действительно, пусть функции и , V, являющиеся
непостоянным решением системы уравнений (17), обращаются в нуль в одной и той же точке. Тогда из классических результатов о локальном существовании и единственности решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений следует, что и = 0 и V = 0 . Отсюда следует, что все точки разрыва являются точками разрыва второго рода. Из монотонного возрастания п(х) и формул (24) следует, что
п(ху - 0) = , п(ху + 0) = , где г = 1,п . (28)
Интегрируя уравнение n' =w (п; Y) на каждом из (полу) интервалов [0, xi), (xj, Х2),..., (xn, h] и используя условия (28), получаем
Утверждение 6. Задача Коши (7), (20) глобально однозначно разрешима. При этом ее (классическое) решение u = u (x; у), v = v (x; у) непрерывно
зависит от точки (x,y)e[ü,h]x((S, при n = 0 и непрерывно зависит от
точки (x, у)е[0, h]x(ü, ymax) при n > 1, где ymax = +°°, если f неограниче-
на, и ymax = + а limsf (s) - если f ограничена.
Доказательство. Пусть функции f (s) и sf'(s) являются ограниченными приsе [ü, . В этом случае известно, что задача Коши (7), (20) имеет единственное непрерывное решение u = u(x;у), v = v(x;у), определенное при xе [0,h] [21].
Пусть функция f неограничена. Воспользуемся следующей процедурой. Предположим, что v(x) имеет n > 0 нулей xi,...,xn е(0,h), тогда n(x) имеет n точек разрыва xi,...,xn . Все точки разрыва являются точками разрыва второго рода. Интегрируя уравнение n' = w (т); у) на каждом из интервалов [0,xi),(xi,x2),...,(xn,h], получаем
n(i-o)
- J
)
J
n(x +0)
n(x)
J
w
(s; Y)
= x + Co, 0 < x < xj;
ds
w (s; y)
ds
• = x + C;
Xj < x < xi+i, i = 1, n -1;
(29)
(s; y)
■ = x + C„
xn < x < h.
Л(х„+0)
Подставим х = 0 , х = х^+1 - 0, х = Н в первую, вторую и третью соответственно строки (29), находим
п(х -0) г
с0 =- ]
п(0) n(x+i-0)
C = J
n(x+0) n(h)
Cn = J
+0)
w
(s; yY
w (s; y)
4+1
i = 1, n -1;
w
(s; y)
С учетом найденных Су формулы (29) принимают вид
п(х1-0) ,
n(xi-0)
J
n(x) n(x)
J
n(x +0) n(x)
J
w
(s; Y)
= -x +
w
(s; y^
0 < x < xj;
w
n(0)
n(x+i-0) r as
= x + J —(-T
. J . w(s;y) n(x+0)
n(h)
as as -= x + I--
,w(s;y) , J Nw(s;y)
n(x„+0) v ,l> n(x„+0) v ,l>
(s; y)
— x,+1, xi < x < x,+1, i — 1, n — 1;
xn < x < h.
0 = x,-
Подставим х = х1 -0, х = ху + 0, х = хп + 0 в первую, вторую и третью соответственно строки предыдущей формулы, получаем
п(х1-0) , г С*
0 = -х1 + I —-7'
, ^ w(5;у) п(0) 1 '''
п(х+1-0) ^ _
- I —;-г - ху+1, г = 1, п -1; (30)
. : . w(5;у)
п(х+0) к
п(к)
0 = хп - | —--- - к.
, , w(5;у) п(хп +к) 1 Х>
Отсюда, принимая во внимание первую формулу (24) и формулы (28), находим
0 < x1 = J
n(0)
w
(s; yY
0 < xi+i - xi = J / v - =In -1;
w (s; y)
(31)
n(h)
0 < h - xn = J
w
(s; y)
Полученные формулы есть явные выражения для расстояний между нулями функции V . Отсюда легко получить явную формулу для г -го нуля х^ функции V. Сходимость всех рассматриваемых несобственных интегралов также следует из формул (31).
Далее, складывая все соотношения (31), получаем соотношение
x1 + x2 - x1 + x3 - x2 + ... + xn-1 - xn-2 + xn - xn-1 + h - xn
п(Н)
= г йи , ^ г йи г йи
=П(0) ™ ( у)+ " -I ™?)+ 1 ™^ ^
которое есть (29). ■
Проведенные построения позволяют утверждать, что задача Коши (7), (20) глобально однозначно разрешима прихе [0,Н] . Ее решение и = и(х;у),
V = V(х;у) непрерывно зависит от точки (х,у)е[0,Н]х((е^, . Этот результат о непрерывной зависимости решения от параметра следует из непрерывности правых частей системы уравнений (17) и условий (20) по переменным х, и, V и параметру у.
Введем обозначения
А1 (У) := V(Н;У)
и
А2 (У):=(е, + а/ (и 2 (Н; у) + V2 (Н; у))) и (Н; у) + уе ск-\(Н; у),
где и (Н; у) и V (Н; у) - решение соответствующей задачи Коши, вычисленное в точке х = Н .
Справедливы следующие теоремы.
Теорема 1. Число уе(0,утах), где величина утах определена в утверждении 3, является собственным значением задачи Ql, если и только если у = у удовлетворяет уравнению Д1 (у) = 0 .
Доказательство. Пусть V = V (х; у) - решение задачи Коши для системы (7) и начальных условий и (0 ) = ио , V (0 ) = 0. Если у = у удовлетворяет уравнению Д1 (у) = 0, то, очевидно, у является собственным значением, а
V (х; у) - собственной функцией задачи Ql.
Пусть у = у* е (0, утах) - некоторое решение уравнения Д1 (у) = 0 . Рассмотрим задачу Коши для системы (7) и начальных условий и(0) = ио,
V (0 ) = 0, где у = у * . В силу утверждения 4 нетривиальное решение
V = V(х;у*) указанной задачи существует, единственно и непрерывно зависит от точки (х,у)е[0,Н]х(0,утах). Если уравнение Д1 (у) = 0 выполняется при у = у * для указанного решения задачи Коши, то у = у* является собственным значением задачи Ql. Предположим, что для указанного решения задачи Коши уравнение Д1 (у) = 0 не выполняется при у = у*. Но отсюда следует, что существует неединственное решение задачи Коши для системы (7) и начальных условий и(0)= ио, V(0) = 0, где у = у*; для одного из них уравнение Д1 (у) = 0 выполняется, а для другого - нет. Такой вывод противоречит утверждению 4.
Теорема 2. Число у е((е*, утах), где величина утах определена в утверждении 6, является собственным значением задачи ^2 , если и только если у = у удовлетворяет уравнению Л2 (у) = 0 .
Доказательство этой теоремы является почти дословным повторением доказательства теоремы 1.
Имеют место следующие утверждения.
Утверждение 7. Предположим, что найдется отрезок [ у, у^ с (0, утах), для которого Л1 (у)Л1 (у) < 0 . Тогда существует не менее одного собственного значения уе (у,у) задачи Ql.
Доказательство. Решение задачи Коши (17), (20) является непрерывной функцией параметра у. Этот факт следует из утверждения 4. Тогда получаем, что функция Л1 непрерывно зависит от параметра у. Так как Л1 (у)Л1 (у) < 0, то, по теореме Больцано - Коши, найдется не менее одного
значения уе (у,у) такого, что Л1 (у) = 0 . Теорема 1 показывает, что это значение у есть собственное значение задачи Ql. ■
Утверждение 8. Предположим, что найдется отрезок [у,у] с ((*,утах), для которого Л2 (у)Л2 (у) < 0. Тогда существует не менее одного собственного значения уе (у,у) задачи Q2 .
Доказательство этого утверждения является почти дословным повторением доказательства утверждения 7.
Вычисляя любым численным методом нули функции Л1 (у) и Л2 (у), найдем собственные значения задач Ql и Q2 соответственно.
Заключение
В статье обоснован численный метод нахождения приближенных собственных значений для некоторого класса задач на собственные значения для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Такие задачи возникают в теории распространения электромагнитных ТМ-волн в плоских закрытых и открытых волноведущих структурах, заполненных нелинейной средой. Собственные значения в таких задачах отвечают постоянным распространения собственных мод рассматриваемого волновода. Для вычисления приближенных собственных значений используется метод пристрелки по спектральному параметру. После вычисления приближенных собственных значений отвечающие им собственные функции могут быть вычислены как решение соответствующей задачи Коши с заданным значением спектрального параметра.
Результаты настоящей работы, вместе с результатами работы [22], позволят обосновать численные методы нахождения приближенных векторных собственных значений в задачах о распространении многочастотных собственных волн в плоских диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой [23].
Библиографический список
1. Tikhov, S. V. Maxwell's equations with arbitrary self-action nonlinearity in a waveguiding theory: Guided modes and asymptotic of eigenvalues / S. V. Tikhov, D. V. Valovik // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 2019. -Vol. 479. - P. 1138-1157.
2. Smirnov, Yu. G. On the infinitely many nonperturbative solutions in a transmission eigenvalue problem for Maxwell's equations with cubic nonlinearity / Yu. G. Smirnov, D. V. Valovik // Journal of Mathematical Physics. - 2016. - Vol. 57 (10). - P. 1035041-103504-15.
3. Ландау, Л. Д. Электродинамика сплошных сред / Л. Д. Ландау, Е. М. Лившиц. -Москва : Наука, 1985. - 293 с.
4. Шен, И. Р. Принципы нелинейной оптики / И. Р. Шен. - Москва : Наука, 1989. -557 с.
5. Ахмедиев, Н. Н. Солитоны / Н. Н. Ахмедиев, А. Анкевич. - Москва : Физмат-лит, 2003. - 304 с.
6. Маныкин, Э. А. Взаимодействие излучения с веществом. Феноменология нелинейной оптики / Э. А. Маныкин. - Москва : МИФИ, 1996. - 92 с.
7. Boardman, A. D. Third-Order Nonlinear Electromagnetic TE and TM Guided Waves / A. D. Boardman, P. Egan, F. Lederer, U. Langbein, D. Mihalache. - North-Holland ; Amsterdam ; London ; New York ; Tokyo, 1991.
8. Михалаке, Д. p -поляризованные нелинейные поверхностные и связанные волны в слоистых структурах / Д. Михалаке, В. К. Федянин // Теоретическая и математическая физика. - 1983. - № 54 (3). - С. 443-455.
9. Smirnov, Yu. G. Guided electromagnetic waves propagating in a plane dielectric waveguide with nonlinear permittivity / Yu. G. Smirnov and D. V. Valovik // Physical Review A. - 2015. - Vol. 91 (1). - P. 013840-1-013840-6.
10. Al-Bader, S. J. Nonlinear waves in saturable self-focusing thin films bounded by linear media / S. J. Al-Bader and H. A. Jamid // IEEE Journal of Quantum Electronics. - 1988. - Vol. 24(10). - P. 2052-2058.
11. Валовик, Д. В. Распространение электромагнитных волн в открытом плоском диэлектрическом волноводе, заполненном нелинейной средой I: ТЕ-волны / Д. В. Валовик // Журнал вычислительной математики и математической физики. -2019. - Т. 59, № 5, С. 838-858.
12. Валовик, Д. В. Задача о распространении электромагнитных ТМ-волн в слое с произвольной нелинейностью / Д. В. Валовик // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2011. - Т. 51, № 9. С. 1622-1632.
13. Eleonskii, P. N. Cylindrical nonlinear waveguides / P. N. Eleonskii, L. G. Oganes'yants, and V. P. Silin // Soviet Physics JETP. - 1972. - Vol. 35(1). -P. 44-47.
14. Валовик, Д. В. Асимптотический анализ нелинейной задачи на собственные значения, возникающей в теории волноводов / Д. В. Валовик, С. В. Тихов // Дифференциальные уравнения. - 2019. - Т. 55, № 12. С. 1610-1624.
15. Yuskaeva, K. A. On the theory of TM-electromagnetic guided waves in a nonlinear planar slab structure : PhD thesis D - 49076 / K. A. Yuskaeva. - Osnabruck, Germany : Universitat Osnabruck Fachbereich Physik BarbarastraBe 7, 2012.
16. Вайнштейн, Л. А. Электромагнитные волны / Л. А. Вайнштейн. - Москва : Радио и связь, 1988. - 440 с.
17. Адамс, М. Введение в теорию оптических волноводов / М. Адамс. - Москва : Мир, 1984. - 512 с.
18. Гохберг, И. Ц. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов / И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн. - Москва : Наука, 1965. - 449 с.
19. Гончаренко, А. М. Основы теории оптических волноводов / А. М. Гончарен-ко, В. А. Карпенко. - Минск : Наука и техника, 1983. - 296 с.
20. Взятышев, В. Ф. Диэлектрические волноводы / В. Ф. Взятышев. - Москва : Советское радио, 1970. - 216 с.
21. Бибиков, Ю. Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю. Н. Бибиков. - Москва : Высшая школа, 1991. - 303 с.
22. Москалева, М. А. Об обосновании численного метода решения некоторых нелинейных задач на собственные значения теории волноводов / М. А. Москалева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2018. - № 4 (48). - С. 39-49.
23. Valovik, D. V. Nonlinear multi-frequency electromagnetic wave propagation phenomena / D. V. Valovik // Journal of Optics. - 2017. - Vol. 19 (11). - P. 115502-1115502-16.
References
1. Tikhov S. V., Valovik D. V. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2019, vol. 479, pp. 1138-1157.
2. Smirnov Yu. G., Valovik D. V. Journal of Mathematical Physics. 2016, vol. 57 (10), pp. 103504-1-103504-15.
3. Landau L. D., Livshits E. M. Elektrodinamika sploshnykh sred [Electrodynamics of continuous system]. Moscow: Nauka, 1985, 293 p. [In Russian]
4. Shen I. R. Printsipy nelineynoy optiki [Principles of nonlinear optics]. Moscow: Nauka, 1989, 557 p. [In Russian]
5. Akhmediev N. N., Ankevich A. Solitony [Solitons]. Moscow: Fizmat-lit, 2003, 304 p. [In Russian]
6. Manykin E. A. Vzaimodeystvie izlucheniya s veshchestvom. Fenomenologiya ne-lineynoy optiki [The interaction of radiation with substances. Phenomenology of nonlinear optics]. Moscow: MIFI, 1996, 92 p. [In Russian]
7. Boardman A. D., Egan P., Lederer F., Langbein U., Mihalache D. Third-Order Nonlinear Electromagnetic TE and TM Guided Waves. North-Holland; Amsterdam; London; New York; Tokyo, 1991.
8. Mikhalake D., Fedyanin V. K. Teoreticheskaya i matematicheskaya fizika [Theoretical and mathematical physics]. 1983, no. 54 (3), pp. 443-455. [In Russian]
9. Smirnov Yu. G., Valovik D. V. Physical Review A. 2015, vol. 91 (1), pp. 013840-1013840-6.
10. Al-Bader S. J., Jamid H. A. IEEE Journal of Quantum Electronics. 1988, vol. 24(10), pp. 2052-2058.
11. Valovik D. V. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Journal of calculus mathematics and mathematical physics]. 2019, vol. 59, no. 5, pp. 838-858. [In Russian]
12. Valovik D. V. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Journal of calculus mathematics and mathematical physics]. 2011, vol. 51, no. 9, pp. 1622-1632. [In Russian]
13. Eleonskii P. N., Oganes'yants L. G., Silin V. P. Soviet Physics JETP. 1972, vol. 35(1), pp. 44-47.
14. Valovik D. V., Tikhov S. V. Differentsial'nye uravneniya [Differential equations]. 2019, vol. 55, no. 12, pp. 1610-1624. [In Russian]
15. Yuskaeva K. A. On the theory of TM-electromagnetic guided waves in a nonlinear planar slab structure: PhD thesis D - 49076. Osnabruck, Germany: Universitat Osnabruck Fachbereich Physik BarbarastraBe 7, 2012.
16. Vaynshteyn L. A. Elektromagnitnye volny [Electromagnetic waves]. Moscow: Radio i svyaz', 1988, 440 p. [In Russian]
17. Adams M. Vvedenie v teoriyu opticheskikh volnovodov [Introduction to optical waveguide theory]. Moscow: Mir, 1984, 512 p. [In Russian]
18. Gokhberg I. Ts., Kreyn M. G. Vvedenie v teoriyu lineynykh nesamosopryazhennykh op-eratorov [Introduction to the theory of linear non-self-adjoint operators]. Moscow: Nauka, 1965, 449 p. [In Russian]
19. Goncharenko A. M., Karpenko V. A. Osnovy teorii opticheskikh volnovodov [Basics of the theory of optical waveguides]. Minsk: Nauka i tekhnika, 1983, 296 p. [In Russian]
20. Vzyatyshev V. F. Dielektricheskie volnovody [Dielectric waveguides]. Moscow: So-vetskoe radio, 1970, 216 p. [In Russian]
21. Bibikov Yu. N. Kurs obyknovennykh differentsial'nykh uravneniy [The course of ordinary differential equations]. Moscow: Vysshaya shkola, 1991, 303 p. [In Russian]
22. Moskaleva M. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2018, no. 4 (48), pp. 39-49. [In Russian]
23. Valovik D. V. Journal of Optics. 2017, vol. 19 (11), pp. 115502-1-115502-16.
Москалева Марина Александровна
младший научный сотрудник, научно-исследовательский центр «Суперкомпьютерное моделирование в электродинамике», Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: m.a.moskaleva1@gmail.com
Moskaleva Marina Aleksandrovna Junior research assistant, the research center of "Supercomputer modeling in electrodynamics", Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Образец цитирования:
Москалева, М. А. О численном методе решения нелинейных задач на собственные значения, возникающих в теории распространения ТМ-волн в плоских волноводах, заполненных нелинейной средой / М. А. Москалева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2019. - № 4 (52). - С. 60-76. - DOI 10.21685/20723040-2019-4-6.
