CC BY
15
УДК 517.927.4
DOI 10.21685/2072-3040-2017-4-9
В. Ю. Курсеева
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ О РАСПРОСТРАНЕНИИ СИММЕТРИЧНЫХ
ГИБРИДНЫХ ВОЛН В ПЛОСКОМ НЕОДНОРОДНОМ НЕЛИНЕЙНОМ ВОЛНОВОДЕ1
Аннотация.
Актуальность и цели. Рассмотрена нелинейная задача на собственные значения, возникающая в теории волноводов. Основная цель исследования - численное исследование существования нового типа симметричных гибридных волн, распространяющихся в неоднородной нелинейной среде.
Материалы и методы. Исходная задача сводится к нелинейной задаче сопряжения на собственные значения для системы уравнений Максвелла. Описанный численный метод основан на решении вспомогательной задачи Коши для нахождения приближенных собственных значений рассматриваемой нелинейной задачи.
Результаты. Построен численный метод решения задачи о распространении симметричных гибридных волн в плоском неоднородном нелинейном волноводе. Представлены численные результаты, основанные на описанном в статье численном методе.
Выводы. Нелинейные симметричные гибридные волны представляют особый интерес, потому что они не имеют аналогов среди линейных волн. Нелинейные симметричные гибридные волны являются новым классом нелинейных волн. Данный тип волны может быть применен в радиотехнике.
Ключевые слова: нелинейная задача на собственные значения, уравнения Максвелла, планарный волновод, нелинейность Керра.
V. Yu. Kurseeva
PROPAGATION OF SYMMETRIC HYBRID ELECTROMAGNETIC WAVES IN A PLANAR INHOMOGENEOUS NONLINEAR WAVEGUIDE: A NUMERICAL STUDY
Abstract.
Background. The paper is devoted to a nonlinear eigenvalue problem arising in the theory of waveguides. The main goal is to numerically investigate the existence of a new type of symmetric hybrid waves propagating in an inhomogeneous nonlinear medium.
Materials and methods. The original problem is reduced to a nonlinear eigenvalue problem for Maxwell's equations. The numerical method is based on the solution to the auxiliary Cauchy problem and makes it possible to determine the eigenvalues.
Results. A numerical method for solving the problem of the propagation of symmetric hybrid waves in a plane inhomogeneous nonlinear waveguide is proposed. Numerical results are presented.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации (проект 1.894.2017/4.6).
Conclusions. Nonlinear symmetric hybrid waves are very interesting because they have no counterparts in the linear theory. It is a new class of nonlinear waves. Probably, this type of waves can be useful in radio engineering.
Key words: nonlinear eigenvalue problem, Maxwell's equations, planar waveguide, the Kerr nonlinearity.
Введение
Плоский диэлектрический волновод - одна из простейших структур, используемых в электродинамике. Теория распространения электромагнитных волн в плоских волноводах хорошо исследована в линейном случае [1, 2]. Следующим шагом было изучение распространения поляризованных электромагнитных волн в плоских волноводах, заполненных нелинейной средой. Задачи о распространении поляризованных электромагнитных волн в плоских нелинейных волноводах можно разделить на два класса: распространение ТЕ-поляризованных волн [3, 4] и распространение ТМ-поляризо-ванных волн [5, 6].
Дальнейший интерес для исследователей представляли новые постановки задач о распространении связанных ТЕ-ТМ-волн [7, 8]. Еще одной новой задачей является задача о распространении так называемой нелинейной гибридной волны, которая не является связанной ТЕ-ТМ-волной в смысле указанных выше работ. Теория таких задач в настоящее время только начинает развиваться. Теоретический результат о существовании нелинейных симметричных гибридных электромагнитных волн был доказан в [9].
Задачи о распространении нелинейных симметричных гибридных электромагнитных волн принадлежат новому классу двухпараметрических задач, в которых только один из параметров спектральный, а второй выбирается таким образом, чтобы существовало нетривиальное решение задачи на собственные значения. Общие методы изучения таких проблем еще не разработаны. Поэтому подход, изложенный в этой статье, очень интересен для дальнейших математических исследований.
В данной работе предлагается численный метод для исследования задачи о распространении симметричной гибридной электромагнитной волны в плоском диэлектрический волноводе, заполненном нелинейной изотропной неоднородной средой. Также представлены численные результаты.
1. Постановка задачи
Рассмотрим симметричные гибридные электромагнитные волны в форме (E, H)e~imt, где ю - круговая частота и
E = (eх,Ey ,Ez ), H = (,Hy ,Hz ) (1)
T
комплексные амплитуды [10]; (•••) - операция транспонирования.
Волны распространяются в плоском диэлектрическом волноводе Z = j(x,У,z):0<x<h,(y,z)e ^2J, расположенном в декартовой системе координат Oxyz . На границе x = 0 волновода Z расположен бесконечно тон-
кий абсолютно проводящий экран. Слой заполнен изотропной неоднородной немагнитной средой. Полупространство х > Н заполнено изотропной однородной немагнитной средой с постоянной диэлектрической проницаемостью £ = £о£, где £о > 0 - диэлектрическая проницаемость вакуума. Диэлектриче-
2
ская проницаемость внутри волновода Z имеет вид е0£2 (х ) + е0а
Ee
-imt
где а> 0 - вещественная постоянная. Считаем, что min £2 > £j. Очевидно,
xe[0,h]
что
Ee'
-imt
= |E|. Считаем, что всюду Ц = , где Мю > 0 - магнитная прони-
цаемость вакуума.
Комплексные амплитуды (1) удовлетворяют уравнениям Максвелла
rot H = -юеЕ, rotE = /m|i0H . (2)
Кроме того, комплексные амплитуды E, H удовлетворяют условиям непрерывности касательных компонент поля на границе x = h и условиям излучения на бесконечности (электромагнитное поле экспоненциально убывает при x ^го в полупространстве x > h), касательные компоненты E обращаются в нуль на границе x = 0 .
Считаем, что искомые волны гармонически зависят от z. Таким образом, компоненты Ex , Ey, Ez, Hx , Hx , Hz могут быть записаны в виде
Ex - Ex (x)eiyz, Ey - Ey (x)eiyz, Ez - Ez (x)eiyz,
Hx - Hx (x)eiyz, Hy - Hy (x)eiyz, Hz - Hz (x)eiyz, (3)
где у - неизвестный вещественный спектральный параметр (постоянная распространения электромагнитной волны). Очевидно, что Eeiyz = |e| .
Подставляя комплексные амплитуды E, H в уравнения Максвелла (2) и преобразуя, получаем
ю'
ш ^0eEx = Y Ex + y(ez)', m2^0eEy = Y2Ey - Eу ,
W(iEz) = -YEX -(iEz)
(4)
где Нх = -у(юЦо) 1еу , Ну = (/юцо) 1 (¿УЕх - Е'г), Н2 = (/юцо) ^У .
Введем следующие обозначения: и (х)=Ех (х), и2 (х)=Еу (х), и- (х )=Е2 (х). Во всем пространстве £ = £о£, где
£2 (х) + а(и2 + и| + и-2 ),о < х < Н, £1, х > Н.
£ =
В полупространстве х > Н из системы (4) получаем
у 2щ + у«з = к^^щ,
< - у2щ2 = —к0 е1щ2'
у«{ + «з = - кд е^з,
где к0 = ю2^оео • Учитывая условия на бесконечности, получаем решение по-
следней системы:
'«1 (x; Y)-Yk-1Cxe~kl(x-h), u2 (x;Y) = C2e~kl(x~h), «3 (x; y) = Cie"kl(x"h),
(5)
(6)
2 2 2
где к1 =у —ко£1 и С^ , С2 - постоянные.
Внутри волновода 0 < х < Н из системы (4) получаем
у2« +у"3 = к<) |ё2 (х) + а|и|21 <и"2 —у2"2 =—ко (е2 (х) + а|и|2 )«2,
у«{ + «3 = —к0 (ё2 (х) + а|и|2)«з,
I |2 2 . 2 . 2 I \Т
где и = «1 + «2 + «з и и = (1 ,И2,«з ) •
Касательные компоненты Еу, Ег, Ну, Н2 непрерывны на границе раздела сред. Из непрерывности компоненты Ну следует непрерывность £Ех .
Таким образом, получаем условия сопряжения для щ ,«2 и «з :
«21х=0 = 0 «з Iх=0 = 0 ^ 11 х=Н = 0 [«21 х=Н = 0, [«21 х=Н = 0, ^з I х=Н = 0 (7)
где
[ f I x-x0 = llmn f (x )" llm0 f (x ).
x xn xix0 +0 - n
xi xo -0
Из формулы (5) видно, что в полупространстве х > Н волна представляет собой суперпозицию ТЕ- и ТМ-волн с постоянными С и С2. Нелинейная симметричная гибридная волна будет существовать только при наличии определенной связи между постоянными С и С2. Считаем, что
Ci - C sin 6, C2 - C cos 6 и, следовательно, используя (5), имеем
«2 (h) - Ccos 6, U3 (h) - Csin 6,
(8)
где постоянная C предполагается известной, а параметр 0е [0,2л] может быть найден из граничных условий (7). Таким образом, получаем
«2 (h) + «2 (h) = C2 cos2 0 + C2 sin2 0 = Cj2 + C2 = C2.
Задача Ph : найти вещественные значения у, для которых при заданном значении C Ф 0 существуют функции щ, u2 и «3 такие, что:
1) u * 0;
2) при х > h функции «i, «2 и «3 определяются формулами (5);
3) при 0 < х < h функции «i, «2 и «3 являются решением системы (6);
4) функции «i, «2 и «3 должны удовлетворять условиям сопряжения (7).
2. Численный метод
Рассматриваемый метод позволяет найти постоянную распространения. Рассмотрим задачу Коши для системы уравнений (6) со следующими начальными условиями:
«i (h ):=р, «2 (h): = -kjC cos 0, «2(h):= Ccos 0, «3 (h): = C sin 0,
где значение р определяется как решение кубического уравнения
ар3 + bp + c = 0
при
2 —1 a = a, b = £2 (h) + aC , c = C sin 0£iyki .
Чтобы обосновать метод решения, мы используем классические результаты теории обыкновенных дифференциальных уравнений, касающиеся существования и единственности решения задачи Коши и непрерывной зависимости решения от параметров.
Используя условия сопряжения на границе х = 0, получаем следующую систему дисперсионных уравнений:
Ae (у): = «2 (0) = 0, Am (У): = «3 (0) = 0,
где значения «2 (0) и «3 (0) получены из решения задачи Коши.
Выбирая значение константы C и изменяя значения параметра 0, мы можем определить (численно) решения уравнений Ae = 0 и Am = 0 . Эти решения представлены в виде кривых (зеленый цвет соответствует решению
уравнения Ае = 0 и синий - Ам = 0 ) или зависимость спектрального параметра у от параметра 6.
Затем мы определяем точки пересечений (красного цвета) синих и зеленых кривых, эти точки являются приближением собственных значений задачи Pн (см. рис. 1).
Рис. 1. График зависимости спектрального параметра у от параметра 6
Для достаточно малых значений Н предложенный численный метод может быть обоснован при помощи классических результатов теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
3. Численные результаты
Для численного решения задачи Pн предложен метод, основанный на решении вспомогательной задачи Коши [11], что позволяет, в частности, определять и строить зависимость собственных значений у от круговой частоты ю.
При вычислении использовались следующие значения: Н = 2 мм,
£ = 1, £2 (х) = 2 + —1—, а = 0,001 В —2. 1 2У ; 0,1 + х
На рис. 2 построена зависимость у(ю). Красная кривая соответствует
нелинейной гибридной волне, синяя и зеленая кривые соответствуют линейным ТМ- и ТЕ-волнам, соответственно. Серые наклонные пунктирные прямые образуют угол, который является областью, где линейные задачи имеют решения. Вертикальная пунктирная черная линия соответствует ю = 1 ГГц. Собственные значения (или постоянные распространения) являются точками пересечения пунктирной линии с дисперсионными кривыми.
Рис. 2. График дисперсионных кривых для линейных ТЕ-, ТМи нелинейных гибридных волн. Отмеченные собственные значения: линейное ТЕ собственное значение у = 1,281 мм-1; линейное ТМ собственное значение у = 2,024 мм-1; нелинейное гибридное собственное значение у = 2,899 мм-1
Для значения частоты ю = 1 ГГц представлены графики собственных функций М1, Ы2 и из на рис. 3-5.
Рис. 3. График собственных функций и1 для линейной ТМ- (синяя кривая) и нелинейной гибридной волны (красная кривая)
Рис. 4. График собственных функций И2 для линейной ТЕ- (зеленая кривая) и нелинейной гибридной волны (красная кривая)
Рис. 5. График собственных функций И2 для линейной ТМ- (синяя кривая) и нелинейной гибридной волны (красная кривая)
Цвет кривой соответствует цвету отмеченного собственного значения на рис. 2. Вертикальная серая пунктирная линия соответствует границе х = Н . Графики касательных компонент электромагнитного поля согласуются с фи-
зической формулировкой задачи: собственные функции U2 и щ непрерывны на границе раздела сред и u, U2, U3 убывают при x ^^ .
Заключение
Приводятся численные результаты, которые предсказывают существование неполяризованных симметричных гибридных волн в неоднородном нелинейном диэлектрическом слое. Интересен тот факт, что эти волны не соответствуют нелинейным поляризованным TE- и TM-волнам. Возникает естественный вопрос: возможно ли экспериментально проверить существование нелинейных симметричных гибридных волн.
Библиографический список
1. Вайнштейн, Л. А. Электромагнитные волны / Л. А. Вайнштейн. - М. : Радио и связь, 1988. - 440 с.
2. Зильберглейт, А. С. Спектральная теория регулярных волноводов / А. С. Зильберглейт, Ю. И. Копилевич. - Л. : АН СССР Ордена Ленина ФТИ, 1983. - 301 с.
3. Smirnov, Yu. G. Guided electromagnetic waves propagating in a plane dielectric waveguide with nonlinear permittivity / Yu. G. Smirnov, D. V. Valovik // Physical Review A. - 2015. - Vol. 91 iss. 1. - P. 013840-1-013840-6.
4. Schurmann, H. W. Theory of TE-polarized waves in a lossless cubic-quintic nonlinear planar waveguide / H. W. Schurmann, V. S. Serov // Phys. Rev. - 2016. - A 93, iss. 6. - P. 063802-1-063802-8.
5. Chen, Q. Exact dispersion relation for TM waves guided by thin dielectric films bounded by nonlinear media / Chen Qin, Zi Hua Wang. // Optics letters. - 1993. -Vol. 18, № 4. - P. 260-262.
6. Валовик, Д. В. Задача о распространении электромагнитных ТМ-волн в слое с произвольной нелинейностью / Д. В. Валовик // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2011. - Т. 51, № 9. - С. 1729-1739.
7. Smirnov, Y. G. Coupled electromagnetic TE-TM wave propagation in a layer with Kerr Nonlinearity / Y. G. Smirnov, D. V. Valovik // J. Math. Phys. - 2012. - Vol. 53, iss. 12. - P. 123530-1-123530-24.
8. Valovik, D. V. On the problem of nonlinear coupled electromagnetic transverse-electric-transverse magnetic wave propagation / D. V. Valovik // J. Math. Phys. -2013. - Vol. 54. - Р. 042902.
9. Smirnov, Yu. The new type of non-polarized symmetric electromagnetic waves in planar nonlinear waveguide / Yu. Smirnov, E. Smolkin, V. Kurseeva // Applicable Analysis. - 2017. - С. 1-16.
10. Eleonskii, P. N. Cylindrical nonlinear waveguides / P. N. Eleonskii, L. G. Oganes'-yants, V. P. Silin // Soviet Physics JETP. - 1972. - Vol. 35, iss. 1. - P. 44-47.
11. Smolkin, E. The azimuthal symmetric hybrid waves in nonlinear cylindrical waveguide / E. Smolkin // Progress In Electromagnetics Research Symposium Proceedings. -2017. - P. 348-353.
References
1. Vaynshteyn L. A. Elektromagnitnye volny [Electromagnetic waves]. Moscow: Radio i svyaz', 1988, 440 p.
2. Zil'bergleyt A. S., Kopilevich Yu. I. Spektral'naya teoriya regulyarnykh volnovodov [The spectral theory of regular waveguides]. Leningrad: AN SSSR Ordena Lenina FTI, 1983, 301 p.
3. Smirnov Yu. G., Valovik D. V. Physical Review A. 2015, vol. 91, iss. 1, pp. 013840-1013840-6.
4. Schurmann H. W., Serov V. S. Phys. Rev. 2016, A 93, iss. 6, pp. 063802-1-063802-8.
5. Chen Q., Zi Hua Wang Optics letters. 1993, vol. 18, no. 4, pp. 260-262.
6. Valovik D. V. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Journal of calculus mathematics and mathematical physics]. 2011, vol. 51, no. 9, pp. 1729-1739.
7. Smirnov Y. G., Valovik D. V. J. Math. Phys. 2012, vol. 53, iss. 12, pp. 123530-1123530-24.
8. Valovik D. V. J. Math. Phys. 2013, vol. 54, p. 042902.
9. Smirnov Yu., Smolkin E., Kurseeva V. Applicable Analysis. 2017, pp. 1-16.
10. Eleonskii P. N., Oganes'yants L. G., Silin V. P. Soviet Physics JETP. 1972, vol. 35, iss. 1, pp. 44-47.
11. Smolkin E. Progress In Electromagnetics Research Symposium Proceedings. 2017, pp. 348-353.
Курсеева Валерия Юрьевна аспирант, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: 79273698109@ya.ru
Kurseeva Valeriya Yur'evna Postgraduate student, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
УДК 517.927.4 Курсеева, В. Ю.
Численное исследование задачи о распространении симметричных гибридных волн в плоском неоднородном нелинейном волноводе /
В. Ю. Курсеева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2017. - № 4 (44). - С. 96-105. Б01 10.21685/2072-3040-2017-4-9
