CC BY
14
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион УДК 517.927.4
DOI 10.21685/2072-3040-2017-2-4
В. Ю. Курсеева
О СУЩЕСТВОВАНИИ СЧЕТНОГО МНОЖЕСТВА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ В ЗАДАЧЕ О РАСПРОСТРАНЕНИИ ТЕ-ВОЛН В КРУГЛОМ ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ НЕЛИНЕЙНОМ ВОЛНОВОДЕ
Аннотация.
Актуальность и цели. Рассматривается нелинейная задача на собственные значения, возникающая в теории волноводов. Основная цель исследования -доказать существование постоянных распространения.
Материалы и методы. Исходная задача сводится к нелинейной задаче на собственные значения для интегрального оператора Гаммерштейна. Это позволяет применить теорию, развитую М. М. Вайнбергом, для исследования поставленной задачи.
Результаты. Доказана теорема о существовании дискретного счетного множества собственных значений для неоднородной задачи.
Выводы. Использованный в статье метод может быть применен к изучению свойств собственных значений для широкого круга аналогичных задач для различных волноведущих структур.
Ключевые слова: нелинейная задача на собственные значения, интегральные уравнения, нелинейность Керра.
V. Yu. Kurseeva
ON THE EXISTENCE OF A COUNTABLE SET OF EIGENVALUES IN THE PROBLEM OF TE-WAVES PROPAGATION IN A CIRCULAR CYLINDRICAL NONLINEAR WAVEGUIDE
Abstract.
Background. The paper is devoted to a nonlinear eigenvalue problem arising in the theory of waveguides. The main goal is to prove the existence of propagation constants.
Materials and methods. The original problem is reduced to a nonlinear eigenvalue problem for the Hammerstein integral operator. Thus the Weinberg theory can be applied to study the eigenvalue problem.
Results. The study proves the existence of a discrete countable set of isolated eigenvalues.
Conclusions. The method based on the Weinberg theory can be applied to study similar problems.
Key words: nonlinear eigenvalue problem, integral equations, Kerr-like nonlin-earity.
Введение
Задачи о распространении электромагнитных волн в планарных и круглых волноведущих структурах, частично или полностью заполненных нелинейной средой, приводят к нелинейным задачам на собственные значения для дифференциальных операторов [1-9]. Есть несколько общих подходов
к исследованию свойств собственных значений и собственных функций нелинейных задач [10, 11]. Однако лишь в редких случаях удается свести задачу к одной из общих схем.
В настоящей работе мы сводим исходную задачу к изучению нелинейной задачи на собственные значения для интегрального оператора Гаммер-штейна [11]. На этом пути удается получить результат о существовании бесконечного дискретного множества собственных значений исходной задачи, которым отвечают распространяющиеся ТЕ-волны в цилиндрической волно-ведущей структуре.
Результаты статьи дополняют результаты работ [2, 5, 6, 8], которые были получены другими методами. Кроме того, постановка задачи несколько отличатся от указанных выше работ: мы не фиксируем значение функции (или ее производной) на одном из концов отрезка, на котором рассматривается решение, а считаем заданной норму собственной функции в уравнении Гаммерштейна. Это позволяет применить теорию, развитую М. М. Вайнбер-гом в [11], для исследования поставленной задачи.
1. Постановка задачи
Рассмотрим монохроматические ТЕ-волны в форме (E, H )e гю, где ю - круговая частота и
e = (о,Ер,0)т, H = (,0,Hz)т - (1)
т
комплексные амплитуды [1]; (•••) - операция транспонирования. Волны распространяются в диэлектрическом волноводе
Е ={(р,р,z): го <р<г, 0<р<2я},
который расположен в трехмерном пространстве R с цилиндрической системой координат Oppz . Внутри волновода Е диэлектрическая проницаемость представлена нелинейностью Керра:
£ = е(р) + а| E|2, (2)
где е(р)е С [tb r ] . Пусть £min = minpe[r0,r]e(p) и emax = maxpe[r0,r] е(р) . Считаем, что emin > £0 , где £0 > 0 - диэлектрическая проницаемость вакуума. На границах р = D и р = r волновода Е расположены бесконечно тонкие абсолютно проводящие экраны.
Комплексные амплитуды (1) удовлетворяют уравнениям Максвелла
rot H = -/ю£ E, rot E = 7ЮЦ0Н, (3)
где ^0 - магнитная проницаемость вакуума. Касательная составляющая электрического поля на границах р = D и р = r обращается в нуль.
Будем искать электромагнитные волны, гармонически зависящие от координаты z . Компоненты комплексных амплитуд (1) имеют вид
Em = Еф (p)e^z, Hp= Hp (p)e^ , Hz = Hz (p)
iyz
(4)
где у - неизвестный вещественный спектральный параметр (постоянная распространения электромагнитной волны); Бф, Нр, Н2 - неизвестные функции.
Подставляя комплексные амплитуды (1) с компонентами (4) в уравнения Максвелла (3), получаем
( 1 I
[ p (рЕф) +(™2^ 0ё -Y2 )Еф= 0.
Л'
1 t /2 2 2 2 \ —(pu) +(ю ^0е + ю М0au _Y )u = 0
(5)
Обозначив и := Бф и используя формулу (2), получаем краевую задачу
(1 -V
чР / с граничными условиями
и (г0 ) = 0, и (г ) = 0. (6)
Задача Р: доказать существование постоянных распространения у = У, для которых существуют нетривиальные собственные функции и (р, у )е С [го, г ] и С1 (го, г) и С2 (0, г), удовлетворяющие (5), (6).
Из уравнения (5) получаем
(
v p
p(puu) "(
2 2 \ / 2 ~2 2 2^ |М -ю M0e)u =( -го M0au )u
(7)
где Д2 > Ю2^0ешах . Введем замены:
2 2 2 2 2 2 ц :=Д -ю ^0е, ^ :=Ц , Р :=ю Мюа;
преобразуя уравнение (7), получим другую форму уравнения (5):
-(pu ) +
(1 21
—+ М v p
u =
( + Pu2
pu .
(8)
(9)
2. Теорема Вайнберга
Пусть В есть измеримое множество конечной меры евклидова пространства. Введем следующее
Определение 1 [11]. Будем говорить, что g(,5) есть (Н)-функция, если она непрерывна по w почти при каждом значении 5 е В и измерима в В по 5 при фиксированном w е (-«>, .
В дальнейшем понадобится следующая теорема для оператора Гам-мерштейна Г, который является произведением двух операторов А и Н [11]:
Tw = AHw = JK(x,5)g(w(s),s)s ,
B
где
Aw = |К(х,5)(5)Ж , (10)
в
Ш = g (w (5 ), 5 ),
и который действует в пространстве функций Ьр (В): Теорема 1 [11]. Пусть выполнены условия:
1) линейный интегральный оператор А, определяемый формулой (10), действует вполне непрерывно из Ьр в Ьд (р > 2, р-1 + д-1 = 1), отличен от нулевого оператора и является позитивным в Ь2, т.е. является самосопряженным в ¿2 и все его характеристические числа положительны;
2) (Н)-функция g является производной некоторой функции Q, т.е.
g = ^ и g(05) =0;
3) ^ (w, 5 )|< а (5) + Ь^|Р_1, а (^ )е Ьд, Ь > 0;
4) g 5 ) = w и g (-W, 5 ) = -g (w, 5 ).
Тогда, какова бы ни была сфера 8С = с) пространства ¿2, найдется
сходящаяся к нулю последовательность попарно линейно независимых
собственных функций оператора Tw = AHw, представимых в виде
1 1 гу = А2wi ( = 1,2,...), где w^ е Бс и А2 - положительный корень квадратный
из оператора А, и принадлежащих пространству Ьр . Эти собственные функции соответствуют положительным собственным значениям, представимым в виде Ту = -1 (Нгу, ) и сходящимся к нулю.
с
3. Функция Грина для неоднородной задачи
Перепишем уравнение (9) в операторной форме:
Ьи = ( + Рм2 )ри , (11)
где
2
й й 1 2 /пч
Ь = -р^г - —+ -+Ц2. (12)
йр2 йр р
Пусть О (р, 5) есть функция Грина краевой задачи
\LG = -8(р —),
Glr0 = Gr = 0.
(13)
Для неоднородной задачи явного выражения для функции Грина нет, однако ее свойства, необходимые для доказательства теоремы, известны. Используя вторую формулу Грина, получаем
| (ОЬи - иЬО)йр = (и'(р)О(р,5) - и (р)О'(р,5))) .
г0
Используя эту формулу, а также (11) и (13), находим г
и (5 ) = -[ О (р, 5 )(ри 3 (р) + Ари (р))йр. (14)
г0
Введем следующие замены:
-1 . V(5) = 2и(5), т:=-Х-1, (15)
из(14) получим
г
^ (5 ) = -1О (р, 5 )(3 (р) + рV (р))й р .
г0
Для выполнения в дальнейшем условия (3) теоремы 1 возьмем р = 4,
д = 4/3.
4. Теорема о существовании счетного множества собственных значений для неоднородной задачи
Пусть В = [г),г], К(р,5) = О(р,5), g(V,р) = Pрv3(р) + рv(р), тогда, используя теорему 1, докажем, что справедлива следующая
Теорема 2. Пусть М г = с . Тогда найдется последовательность соб-
II «¿2
ственных значений у у ( = 1,2,...) задачи Р таких, что у у = 2 +1/Т ^^
при у , которая соответствует последовательности попарно линейно не-
= С
2
зависимых собственных функций иу = V! д/д^^У^ , где VI е ¿4,
( = I2,...).
Доказательство. Для доказательства теоремы 2 необходимо показать, что оператор Г, определяемый формулой
^ = АН = | О (р, 5 )(3 (р) + V (р))й р, (16)
В
удовлетворяет условиям теоремы 1.
В силу непрерывности функции О (р, 5), которая следует из свойств функции Грина [12], оператор А: Ь4 ^ ¿4 является вполне непрерывным [13].
3
Теперь покажем самосопряженность оператора А в Ь2, используя симметричность и вещественность функции Грина:
г г г г
(Аи1,и2) = (р,5) (р) (5)<3рё5 = (р)С(5,р)й*2 (5)d5dр = (и1, Аи2).
г0 г0 г0 г0
Положительность характеристических чисел оператора А следует из положительности оператора Ь, определенного формулой (12) [14]. Выполнение условия (1) теоремы 1 доказано.
Функция g (у, р) = Рру3 (р) + ру (р) удовлетворяет определению
(Н)-функции и является производной функции
д (у, р) = Рр у4^ + р С.
Кроме того, g(0,р) = 0, следовательно, функция g удовлетворяет условию (2) теоремы 1.
Условие (3) теоремы 1 для функции g(у,р) = Рру3 (р) + ру(р) выполнимо при р = 4 .
Очевидно, что условия (4) теоремы 1 выполнены для функции g(у,р).
Таким образом, все условия теоремы 1 выполняются. Отсюда следует существование сходящейся к нулю последовательности попарно линейно независимых собственных функций г у ( = 1,2, ...) оператора Г, определенного
формулой (16), и соответствующих собственным функциям положительных
1
собственных значений ту ( = 1,2, ...). Собственные функции = А2у{, следовательно, существует последовательность уу. Используя (15), получаем
1
и(5) :=А2у(5). Имея ввиду (8) и (15), находим
2 ~2 1 у2 =ц2+-.
т
Из последней формулы видно, что у2 ^^ при Ту ^0 ( = 1,2,...).□ Замечание 1. Отметим, что
ML
Л
М2 -Y?
u ■ —^ го J
InlLj '
Заключение
В статье рассмотрена задача на собственные значения для системы уравнений Максвелла, отвечающая задаче о распространении ТЕ-волн в неоднородном цилиндрическом волноводе, поперечное сечение которого имеет форму кольца.
Доказана теорема о существовании дискретного счетного множества
собственных значений в нелинейной краевой задаче на собственные значения, возникающей в теории волноведущих структур.
Библиографический список
1. Eleonskii, P. N. Cylindrical nonlinear waveguides / P. N. Eleonskii, L. G. Oganes'yants, V. P. Silin // Soviet Physics JETP. - 1972. - Vol. 35 (1). -Р. 44-47.
2. Smirnov, Yu. G. Integral equation approach for the propagation of TE-waves in a nonlinear dielectric cylindrical waveguide / Yu. G. Smirnov, H. W. Schürmann // Journal of Nonlinear Mathematical Physics. - 2004. - Vol. 11 (2). - Р. 256-268.
3. Schürmann, H. W. Solutions to the Helmholtz equation for TE-guided waves in a three-layer structure with Kerr-type nonlinearity / H. W. Schürmann, V. S. Serov, Yu. V. Shestopalov // J. Phys. A: Math. Gen. - 2002. - Vol. 35. - Р. 10789-10801.
4. Schürmann, H. W. TE-polarized waves guided by a lossless nonlinear three-layer structure / H. W. Schürmann, V. S. Serov, Yu. V. Shestopalov // Phys. Rev. E. -1998. - Vol. 58. - Р. 1040-1050.
5. Schürmann, H. W. Propagation of TE-waves in cylindrical nonlinear dielectric waveguides / H. W. Schürmann, Yu. G. Smirnov, Yu. V. Shestopalov // Physical Review E. - 2005. - Vol. 71 (1). - Р. 016614-1-016614-10.
6. Валовик, Д. В. Задача о распространении электромагнитных волн в слое с произвольной нелинейностью (I. ТЕ-волны) / Д. В. Валовик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. -№ 1 (13). - Р. 18-27.
7. Валовик, Д. В. Распространение электромагнитных волн в нелинейных слоистых средах : моногр. / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2010. - 264 с.
8. Smirnov, Yu. G. Guided electromagnetic waves propagating in a plane dielectric waveguide with nonlinear permittivity / Yu. G. Smirnov, D. V. Valovik // Physical Review A. - 2015. - Vol. 91 (1). - Р. 013840-1-013840-6.
9. Валовик, Д. В. О собственных значениях одной нелинейной спектральной задачи / Д. В. Валовик, В. Ю. Курсеева // Дифференциальные уравнения. - 2016. -Vol. 52 (2). - Р. 149-156.
10. Ambrosetti, A. Dual variational methods in critical point theory and application / A. Ambrosetti, P. H. Rabinowitz // Journal of functional analysis. - 1973. - Vol. 14 (4). -Р. 349-381.
11. Вайнберг, М. М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов / М. М. Вайнберг. - М. : Гос. изд-во техн.-теор. лит-ры, 1956.
12. Наймарк, М. А. Линейные дифференциальные операторы / М. А. Наймарк. -
2-е изд. - М. : Наука, 1969. - 526.
13. Канторович, Л. В. Функциональный анализ / Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. -
3-е изд., перераб. - М. : Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1984. - 572 с.
14. Владимиров, B. C. Уравнения математической физики : учеб. для физич. и механико-матем. спец. вузов / B. C. Владимиров. - 4-е изд., испр. и доп. - М. : Наука, 1981. - 512 с.
References
1. Eleonskii P. N., Oganes'yants L. G., Silin V. P. Soviet Physics JETP. 1972, vol. 35 (1), pp. 44-47.
2. Smirnov Yu. G., Schürmann H. W. Journal of Nonlinear Mathematical Physics. 2004, vol. 11 (2), pp. 256-268.
3. Schurmann H. W., Serov V. S., Shestopalov Yu. V. J. Phys. A: Math. Gen. 2002, vol. 35, pp. 10789-10801.
4. Schurmann H. W., Serov V. S., Shestopalov Yu. V. Phys. Rev. E. 1998, vol. 58, pp. 1040-1050.
5. Schurmann H. W., Smirnov Yu. G., Shestopalov Yu. V. Physical Review E. 2005, vol. 71 (1), pp. 016614-1-016614-10.
6. Valovik D. V. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2010, no. 1 (13), pp. 18-27.
7. Valovik D. V., Smirnov Yu. G. Rasprostranenie elektromagnitnykh voln v nelineynykh sloistykh sredakh: monogr. [Electromagnetic wave propagation in nonlinear layered media: monograph]. Penza: Izd-vo PGU, 2010, 264 p.
8. Smirnov Yu. G., Valovik D. V. Physical Review A. 2015, vol. 91 (1), pp. 013840-1013840-6.
9. Valovik D. V., Kurseeva V. Yu. Differentsial'nye uravneniya [Differential equations]. 2016, vol. 52 (2), pp. 149-156.
10. Ambrosetti A., Rabinowitz P. H. Journal of functional analysis. 1973, vol. 14 (4), pp. 349-381.
11. Vaynberg M. M. Variatsionnye metody issledovaniya nelineynykh operatorov [Variation methods for examining nonlinear operators]. Moscow: Gos. izd-vo tekhn.-teor. lit-ry, 1956.
12. Naymark M. A. Lineynye differentsial'nye operatory [Linear dofferential operators]. 2nd ed. Moscow: Nauka, 1969, 526.
13. Kantorovich L. V., Akilov G. P. Funktsional'nyy analiz [Functional analysis]. 3d ed. Moscow: Gl. red. fiz.-mat. lit-ry, 1984, 572 p.
14. Vladimirov B. C. Uravneniya matematicheskoy fiziki: ucheb. dlya fizich. i mekhaniko-matemat. spets. vuzov [Equations of mathematical physics: textbook for university students at physical, mechanical and mathematical program]. 4th ed. Moscow: Nauka, 1981, 512 p.
Курсеева Валерия Юрьевна аспирант, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: 79273698109@ya.ru
Kurseeva Valeriya Yur'evna Postgraduate student, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
УДК 517.927.4 Курсеева, В. Ю.
О существовании счетного множества собственных значений в задаче о распространении ТЕ-волн в круглом цилиндрическом нелинейном волноводе / В. Ю. Курсеева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2017. - № 2 (42). -С. 44-51. БОТ 10.21685/2072-3040-2017-2-4
