CC BY
24
УДК 517.927, 517.968, 519.6
Д. В. Валовик, Е. А. Маренникова, Ю. Г. Смирнов
НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА СОПРЯЖЕНИЯ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩАЯ РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ТЕ-ВОЛН В ПЛОСКОМ НЕОДНОРОДНОМ НЕЛИНЕЙНОМ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ВОЛНОВОДЕ1
Аннотация. Цель работы: изучение математической модели распространения поверхностных электромагнитных ТЕ-волн в плоском неоднородном диэлектрическом волноводе, заполненном средой с нелинейностью, выраженной законом Керра. Материал и методы исследования: проблема сводится к исследованию нелинейного интегрального уравнения с ядром в виде функции Грина. Существование решений интегрального уравнения доказано с помощью метода сжимающих отображений. Для численного решения задачи предложены два метода: итерационный алгоритм (доказана его сходимость), а также метод, основанный на решении вспомогательной задачи Коши (метод пристрелки). Результаты: доказано существование корней дисперсионного уравнения - постоянных распространения волновода. Получены условия, когда могут распространяться k волны, указаны области локализации соответствующих постоянных распространения. Выводы: полученные результаты свидетельствуют о наличии волноводного режима распространения электромагнитных волн в нелинейной среде.
Ключевые слова: уравнения Максвелла, неоднородный волновод, задача на собственные значения, нелинейная диэлектрическая проницаемость.
D. V. Valovik, E. A. Marennikova, Yu. G. Smirnov
A NONLINEAR TRANSMISSION EIGENVALUE PROBLEM THAT DESCRIBES ELECTROMAGNETIC TE WAVE PROPAGATION IN A PLANE INHOMOGENEOUS NONLINEAR DIELECTRIC WAVEGUIDE
Abstract. Objective of the work is to study the mathematical model of surface electromagnetic TE wave propagation in a plane inhomogeneous dielectric waveguide filled with Kerr medium. Material and methods: the physical problem is reduced to a nonlinear integral equation with Green’s function as the kernel. The existence of solutions to the integral equation is proved with the help of the contracting mapping method. For numerical solutions two approaches are suggested: an iteration method (its convergence is proved); the method of Cauchy problem (a variant of the shooting method). Results: the existence of dispersion equation’s roots (propagation constants of the waveguide) is proved. The authors obtain conditions suitable for k waves propagation. The regions of localization of the propagation constants are found. Conclusions: the results show that there is a nonlinear waveguiding regime for TE waves propagating in a plane inhomogeneous nonlinear waveguide.
Key words: Maxwell’s equations, inhomogeneous waveguide, boundary eigenvalue problem, nonlinear permittivity.
1 Работа выполнена при поддержке РФФИ, контракты № 11-07-00330-а, 12-07-97010-р_а и ФЦП «Научные и педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг., соглашение № 14.В37.21.1950.
1. Постановка задачи
Рассмотрим задачу о распространении поверхностных электромагнитных волн в нелинейном неоднородном плоском волноводе, расположенном между двумя полупространствами x < 0 и x > h в декартовой системе координат Oxyz . Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость £1 > £0 и £3 > £0 соответственно, где £0 - диэлектрическая проницаемость вакуума. Считаем, что всюду ц = Ц0, где М-0 - магнитная проницаемость вакуума.
На рис. 1 представлена геометрия задачи. Волновод неограниченно продолжается в направлениях у и z ; к - толщина волновода.
Рис. 1. Геометрия задачи
Запишем уравнения Максвелла в следующей форме [1]:
rot H = dt D, rot E = -dt B, (1)
где D = eE , B = ції и dt = d/dt.
Ток проводимости j в уравнениях (1) отсутствует, так как E, H образуют полное поле. Падающее поле будет введено позднее.
Таким образом из (1) получаем
rotH = dt (eE), rotE = -dt (ції). (2)
Электромагнитное поле E, H удовлетворяет системе уравнений Максвелла (2), условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границах раздела сред x = 0 , x = h и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при |х| в обла-
стях x < 0 и x > h .
Электромагнитное поле гармонически зависит от времени [2]:
E (x, y, z, t) = E+ (x, y, z )cos rot + E- (x, y, z )sin rot,
H (x, y, z, t) = H+ (x, y, z )cos rot + H- (x, y, z )sin rot,
где W - круговая частота, E, E +, E-, H, H +, H- - действительные вектор-функции.
Легко видеть, что поля E, H выражаются следующим образом:
E = Re {Ee-iWt}, H = Re { He-iWt},
где E = E++ iE-, H = H ++ iH- носят название комплексных амплитуд и
T T t
E = (х,Ey,Ez) , H = (х,Hy,Hz) ; ( ) обозначает операцию транспонирования. Каждая компонента полей E, H является функцией трех пространственных переменных
Диэлектрическая проницаемость е внутри волновода определяется по
закону Керра: е = е2 (х) + a|E| , где a - вещественная положительная постоянная и max(i,ез )<е2 = min е2 (х). Здесь е2 (x)е C[0,h] - линейная со-
xe[0,h ]
ставляющая проницаемости е; a - коэффициент нелинейности.
Для диэлектрической проницаемости е = е2 (х ) + a И зависимость уравнений Максвелла (2) от времени такая же, как и в линейном случае (т.е. когда е постоянная). Это позволяет доказать справедливость уравнений Максвелла (2) для комплексных амплитуд E, H . Действительно, подставляя
т? —iWt тт —iWt /л\
поля Ee , He в уравнения (2), получаем, что комплексные амплитуды
E, H удовлетворяют системе уравнений Максвелла
rot H = -iroeE, rot E = iro|iH, (3)
условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границах раздела сред х = 0 , х = h и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при |х| в областях
х < 0 и х > h .
Разыскиваются поверхностные волны, распространяющиеся вдоль образующей волновода. Решение уравнений Максвелла ищется во всем пространстве.
2. ТЕ-волны
Рассмотрим ТЕ-поляризованные волны в гармоническом режиме Ee-iWt = e—iWt (0,Ey ,0)T , He-iWt = e—iWt {Hx,0,Hz )T ,
где E, H - комплексные амплитуды.
Подставляя эти поля в систему уравнений (3), легко убедиться, что компоненты комплексных амплитуд не зависят от переменной у. Волны, распространяющиеся вдоль оси z , гармонически зависят от z , т. е. Ех = Eх (х)eiYz, Нх = Hх (х)eiYz , Hz = Hz (х)eiYz, где у - неизвестный спектральный параметр - постоянная распространения электромагнитной
волны. Подставляя эти компоненты в (3), после простейших преобразований получаем
У2 Еу (х)- Еу (х) = ю2Ц££у (х).
2 2
Введем обозначение к =Ю Ц0£0 и выполним нормировку в соответ-
ё , ё у _ £ ]. а
ствии с формулами х = кх, — = к—, у = —, £,■ = -*- ( = 1, 2, 3), а =—.
ёх ёх к £0 £0
Обозначая и(х):= Еу (х) и опуская значок тильды, из последнего уравнения
получаем
и (х) = у2и (х) — £и (х). (4)
Пусть к2 := у2 —£1, к| (х) := £2 (х) — у2 , к% := у2 —£3.
В полупространстве х < 0 из (4) получаем уравнение и" = к и , его общее решение имеет вид и (х) = Був—к'х + Век1х, в силу условия на бесконечности получаем
и (х ) = Век1х. (5)
В полупространстве х > к из (4) получаем уравнение и' = к2и , его
общее решение имеет вид и (х) = ^в3(х к) + Бе к(х к), в силу условия на бесконечности получаем
и (х ) = Бе—к3(х—к). (6)
В выражении (5) постоянная В считается известной; в (6) постоянная Б определяется из условий сопряжения.
Внутри слоя 0 < х < к уравнение (4) принимает вид
и\х) + к| (х )и (х ) = —аи3 (х). (7)
3. Условия сопряжения и задача сопряжения
Условия сопряжения на поверхности волновода имеют вид
]| х=0 = 0 • ]| х=к = 0 " |Яг И х=0 = 0 ’ 1 х=к = 0 ’ чГо дает
[и ][,=0 = °. 1и !х=к = 0 " [и']|х=0 = 0' [и']1х=к = °' (8)
где [/] _ = Иш /(х)— Нш /(х) - скачок предельных значений функ-
х_5 х^5—0 х^5+0
ции в точке 5 .
Пусть и(х) - решение уравнения (7). Используя условия сопряжения
(8) и решения (5), (6), получаем
и (0) = В, и'(0) = Вк1, и (к) = Б, и'(к) = — Бк3 . (9)
Определение. Число у = у такое, что для заданного значения А суще-
торая удовлетворяет уравнению (7) и краевым условиям (9), будем называть собственным значением рассматриваемой задачи о распространении волн.
Такое определение собственного значения было дано в [3] и впоследствии нашло многочисленные применения при строгой постановке задач о распространении собственных волн в волноведущих структурах, заполненных нелинейной средой (см., например, [4-8]).
Сформулируем теперь краевую задачу на собственные значения, к которой свелась задача о распространении ТЕ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном неоднородном плоском волноводе.
Задача Р: требуется отыскать собственные значения у такие, что при заданном значении постоянной А существуют не равные тождественно нулю
функции и(х)е С1 [0,к]пС2(0,к), которые удовлетворяют уравнению (7) и
краевым условиям (9).
Заметим, что собственное значение у зависит от значения собственной функции на одной из границ волновода. Кроме того, обратим внимание читателей, что постановка задачи отличается от постановок классических задач на собственные значения. Постоянная В в условиях (9) неизвестна и подлежит определению вместе с собственным значением и собственной функцией.
Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение (7) и линейное уравнение
здесь индекс к указывает на явную зависимость оператора от х, так как
тогда в окрестности собственного значения Хг- она может быть представлена в следующем виде (см., например, [9, 10])
система ортонормированных (вещественных) собственных чисел и собственных функций краевой задачи
ствует не равная тождественно нулю функция и(х)є С1 [0,к]пС2 (0,к), ко-
4. Нелинейное интегральное уравнение
2
и + k'^u = 0 .
(10)
Перепишем последнее уравнение в операторной форме:
dx
k2 = k2 (x).
Предположим, что существует функция Грина Ок (х, 5) краевой задачи
LkGk =-8(x-s) ЭxGk(xs)|x=0= dxGk(xs)|x=h = 0 (°<s<h) (11)
(12)
где X :=у2, Оі (х, 5) регулярна в окрестности точки X;, а Xп, фп (х) - полная
фи +(е2 (х) ^)фи ^и Фи , Фи|х=0 Фи ^=h °.
Функция Грина существует при таких значениях параметров, когда
'Кф'Ки.
Запишем уравнение (7) в операторном виде:
LfcU + aB(u) = 0, B(u) = u3. (13)
Используя вторую формулу Грина h h
J(иLfrU - uLfcb)) = J(uu"- uU) ёх =
0 0
= u(hh)u (h)-u(0)u'(0)-u(h)U(h) + u(0)U(0)
и полагая u = Gk с учетом условий (11), получаем h
J[G^L^u -uLfcGfc )) = G(h,s)u (h)-G(0,s)u (0). (14)
0
Используя уравнение (13), получаем интегральное представление решения u(s) уравнения (7) на отрезке [0, h]:
h
u (s ) = -aJ Gfc (х, s )u3 (х)ох + f (s), 0 <s <h, (15)
0
где f (s) = Gk (h,s)u (h)- Gk (0,s)u (0).
h 3
Введем обозначение: F (s ) = -aJ Gk (х, s )u (х )ёх + f (s). Предпола-
0
гается, что f e C [0, h] и 'кфХи .
Используя результаты работ [11-13], можно показать, что имеют место следующие утверждение и теоремы.
2 1
Утверждение 1. Если f <--------. , то уравнение (15) имеет по край-
3ДЩ
ней мере одно решение и lull < r* , где
Nw
0
и
hh = Г N (x, s) w (x)dx, N (x, s ) = -aGk (x, s), ||n|| = max j| N (x, s )|dx
5єГ0,*]0
r =-2 1 cos
p\\n
Г1 Г /ІТГГїїУ 2п^
—arccos
З
+ -
З
есть корень уравнения |In|| r3 +11 f II = r .
2 2 Теорема 1. Если а< A , где A = —
3
R
N1 = тах |\Ок (х, ^ )| ёх, то уравнение (15) имеет единственное решение и,
0
являющееся непрерывной функцией:
где r* = -2 1 3—гг cos
V INI
Mr3 +1 /II = r.
и e C [0, h], IHI < r*
( 1 (3y/3„r« ЛТТГй! 2п^
—arccos -------
3 2
V v
есть корень уравнения
Отметим, что A > 0 и не зависит от а.
В дальнейшем нам понадобится утверждение о зависимости решений интегрального уравнения (15) от параметра.
Теорема 2. Пусть ядро N и правая часть/интегрального уравнения (15) непрерывно зависят от параметра ХеЛ0, N(x,s)с C(0 х[0, h]x [0, h]),
/ (Х, s )с C (Ло х[0, h]), на некотором отрезке Л0 вещественной числовой оси. Пусть также
0 <1/(Х) II<- . 1 . (16)
1 11 3,ЖЩ
Тогда решения и(Х, x) уравнения (15) при ХеЛ0 существуют, единственны и непрерывно зависят от параметра Х, и(Х, x) с C(0 х[0, h]).
5. Итерационный метод
Приближенные решения ип интегрального уравнения (15), представимого в виде и = F(и), могут быть определены итерационным процессом
un+1 = F (ип), п = :
h
и0 = 0, ип+1 =-а| Gk (x, s )u^x + /, n = 0, 1,... (17)
0
Последовательность ип равномерно сходится к решению и уравнения (15) вследствие того, что F(и) - сжимающий оператор. Известна также
оценка для скорости сходимости итерационного алгоритма (17). Сформулируем эти результаты в виде следующего утверждения.
Утверждение 2. Последовательность приближенных решений ип уравнения (15), определяемых посредством итерационного алгоритма (17), существует и сходится в норме пространства C [0, h] к (единственному) точному решению и этого уравнения, и верна оценка скорости сходимости:
и
II и 2
- и <-/ (ио), п , где и := 3Мт* < 1 - коэффициент сжатия отоб-
1 — q
ражения F.
6. Дисперсионное уравнение
Из уравнения (15) при 5 = 0 + 0 и 5 = Н — 0, используя краевые условия
(9), получаем
і h
B = lim
s^0+0
\
D = lim
s^h—0
—af Gk (x,s)u3 (x)dx v 0 і h
af Gk (x,s)u3 (x)dx
—Dk3 lim Gk (h,s)—Bkl lim Gk (0,s),
s^0+0 s^0+0
(18)
0
-Dk3 lim Gk (h,s)— Bkl lim Gk (0,s).
s^h—0 s^h—0
Исключая постоянную В из этой системы, получим дисперсионное уравнение
В[(к( (, Н — 0) +1) (к( (0,0 + 0) +1) — к1к3Ок (,0 + 0) (0,Н — 0)] =
" Н
кзОк (,0 + 0) Пт ГОк (х,5)и3 (х)х —
с^Н_0«>
= a
-(l + k3Gk (h,h — 0)) lim f Gk (x,s)u3 (x)dx
s^0+0J
(19)
где
7. Существование решений дисперсионного уравнения
Перепишем дисперсионное уравнение (19) в следующей форме:
Bg (Х) = аФ(Х), (20)
:(Х) = (к( (Н,Н — 0) + 1)(к( (0,0 + 0) +1)— к1к3Ок (,0 + 0)0к (0,Л — 0),
Ф
(Х) = k3Gk (h,0 + 0) lim fGk (x,s)u3 (x)dx —
s^h-0-*
(l + k3Gk (h,h — 0) lim f Gk (x,s)u3 (x)dx. s^O+O-*
Нули функции Д(Х) = Bg(X) —аФ(Х) - это значения X, для которых
существует нетривиальное решение задачи Р, сформулированной ранее.
Рассмотрим вопрос о существовании решений дисперсионного уравнения для линейной задачи. Из уравнения (20) при а = 0 получаем g (X) = 0
П
(заметим, что в этом случае, как это и должно быть, собственные значения не зависят от постоянной А).
Используя (12), имеем
Ок (0,0;Х) = — + О1 (0,0;X), Ок (0,Н;Х) = — ф ^(Н) + О^0,Н;X),
Х —Х;
Х — Х;
Ок (Н,Н;X) = — ф—) + О1 (Н,Н;X), Ок (,0;X) = —ф,(Н—+ О! (Н,0;X). X — X,• X — X,
Используя формулы (21) в уравнении g (X) = 0 получим
(21)
—k3
—k1k3
Ф2 (h) Х — Х;
V
+ k3G1 (h, h; Х) +1
—ki
Фг2 (0)
Ф; (h)ф; (0) Х — Х;
/ V V
+ G1 (,0;Х)
У
V
Х—Х;
Ф; (0)ф; (h) Х — Х;
+ k1G1 (0,0; Х) +1
Л
= 0. (22)
Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получаем
а (X)=X^X“b (X)
где
+
а(X) = к1к3 [О1 (Н,Н;X)G1 (0,0;X) — О1 (0,Н;X)О1 (Н,0;X)]-+к1О1 (0,0; X) + кзО1 (Н, Н; X) +1,
Ь (X) = к1ф2 (0 )[к3О1 (Н, Н; X) +1] + к3ф2 (Н )[к1О1 (0,0; X) +1] —
—к1к3ф, (°)ф,' (Н)О110,Н;X) + О1 (Н,0;^].
Поскольку величины а(X), Ь(X) остаются ограниченными, то это означает, что между двумя последовательными собственными числами X, и X,■+l существует по крайней мере одно решение уравнения g (X) = 0 .
Необходимо еще показать, что в выражении Ок (Н, Н; X) член ф, (Н) не обращается в нуль. Это легко сделать методом от противного. Предположим, что ф, (Н ) = 0. Тогда рассмотрим задачу Коши для уравнения
ф* + к-2ф, =X,■ф,■ с начальными условиями ф, |х=Н=ф/ |х=Н = 0 при х е I0, н] . Из общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений (см., например, [14]) известно, что решение ф, (х) рассматриваемой задачи Коши существует и единственно при хе [0,Н] . Это решение при хе [0,Н] совпадает с функцией ф, (х), участвующей в представлении (12) функции Грина. Также
известно, что решение задачи Коши для линейного уравнения с нулевыми начальными данными является тождественным нулем. А это противоречит представлению (12) функции Грина Gk (x, s; Х) в окрестности точки Х = Х,.
Аналогично можно показать, что в выражении Gk (0,0;Х) член ф, (0) не обращается в нуль.
Теперь можно показать, что существуют решения уравнения A(Х) = 0 . Действительно, пусть существует такое целое число k > 1, что справедливо max(£l,£3)<Хо <Хі <...<Хk—1 <Хk <£3, где £2 = min £2(x). Выберем
xa[0,h]
k
достаточно малые числа б, > 0 такие, что на объединении Г := ^ Г, отрезков
i=1
Г, := [у]Х,—і + б,—і,■sj'ki — б,], i = 1,k , функция Грина Gk (x,s;Х) существует и непрерывна. Кроме того, выполняется g (Хі( + б,-—1 )((7 — б, )< 0. Отсюда ясно, что величина F (Х) ограничена. Более того, за счет выбора величины a произведение aF (Х) может быть сделано достаточно малым. Рассмотрим дисперсионное уравнение Ф(Х) = 0. Ясно, что функция g (Х) непрерывна и меняет знак при изменении Х от Х,— + б,— до Х, — б,. Поскольку величина F (Х) ограничена при изменении Х от Х,— +б,—1 до Х, —б,, то отсюда ясно, что за счет выбора a всегда можно добиться того, что уравнение Ф (Х) = 0 будет иметь по крайней мере k корней Х,, i = 1, k, причем
Хі є (i—1 + бі—b Хі — бі ) , i = ^ k .
Основным результатом настоящего сообщения является следующая теорема.
Теорема 3. Пусть числа £1, £3, £3 = min £3 (x) удовлетворяют усло-
xa[0,h]
вию £2 > max (£1, £3) > 0 и существует целое число k > 1, что справедливо
max(£l, £3) < Хо < Хі < . < Хk—1 < Хk < £2.
Тогда существует число ao > 0 такое, что для всякого a< ao существует по крайней мере k значений у,-, i = 1, k, причем
Ті є (хі-1 + бі-1,\ІХї — б,), таких, что задача Р имеет нетривиальное решение.
Доказательство. Функция Грина существует для всех ує Г . Также ясно, что функция
A(T)=
является непрерывной функцией при уеГ. Пусть А1 = тт А (у) и пусть
ТеГ
2
а< А1 . В соответствии с теоремой 1 существует единственное решение и = и (у) уравнения (13) для всякого уе Г . Это решение является непрерывной функцией и ||и|| < г* = г* (у). Пусть тю = тах г* (у). Оценивая Е (X), по-
ТеГ
лучаем |Е (X) < Сгх).
Функция g (у) непрерывна и уравнение g (у) = 0 имеет по крайней мере один корень у,- внутри отрезка Г,, .SJXІ—1 + 3,—1 <у, < д/А, — 8,. Обозначим Bg (( + 8,)|, М2 = тт |вg — 8,). Тогда величина
ММ = тт {М1,М2 } положительна и не зависит от а .
Е < ЛУ Если а < —— , тогда
Сг00
((( + 8,_1) — ) (( + 8,_1))( (( — 8,) — аЕ (( — 8, ))< 0.
Поскольку Bg(X) —аЕ(X) является непрерывной функцией, следовательно, уравнение Bg (X) —аЕ(X) = 0 имеет корень у, внутри Г,, т.е.
M1 = min
0<;<k—1
^/Х~ + 5; < Yi < л/Х,+1 — 5г+1. Мы можем выбрать а0 = min \ Л\
2 M
1 , C 3 Cr00
Из теоремы 3 следует, что при условиях, сформулированных выше, существуют осесимметричные распространяющиеся ТЕ-поляризованные волны без затухания в цилиндрических диэлектрических волноводах кругового сечения, заполненных немагнитной, изотропной неоднородной средой с нелинейностью, выраженной законом Керра. Этот результат обобщает известные соответствующие утверждения для диэлектрических волноводов круглого сечения с заполнением однородной нелинейной средой (при £2 = const, а* 0) [8, 15] и неоднородной линейной средой (при £2 * const, а = 0) [16].
Различные приложения нелинейных волноведущих структур приведены в [17].
Список литературы
1. Стрэттон, Дж. А. Теория электромагнетизма / Дж. А. Стрэттон. - М. ; Л. : ГИТТЛ, 1948.
2. Eleonskii, P. N. Cylindrical Nonlinear Waveguides / P. N. Eleonskii, L. G. Ogan-es'yants, V. P. Silin // Soviet Physics JETP. - 1972. - Vol. 35, № 1. - P. 44-47.
3. Валовик, Д. В. О распространении ТМ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном слое с нелинейностью, выраженной законом Керра / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2008.- Т. 48. № 12. - С. 2186-2194.
4. Валовик, Д. В. Задача о распространении электромагнитных ТМ-волн в слое с произвольной нелинейностью / Д. В. Валовик // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2011. - Т. 51, № 9. - С. 1729-1739.
5. Валовик, Д. В. Распространение электромагнитных ТЕ-волн в нелинейной среде с насыщением / Д. В. Валовик // Радиотехника и электроника. - 2011. -Т. 56, № 11. - C. 1329-1335.
6. Валовик, Д. В. Нелинейные эффекты в задаче о распространении электромагнитных ТМ-волн в слое с керровской нелинейностью / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Радиотехника и электроника. - 2011. - Т. 56, № 3. - C. 309-314.
7. Валовик, Д. В. Метод задачи Коши для решения нелинейной задачи сопряжения на собственные значения для ТМ-волн, распространяющихся в слое с произвольной нелинейностью / Д. В. Валовик, Е. В. Зарембо // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2013. - Т. 53, № 1. - С. 74-89.
8. Валовик, Д. В. Распространение электромагнитных ТЕ-волн в слое из нелинейного метаматериала / Д. В. Валовик // Радиотехника и электроника. - 2011. -Т. 56, № 5. - С. 589-599.
9. Наймарк, М. А. Линейные дифференциальные операторы / М. А. Наймарк. -М. : Наука, 1969. - 528 с.
10. Stakgold, I. Green's Functions and Boundary Value Problems / I. Stakgold. -Wiley, New York, 1979. - 638 с.
11. Смирнов, Ю. Г. Распространение электромагнитных волн в цилиндрических волноводах, заполненных нелинейной средой / Ю. Г. Смирнов, С. Н. Куприянова // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2004. - Т. 44, № 10. - С. 1850-1860.
12. Smirnov, Yu. G. Electromagnetic Wave Propagation in Nonlinear Layered Waveguide Structures / Yu. G. Smirnov, D. V. Valovik. - Penza : PSU Press, 2011.
13. Треногин, В. А. Функциональный анализ / В. А. Треногин. - М. : Наука, 1980. -496 с.
14. Лизоркин, П. И. Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа / П. И. Лизоркин. - М. : Наука, 1981. - 384 с.
15. Schurmann, H. W. TE-polarized Waves Guided by a Lossless Nonlinear Three-layer Structure / H. W. Schurmann, V. S. Serov, Yu. V. Shestopalov // Phys. Rev. E. -1998. - V. 58, № 1. - P. 1040-1050.
16. Зильберглейт, А. С. Спектральная теория регулярных волноводов / А. С. Зильберглейт, Ю. И. Копилевич. - Л. : ФТИ, 1983. - 302 с.
17. Ахмедиев, Н. Н. Солитоны. Нелинейные импульсы и пучки / Н. Н. Ахмедиев, А. Анкевич. - М. : Физматлит, 2003. - 299 с.
References
1. Stretton Dzh. A. Teoriya elektromagnetizma [Electromagnetic theory]. Moscow ; Leningrad: GITTL, 1948.
2. Eleonskii P. N., Oganes'yants L. G., Silin V. P. Soviet Physics JETP. 1972, vol. 35, no. 1, pp. 44-47.
3. Valovik D. V., Smirnov Yu. G. Zhurnal vychislitel’noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Calculus mathematics and mathematical physics journal]. 2008, vol. 48, no. 12, pp. 2186-2194.
4. Valovik D. V. Zhurnal vychislitel’noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Calculus mathematics and mathematical physics journal]. 2011, vol. 51, no. 9, pp. 1729-1739.
5. Valovik D. V. Radiotekhnika i elektronika [Radio engineering and electronics]. 2011, vol. 56, no. 11, pp. 1329-1335.
6. Valovik D. V., Smirnov Yu. G. Radiotekhnika i elektronika [Radio engineering and electronics]. 2011, vol. 56, no. 3, pp. 309-314.
7. Valovik D. V., Zarembo E. V. Zhurnal vychislitel’noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Calculus mathematics and mathematical physics journal]. 2013, vol. 53, no. 1, pp. 74-89.
8. Valovik D. V. Rasprostranenie Radiotekhnika i elektronika [Calculus mathematics and mathematical physics journal]. 2011, vol. 56, no. 5, pp. 589-599.
9. Naymark M. A. Lineynye differentsial’nye operatory [Linear differential operators]. Moscow: Nauka, 1969, 528 p.
10. Stakgold I. Green's Functions and Boundary Value Problems. Wiley, New York, 1979, 638 p.
11. Smirnov Yu. G., Kupriyanova S. N. Zhurnal vychislitel’noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Calculus mathematics and mathematical physics journal]. 2004, vol. 44, no. 10, pp. 1850-1860.
12. Smirnov Yu. G., Valovik D. V. Electromagnetic Wave Propagation in Nonlinear Layered Wave-guide Structures. Penza: PSU Press, 2011.
13. Trenogin V. A. Funktsional’nyy analiz [Functional analysis]. Moscow: Nauka, 1980, 496 p.
14. Lizorkin P. I. Kurs differentsial’nykh i integral’nykh uravneniy s do-polnitel’nymi gla-vami analiza [The course of differential and integral equations with additional chapters on analysis]. Moscow: Nauka, 1981, 384 p.
15. Schurmann H. W., Serov V. S., Shestopalov Yu. V. Phys. Rev. E. 1998, vol. 58, no. 1, pp. 1040-1050.
16. Zil'bergleyt A. S., Kopilevich Yu. I. Spektral’naya teoriya regulyarnykh volnovodov [Spectral theory of lineral waveguides]. Leningrad: FTI, 1983, 302 p.
17. Akhmediev N. N., Ankevich A. Solitony. Nelineynye impul’sy i puchki [Solitons. Nonlinear impulses and beams]. Moscow: Fizmatlit, 2003, 299 p.
Валовик Дмитрий Викторович
кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет (г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: dvalovik@mail.ru
Маренникова Екатерина Алексеевна аспирант, Пензенский государственный университет (г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: mmm@pnzgu.ru
Смирнов Юрий Геннадьевич
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет (г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: mmm@pnzgu.ru
Valovik Dmitriy Viktorovich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University (Penza, 40 Krasnaya str.)
Marennikova Ekaterina Alekseevna Postgraduate student, Penza State University (Penza, 40 Krasnaya str.)
Smirnov Yuriy Gennad'evich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University (Penza, 40 Krasnaya str.)
УДК 517.927, 517.968, 519.6 Валовик, Д. В.
Нелинейная задача сопряжения на собственные значения, описывающая распространение электромагнитных ТЕ-волн в плоском неоднородном нелинейном диэлектрическом волноводе / Д. В. Валовик, Е. А. Марен-никова, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2013. - № 2 (26). - С. 50-63.
