CC BY
39
УДК 517.927, 519.624
Д. В. Валовик, Е. Ю. Смолькин
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О РАСПРОСТРАНЕНИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ТМ-ВОЛН В КРУГЛОМ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ВОЛНОВОДЕ, ЗАПОЛНЕННОМ НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДОЙ1
Аннотация. Изучается задача о распространении ТМ-поляризованных электромагнитных волн в двухслойном диэлектрическом волноводе кругового сечения, заполненного нелинейной средой. Физическая проблема сводится к нелинейной задаче сопряжения на собственные значения для системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Предложен численный метод нахождения собственных значений рассматриваемой задачи. Представлены результаты расчетов.
Ключевые слова: задача на собственные значения, задача сопряжения, уравнения Максвелла, численный метод.
Abstract. The authors investigate a problem of TM-polarized electromagnetic wave propagation in nonlinear two-layer dielectric waveguide with circular cross-section. Waveguide is filled by nonlinear media. The physical problem is reduced to a nonlinear conjugation eigenvalue problem. A numerical method to solve the problem is suggested. Numerical results are presented.
Key words: eigenvalue problem, conjugation problem, Maxwell’s equation, numerical method.
1. Постановка задачи
Рассмотрим трехмерное пространство Ш с декартовыми координатами Oxyz . Это пространство заполнено изотропной средой без источников с диэлектрической проницаемостью £3 = const. В эту среду помещен цилиндрический диэлектрический волновод с образующей, параллельной оси Oz, и
{ 2 2 21 x :0< x + y < R2 }.
Введем цилиндрическую систему координат Op9z так, чтобы ось Oz декартовых координат совпадала с одноименной осью цилиндрической системы координат.
Сечение волновода, перпендикулярное его оси, представляет собой два концентрических круга радиусов Ri и R2 соответственно, т.е. волновод является двухслойным.
Электромагнитное поле гармонически зависит от времени [1]
Ё (, ф, z, t) = E+ (, ф, z )cos rot + E- (, ф, z )sin rot;
Й (, ф, z, t) = H + (, ф, z )cos rot + H_ (, ф, z )sin rot,
где ro - круговая частота; Ё, Ё+, E_, H, H +, H_ - действительные функции. Везде ниже временной множитель опущен.
1 Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы.
Образуем комплексные амплитуды полей Е, Н Е = Е+ + /Е-, Н = Н + + /Н-,
T т т
где Е = (,Еф,Е2) , Н = ( Нр, Нф, Нг1 и (• ) обозначает операцию
транспонирования. Каждая компонента полей Е, Н является функцией трех пространственных переменных.
Электромагнитное поле Е, Н удовлетворяет системе уравнений Максвелла
условиям непрерывности касательных составляющих полей Е, Н на границах раздела сред р = Щ и р = Щ и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при р ^^ .
Пусть диэлектрическая проницаемость £ внутри волновода является скалярной функцией и внутри и вне волновода определяется следующим образом:
где £1, £2 , £3 - вещественные положительные постоянные. Среда предполагается изотропной и немагнитной, во всем пространстве полагаем ц = Цо .
Разыскиваются поверхностные волны, распространяющиеся вдоль образующей волновода.
Решение уравнений Максвелла ищется во всем пространстве.
На рис. 1 представлена геометрия задачи. Цилиндр неограниченно продолжается в направлении г.
го! Н = -/'юеЕ, го! Е = /юцН,
(1)
0 <р< Щ1,
р> %
Рис. 1. Геометрия задачи
2. ТМ-волны
Рассмотрим ТМ-волны
Е = (Ер,0,Ег ), Н = (0,Нф,0)Т ,
где Ер = Eр(р, Ф, г ) Ег = Ег (P, Ф, г ), Нф= Hф(р, Ф, г ).
Можно показать, что для рассматриваемой геометрии и выбранной нелинейности (закон Керра) компоненты полей могут быть представлены в форме
Ер= £р(р)^г, Е. = К2 (р)е^, Яф= Яф(р)^г,
(2)
где у - неизвестный вещественный спектральный параметр (постоянная распространения электромагнитной волны).
2 2
Обозначим ^0 =® ^0е0. Подставив компоненты (2) в (1), можно полу-
чить
2 ^ ■ дЕ. 2~
У Ер+ /у-^ = к0гЕр,
1 д
1 д
дЕ.
(3)
/у--------(рЕр)-------г
р др ^ р р др ^ др
= ,
,22
где К0 =ю Ц0£0 и £ = ££0, £0, М-0 - диэлектрическая и магнитная проницаемости свободного пространства.
Обозначая
получим из (3) [1, 2]
и1 ^ У):= Ер^ У)
«2 ^ У):=/Е. (р, у)
у^2 +(у2 - ) = 0,
-у—(ри1)-------(ри2) -^()Ёи2 = 0,
р р
(4)
(5)
где производная обозначает дифференцирование по р; щ (р,у), ^ (р,у) -
вещественные функции.
Будем искать те действительные значения спектрального параметра у, для которых существуют действительные не равные тождественно нулю решения щ (р,у), и2 (р,у) системы уравнений (5).
Считаем, что функции и1, и2 дифференцируемы так, что
и1 е С[0,Щ ]пС[Щ1,Щ2]пС[Щ2, +~)пС1 [0,Щ ]пС1 [Щ1,Щ]пС1 [Щ2, +~), и2 е С[0,+~)пС1 [0,Щ ]пС1 [Щ1,Щ2]пС1 [Я2,+~)п
пС2 (0, Щ )п С2 (Щ1, Щ2 )п С2 (Щ2, ■+»).
2
Считаем, что у >£3 .
3. Решение системы дифференциальных уравнений
При р < Щ имеем £ = ££0 и система (5) примет вид
уи-2 — 7 щ = 0, у—(ри1 ) — ■— (ри2) — ^0£1и2 = 0,
(6)
где 72 = у2 — к^£1.
Выражая функцию щ из первого уравнения и подставляя ее во второе уравнение системы, получим уравнение для функции и2 :
,,2
У 1 ( 1 / ,2 /л
""2— (ри2 )---(ри2 ) — 70 £1и2 = 0.
Ц р р
Последнее уравнение является уравнением Бесселя, его легко записать
в виде
1 > 2 -(ри2) + 7 и2 = 0.
Тогда решение системы (6) имеет вид
и1 (р) = Мс^ (Ат1р) + СК0 (Ат1р)),
ч
и2 (р) = С110 (71р) + С2К0 (Ч1р).
(7)
Функции 10 и К - модифицированная функция Бесселя и функция Макдональда нулевых порядков соответственно. Функция Макдональда К0 (р) стремится к бесконечности при р^ 0, а функция Бесселя /0 (р) ограничена при р ^ 0 . Принимая во внимание условие ограниченности поля во всякой конечной области и учитывая то, что /0 (р) = /1 (р), получаем из (7)
и1 (р)~—7“ С1К1 к1
(8)
и2 (р) = С1/0 (71р).
При Щ <р<Щ имеем £ = (£2 +а|Е|2)£0 . Тогда система (5) примет
вид
1 Доказательство существования решений системы (9) при малых а может
быть получено методами теории интегральных уравнений (см. [2-4]).
Tu2 + ( -k0 (e2 + a( + u2 )ul = 0,
-y—(pui) (pu2) -ko (£2 + a(2 + u2 )u2 = 0
При p > R) имеем e = £380 . Тогда система (5) примет вид Yu) + k) u— = 0,
-y—(pui )------(pu) ) -ko£3u2 = °
P P
где k2 =Y2 - k2 £3 .
Решение системы (10) имеет вид
Ul (p) = ^-Yr(C3(0 (3P) + C4K0 (k3p)),
k3
u2 (p) = C3I0 (k3p) + C4K0 (k3p).
(9)
(10)
(11)
Известно, что функция /0 (р) стремится к бесконечности при р ^+°° , а функция К0 (р) стремится к нулю при р^+°°. Принимая во внимание условие на бесконечности и учитывая то, что К0 (р) = — К^р), получаем из (11)
U1 (p)=“2 C4 K1 (k3p), k3
u2 (p) = C4K0 (k3p).
(12)
4. Условия сопряжения и дисперсионное уравнение
Как известно, касательные составляющие электромагнитного поля непрерывны на границе раздела сред. В рассматриваемом случае касательными составляющими являются компоненты Ег и Нф. Из этого условия получаем
Е2 ( + 0) = Е2 ( — 0), Нф ( + 0) = Нф ( — 0),
Е2 ( + 0) = Е2 (2 — 0),Нф (2 + 0) = Нф (Щ — 0).
Компонента Ер является нормальной компонентой и на границе раздела сред испытывает конечный скачок, однако величина £Ер на границе раздела сред непрерывна.
Из вышесказанного получаем условия сопряжения для функций щ и и2 :
[“1 ]Ц = °, [“2 l=R, = 0 [ЄU1 l=R2 = 0 [u2 ]I0=R, = °,
l|p=Rl
P=R2
'lp=R2
(13)
где
[f]lx=x = llm0f(x)_ llm0f(x).
x=xo x—ix0 _0 ~ ,n
x—1 xo +0
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион Тогда из (13) получаем
£^1 — 0) = (£2 +а|и| )и1 + 0), и2 (Щ — 0)= и2 (Щ + 0); (14)
(£2 +а|и| )и1 ( — 0) = £3и1 (Щ2 + 0), и2 (Щ2 — 0)= и2 (Щ2 + 0) , (15)
где |и|2 = щ^2 + |и2|2, и =(и1,и2)Т .
Легко видеть, что при умножении в (1) полей Е, Н на произвольную
постоянную С0 ^ 0 и коэффициента нелинейности на С0 2 система уравнений Максвелла не изменяется. Однако это обстоятельство не дает возможность выбора дополнительного условия нормировки. Поскольку при расчетах с конкретным коэффициентом а окажется, что этот коэффициент нормирован на неизвестную постоянную С0 2 . Это говорит о том, что рассматриваемая нелинейная задача существенно зависит от начального условия (от амплитуды падающего поля). Уже это отличает рассматриваемую нелинейную задачу от аналогичной линейной (где диэлектрическая проницаемость кусочно-постоянна в волноводе). То есть в линейной задаче каждому собственному значению отвечает целый «пучок» волн с одной постоянной распространения и всевозможными амплитудами падающего поля. В рассматриваемой нелинейной задаче это уже не так.
Считая постоянную С1 заданной и равной единице1, из (8), (12), (14), (15) получаем дисперсионное уравнение
(
А(у) = £2 +а|u|2 u— (2-0)-У^“^77; u2 (2-0). (16)
Л
p=R2-0
k3 K0 (3R2 )
Теперь мы можем сформулировать нелинейную задачу сопряжения на собственные значения (задача PM), к которой свелась исходная задача о распространении волн. Требуется отыскать собственные значения у и соответствующие им не равные тождественно нулю функции u—,u2 , определяемые выражениями (8) при p< R— и (12) при p> R2, удовлетворяющие системе уравнений (9) при R— < p < R2 , условиям сопряжения (13).
5. Численные результаты
Для получения численных результатов решалась система дифференциальных уравнений (9) при у у = у0 + jho , j = 0, N -1, с некоторым шагом Hq ,
где уе(,у*), у* <max(—,£2) (в линейной задаче) и у* >max(—,£2) (в нелинейной задаче). Затем вычислялось значение А(уу) и определялись отрез-
1 Из предыдущего пояснения ясно, что при расчетах значения одной из постоянных С1 или С4 необходимо задавать. Можно задавать значение постоянной на лю-
бой из границ волновода.
ки перемены знака А (у j). На каждом отрезке значение локализованного
корня уравнения А(у) = 0 уточнялось методом дихотомии.
Результаты расчетов представлены на рис. 2-6.
Рис. 2. Зависимость постоянной распространения у2 от радиуса Щ . При расчете использовались следующие значения параметров:
£1 = 4 , £2 = 9 , £3 = 1, Щ = 2, 2 < Я2 < 12, а = 0, 70 = 1
При расчете использовались следующие значения параметров:
£ = 4 , £2 = 9 , £3 = 1, Щ = 2, 2 < Я2 < 12, а = 0,01, 70 = 1
Рис. 4. Взаимное расположение графиков, приведенных на рис. 2, 3
Рис. 5. Зависимость постоянной распространения у от коэффициента нелинейности а. При расчете использовались следующие значения параметров:
е1 = 4 , £2 = 9 , £3 = 1, Я1 = 2, Я2 = 4 , к0 = 1
С4
Рис. 6. Зависимость постоянной распространения у от постоянной С4. При расчете использовались следующие значения параметров:
£ = 4, £2 = 9, £3 = 1, Щ = 2, ^2 = 4, а = 0,01, к0 = 1
2
а
2
Список литературы
1. Eleonskii, V. M. Cylindrical Nonlinear Waveguides / V. M. Eleonskii, L. G. Oga-nes’yants, V. P Silin. // Soviet physics JETP. - 1972. - V. 35, № 1. - P. 44-47.
2. Смирнов, Ю. Г. О разрешимости нелинейной краевой задачи на собственные значения для распространяющихся ТМ-волн в круглом нелинейном волноводе / Ю. Г. Смирнов, Э. А. Хорошева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. - № 3. - С. 55-70.
3. Смирнов, Ю. Г. Распространение электромагнитных волн в цилиндрических диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой / Ю. Г. Смирнов, С. Н. Куприянова // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2004. - Т. 44, № 10. - С. 1850-1860.
4. Schurmann, H.-W. Propagation of TE-waves in cylindrical nonlinear dielectric waveguides / H.-W. Schurmann, Yu. G. Smirnov, Yu. V. Shestopalov // Physical Review E. - 2005. - V. 71, № 1. - P. 016614-1-016614-10.
Валовик Дмитрий Викторович
кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет
E-mail: dvalovik@mail.ru
Смолькин Евгений Юрьевич аспирант, Пензенский государственный университет
E-mail: mmm@pnzgu.ru
Valovik Dmitry Victorovich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling,
Penza State University
Smolkin Evgeny Yuryevich Postgraduate student,
Penza State University
УДК 517.927, 519.624 Валовик, Д. В.
Численное решение задачи о распространении электромагнитных ТМ-волн в круглом диэлектрическом волноводе, заполненном нелинейной средой / Д. В. Валовик, Е. Ю. Смолькин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2012. -№ 3 (23). - С. 29-37.
