CC BY
40
УДК 517.958; 517.927.4
Д. В. Валовик
ЗАДАЧА О РАСПРОСТРАНЕНИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В СЛОЕ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ (II. ТМ-ВОЛНЫ)1
Аннотация. Рассматривается краевая задача для системы уравнений Максвелла, описывающая распространение электромагнитных ТМ-волн в нелинейном диэлектрическом слое с произвольной нелинейностью. Проблема приводит к нелинейной краевой задаче на собственные значения для системы обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Получено дисперсионное уравнение для собственных значений задачи (постоянных распространения).
Ключевые слова: уравнения Максвелла, задача дифракции, нелинейная краевая задача на собственные значения.
Abstract. The electromagnetic problem of ТМ-waves propagation in a layer with arbitrary nonlinearity is considered. It is shown that the boundary value problem for Maxwell equations is reduced to a nonlinear boundary eigenvalue problem for a system of ordinary nonlinear differential equation of the 2nd order. Dispersion equation for the eigenvalues of the problem (propagation’s constants) is obtained.
Keywords: Maxwell equation, diffraction problem, nonlinear boundary eigenvalue problem.
Задачи распространения поляризованных электромагнитных волн в нелинейных волноведущих структурах приводят к краевым задачам для системы уравнений Максвелла [1-12]. Рассматривать такие задачи естественно как нелинейные краевые задачи на собственные значения для обыкновенных дифференциальных уравнений. Поскольку основной интерес в таких задачах представляет нахождение тех значений постоянных распространения (по сути собственных чисел), при которых волна в рассматриваемой структуре распространяется. Такие задачи достаточно сложны математически, т.к. кроме того, что уравнения являются нелинейными относительно входящих в них функций, оказывается, что спектральный параметр входит нелинейно как в сами уравнения, так и в граничные условия.
Относительно простой оказывается задача лишь для ТЕ-волн, распро-
£ = £const + а или обобщенной кер-
чено в работе [2]. Однако использованная там техника не может быть легко распространена (если вообще может) на более общие нелинейности. Уже в случае ТМ-волн и керровской нелинейности (а это простейший случай для ТМ-волн) задача значительно усложняется. По этому поводу опубликовано
Введение
нелинейностью, ее решение было полу-
Работа выполнена при поддержке гранта Минобрнауки РФ по ФЦП «Развитие потенциала высшей школы» № 2.1.1/1647.
довольно много работ (см. [1, 3-7] и библиографию там). Эта задача была решена в работах [5-7]. Лро8Іегіогі стало ясно, почему сравнительно легко удалось решить эту задачу для ТЕ-волн и почему такие трудности вызывала задача для ТМ-волн. В случае ТЕ-волн решение дифференциального уравнения выражалось через эллиптические функции, а решение для ТМ-волн выражается через гиперэллиптические. В первом случае авторы [2] аналитически проинтегрировали уравнение, а уже потом искали дисперсионное уравнение. Во втором случае найти аналитическую формулу (с которой можно работать) для решений получающейся системы оказалось трудно (она так и не была построена), поскольку периоды искомой функции были функциями параметров задачи, и вычислить их не представлялось возможным. А без значений периодов решение было бы лишь формальным выражением, которое вряд ли возможно будет проанализировать и тем более использовать при расчетах. Кроме того, решение уравнений, это еще не решение задачи на собственные значения. Если же рассматривать эту задачу как задачу на собственные значения, то можно сосредоточиться на поиске дисперсионного уравнения для собственных значений и не пытаться решать уравнения. Тем более что после того, как найдены собственные значения, сами уравнения легко решаются численно [8, 9].
Задача распространения ТЕ-волн в слое с произвольной нелинейностью решена в работе [12].
В работе [3] получено дисперсионное уравнение для случая ТМ-волн, распространяющихся в нелинейном полупространстве, кроме того, эта работа содержит некоторые полезные обсуждения. Работа [4] посвящена задачам распространения ТЕ- и ТМ-волн в слое с произвольной нелинейностью, однако никаких конкретных результатов относительно дисперсионного уравнения в ней получено не было.
Также большое внимание привлекают задачи распространения ТЕ- и ТМ-волн в нелинейных цилиндрических волноводах. Эти задачи гораздо более сложные по сравнению с только что рассмотренными. И, в первую очередь (с точки зрения автора), это связано с тем, что в случае волновода получающиеся обыкновенные дифференциальные уравнения не являются автономными (в отличие от случая слоя). Поэтому не удается применить метод, рассматривающийся в этой работе. Дело в том, что указанный метод позволяет с общей точки зрения рассматривать большинство задач по распространению ТЕ- и ТМ-волн в нелинейном слое. Но, к сожалению, неавтономность уравнений является серьезной помехой для применения метода в неизменном виде к случаю цилиндрических волноводов. Тем не менее методами теории интегральных уравнений получены дисперсионные уравнения (для достаточно малых значений коэффициента нелинейности) для ТЕ- и ТМ-волн в цилиндрических волноводах с керровской нелинейностью (см., работы [10, 11], постановка задачи есть также в [1]). В настоящее время проблема нахождения дисперсионных уравнений для собственных значений для ТЕ- и ТМ-волн в цилиндрическом волноводе с произвольной нелинейностью является открытой. И даже в случае керровской нелинейности хотелось бы получить дисперсионные уравнения для более широкого диапазона значений коэффициента нелинейности.
Метод, использованный в этой работе, был предложен Ю. Г. Смирновым и автором, см., например, [5-9].
1. Постановка задачи
Рассмотрим электромагнитные волны, проходящие через однородный, анизотропный, немагнитный диэлектрический слой с нелинейностью типа Керра, расположенный между двумя полупространствами x < 0 и x > h в декартовой системе координат Oxyz . Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость £j > £0 и £3 > £о соответственно, где £о - диэлектрическая проницаемость вакуума. Считаем, что всюду Ц = Ц0 , где Мю - магнитная проницаемость вакуума.
Будем предполагать гармоническую зависимость полей от времени в виде [1]
E(x, y, z, t) = E+ (x, y, z)cos rot + E_ (x, y, z)sin rot;
H(x, y, z, t) = H+ (x, y, z)cosrot + H_ (x, y, z)sinrot,
где ro - круговая частота; E, E+, E_, H, H +, H_ - вещественные искомые
функции. Образуем комплексные амплитуды полей E (x, y, z) и H (x, y, z):
E = E+ + /E_, H = H+ + iH _.
Везде ниже множители cos rot и sin rot будем опускать.
Диэлектрическая проницаемость внутри слоя описывается диагональным тензором
Í £ cxx 0 0 N
£ = 0 £ 0
V 0 0 £ zz /
где £хх = £/ + £0/(|Ех|2, |Е*|2 ) , £а = £g + £0^ (|Ех|2, \Е2|2 ) • Здесь
£/ > тах (е^, £3), £g > тах (е^, £3) - постоянные составляющие диэлектрической проницаемости £.
Функции / и g таковы, что выполняется соотношение
3(|Е\2) э(|Ех|2)'
Такое условие на компоненты тензора £ указано в [3], где авторы утверждают, что многие типы нелинейностей удовлетворяют указанному условию. Таким образом, несмотря на введенное условие, все равно рассматриваются достаточно общие нелинейности. Приведенное условие можно обобщить, если использовать интегрирующий множитель [3]. Кроме того, функции / и g должны будут удовлетворять еще некоторым условиям, они будут указаны позднее.
Требуется отыскать собственные значения у задачи, отвечающие поверхностным волнам, распространяющимся вдоль границ слоя 0< х < И , т.е.
собственным волнам структуры. Электромагнитное поле E, H удовлетворяет уравнениям Максвелла
rot H = -юеЕ, rotE = irn|iH, (1)
где E и Н - комплексные амплитуды, удовлетворяющие условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред х = 0 и х = h и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при |х| в областях х < 0 и х > h . Будем
искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве.
Рассмотрим ТМ-поляризованные волны E = {Eх ,0,Ez } , Н = |0, Hy, 0|. Предполагая, что компоненты поля гармонически зависят от z, Hy = Hy (х)eiyz, Ех = Ех (х)eiyz , Ez = Ez (х)eiyz, из (1) получаем систему уравнений [1, 5-9]:
У(Ех (х)) - EZ (х) = zzEz (х) (2)
У2 (( (х)) - YEZ (х) = Ю2Ц£хх (( (х)), здесь у - неизвестный спектральный параметр - постоянная распространения электромагнитной волны. Введем обозначения k2 = ю2Ц80 с и выпол-
ним нормировку в соответствии с формулами х = кх, — = k—, у = —,
ёх dх k
8 ■ 8 f 8 g 8i = — (i = 1,2), 8 f = —, 8g = — . Переобозначаем Ez = Z (jc), iEх = X (х)
80 80 80 и, опуская значок тильды, систему (2) приведем к виду
d 2 Z dX
+ У—= £ zzZ,
dx2 ‘ dx zz
dZ v 1 v
- -T + 4X =-£ xxX •
dx у
Будем искать те значения спектрального параметра у , для которых существуют действительные решения X(x), Z(x) системы (3), у полагаем
действительным (так что |Ex |2 и |Ez |2 не зависят от z) и удовлетворяющим
условию max (ej, £3 )<у2 < min (e(, £g ).
Также будем полагать, что функции X(x), Z(x) дифференцируемы так, что
X(x)є C(-»; 0]nC[0;h] nC[h; +~)nC1 (-»; ü]nC1 [0;h] nC1 [h; +~);
Z(x)e C(-»; + ^)nC1 (-»; ü]nC1 [0; h] nC1 [h; +~)n nC2 (—;0) n C2 (0; h) n C2 (h; + ~).
Подробный вывод уравнений (3) из уравнений (1) представлен, например, в [6, 8, 12].
2. Решение системы дифференциальных уравнений
В полупространствах х < 0 и х > Н диэлектрическая проницаемость £ в уравнениях (1) имеет постоянное скалярное значение £1 и £3 соответственно. Учтем это при выводе уравнений (3) для этих полупространств из системы (1). Мы получаем систему линейных уравнений в каждом случае, которые легко решаются. Подробности можно посмотреть в [12].
Для £ = £1 в полупространстве х < 0 получаем общее решение:
в соответствии с условием на бесконечности.
В (4) константа А определяется условиями сопряжения, а константа В в (5) считается заданной.
Внутри слоя 0 < х < Н система (3) принимает вид
пока явно не будет оговорено иное), используя последнее уравнение, систему (6) можно переписать в виде
(4)
где принято во внимание условие на бесконечности. Для £ = £3 в полупространстве х > Н имеем
X(х) = Вехр^-(х - И)^У2 -є3 ^,
(5)
(6)
Дифференцируем второе уравнение по х, получаем
где / = /'х2, /V = /'■£2 (далее эти производные понимаются в этом смысле,
Из (7) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение
: (8)
/ 2 \сХ У2 ( + 8 X + 2 (є (-у2 + / )х21/;
у(2X(г + /Х = 18 ( / У 1-----------
^ ^2-£/ - / )
Перепишем его в симметричной форме:
Мс1х + тг = о,
где
М = (у2 — £/ -/)(2Х/+£/ + /)х,
N = ( 2 (у2 —£ / — / )х2 /;—У2 у + *)) г.
Л ЭМ ЭN Т б
Легко проверить, что выполняется соотношение ------=-----. Таким об-
р р Эг ЭХ
разом, уравнение (8) представимо как уравнение в полных дифференциалах.
Найдем его решение - и (X, 2), поскольку Эи = М, то получаем
Эх
и = I (у2 —£ / — / )х / + £ / + / )хйх + ф(г ) =
= I х2 (у 2 — £ / — / ) 2 хсх +1 (у 2 —£ / — / )х / + / )х + ф(г),
интегрируя по частям первое слагаемое, получаем
и = —2 х2 (у2 —£/ —/)2 + | х (у2 —£/ —/)2 сх +
+1 (2—£/—/ )£/+/ )хёх+ф(2 )=
1 х2 (у2 —£/ — /)2 +| х (у2 —£/ — /)2 С) +
+1 (у 2 —£ / — /)(—У2 + £ / + / + У2 )х + ф(г ) =
= —2 х2 (у2 —£/ —/)2 +У21 (у2 —£/ —/)х + ф(г).
Т эи N
Теперь, учитывая, что-----= N , получаем
Э2
Ц = 2 х2 г (у2 — £ / — /— 2у21 хдах + ф'(2 ) =
= (2 (у2 —£ / — / )х 2 ) — У2 (£ у + *)г,
= — X 2
отсюда
ф (г ) = 2у 21 хг/;сх—у2 (* + * у.
Далее, интегрируя по 2, получаем
ф(г) = 2у 2 Цхг/^схсг—у 2 |(е * + * )у2 .
В первом интеграле меняем порядок интегрирования (теорема Фубини): ф(2 ) = У21 х (| 22/;С2 ) — у2| (е * + * ) =
= у21х/сх — у21(* +*)У2 ,
значит,
и = — 2 х2 (у2 — £ / — / )2 +У21 (у2 — £ / — / ) + +у21х/ёх — у21(* + *) ,
приводя подобные слагаемые и интегрируя то, что можно проинтегрировать явно, имеем
и=—2х 2 (у2—Е/ — / )2 +т ((у2 —£/ )х 2—е*2 2 /—У212*ё2 ■
Делая замену 22 = 5 , получаем окончательно
2 22 и = х2(Е/ —у2 + /) + у2((/ —у2)х2 + £*22) + у2 | *(х2,5) = С .
2о
Функция и (х, 2) является первым интегралом системы (7), мы будем использовать первый интеграл в следующей форме:
х2 (/ —У2 + / )2 +у2 ((е / —У2 )х2 + е *22 ) + у2О (х2,22 У С, (9)
2 2
где О(х2,22У I *(х2,5) .
2о
Введем новые переменные:
т(х) = £ / + х2 (х), л(х) = ^х^у^/т(х), (10)
2 (х)
тогда
_2 т
х 2 2 2 =7 х-£ //•хг^х^//.
Найдем вид системы (7) и первого интеграла (9) в новых переменных. Последовательно получаем
у (2 х 2у + е / + / )(х2 / = 2 (у2 (е * + *) + 2 (е / —у2 + / )х У ) хг,
у2 2=^(у2-е / -/ )хг; у(2 (х-Е / У+£ /+/ У=2 )-£ / /у 2 (е *+*/+2х(£ /-у 2+/У / ■
( _2
V
^ (х-є/ = = ^(-є/ )(-є/-/ )•
л - /
из первого уравнения получаем
/2 х / \
х =----(х —е / У , где х =
у — ' *' '
у2 (8+8 X2 (х-є / )(є/-у2+/ )х
2 Х-є/ )=+є/+■/
Преобразуем второе уравнение:
-2(-3є/ ) ■-2" (зє/2 = = ;(у2 -є/ -/)(х -є/ = ■
Ц Ц
Теперь, используя х', получаем
-2 ( ;у(3х—3е/ у—ц/]=“(у2 —е/ —/).
Ц
Окончательно:
' 2 х/ \
х =-----(х-є/ 1=,
у — V •/ I
1 2
-=/-у 2 + / )+(3х-2є / )=,
г, э/(и,;) здесь и далее / = —----------
( х2
Т-є /, -2(т-є /
и
Эи
Первый интеграл примет вид
х / —У2 + / )2 + У2 V (е / —У2 ) + е * -Т
V Ц /
, / = д/ (и, V )
Л , ІУ
ду
Т-є / ,“Т (Т-є /)
С
х-є
/, 2 -2
(11)
- С. (12)
Уравнение (12) является в общем случае трансцендентным уравнением относительно х и Ц .
Мы будем предполагать функции / и ^ таковыми, что правая часть второго уравнения системы (11) положительна. На первый взгляд это условие может показаться достаточно жестким, однако это не так. Например, если / и g - многочлены от двух переменных с положительными коэффициентами, то этого достаточно для выполнения нашего требования (о положительно-
сти). Нужно учитывать, что условие
Э/
Э(|Е* I2 ) Э(|Ех I2 )
накладывает некото-
рые ограничения на вид многочленов / и g . Как известно, вектор поляризации в материальных уравнениях Максвелла раскладывается в ряд по степеням компонент электрического поля, значит, многочлены в качестве / и g являются достаточно общим типом нелинейности.
3. Условия сопряжения и дисперсионное уравнение
Из непрерывности касательных составляющих полей Е и Н получаем
2(И) = Ег (И + 0) = Е(); 2(0) = Ег (0 - 0) = Е(0); уХ( И)-2'(И ) = т\\Иу( И + 0 ) = Н(уИ); уХ( 0)-2'( 0 ) = т\\Ну ( 0) = н|0), (13) где константа Е^И) считается известной, и тогда
Н(И) = -Е ,(И) £з
у2 -£з
н (0)_Е (0)____£1
Пу ~ ^2
Vу2 -£1
В соответствии с(6)в слое
-2 '(х ) + уХ (х)_ ■“( £ / + / )х (х).
(14)
(15)
Тогда для х _ И получаем из (15)
( (
- Е*) У£з _ Г £ / + / { X 2 (И), (Е(И ))211X (И),
Ф -£3 І I ' ' ))
(16)
найденное из уравнения X(И) будем обозначать X (И) = Хи , причем, если Е*И) > 0 (а мы можем так считать), то, как легко видеть из (16), Xи < 0.
Используя первый интеграл (9), найдем значение константы С = Си :
Си _X¡ (-у2 + /)2 +у21 (£/-у2 +(Е(И))
+ о
XI (Е(И)
(17)
где / , разумеется, обозначает /
2 ^
И .(V '
V )
X ?, (Е(И)
. Заметим, кстати, что при
сделанных предположениях относительно функций / , g и знака име-
ем Си > 0.
Для того чтобы найти значения Е^0) и X (0) = X 0, необходимо решить
систему двух уравнений, полученную использованием формулы (15) в точке х = 0 и значения первого интеграла в этой же точке:
( ( . .^2^
Х0,
Е*°)Т=^_ £/ + /[ XОТ,(Е20))
^у2^! г V ' 1
Xо2 (£ /-у2 + / )2 + у2 [ (£ /-у2 (Xо2 +(Е*°))2
Л
(
+ О
Xо, (Е*
(0)
(18)
_ Си .
г(°)
Из второго уравнения системы (18) видно, что X0 и Е\ ' могут входить в это уравнение с произвольными знаками. В то же время из первого
уравнения видно, что X0 и Е^0) должны быть либо одновременно положительными, либо одновременно отрицательными (этот факт окажется очень важным в дальнейшем).
Теперь мы можем найти знаки выражений ^(0) и ^(И):
) = JXMe / + •ї02 )> 0 и ) = тМ* / + 'Г02 )< 0'
Е* Е*
XI,
(19)
Как нетрудно видеть, правая часть второго уравнения системы (11) строго положительна, значит, функция ^(х) монотонно возрастает на интервале (0, И). Учитывая знаки выражений (19), получаем, что функция ^(х) не может быть дифференцируемой на всем интервале (0; И), а необходимо имеет точку разрыва. Пусть это будет х*е(0;И). Причем ^(х -0)^+°
^(х* + 0) -^ .
Обозначим
1-Го и
w
= w (л)_
^у~^ (£ /-у 2 + /)+)-2£ /)
X
где т = т(^) выражается из уравнения (12).
Полагаем, что функция ^(х) на промежутке (0, И) имеет несколько точек х0, х1,..., хN, в которых она обращается в бесконечность. Вывод дисперсионного уравнения здесь проходит дословно так же, как в работе [12]. Как и в [12], число точек х0, х1,..., XN конечно для любого И. Повторяя вывод из [12], получаем
л(И)
- | wd^ + ( + 1) _ И , л(°)
(20)
где N> 0 является целым числом; ^(0), ц(Н) определяются по формулам (19) и T = J wd^ .
—œ
Формула (20) есть дисперсионное уравнение, справедливое для любого h. Надо отметить, что когда N Ф 0, то возникает несколько уравнений при различных значениях N . Необходимо решать относительно у каждое из получающихся уравнений. Все полученные у будут составлять множество постоянных распространения, на которых и только на которых будут распространяться волны в слое при заданном h .
Несколько замечаний относительно системы (11) и первого интеграла (12). В случае, если f и g - многочлены, то (12) представляет собой алгебраическую функцию. В то же время правые части обоих уравнений в (11) являются функциями рациональными относительно т и ^ . Это значит, что первый интеграл совместно с любым из уравнений (11) можно рассматривать как определяющие абелеву функцию. В этой задаче абелевы функции, возникающие из такого рассмотрения, более сложные, чем в аналогичной задаче для ТЕ-волн. Это следует из того, что первый интеграл может быть многочленом любой степени как по X, так и по Z . Иная ситуация в случае аналогичной задачи для ТЕ-волн. Если мы рассматриваем многочлен в качестве нелинейности, то там всегда возникают гиперэллиптические функции, но род гиперэллиптической алгебраической кривой возрастает вместе со степенью многочлена. Здесь гиперэллиптические функции возникают только в случае керровской нелинейности, и задача их нахождения тесно связана с проблемой обращения Якоби. Вопросы, связанные с алгебраическими, абелевыми, тэта-функциями, проблемой обращения Якоби и явным построением абелевых функций изложены, например, в [13-15].
Автор благодарит Ю. Г. Смирнова за полезные обсуждения.
Список литературы
1. Eleonskii, P. N. Cylindrical Nonlinear Waveguides / P. N. Eleonskii, L. G. Oga-nes’yants, V. P. Silin // Soviet Physics Jetp. - 1972. - V. 35. - № 1. - P. 44-47.
2. Schurmann, H. W. Reflection and transmission of a plane TE-wave at a lossless nonlinear dielectric film / H. W. Schurmann, V. S. Serov, Yu. V. Shestopalov // Physica D. - 2001. - № 158 (2001). - P. 197-215.
3. Joseph, R. I. Exact field decomposition for TM waves in nonlinear media / R. I. Joseph, D. N. Christodoulides // Optics Letters. - 1987. - V. 12. - № 10. - P. 826828.
4. Leung, K. M. Scattering of transverse-magnetic waves with a nonlinear film: Formal field solutions in quadratures / K. M. Leung, R. L. Lin // Physical Review B. -1991. - V. 44. - № 10. - P. 5007-5012.
5. Валовик, Д. В. Нелинейная задача на собственные значения для ТМ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном слое / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Известия вузов. Математика. - 2008. - № 10. - С. 70-74.
6. Валовик, Д. В. О распространении ТМ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном слое с нелинейностью, выраженной законом Керра / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2008. - T. 48. - № 12. - С. 2186-2194.
7. Валовик, Д. В. О существовании решений нелинейной краевой задачи на собственные значения для ТМ-поляризованных электромагнитных волн / Д. В. Валовик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2008. - № 2 - С. 86-94.
8. Валовик, Д. В. Расчет постоянных распространения ТМ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном слое / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Радиотехника и электроника. - 2008. - Т. 53. - № 8. - С. 934-940.
9. Валовик, Д. В. Расчет постоянных распространения и полей для поляризованных электромагнитных ТМ-волн в нелинейном анизотропном слое / Д. В. Вало-вик, Ю. Г. Смирнов // Радиотехника и электроника. - 2009. - Т. 54. - № 4. -С. 411-417.
10. Смирнов, Ю. Г. Распространение электромагнитных волн в цилиндрических волноводах, заполненных нелинейной средой / Ю. Г. Смирнов, С. Н. Куприянова // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2004. -№ 10. - С. 1850-1860.
11. Медведик, М. Ю. Численное решение задачи о распространении электромагнитных ТМ-волн в круглых диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов, Э. А. Хорошева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2010. - № 1 - С. 2-13.
12. Валовик, Д. В. Задача о распространении электромагнитных волн в слое с произвольной нелинейностью - I. ТЕ-волны / Д. В. Валовик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. -№ 1. - С. 18-27.
13. Маркушевич, А. И. Введение в классическую теорию абелевых функций / А. И. Маркушевич. - М. : Наука, 1979.
14. Бейкер, Г. Ф. Абелевы функции. Теорема Абеля и связанная с ней теория тэта-функций / Г. Ф. Бейкер. - М. : МЦНМО, 2008.
15. Риман, Б. Сочинения / Б. Риман. - М. : ГИТТЛ, 1948.
Валовик Дмитрий Викторович
кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет
Valovik Dmitry Viktorovich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling,
Penza State University
E-mail: [email protected]
УДК 517.958 Валовик, Д. В.
Задача о распространении электромагнитных волн в слое с произвольной нелинейностью (II. ТМ-волны) / Д. В. Валовик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2010. - № 2 (14). - С. 54-65.
