CC BY
39
УДК 517.958; 517.927.4
Д. В. Валовик
ЗАДАЧА О РАСПРОСТРАНЕНИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В СЛОЕ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ (I. ТЕ-ВОЛНЫ)1
Аннотация. Рассматривается краевая задача для системы уравнений Максвелла, описывающая распространение электромагнитных ТЕ-волн в нелинейном диэлектрическом слое с произвольной нелинейностью. Проблема приводит к нелинейной краевой задаче на собственные значения для обыкновенного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка. Получено дисперсионное уравнение для собственных значений задачи (постоянных распространения).
Ключевые слова: уравнения Максвелла, задача дифракции, нелинейная краевая задача на собственные значения.
Abstract. Electromagnetic propagation problem of TE-waves in a layer with arbitrary nonlinearity is considered. It was shown that the boundary value problem for Maxwell equations is reduced to a nonlinear boundary eigenvalue problem for an ordinary nonlinear differential equation of the 2nd order. Dispersion equation for the eigenvalues of the problem (propagation’s constants) is obtained.
Keywords: Maxwell equation, diffraction problem, nonlinear boundary eigenvalue problem.
Введение
Одна из первых известных автору публикаций по распространению электромагнитных волн в нелинейных волноведущих структурах, в которой задачи распространения волн рассматриваются в строгой электродинамической постановке, - это работа [1], вышедшая в 1972 г. По крайней мере, с этого времени (см., например [2, 3]) проблемы нелинейной оптики и, в частности, проблемы распространения волн в нелинейных волноведущих структурах вызывают неослабевающий интерес. Однако если задачи распространения электромагнитных волн в нелинейных волноведущих структурах рассматривать в строгой электродинамической постановке, то они приводят к нелинейным краевым задачам на собственные значения, для которых на настоящий момент не существует общих методов решения. И даже в случае конкретных проблем решению они поддаются с большим трудом. Например, в работе [4] получено дисперсионное уравнение для собственных значений в случае распространения ТЕ-волн в волноводе с керровской нелинейностью при достаточно малом коэффициенте нелинейности. Однако дисперсионного уравнения для случая произвольного коэффициента до сих пор не получено, несмотря на то, что в течение всего этого периода появлялись публикации по этой проблематике (см. [4]). Эта задача была поставлена еще в работе [1], а ведь с момента ее публикации прошло более 30-ти лет. В то же время это одна из простейших задач для нелинейного волновода. Задача еще более усложняется, если рассматривается распространение ТМ-волн. В этом случае
1 Работа выполнена при поддержке гранта Минобрнауки РФ по ФЦП «Развитие потенциала высшей школы» № 2.1.1/1647.
также удалось получить дисперсионное уравнение для достаточно малых значений коэффициента нелинейности. Автору неизвестны какие-либо строгие математические результаты относительно разрешимости краевых задач для электромагнитных волн, распространяющихся в цилиндрических волноводах с более сложными нелинейностями. К этим задачам тесно примыкают задачи распространения электромагнитных волн в нелинейном слое. Фактически это более простые задачи. Но даже такая задача в случае керровской нелинейности и ТМ-волн долгое время не поддавалась решению и была решена лишь недавно (см. [5, 6]). Для решения задачи использовался подход, разработанный в [5, 6]. Сейчас оказалось, что, используя этот метод, можно рассматривать большинство задач распространения электромагнитных волн в нелинейных слоях с единой точки зрения. Применению этого метода для случая распространения ТЕ-волн в слое с произвольной нелинейностью и посвящена настоящая работа. Задача для ТЕ-волн в слое с керровской нелинейностью была решена в работе [7], однако там использовалась существенно иная техника. Фактически там было построено в явном виде решение получающегося уравнения (в эллиптических функциях), что вообще удается сделать редко.
Исследование таких математических моделей важно, поскольку уже довольно давно [2, 3] известны вещества, в которых наблюдаются нелинейные эффекты третьего и четвертого порядков. Ясно, что с возрастанием мощности излучения (например, лазеров) становятся доступными для экспериментального изучения эффекты все более высоких порядков. С некоторыми новыми результатами и достижениями в различных отраслях нелинейной оптики можно ознакомиться по работам [8-10].
1. Задача дифракции и уравнения Максвелла
Рассмотрим электромагнитные волны, проходящие через однородный, изотропный, немагнитный диэлектрический слой с нелинейностью произвольного типа, расположенный между двумя полупространствами х < 0 и х > h в декартовой системе координат Oxyz . Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость £1 > £о и £3 > £о соответственно, где £о - диэлектрическая проницаемость вакуума. Считаем, что всюду Ц = |М) , где Мю -магнитная проницаемость вакуума.
Электрическое поле гармонически зависит от времени t и удовлетворяет уравнениям Максвелла
rotH = -7'юеЕ; rotE = 7'юцН, (1)
где Е (х, y, z) и Н (х, y, z) - комплексные амплитуды [1].
Диэлектрическая проницаемость внутри слоя описывается следующим законом:
£ = £2 + £0 f (|E\2),
где f е C[0,h] - произвольная функция (некоторые возможные ограничения на функцию f будут указаны далее); £2 > max(£1, £3)- положительные константы. Будем искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве.
Электромагнитное поле Е , H удовлетворяет уравнениям Максвелла (1), условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред х = 0 , х = h и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при |х| в областях
х < 0 и х > h .
/ \T T
Рассмотрим ТЕ-поляризованные волны Е = (0, Ey ,0) , Н = (х ,0, Hz) ,
где ( • ) - операция транспонирования. Предполагая, что компоненты поля гармонически зависят от z, Hy = Hy (х)е1уг, Ех = Ех (х)е1уг , Ez = Ez (х)el^z, из (1) получаем систему уравнений [1, 5, 6]
1уНх (х)-H'z (х) = -lro£Ey (х),
<-lyEy (х) = 1юцНх (х), (2)
E'y (х) = lropHz (х),
где у - неизвестный спектральный параметр - постоянная распространения электромагнитной волны.
После простейших преобразований из системы (2) получаем
у2Ey (х) - Ey (х) = ro2|M£Ey (х).
2 2
Введем обозначения к =ю Ц£0, М = М0 , и выполним нормировку в соответствии с формулами х = кх, d = kd, у = ~, £ j =— (j = 1, 2, 3). Полу-
dr dS к £0
чаем из последнего уравнения
У2Ey (х)- ^(х) = £Ey (х).
Обозначая Ey (х) = Y(х) и опуская значок тильды, получаем
Y "(х) = y2Y (х )-£Y (х). (3)
Будем искать действительные решения Y(х) для уравнения (3), пола-
2
гая у действительным (так что |Е| не зависит от z) и считая
^1, х < 0,
£2 +f (Y2), 0 < х <h, (4)
£3, х > h.
Также будем полагать, что функция Y (х) дифференцируема в слое так, что Y(х)е C(-«>; + го)п C2 (-^; 0)п C2 (0; h)п C2 (h; + ^).
Будем искать такие у, что max (£1, £3) < у2 < £2 .
£ =
2. Решение системы дифференциальных уравнений
Для £ = £1 в полупространстве х < 0 из (3) и (4) получаем уравнение
Y” = (у2 -£1 )y , его общее решение Y(х) = A1e ^у -£1 х + Ае^у -£1 х , в силу условия на бесконечности получаем
Y (х) = A exp ^х^у2 -£1 j. (5)
Для £ = £3 в полупространстве х > h из (3) и (4) получаем уравнение
Y" = (у2 -£3)y , его общее решение Y(х) = B^e^ h) -£3 + Be (х h)у -£3 , в силу условия на бесконечности получаем
Y(х) = Bexp^-(х-h)^/у2 -£3 j . (6)
Постоянные A и B в (5) и (6) будут определяться граничными условиями. Внутри слоя 0 < х < h система (3) принимает вид
d 2Y d? = 'Г-Е 2
(ї2-E2 - f (y2 ))y . (7)
Будем рассматривать последнее уравнение как систему, пусть У ' (х) = 2 (х), получаем
2'(х ) = (у2-82 - / (2 ))У (х ), (8)
У' (х ) = 2 (х ).
Для системы (8) можно получить первый интеграл и, таким образом, свести изучение уравнения второго порядка (7) к изучению уравнения первого порядка и первого интеграла, получающихся из системы (8). Найдем первый интеграл. Поделим одно уравнение на другое, получим уравнение
Последнее
й2 у2 -е2-/(У2) / 2 I 2\\
— =-^—'-У, далее, 2й2 + (е2 -у2 + /(У2 )УйУ = 0.
уравнение, очевидно, является уравнением в полных дифференциалах. Пусть ¥ (У, 2) - его решение, тогда ¥’г (У, 2 ) = 2 , далее получаем
2 2 ф( 2) 1 , V й ф(у 2) й ф(у 2)
¥(У,2)=т+-Ц Отсюда 2Ф'(У2)=-ф)У и ф) = е2-у2 +
+/(у2), тогда
Y 2
9(Y2)= i (Є2-ї2 + f (ud) •
Yo
Первый интеграл ¥ (У, 2) принимает вид
22 +ф(У2) = С ,
(9)
где С - постоянная интегрирования. Введем новые переменные:
У (х),
:(х) = е2 + У (х), -(х) = -Щx(x),
(10)
из них имеем
2
У2 = (х-е2)/- и 22 =(х-е2)т2/- . (11)
Перейдем в системе (8) к новым переменным, последовательно получа-
ем
(мы ввели обозначение То = е^у2 )
(22) = 2(у2-е2 -/(У2)у2,
(е 2 + У2 ) = 2У2;
2 (т-е2 )тТ-2 (т-е2 )т2 Л = 2у 2 (1 -Т - / ( Т - е2 )
2 Т + 2 2 - -
Т' = 2 (Т-е2 )-. -
- = 2у
-
Окончательно получаем
т' = 2 (т-82 )
-
- = у
Тп -
1+/Ут)'
(12)
- + 3т- 2е 2.
Первый интеграл (9) в новых переменных примет вид
-+ф(т-е2) = С .
(13)
Уравнение (13), вообще говоря, есть трансцендентное уравнение относительно т. Его решение т = т(-) легко может быть выписано явно лишь
в исключительных случаях.
Однако если считать (и так можно делать в силу физического характера нелинейности), что функция /, выражающая нелинейность в слое, является многочленом относительно напряженности электрического поля, то уравнение (13) есть алгебраическое уравнение относительно Т . Вектор поляризации в материальных уравнения в системе Максвелла имеет разложение в ряд по
2
-
степеням |Е|; считая, что нелинейность выражается в виде многочлена, мы
просто обрываем соответствующий ряд. Однако можно подбирать и другие функции нелинейности, но так, чтобы выполнялись некоторые условия (они будут приведены далее).
3. Граничные условия и дисперсионное уравнение
Для того чтобы выписать дисперсионное уравнение для постоянных распространения электромагнитных волн, необходимо найти значения — (0),
— (И).
Из непрерывности касательных составляющих полей Е и Н получаем Еу (И + 0 ) = Еу (И - 0) = 4И)= У (И); Еу (0 - 0 ) = Еу (0 + 0 ) = 40)= У (0);
И (И + 0) = Иг (И - 0); Иг (0 - 0 ) = Иг (0 + 0);
У'(И ) = (И + 0) = и(И) = 2 (И); У '(0) = т\И2 (0 - 0) = И(0) = 2 (0).
где постоянная Е^И) считается известной.
Отсюда мы получаем, что В = Е2), А = Е(0), У '(И) = -/у2 - 83В =
= И2), У'(0) = д/у2 -81А = И20. И окончательно, И?И) = -у2 -83Е2) и
И20) = д/у2 -81Е20).
Из всего вышесказанного получаем искомые выражения в виде
Т(0) = Є2 + (40)) ’ Х(Н) = (Еу )) ^2;
е(0))2 + е2 ( е(а))2 + £2
, -у ^ ь2 \^у т ь2
— (0) / 2 > 0, —(И )= Г~1^~< 0. (14)
л/у -81 л/у -8з
Из первого интеграла в форме (13) находим значение постоянной С при х = И :
\2 , „ V Л /, ч\2^
С = (Е^) (у2 -Е3 ) + ф[(Е())
(15)
\ /
Теперь из первого интеграла (13), используя (15), мы можем найти уравнение для т(0):
^(20)-^ ) = ( Е?-))2 (у2-83 ) (Е<И))2 ),
поскольку значение —(0) мы можем выразить через Т(0) (см. формулы (14)), то из последнего уравнения получаем окончательно
(х(°) - £2 Ну2 - £1) + ф(х(°) - £2) = (Е^) (у2 - £3) + Ф
(16)
( 2 ^
Формально из (16) получаем т(°) = О £1,£3,£2,у2,(Е(ИН) .
V )
Ясно, что должно быть т( °)> £2 , поскольку х( ° ) = £2 + У 2( ° )> °. При некоторых условиях на функцию ф корень т( ° )>£2 существует. Например,
если ф(х) = а2и+2х2п+2 + а2„х2п +... + а2х2 + а° - многочлен с неотрицательными коэффициентами. Конечно, можно и по-другому выбирать функцию / так, чтобы функция ф обладала нужным свойством. Однако, по-видимому, многочлен в качестве / с положительными коэффициентами является одной из наиболее общих нелинейностей для обычных материалов.
Кроме того, мы считаем функцию / таковой, что величина
Х° - 1 +
f( х)
> ° . Это заведомо справедливо, если в качестве f выступает
многочлен с положительными коэффициентами.
Рассмотрим систему (12), правая часть второго уравнения при сделанных предположениях (относительно функции f ) неотрицательна, это значит,
что функция ^ - неубывающая, но из формул (14) видно, что ^( ° )> °, а
^( И )< ° . Из этого следует, что функция ^ необходимо имеет точку разрыва.
2 ( т-£2 )
Из первого интеграла (13) имеем ^ =—---------—
. .•. Точками разрыва,
С-ф( Х-£2 ) ^ ^
очевидно, являются нули знаменателя последнего выражения. Причем в этих
* / * \ * I Т1 V.»
точках х = XI х ): ^ . Естественно среди всех корней знаменателя рас-
сматриваемого выражения выбирать только те х* , которые > £2 .
Предположим, что имеется ( N + 1) точка разрыва х°,...,хN на промежутке х е( °, И). Как видно, мы не связываем себя какими-то конкретными
ограничениями на количество нулей знаменателя, таким образом, высказанное предположение является достаточно общим. Позднее будет видно, что N -конечное число.
Из свойств функции Л = л( х) следует, что
л(х° - °) =... = л(XN - °) = +“, л(х° + °) = ... = л(XN + °) = -~ . (17)
-1
Введем обозначение ю = ю( ^) =
У
х° -1 +
f( х)
Л 2
+3х-2£2
X
здесь
мы подразумеваем, что х = х( ^), которое можно получить из первого интеграла (13). Будем искать решение на каждом отрезке [°,х°], [х°,х1 ], ..., [XN,И]:
л (*0)
— | тё л = х + С0, 0 < х < х0;
л(х)
л( х)
| тё л = х + Сі, хі + < х <
л (хг)
л( х)
| тё л = х + сN, XN < х < И.
„л (хм)
(18)
Из уравнений (18), учитывая (17), подставляя х = 0, х = ху+1, х = хN, найдем необходимые константы С1, с2,...,CN+1:
с0 =- | тёл;
л(0)
сі+і = | тёл - хг+і, і = 0, N -1; —^ л( И)
(19)
с^+1 =
С учетом (19) уравнения (18) примут вид
л( хо) +^
| тёл = -х + | тёл, 0<х<хо; л(х) л(0)
л (х) +^
| тё л = х + | тё л- х1+1, х1 < х < х1+1, у = 0, N -1; л( х) -с~
л(х) л(И)
| тё л = х + | тё л- И, XN < х < И.
_л( ^) -~
(20)
Введем обозначение | тёл = Т. Из формулы (20) следует, что
—^
хг+1 - ху = Т > 0 . Отсюда получается, что число точек, в которых функция л обращается в бесконечность, конечно на интервале ( 0, И). То что Т > 0 , можно усмотреть из следующего рассуждения. Поскольку интеграл берется от ограниченной неотрицательной функции и не обращающейся тождественно в нуль (это следует из того, что ни т,^ 0, ни X ^ 0 при х е (0, И)), он не мо-
жет равняться нулю. Теперь, полагая в уравнениях (20) x таковым, чтобы все
интегралы слева обратились в нуль (т.е. x = xo, x = Xj, x = xn ), сложим все
уравнения (20), получим
+o л(h)
0 = _x0 + ! rod л + xo + T — x^ +... + x^ _i + T — xN + x^ + ! rod л — h .
^( 0) -oo
И окончательно получаем
л(h) +o л(h)
! rodл+ ! rodл + NT = h или ! rodл + ( N + i)T = h . (21)
-o л( 0) л( 0)
Формула (21) и есть дисперсионное уравнение, справедливое для любого конечного h.
Список литературы
1. Eleonskii, P. N. Cylindrical Nonlinear Waveguides / P. N. Eleonskii, L. G. Oga-nes’yants, V. P. Silin // Soviet Physics Jetp. - 1972. - V. 35. - № i. - P. 44-47.
2. Цернике, Ф. Прикладная нелинейная оптика / Ф. Цернике, Дж. Мидвинтер. -М. : Мир, 1976.
3. Шуберт, М. Введение в нелинейную оптику : в 2-х т. / М. Шуберт, Б. Виль-гельми. - М. : Мир, 1973.
4. Смирнов, Ю. Г. Распространение электромагнитных волн в цилиндрических волноводах, заполненных нелинейной средой / Ю. Г. Смирнов, С. Н. Куприянова // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2004. -Т. 44. - № 10. - С. 1850-1860.
5. Валовик, Д. В. Расчет постоянных распространения ТМ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном слое / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Радиотехника и электроника. - 2008. - T. 53. - № 8. - С. 934-940.
6. Валовик, Д. В. О распространении ТМ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном слое с нелинейностью, выраженной законом Керра / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2008. - T. 48. - № 12. - С. 2186-2194.
7. Schurmann, H. W. Reflection and transmission of a plane TE-wave at a lossless nonlinear dielectric film / H. W. Schurmann, V. S. Serov, Yu. V. Shestopalov // Physica D. - 2001. - № 158 (2001). - P. 197-215.
8. Шен, И. Р. Принципы нелинейной оптики / И. Р. Шен. - М. : Наука, 1989.
9. Агравал, Г. Нелинейная волоконная оптика / Г. Агравал. - М. : Мир, 1996.
10. Boyd, R. W. Nonlinear optics / R. W. Boyd. - USA. : Academic Press, 2003.
Валовик Дмитрий Викторович
кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет
Valovik Dmitry Viktorovich Candidate of physico-mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University
E-mail: [email protected]
УДК 517.958; 517.927.4 Валовик, Д. В.
Задача о распространении электромагнитных волн в слое с произвольной нелинейностью (I. ТЕ-волны) / Д. В. Валовик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2010. - № 1 (13). - С. 18-27.
