Задача сопряжения для электромагнитных ТЕ-волн, распространяющихся в плоском двухслойном нелинейном диэлектричеком волноводе Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 517.958; 517.927.4

Д. В. Валовик

ЗАДАЧА СОПРЯЖЕНИЯ ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ТЕ-ВОЛН, РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ В ПЛОСКОМ ДВУХСЛОЙНОМ НЕЛИНЕЙНОМ ДИЭЛЕКТРИЧЕКОМ ВОЛНОВОДЕ1

Аннотация. Рассматривается распространение электромагнитных ТЕ-волн в нелинейном плоском двухслойном диэлектрическом волноводе. Диэлектрическая проницаемость в слоях описывается законом Керра. Слои расположены между двумя изотропными немагнитными полубесконечными средами с постоянными электродинамическими параметрами. Получено дисперсионное уравнение для собственных значений задачи (постоянных распространения). Ключевые слова: задача сопряжения для обыкновенных дифференциальных уравнений в многосвязной области, нелинейность Керра, дисперсионное уравнение.

Abstract. The article considers electromagnetic TE-wave propagation in a two-layered dielectric waveguide. Permittivities inside the layers are described by Kerr law. The layers are located between two semi-infinite spaces with constant permittivities. The authore derives a dispersion equation for eigenvalues (propagation constants) of the problem.

Key words: conjugation problem for ordinary differential equations in multiply-connected domain, Kerr nonlinearity, dispersion equation.

Введение

Данная работа продолжает исследования [1-4]. Здесь рассматривается задача о распространении ТЕ-волн в плоском двухслойном диэлектрическом волноводе. Волновод помещен между двумя полубесконечными средами с постоянными электродинамическими параметрами. Диэлектрическая проницаемость в каждом из двух слоев зависит от электрического поля по закону

Керра: £ = £const +а|Е| , где £const - постоянная составляющая диэлектрической проницаемости, а - коэффициент нелинейности. Задача сводится к отысканию постоянных распространения электромагнитной волны в рассматриваемой волноведущей структуре. Постоянные распространения являются корнями дисперсионного уравнения, которое представляется основным результатом рассматриваемой работы. Для вывода дисперсионного уравнения используется теория эллиптических функций. Рассматриваемый в этой работе

подход позволяет изучать нелинейность вида £ = £const + a|E2 +P|E4, где £const - постоянная составляющая диэлектрической проницаемости; а, в -коэффициенты нелинейности. Работа [5] (где также используется подход на основе эллиптических функций) тесно связана с рассматриваемой в этой статье задачей. Полученное дисперсионное уравнение позволяет изучать как обычные нелинейные материалы, так и нелинейные метаматериалы. Важ-

1 Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ (№ МК-2074.2011.1)

и Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 11-07-00330-А).

ность найденного дисперсионного уравнения определяется, по крайней мере, двумя обстоятельствами: 1) полученное дисперсионное уравнение является точным (получено без упрощающих предположений в рамках модели керровской нелинейности) и может быть выписано для большего числа слоев. Такая многослойная структура может рассматриваться как одномерный фотонный кристалл [6]. Фотонные кристаллы в настоящее время привлекают большое внимание исследователей (см., например, [6, 7]); 2) полученное дисперсионное уравнение может быть использовано для построения и тестирования численных методов решения рассматриваемой задачи.

1. Постановка задачи

Рассмотрим электромагнитные волны, проходящие через два однородных, изотропных, немагнитных диэлектрических слоя. Диэлектрическая проницаемость в слоях зависит от электрического поля по закону Керра. Слои расположены между двумя полупространствами х < 0 и х > h в декартовой системе координат Oxyz и h = h + h2 . Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянные диэлектрические проницаемости £1 и £4 соответственно (£1 и £4 - произвольные действительные постоянные). Считаем, что всюду М- = М-0 - магнитная проницаемость вакуума.

Предполагаем гармоническую зависимость полей от времени в виде

E (x, y, z, t) = E+ (x, y, z )cos wt + E- (x, y, z )sin wt;

H (x, y, z, t) = H + (x, y, z )cos wt + H-(x, y, z )sin wt,

где w - круговая частота; E+, E-, H +, H- - вещественные искомые функции.

Образуем комплексные амплитуды полей E, H [8]: E = E+ + iE_; H = H + + iH_. Везде ниже множители cos wt и sin wt будем опускать.

Электромагнитное поле E, H удовлетворяет уравнениям Максвелла

rot H = -iweE; rot E = iw|iH, (1)

условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред x = 0, x = hj, x = h + h2 и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при |x| ^ ^ в областях x < 0 и x > h . Диэлектрическая проницаемость внутри слоя имеет вид £ = £ + а |E| , где i = 2,3 и £, а - произвольные постоянные. Будем искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве.

На рис. 1 показана геометрия задачи.

T T

Рассмотрим ТЕ-поляризованные волны E = ^0,Ey ,0) , H = (Hx,0,Hz) ,

где {•••) - операция транспонирования. Легко показать, что компоненты полей E и H не зависят от переменной y . Волны, распространяющиеся вдоль границы раздела сред z, гармонически зависят от z . Тогда компоненты полей E , H имеют следующий вид:

Ну = Ну (х)е^, Ех = Ех (х)е^ , Е2 = Е2 (х)е* .

(2)

Рис. 1

мировку в соответствии с формулами х = кх, — = к—, у = —, є ,■ =

йх йх к

Подставив компоненты (2) в уравнения Максвелла (1), выполнив нор-

^ ^ У * = £/

£0 а-

(/ = 1, 2, 3, 4), а- = —- (- = 1, 2), где £о - диэлектрическая проницаемость ва-

*0

куума и к2 =ю2Ц£о с ц = ^о, обозначив Еу (х) = У (х) и опуская значок тильды, получаем уравнение

у№(х) = у2У(х)-єУ(х),

(3)

где у - неизвестный спектральный параметр (постоянная распространения) Будем искать действительные решения У(х) для уравнения (3). Полагаем у действительным (так что |е| 2 не зависит от г) и считаем

є =

єЬ

х < 0;

є 2 + а 2 У , 0 < х < А1;

Є3 + азУ2, /?і < х < /?і + ^2;

(4)

£4, х > Ъ + к^.

Пусть функция У дифференцируема в слое так, что У (х ) £ С ( —га; + га )п С1 ( —га; га )п

пС2 (—га;0)п С2 (0;Ъ )п С2 (;И )п С2 (Л; + <»).

(5)

2. Решение системы дифференциальных уравнений

Для х < 0, £ = *1 из (3) и (4) в силу условия на бесконечности получаем решение

(х) = Аехр(ху]у2 — £| ).

(6)

Для х > к , £ = £4 из (3) и (4) в силу условия на бесконечности получаем решение

У (х ) = В ехр ^—(х — к1 + Ъ2 ^у2 —£4 ^.

(7)

В формулах (6) и (7) постоянные А и В определяются начальными условиями и условиями сопряжения.

Внутри слоя 0 < х < Ъ1 уравнение (3) принимает вид

У"(х) = ( —£2 —а2У2 (х))У(х).

(8)

Это уравнение интегрируется в эллиптических функциях (см. [9]1). Из (8) получаем

(У)2 =(2 —£2 )у2 —01 у4 +С2, У2 (х)= 32-(г2 —е2 — 3р2 (х + С22 ))^(9)

где р(х) - эллиптическая функция Вейерштрасса, ее инварианты имеют вид

2 ( /? \2 ^ 2/? \ 812 \3

§ 2 = 3 ^ 3а 2С2 + 2 (У —£2 ) ) и §3 =—3 а2 (У —£2 )С2 — ~ (У —£2 ) ;

С2 и С— - постоянные интегрирования.

Внутри слоя Ъ1 < х < Ъ + к2 получаем по аналогии с предыдущим

(Г)2 =(у2 —£3 )у2 — О!У4 +С3 и У2 (х) = 3-(у2 —£3 — 3^3 (х + С33 ))^ (10)

где

§2

3а3С3+2(у2 —£3) I и §3=—|а3(у2 —£3)С3— 27(у2 —£3);

С3 и С33 - постоянные интегрирования.

3. Граничные условия и дисперсионное уравнение

Как известно, касательные компоненты электромагнитного поля непрерывны на границах раздела сред. В нашем случае касательными компонентами являются Еу и Нг. Учитывая сказанное, получаем для функций У и У/

следующие условия сопряжения:

[у и = °. [у и= °. У и+„ = °.

1 Все результаты теории эллиптических функций, используемые здесь, можно

найти в [9].

[ги=0, [уг=ъ,=0, [у1,=„+^„ =0, с1)

где [ /] = 1т / (г)— Цт / (г).

0 х0 —0 х0 + 0

Пусть Уз := У (0), У, := У (к) и постоянная У, считается известной, тогда В = У, , А = Уз. Далее, используя (6), (7), получаем

У (к )=—у2 —£4Ук , У' (0)=^ —£1У0. (12)

Будем последовательно использовать условия сопряжения (11) на каждой границе раздела. Получаем:

у02 = 30“(у2 — £2 — 3^2 (С22 )), (13а)

--(у2 — £2 — 3^2 (к1 + С22 )) =--(у2 — £3 — 3^3 (к1 + С33 )) (13б)

02 а^

Уъ = 3а;- ( —£з — 3^3 (к1 + к2 + Сзэ У (13в)

(у2 — £1) =(У2 —£2 )У02 —а2У04 +С2, (13г)

(у2 — £2 ) —а2 < + с2 =(у 2 — £3 ) —^23 У4 + Cз, (13д)

(у2 —£4 ) =(у 2 —£3 ) — От у, +С3. (13е)

Величину Ук1 можно выразить из уравнения (9) (или (10)), получаем

У1 = 3а^(у2 — £3— ( (Ъ1 + С33 С .

Система (13) состоит из шести уравнений и пяти неизвестных У0, С2, С22 , С3 , С33 (мы учитываем, что Ук1 выражается через С33 ). Пять уравнений этой системы позволят найти пять неизвестных, а шестое даст дисперсионное уравнение. Найдем его. Из уравнений (13 г) и (13 е) найдем

С2 =(£2 —£1 ) +■а- У04, (14а)

С3 =(£3 —£4 )Ъ + а23-У,. (14б)

Учитывая четность функции Вейерштрасса, из уравнений (13а) и (13в) найдем

С22 =±Р^1 (°2 ) + Т2п2 + T2m2, (14в)

47

С33 -±^31 (а3 )—к1 —к2 +Т3п3 + T3m3, (14г)

2(у2 —£2 )— 3а2У02 2(у2 — £3 У 3а3УЪ , ,

где ©2 =-------------, ©3 =----------; Т, ?2 - независимые

66

периоды функции р2; Т3, Т3 - независимые периоды функции Р3 (причем Т2,Т3 выбраны действительными, а Т2, Т3 - чисто мнимыми); П2,П3,т2,

т3 £ Ж; знак р—1 означает функцию, обратную к р (т.е. эллиптический интеграл в нормальной форме Вейерштрасса).

Уравнения (13б) и (13д) примут вид

а3 (у2 — £2 — 3Р2 (—1 (©2 ) + Ъ1 С = а2 (у2 — £3 — 3Р3 (—1 (©3 )— Ъ2 )) ,(14д)

а 2У04 + 2 (£2 —£1 )У02 + / = 0, (14е)

где

4

4

+

9«2

f = 303 ( _£2 2 _£3 _** ( ( )_h2)) +

2

(«3 _ «2 )[у2 _£3 _ 3^3 ( (°3 ) _h2 )) _ 2(£3 _ £4 )yh2 _ °3yh4.

2

Уравнение (14е) является квадратным относительно У) . Подставляя

в (14д) значение У0 (найденное из (14е)), получаем дисперсионное уравнение.

Число T определяется в зависимости от знака дискриминанта

3 2 3

A = g2 _27 g3 кривой f = 4t _ g2t _ g3. Если Д>0, то уравнение f = 0

^ d

имеет три действительных корня e1 > e2 > e3 , и T = 2 J , - (в этом

ej V4t3 _ g2t _ g3

случае T - действительный период функции p(x)). Если Д<0, уравнение

^ d

f = 0 имеет один действительный корень e2 , и T = 2 J . Г

eJ4t3 _ g2t _ g3

(в этом случае полупериоды w1 и w2 функции p(x) являются комплексносопряженными числами и их сумма есть действительное число T ). Число T' определяется как линейная комбинация периодов функции p(x) так, чтобы число T' оказалось чисто мнимым.

Заключение

При изучении распространения поляризованных электромагнитных волн в слоях с диэлектрической проницаемостью, полиномиально зависящей от напряженности электрического поля, эллиптические функции удается применить только в случае ТЕ-волн и нелинейности полиномиального типа

не сложнее обобщенной керровской. Для изучения распространения поляризованных электромагнитных волн в нелинейных слоях с произвольными нелинейностями можно использовать подход на основе интегральных дисперсионных соотношений [1].

Автор благодарит Ю. Г. Смирнова за полезные обсуждения.

Список литературы

1. Валовик, Д. В. Распространение электромагнитных волн в нелинейных слоистых средах / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов. - Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2010. - 264 с.

2. Валовик, Д. В. Нелинейные эффекты в задаче о распространении электромагнитных ТМ-волн в слое с керровской нелинейностью / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Радиотехника и электроника. - 2011. - Т. 56, № 3. - С. 309-314.

3. Валовик, Д. В. Распространение электромагнитных ТЕ-волн в слое из нелинейного метаматериала / Д. В. Валовик // Радиотехника и электроника. - 2011. - Т. 56, № 5. - С. 587-599.

4. Валовик, Д. В. Распространение электромагнитных ТЕ-волн в нелинейной среде с насыщением / Д. В. Валовик // Радиотехника и электроника. - 2011. - Т. 56, № 11. - С. 1329-1335.

5. Schurmann, H. W. TE-polarized waves guided by a lossless nonlinear three-layer structure / H. W. Schurmann, V. S. Serov, Yu. V. Shestopalov // Phys. Rev. E. - 1998. -V. 58, № 1. - P. 197.

6. Joannopoulos, J. D. Photonic Crystals. Molding the Flow of Light / J. D. Joan-nopoulos, S. G. Johnson, J. N. Winn, R. D. Meade. - Second Edition. - Princeton University Press, 2008. - P. 286.

7. Lourtioz, J.-M. Photonic Crystals. Towards Nanoscale Photonic Devices / J.-M. Lourtioz et al. - Berlin, Heidelberg: Springer Verlag, 2005. - P. 426.

8. Eleonskii, P. N. Cylindrical Nonlinear Waveguides / P. N. Eleonskii, L. G. Oganes’yants, V. P. Silin // Soviet physics JETP. - 1972. - V. 35, № 1. -P. 44-47.

9. Ахиезер, Н. И. Элементы теории эллиптических функций / Н. И. Ахиезер. - М. : Наука, 1970. - 304 c.

Валовик Дмитрий Викторович

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет

Valovik Dmitry Victorovich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling,

Penza State University

E-mail: [email protected]

УДК 517.9, 519.6 Валовик, Д. В.

Задача сопряжения для электромагнитных ТЕ-волн, распространяющихся в плоском двухслойном нелинейном диэлектрическом волноводе / Д. В. Валовик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2012. - № 2 (22). - С. 43-49.