CC BY
32
УДК 517.927, 519.624
Е. Ю. Смолькин
МЕТОД ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ СОПРЯЖЕНИЯ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ТМ-ВОЛН, РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ В КРУГЛОМ ДВУХСЛОЙНОМ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ВОЛНОВОДЕ С КЕРРОВСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ1
Аннотация. Изучена задача о распространении ТМ-поляризованных электромагнитных волн в двухслойном диэлектрическом волноводе кругового сечения, заполненного средой с нелинейностью, выраженной законом Керра. Физическая задача сводится к решению нелинейной задачи сопряжения на собственные значения для системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений. Доказана теорема о существовании и локализации по крайней мере одного собственного значения. На основе этой теоремы предложен метод нахождения приближенных собственных значений рассматриваемой нелинейной задачи.
Ключевые слова: нелинейная задача сопряжения на собственные значения, уравнения Максвелла, задача Коши, нелинейность Керра.
Abstract. The author investigates a problem of electromagnetic TM wave propagation in a two layered dielectric circle waveguide. One layer inside the waveguide is filled with Kerr medium. The physical problem is reduced to the nonlinear eigenvalue conjugation problem for a system of two ordinary differential equations. Theorem of eigenvalue existence is proved. The numerical method based on this theorem is suggested and its convergence is proved as well.
Key words: nonlinear eigenvalue conjugation problem, Maxwell’s equations, Cauchy problem, Kerr nonlinearity.
Введение
Задачи распространения электромагнитных волн в нелинейных средах изучаются различными методами (см. [1-4] и библиографию там). К таким задачам относится распространение волн в волноведущих структурах и, в частности, распространение волн в диэлектрических слоях и диэлектрических цилиндрических волноводах.
Задачи распространения плоских монохроматических поляризованных волн в слое и круглом цилиндрическом волноводе с линейными средами хорошо изучены (см., например, [5]).
Рассматриваемые задачи представляют собой задачи сопряжения на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти задачи сводятся к отысканию тех значений спектрального параметра (по сути собственных чисел - значений постоянной распространения), при которых волна может распространяться. Собственные значения рассматриваемых задач удовлетворяют некоторому уравнению, которое называется дисперсионным (см. [1, 3, 4, 6-8]). С математической точки зрения дисперсионное уравнение является уравнением относительно спектрального параметра, анализ ко-
1 Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг., соглашения № 14.В37.21.1950,
14.A18.21.2054.
торого позволяет делать заключение о существовании решений задачи сопряжения на собственные значения. В этой работе мы будем придерживаться обозначений, принятых в [9], и опираться на результаты, полученные там.
Oxyz . Это пространство заполнено изотропной средой без источников с диэлектрической проницаемостью. В эту среду помещен цилиндрический диэлектрический волновод с образующей, параллельной оси Oz, и круговым
Введем цилиндрическую систему координат £3 = const Орфг так, чтобы ось Oz декартовых координат совпадала с одноименной осью цилиндрической системы координат.
Сечение волновода, перпендикулярное его оси, представляет собой два концентрических круга радиусов Rj и R2 соответственно, т.е. волновод является двухслойным (см. рис. 1).
Электромагнитное поле гармонически зависит от времени .. Ё (р, ф, z, t) = Е+ (р, ф, z )со8 юt + Е _(р, ф, z )п юt, Й (р, ф, z, t) = ..
= Й + (р, ф, z )с08 Юt + Й _(р, ф, z )т Юt,
где ю - круговая частота, Ё, Ё+, Е_, Й, Й +, Й_ - действительные функции. Везде ниже временной множитель опущен. Образуем комплексные амплитуды
Ё, Й является функцией трех пространственных переменных.
Электромагнитное поле Ё, Й удовлетворяет системе уравнений Максвелла
1. Постановка задачи
Рассмотрим трехмерное пространство М с декартовыми координатами
2 2 2
поперечным сечением W = {x:0<x + y <R2}.
Рис. 1. Геометрия задачи
rot H = -юєЕ, rot Е = /юцН,
условиям непрерывности касательных составляющих полей Ё, Й на границах раздела сред р = и р = R2 и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при р^^ .
Пусть диэлектрическая проницаемость 8 внутри волновода является скалярной функцией и внутри и вне волновода определяется следующим образом:
где 81, 82 , £3 - вещественные положительные постоянные. Среда предполагается изотропной и немагнитной, во всем пространстве полагаем Ц = ^о .
Разыскиваются поверхностные волны, распространяющиеся вдоль образующей волновода.
Решение уравнений Максвелла ищется во всем пространстве.
На рис. 1 представлена геометрия задачи. Цилиндр неограниченно продолжается в направлении г.
Eр = Ер (р,ф,г), Ег = Ег (р,ф,г), Нф = Нф (р,ф,г). Можно показать, что для
рассматриваемой геометрии и выбранной нелинейности (закон Керра) компоненты полей могут быть представлены в форме
где у - неизвестный вещественный спектральный параметр (постоянная распространения электромагнитной волны).
Е1Е0, 0 <р< Яь
е = < |е2 + а|Е|2|єо, Яі <р<^2, ^3Є0, р> Я2’
2. ТМ-волны
Т Т
Рассмотрим ТМ-волны Ё = (р ,0, Ег) , Й = (, Нф ,0) , где
(2)
2 2
Пусть ко =ю Цое0. Подставив компоненты (2) в (1), и обозначив «1 (р,у) := Ер (р,у), «2 (р,у) := *'Ег (р,у), получим (см. [9])
(3)
где производная обозначает дифференцирование по р и «1 (р,у), и2 (р,у) вещественные функции.
Считаем, что функции «1, «2 дифференцируемы так, что
и1 є С [0,Я1 ]п С [Я1,Я2 ]п С [Я2, +^)п С1 [0,Я1 ]п С1 [Я1,Я2 ]п С1 [Я2, +~); н-2 є С[0,+^) п С1 [0,Я1 ] п С1 [ЯьЯ2] пС1 [Я2 ,+тс)п
nC2 (0,Ri )nC2 (Ri,R2 )n C2 (R2, +~).
Считаем, что у2 > max (ei, £3).
3. Решение системы дифференциальных уравнений
При p<Ri имеем £ = £^0, учитывая ограниченность решений в нуле искомое решение системы (3) примет вид
J«1 (p) = YkiQ/i (kip),
|u2 (p) = CA (k1p).
где k2 = у2 — ko£1 .
При Ri <p<R2 имеем e = (e2 + “|E|2)eo . Тогда система (3) примет
(4)
вид
Y«2 + (y2 - k° (£2 + + M2 ))) = 0,
-Y — (pu1) (pu2) - k° (£2 + «( + u2 )u2 = °.
P P
В нормальной форме эта система примет вид
2 / -1 — 1 2 2 \/ /22
2aYU U2 — I р u + y^2 + 2aY k° u U2 11 £2 + ex I u + U2
u1 = 2 T~2 2^
2a^1 + £2 + ^1^1 + U2
' Y2 -k° (£2 + a(u2 + u2)
u2 =
(5)
U1.
При р > R2 имеем £ = £380, учитывая условие излучения на бесконечности, искомое решение системы (3) примет вид
[U1 (р) = Yk3C4 K1 (k3p) [u2 (р) = C4K° (k3p)
(6)
2 2 2
где кз =у _к0 £3 (подробности см. в [9]).
4. Условия сопряжения и дисперсионное уравнение
Как известно, касательные составляющие электромагнитного поля непрерывны на границе раздела сред. В рассматриваемом случае касательными составляющими являются компоненты Ег и Нф. Компонента Ер является
1 Доказательство существования решений системы (9) при малых а может
быть получено методами теории интегральных уравнений (см. [2-4]).
нормальной компонентой и на границе раздела сред испытывает конечный скачок, однако величина £Ер на границе раздела сред непрерывна.
Из вышесказанного получаем условия сопряжения для функций «1
и « 2
1“! 1Ц, = 0 «1Ц, = 0 [£«1]Ц2 = °> [«2 ]|р_я, = 0 ■ (7)
где [/]|х-.х = 1т,0fМ— 11т 0/(х)•
х_х0 х1х0 -0 х1 х0 +0
Тогда из (7) получаем
£1«1 (Rl — 0) = (£2 + (( + 0) + «2 (Rl + 0))«1 + 0),
«2 (R1 — 0 ) = «2 (R1 + 0); (8)
(£2 + (( — 0) + «2 (R2 — 0))«1 (2 — 0) = £3«1 (R2 + 0)
«2 (R2 — 0) = «2 (2 + 0). (9)
Считая постоянную С заданной и равной единице1 из (4), (6), (8), (9) получаем дисперсионное уравнение
Му) = (£2 + «( (2 — 0) + «2 (R2 — 0))) «1 (2 — 0)—у"к^ К (к^) «2 ( — 0) .
Определение 1. Число у = у, при котором существуют ненулевые решения «1 (р) и «2 (р) системы уравнений (5) (в областях 0 <р< Rl и р>R2 функции «1 (р) и «2 (р) имеют вид (4), (6) и удовлетворяют условиям сопряжения (7)), будем называть собственным значением рассматриваемой задачи. Функции «1 (р) и «2(р), которые соответствуют найденному собственному значению у, будем называть собственными функциями задачи.
Сформулируем нелинейную задачу сопряжения на собственные значения (задача Рм), к которой свелась исходная задача о распространении волн:
требуется отыскать собственные значения у и соответствующие им не
равные тождественно нулю функции «1,«2, определяемые выражениями (4) при р< Rl и (6) при р> R2, удовлетворяющие системе уравнений (5) при Rl <р< R2 и условиям сопряжения (7).
5. Существование собственных значений
Рассмотрим задачу Коши для системы (5) с начальными условиями
«1 (^ ) := «1 (^ + 0) , «2 (^ ) := «2 (^ + 0) , (10)
1 Из предыдущего пояснения ясно, что при расчетах значения одной из постоянных С1 или С4 необходимо задавать. Можно задавать значение постоянной на любой из границ волновода.
где ui (Ri + 0) определяется из первого уравнения (8). Из формул (4) и второй формулы (8) получаем, что U2 (Ri + 0) = Io (iRi).
Воспользуемся классическими результатами теории обыкновенных дифференциальных уравнений о существовании и единственности решения задачи Коши и о непрерывной зависимости решения задачи Коши от параметра.
Пусть д/тах(i,£3) <у* <у <^ и b <^ - некоторая постоянная. Определим множество
П :={(p,ui,U2): |p — Ri I < p,|ui — ui (Ri)| < b,|u2 — U2 (Ri)| < b}
и число М такое, что M > max |P|, M > max\Q\, где P и Q - правые части
П П
уравнений (5).
Имеет место следующее
Утверждение 1. Решение ui (p,у) и u2 (p,у) задачи Коши для системы (7) с начальными условиями (i8) непрерывно дифференцируемо, единственно и существует при pe [Ri,R2], где R2 < min(p,b]M).
Утверждение i есть применение теоремы Пикара [i0, с. i65] к рассматриваемой задаче. Кроме того, мы действительно можем полагать, что b <тс , поскольку нас интересуют именно ограниченные решения системы (7).
Далее, пусть д/max(i,£3) < у* <у < ^ и by<^ - некоторая постоянная. Определим множество
Пу :={(p, ub u2; у): |p — Ri\^ |ui — ui (Ri )< by, |u2 — u2 (Ri )< ^, ye у^ у* и число Му такое, что Му > max|P|, Му > max |Q|, где P и Q - правые чаПу Пу
сти уравнений (5).
Имеет место следующее
Утверждение 2. Решение ui (p,у) и u2 (p,у) задачи Коши для системы (7) с начальными условиями (i8) непрерывно дифференцируемо относительно p, единственно и существует при всех pe(i, R2), где
R2 < min (, Ьу1Му) и непрерывно зависит от у, для всех у(
Утверждение 2 есть применение теоремы о непрерывной зависимости от параметра решения задачи Коши [i0, с. i83-i85].
Примечание. Поскольку мы рассматриваем случай Ri > 0 , то ясно, что утверждения i и 2 носят не локальный характер, т.е. мы всегда можем выбрать такое R2 и такие у*,у , что решения ui (p,у) и u2 (p,у) существуют,
непрерывны при p< R2 для всех у e
Величины ui (2 — 0,у) и u2 ((2 — 0,у) определяются из решения рассматриваемой задачи Коши.
у*, у*
*
у*, у
Рассмотрим функцию
Р (2, у) := «1 (2 — 0, у) — «1 (2 + 0, у).
Используя условия сопряжения на границе р = Р2 (см. (9)) и решения р>^2 (см. (6)), получаем, что Р(2,у) = А(у), те.
Р(R2,у) = (£2 + (Р2 _0) + «2 (2 — 0))«1 (2 _0)—
у£3 К1 (3 Р2 У
к3 К0 ((3^2 )
и2 (2 _ 0)•
Из последней формулы видно, что значение Р(2,у) выражается только через значения решения задачи Коши.
Если число у = у таково, что Р (2, у) = 0, то у является собственным значением задачи Рм.
Сформулируем критерий существования по крайней мере одного собственного значения.
Теорема 1. Пусть выполняются условия утверждения 2 и пусть отрезок [у,у^е у*,у* таков, что Р(2,у)(2,у)<0. Тогда существует по
крайней мере одно собственное значение уе(у, у) задачи Рм.
Доказательство. Функция Р, о которой говорится в теореме, является рациональной функцией (и даже линейной) от решения рассматриваемой задачи Коши. В силу выполнения условий утверждения 2 это решение задачи Коши является непрерывной функцией параметра у . В то же время функция
2 2
к3 = л/у — к0 £3 , входящая в определение функции Р, также является непрерывной функцией от у . Отсюда следует, что функция Р является непрерывной функцией параметра у. Поскольку отрезок [^ у, у ^ таков, что
Р(я2,у)Р(2,¥)< 0, то, по теореме Больцано - Коши, существует по крайней мере одно значение уе (у,у) такое, что Р(2,у) = 0 . Это значение у, по определению функции Р, является собственным значением задачи Рм .
Замечание. Условие Р((2,у)Р(2,у)< 0 является необходимым и достаточным условием существования по крайней мере одного собственного значения уе (у,у) задачи Рм .
6. Метод нахождения приближенных собственных значений
Рассматриваемый метод позволит построить графики зависимости постоянной распространения (нормированной) у от радиуса АР = Р2 — Р1 волновода (нормированной). Дисперсионными кривыми в таких задачах называют кривые у = у(ю) (или у = у(/)), где ю = 2л/ - круговая частота. Если
же кривая у(ю) зависит от амплитуды падающего поля (что как раз имеет
место в рассматриваемой нами задаче), то такие кривые называют энергетическими дисперсионными кривыми. Поскольку мы работаем в нормированных переменных, то мы будем называть дисперсионной кривой (или энергетической дисперсионной кривой) график зависимости у = у (ДЯ).
Будем рассматривать задачу Коши для системы (5) с начальными условиями (17).
Пусть 0 <ДЯ* <ДЯ и ^шах(єі, Є3) <у*<у - некоторые чис-
ла. Будем считать, что
ДЯ є
ДЯ*, ДЯ
и ує
*
у*, у
интервалы ДЯ*, ДЯ* и * у*, у
на п и т частей соответственно. Имеем {АРг-,у.}, 1 = 0,п, j = 0,т; причем Ар) =АР*, АРп =АР ,
* / \
у0 =у*, ут = у . Тогда для каждой пары индексов (1, j) будем иметь пару
начальных значений ((1), «2. ((1)), где «щ ((1 ):= «1 (( + 0) и
«2. (Р1 ):= «1 (Р1 + 0).
Теперь можно поставить задачу Коши для уравнения (5) с начальным условием «1у ((1), «2у ((1) . Решив указанную задачу Коши, получаем значения «1 . (Щ ) := «1у (р2 — 0) и «2. (АР1) := «2у (Р2 — 0) .
Построим функцию Р(АРг-,уj) := «1.. ((2 — 0) — «1.. ((2 + 0). Пусть для
заданного А(. существуют такие у. и у.+1, что Р (а(. ,у. )р (а(. ,у.+ )< 0.
Это значит, что существует у. е (у.,у.+1) такое, что у. является собственным значением рассматриваемой задачи о распространении волн и этому собственному значению соответствует толщина слоя АЯ.. Значение у.
может быть найдено с любой степенью точности, например методом дихотомии.
На основе метода дихотомии сконструируем метод нахождения приближенного собственного значения.
Зададим £> 0 - погрешность нахождения собственного значения у.
Пусть интервал (у1, у1) такой, что Р(А(г-, у1 )Р(АЛ., у1 )< 0. Искомое собственное значение уе(у1, у) и приближенное собственное значение
у1 е(хъ у1).
Определим середину отрезка у1 = "^”"2"""“ и вычислим Р (А(г-, у1). Проверяем следующие условия:
1. Если |Р (А(г-, у1 )<£ , то у1 - искомое приближенное собственное значение.
2. Если F(AR-,у )(AR-,Yi )< 0, то уе (Yi,Yi). Тогда полагаем Y2 := Yi
и Y2 := Yi, и значит, Y2 е (Y2, у2).
3. Если F(AR,Yi )F(AR-,Yi)< 0, то уе(у^Yi). Тогда полагаем Y2:=Yi
и Y2 := Yi, и, значит, Y2 е (Y2, Y2) .
Продолжая процесс половинного деления п раз, получаем, что искомое приближенное собственное значение Yn e(n, Yn). Ясно, что
% -Yn| = 2—n |Yi — Yi |. Выберем п таким образом, чтобы 2—n |Yi — Yi| < e . Тогда за приближенное собственное значение Yп можно принять, например, се/ — \ ~ Yn ^ Yn
редину отрезка (, Yn), т е. Yn = —.
Теорема 2. Пусть выполняются условия теоремы 1 и пусть {уn J - последовательность приближенных собственных значений, полученная методом половинного деления, тогда lim уn =у .
n——^
Доказательство. Рассмотрим последовательность чисел у - = -Y У-
2
являющихся приближенными значениями собственного значения у на i-й итерации.
Последовательность {у- J является фундаментальной. Действительно, пусть p > к > 0 - целые числа, тогда |ук — Yp | = 2—к |yi — Yi |. Но при к > n
—k I_ I * . _
выполняется 2 Yi — yi < e. Пусть у = lim уn . Но для любого номера n вы-
_ n—^
полняются соотношения
Yg(y„, Y«) и Y* g(y„, Y« )•
Из вышесказанного следует, что у = Y • Этим завершается доказательство.
Заключение
Отметим некоторые особенности предложенного численного метода, которыми определяется его эффективность:
- предложенный метод нахождения приближенного собственного значения эффективен в случае дискретных собственных значений.
- пусть у - одно из собственных значений задачи, тогда ясно, что полная производная функции Г (ЛЯ,, у) по у не должна обращаться в нуль при у = у.
Отметим, что предложенный в рассматриваемой работе численный метод обладает следующими достоинствами:
- метод прост в реализации (задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений может быть решена стандартными средствами любого математического пакета);
- метод работает существенно быстрее, чем численный метод, основанный на использовании интегральных дисперсионных уравнений (см., например, [4] и библиографию там);
- метод позволяет находить приближенные собственные значения с любой заданной точностью.
Автор благодарит Д. В. Валовика за полезные обсуждения и внимание к работе.
Список литературы
1. Ахмедиев, Н. Н. Солитоны / Н. Н. Ахмедиев, А. Анкевич. - М. : Физматлит, 2003. - 304 с.
2. Шен, И. Р. Принципы нелинейной оптики / И. Р. Шен. - М. : Наука, 1989. - 560 с.
3. Modem problems in condensed matter sciences / Н.-Е. Ponath, G. I. Stegeman // Nonlinear surface electromagnetic phenomena. - North-Holland : Elsevier Science Publishers, 1991. - V. 29.
4. Валовик, Д. В. Распространение электромагнитных волн в нелинейных слоистых средах / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2010. - 256 c.
5. Адамс, М. Введение в теорию оптических волноводов / М. Адамс. - М. : Мир, 1984. - 512 с.
6. Валовик, Д. В. О распространении ТМ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном слое с нелинейностью, выраженной законом Керра / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2008. - Т. 48, № 12. - С. 2186-2194.
7. Валовик, Д. В. Нелинейные эффекты в задаче о распространении электромагнитных ТМ-волн в слое с керровской нелинейностью / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Радиотехника и электроника. - 2011. - Т. 56, № 3. - С. 309-314.
8. Валовик, Д. В. Задача о распространении электромагнитных ТМ-волн в слое с произвольной нелинейностью / Д. В. Валовик // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2011. - Т. 51, № 9. - С. 1729-1739.
9. Валовик, Д. В. Численное решение задачи о распространении электромагнитных ТМ-волн в круглом диэлектрическом волноводе, заполненном нелинейной средой / Д. В. Валовик, Е. Ю. Смолькин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2012. - № 3. - С. 29-37.
10. Еругин, Н. П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений / Н. П. Еругин. - Минск : Наука и техника, 1979. - 570 с.
Смолькин Евгений Юрьевич аспирант, Пензенский государственный университет
Smolkin Evgeny Yuryevich Postgraduate student,
Penza State University
E-mail: [email protected]
УДК 517.927, 519.624 Смолькин, Е. Ю.
Метод задачи Коши для решения нелинейной задачи сопряжения на собственные значения для ТМ-волн, распространяющихся в круглом двухслойном диэлектрическом волноводе с керровской нелинейностью /
Е. Ю. Смолькин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2012. - № 4 (24). - С. 49-58.
