CC BY
38
УДК 517.927, 519.62, 517.958
Е. В. Зарембо
ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ТМ-ВОЛН, РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ В СЛОЕ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
Аннотация. Рассматривается задача о распространении электромагнитных ТМ-волн в слое с произвольной нелинейностью. Физическая задача сводится к решению нелинейной краевой задачи на собственные значения для системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений. Предложен численный метод решения рассматриваемой нелинейной краевой задачи. Приведены численные результаты на примере керровской нелинейности и нелинейности с насыщением.
Ключевые слова: нелинейная краевая задача на собственные значения, обыкновенное дифференциальное уравнение, задача Коши.
Abstract. The article considers a problem of electromagnetic TM wave propagation in a layer with arbitrary nonlinearity. The physical problem is reduced to the nonlinear boundary eigenvalue problem for nonlinear ordinary differential equations. The numerical method to find propagation constants is suggested and numerical results for Kerr nonlinearity and nonlinearity with saturation are shown.
Key words: nonlinear boundary eigenvalue problem, ordinary differential equation, Cauchy problem.
Данная работа продолжает исследования автора [1-3] по численным методам решения задач о распространении поляризованных электромагнитных волн в нелинейных средах.
В этой работе рассматривается электромагнитная задача о распространении электромагнитных ТМ-волн через диэлектрический слой с нелинейной зависимостью диэлектрической проницаемости от модуля интенсивности электрического поля. Слой расположен между двумя полупространствами с постоянными диэлектрическими проницаемостями. Разыскиваются поверхностные электромагнитные волны, распространяющиеся вдоль границ слоя. Для нахождения таких волн краевая задача для системы уравнений Максвелла формулируется в строгой электродинамической постановке. Физическая задача приводит к нелинейной краевой задаче на собственные значения для обыкновенного дифференциального уравнения (нелинейного) второго порядка. В работе предлагается численный метод для нахождения собственных значений задачи (значений постоянных распространения, на которых существуют поверхностные волны). Предлагаемый метод основан на решении задачи Коши для упомянутого обыкновенного дифференциального уравнения.
По рассматриваемой здесь задаче и близким к ней уже были получены некоторые как численные, так и аналитические результаты [1, 3-10]. Однако заметим, что все численные результаты получены для наиболее простых нелинейностей, и разработка простых, быстрых и эффективных численных методов для рассматриваемого класса задач остается актуальной проблемой.
Для решения рассматриваемой задачи и близких к ней в [7, 9] был предложен и затем в [10] развит метод интегральных дисперсионных уравнений (МИДУ), который показал свою эффективность на широком классе задач. Метод интегральных дисперсионных уравнений в первую очередь является аналитическим методом, но допускает также и численную реализацию. Однако необходимо отметить, что численная реализация МИДУ является непростой вычислительной задачей [1]. Все это заставляет искать более простые, с вычислительной точки зрения, методы для нахождения собственных значений.
1. Постановка задачи
Рассмотрим электромагнитные волны, распространяющиеся через однородный, изотропный, немагнитный диэлектрический слой, расположенный между двумя полупространствами х < 0 и х > h в декартовой системе координат Oxyz . Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость £ и £3 соответственно. Предполагается, что £1, £3 - произвольные действительные числа. Считаем, что всюду ц = |1о - магнитная проницаемость вакуума.
Далее считаем, что поля гармонически зависят от времени:
E (х, y, z, t) = E+ (х, y, z )cos rot + E-(x, y, z )sin roí,
H (x, y, z, t) = H+ (x, y, z )cos roí + H _ (x, y, z )sin roí,
где ro - круговая частота; E+, E_, H +, H_ - вещественные искомые
функции.
Образуем комплексные амплитуды полей E и H [11]: E = E+ + iE_, H = H ++ iH _.
Множители cos rot и sin rot ниже будут опущены.
Электромагнитное поле удовлетворяет системе уравнений Максвелла
rot H = -iro£E, rot E = iro^H, (1)
условию непрерывности касательных компонент электромагнитного поля на границе раздела сред х = 0 и х = h , а также условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при |х| в обла-
стях х < 0 и х > h .
Диэлектрическая проницаемость внутри слоя описывается диагональным тензором:
£ =
''хх
0 £yy 0
0 0 £ zz у
где £хх = £ / +£о/(| Ех |2,| Е212) и £^ = £g +£о g (| Ех |2 ,| Е212). Вид элемента £уу здесь не описан, поскольку в силу поляризации этот элемент не входит
в изучаемые уравнения. Здесь еf, £g - постоянные составляющие диэлектрических проницаемостей е^, ezz ; f (u,v) - однократно непрерывно дифференцируемая по обоим аргументам функция; g (u,v) - непрерывная по
обоим аргументам функция.
Также мы будем требовать выполнения условия
min(еf,eg)>maxfj,ез).
Это условие естественно возникает в линейной задаче [10] (когда диэлектрическая проницаемость в слое является постоянной).
2. ТМ-поляризованные электромагнитные волны
Рассмотрим ТМ-поляризованные волны:
Т тт п\Т
E = (ЕХ,0,Ez )T , H = (0,Hy ,0) ,
т
где Еу = Еу (х, у, г), Н2 = Н2 (х, у, г), Нх = Нх (х, у, г) и (•) - операция
транспонирования. Легко показать [10], что компоненты полей не зависят от переменной у.
Волны, распространяющиеся вдоль границы г раздела сред, гармонически зависит от г. Учитывая все сказанное, получаем, что компоненты полей Е и Н имеют представление Еу = Еу (х)в1^г, Нх = Нх (х)в1^г ,
Нг = Нг ( х )в1^г, где у - неизвестный спектральный параметр (постоянная
распространения электромагнитной волны).
Подставляя только что введенные компоненты в (1), нормируя в соот-
, _ , ё , ё ~ У £
ветствии с формулами х = кх, — = к—, у = —, £; = —(; = 1,2,3), где
ёх ёх к £о
к2 =ю2Ц£о с ц = ^о, используя следующие обозначения 2 (х ):= Е2 , X (х):= /Ех и опуская значок тильды, получаем из (1) (подробности см. в [7,
9, Ю]) систему
Г-2 " + уХ = £ и2,
\ > 1 (2)
[_ 2 / + уХ = у-1£ ххХ.
Будем искать те значения спектрального параметра у (собственные значения), для которых существуют действительные решения X(х), 2(х) уравнения (2); у полагаем действительным числом и считаем, что
£ =
£j, Х < 0,
£, 0 < x <h, £3, x > h,
где е - тензор, определенный выше.
Отметим еще, что в линейном случае должно выполняться неравенство max (1, £3) < Y2 < min (е(, £g) [10]. Но в нелинейном случае это неравенство
не обязательно имеет место, и мы будем считать, что max (1, £3) < у2 < а , где а <^ . В полупространствах x < 0 и x > h в системе (2) мы полагаем, что £ xx =£ zz = const и равно £1 или £3 соответственно.
Считаем, что функция X(х), Z(х) дифференцируема так, что
X(х)е C(-»,0] nC[0,h] nC[h, ■+») nC1 (—,0] nC1 [0,h] nC1 [h, ■+»),
Z(х)е C(-», +~)nC1 (—,0]nC1 [0,h]nC1 [h, +~)n
nC2 (-»,0) nC2 (0,h) nC2 (h,+~).
Такие условия непрерывности и дифференцируемости функции X и Z соответствуют физическому смыслу задачи.
3. Решение системы дифференциальных уравнений
В полупространствах х < 0 и х > h диэлектрическая проницаемость £ в уравнениях Максвелла (1) имеет постоянное скалярное значение £1 и £3 соответственно. Для этих полупространств получаем решения
X(х) = Aex'^-1 , Z(х) = у-1д/у2 -£1 Aex^Y~^1; (3)
X(х) = Be~(x~h)у2-£3, Z(х) = -у-1^/у2 -е3Be_(x-h)у2-£3, (4)
где учтены условия на бесконечности. Легко видеть, что должны выполнять-
22 ся неравенства у -£1 >0 и у -£3 >0.
Постоянные A и B в решениях (3) и (4) определяются начальными данными и условиями сопряжения.
Внутри слоя 0 < х < h , тогда £ = £. Система (2) имеет вид
-Z * + yX ' = ( g + g ),
<
-Z ' + yX = y-1 (е f + f )X;
в дальнейшем мы часто будем опускать аргументы функций f и g , когда это не будет вызывать недоразумений.
Последняя система может быть записана в нормальной форме (см., например, [10]):
X, Y2 (g + g) + 2 (f - Y2 + f )X ) z
< y(2X ( +£f +f) (5)
Z '=2-£ f - f )X,
где fU = f'X 2 , fV = fZ 2 •
4. Условия сопряжения
Как известно, касательные составляющие электромагнитного поля непрерывны на границе раздела сред. В рассматриваемом случае касательными составляющими являются компоненты Ey и Hz . Отсюда получаем
Hy (h + 0 )= Hy (h - 0), Hy (0 + 0 )= Hy (0 - 0),
Ez (h + 0 ) = Ez (h - 0), Ez (0 + 0 ) = Ez (0 - 0).
Нормальные компоненты электромагнитного поля на границе раздела сред имеют разрыв первого рода. В рассматриваемом случае нормальной компонентой является Ex . Но произведение eEx остается непрерывным на
границе раздела сред.
С учетом сказанного имеем условия сопряжения для функций X и Z:
]|x=0 = 0 , [£X ]|x=h = 0, [Z]L = 0, [Z U = °, (6)
где [ f ] x= *0 = f (x)- lim f (x) обозначает скачок функции f
x x0 x——x0 —0 x——x0 +0
в точке x = x0 .
Теперь условия непрерывности и дифференцируемости функций X и Z следуют из формул (3), (4) и (6).
Введем обозначения для граничных значений функций X(x) и Z(x) в точках x = 0 + 0 и x = h - 0 (на границе слоя изнутри). Пусть
X0 := X (0 + 0), Xh := X (h - 0), Z0 := Z (0 + 0), Zh := Z (h - 0). (7)
Учитывая условия сопряжения (6) и обозначения (7), для постоянных A и B в решениях (3) и (4) мы получаем: A = X(0-0), B = X(h + 0). Теперь решения (3) и (4) можно записать так:
X(h + 0)e (х hЄз, х > h,
где Xо - начальное условие; X^ определяется из условий сопряжения. Из формулы (8) мы получаем
Y_VY2 - ЄїX(0 -0)e^V^^, х < 0, -Y_VY2 -£3X(h + 0)e-(x-h2-Єз, х > h.
(9)
С учетом последней формулы, условий сопряжения (6) и обозначений (7) запишем следующие уравнения:
2(0-0) = у-17У2 -£|X(0-0), 2(И + 0) = -у-17у2 -Є3X(И + 0); учитывая условия сопряжения (6), получаем
20 =У-^ Ї2 —1X (0-0), 2и =-у-У У2-£3 X (И + 0). (10)
Также из условий сопряжения (6) находим
Є1Х(0 - 0) = (є( + / ) и £3X(И + 0) = (е( + /и ) , (11)
где /0 = / (, 2(2), ) = / (, 2і2 ).
Поскольку Zо известно, то, решая первое уравнение (11), найдем Xо . Если будет известна одна из величин Xи или 2^, то вторая из них может быть найдена из второго уравнения (11).
Теперь мы можем сформулировать краевую задачу на собственные значения (задачу Р): необходимо найти собственные значения у, для которых
существуют нетривиальные функции X(х) и 2(х) такие, что при х < 0 и х > И функции X и 2 определяются выражениями (8), (9), где X(0 - 0) -известная величина, а X(И + 0) - неизвестная; при 0 < х < И функции X и 2
удовлетворяют системе (5); функции X и 2 удовлетворяют условиям сопряжения (6)1.
5. Численный метод (метод задачи Коши)
Предлагаемый ниже метод позволяет находить собственные значения рассматриваемой задачи с любой заданной точностью. Также предложенный метод позволит построить графики зависимости постоянной распространения (нормированной) у от толщины слоя (нормированной) И .
Пусть И* > И* > 0 и У* > У* > д/шах (1, £3) - некоторые числа. Будем
считать, что
И*, И*
и ує
*
У*, У
*
У*, У
на п и т частей соответственно.
Разбиваем отрезки
Имеем сетку (, у]-), 7 = 0,п, j = 0, т; причем И = И* > 0, Иг = И*,
У0 =У* > д/шах(1, £3), ут =у* . Тогда для каждой пары индексов (7, j) бу-
1 Рассматриваемая нелинейная задача на собственные значения существенно зависит от начального условия (амплитуды падающего поля). Аналогичная линейная задача от амплитуды падающего поля не зависит. Это значит, что каждому собственному значению линейной задачи отвечает целый «пучок» волн с одним и тем же у и всевозможными амплитудами. В рассматриваемой нелинейной задаче это уже не так, собственные значения зависят от амплитуды.
дем иметь пару начальных значений (0),2/ (0)), где Xj■ (0)= X0 и
2у (0) = ^У2 — £1X0. Как легко видеть из предыдущего значения, X/ (0) и
2у (0) не зависят от И-, но мы оставляем двойные индексы для удобства.
Теперь можно поставить задачу Коши для уравнения (5) с начальным условием Xj■ (0), 2// (0). Величина у является параметром в системе (5) и решения этой системы зависят от у. Решив указанную задачу Коши, получаем значения Xij (И) = Xj (И-) и 2/ (И) = 2j (И-). Поскольку £X непрерывна при х = И , то это позволяет вычислить X (И + 0), а именно
£зXij (И + 0) = ^г (((И )),( (И-)) )Xj (И-),
значит,
Xij (и + 0) = £—1 ^г ^( (И- ))2,( (И- ))2 )Xj (И-).
Теперь, используя вторую формулу (9) и найденное значение Xij (И + 0),
мы можем вычислить 2/ (И + 0): 2/ (И + 0) = —у-^у2 —£3 X/ (И + 0). Но нам известно значение 2ц (И — 0) из решения задачи Коши. Принимая во внимание непрерывность 2 (х) на границе х = И, построим функцию ¥(,У/') = 2ц (И + 0) — 2ц (И — 0). Можно показать, что, при определенных условиях функция ¥ (И-, у) является непрерывной функцией параметра у. Пусть для заданного И- существуют такие У/ и у /+1, что
¥ (, у / )•¥ (, У/+1 )< 0. Это значит, что существует у-е ( (, у/+1) такое,
что у- является собственным значением рассматриваемой задачи о распространении волн и этому собственному значению соответствует толщина слоя И. Значение у-, когда оно существует, может быть найдено с любой степенью точности, например, методом дихотомии.
Сформулируем некоторые теоретические результаты, которые будут необходимы при обосновании численного метода. В частности, покажем, при каких условиях задача Коши для уравнения (6) с начальными условиями
X 0, 20 =У—V У2 —£1 X (0 — 0) (12)
будет иметь единственное решение; покажем, что решение только что указанной задачи Коши непрерывно зависит от параметра у.
Поскольку в полупространствах х < 0 и х > И система уравнений (2) является линейной и ее решения известны, то мы сразу перейдем к выяснению единственности решения задачи Коши для уравнения (5).
В дальнейшем нам понадобятся некоторые классические теоремы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Пусть
П:={(,2):\X — X0<Ъ,|2 — 2^\<Ъ}.
Пусть число М таково, что
У2 (£( + Я) + 2 (£( + / — У2 )2
М > тах
(X ,2 )П
,У
у( 2( /и+£/ + /
М > тах
(X 2 )еП
те( ,У
±(Т2 —£ / — / )X
, где у* >у* > ^тах (е1, £3).
Утверждение 1. Решение задачи Коши для системы (5) с начальными условиями (12) непрерывно дифференцируемо, единственное и существует при х < Ъ/М .
Доказательство утверждения 1 сразу следует из теоремы Пикара [12, с. 165], если принять во внимание, что система (5) является автономной. Кроме того, мы действительно можем полагать, что Ъ <^ , поскольку нас интересуют именно ограниченные решения системы (5).
Теперь обратимся к доказательству непрерывной зависимости от параметра решения задачи Коши для системы (5) с начальными условиями (12).
Пусть Пу :={(Х,2,у):¡X — Xо|<Ъу,|2 — 201<Ъу,уе у*,у*
У* > У* > д/тах (1, £3) . Пусть число Му таково, что
У2 (£ я + Я) + 2 (£ / + / — У2 )2
где
Му > тах
г (X ,2 ,у)еПу
У(2X (и+£/ + У
Му > тах
' (X ,2 ,у)еП^
Утверждение 2. Решение X(х,у), 2(х,у) задачи Коши для системы (5) с начальными условиями (12) непрерывно дифференцируемо относительно х , единственно, существует при всех х < Ъу/Му и непрерывно зависит
от у для всех уе
У^ У
Доказательство следует из классической теоремы о непрерывной зависимости решения задачи Коши от параметра [12, с. 183-185].
Сформулируем критерий существования по крайней мере одного собственного значения.
Теорема 1. Пусть выполняются условия утверждения 2 и пусть отрезок
[ Ъ У ] с у*, у* таков, что ¥ (, у) • ¥ (И, у) < 0 . Тогда существует по крайней мере одно собственное значение уе(у,у) задачи РМ.
Доказательство. Поскольку функция Г является линейной функцией от решения рассматриваемой задачи Коши, то при условиях утверждения 2 функция Г является непрерывной. Но тогда ясно, что если Г (, у)-Г (Л, у)< 0, то существует у е(у, у) такое, что Г (Л, у ) = 0. Но такое у есть не что иное, как собственбное значение задачи РМ. Теорема доказана.
Ясно, что собственное значение у может быть найдено со сколь угодно большой точностью, например методом дихотомии.
6. Численные результаты
В этом пункте будут представлены лишь численные результаты.
А. Керровская нелинейность
Рассмотрим случай керровской нелинейности. В данном случае диэлектрическая проницаемость внутри слоя имеет вид
£ = £х* = £и =^2 + £оа(2 +£2 )
где £2 - постоянная составляющая диэлектрической проницаемости £; £о -диэлектрическая проницаемость вакуума.
Заметим, что керровская нелинейность может быть исследована с помощью МИДУ [1, 4, 8, 10], что очень важно для тестирования предложенного здесь вычислительного метода.
На рис. 1 приведены результаты расчетов дисперсионных кривых, полученных, например, из работ [4, 8].
п
Рис. 1
Для вычислений были использованы следующие параметры: £1 = 1,44, е2 = 9, £3 = 1, ¿о = 1, у> >/1,44 . На рис. 1 представлен нелинейный случай
67
с а = 0,1. Сплошные линии соответствуют дисперсионным кривым, построенным по [4, 8], а точки соответствуют решениям, полученным с использованием предложенного в этой работе метода.
Б. Нелинейность с насыщением
Рассмотрим случай нелинейности с поглощением. В этом случае дисперсионные кривые могут быть построены с использованием МИДУ [13]. Это опять позволяет провести сравнение с уже известными результатами. Но нужно отметить, что уже в этом случае при некоторых значениях параметров численный метод, полученный на основе МИДУ, встречает трудности при численной реализации. В рассматриваемом случае диэлектрическая проницаемость внутри слоя имеет вид
где £2 - постоянная составляющая диэлектрической проницаемости £; £0 -диэлектрическая проницаемость вакуума.
В работе [14], в частности, получено неравенство
в > 0 . Трудности при численной реализации МИДУ в рассматриваемой задаче возникают, когда величина а на порядок или более превосходит в. Как будет видно далее, использованный здесь метод не имеет подобного недостатка.
На рис. 2, 3 представлены дисперсионные кривые для нелинейного слоя при различных значениях коэффициентов нелинейности а и в. При расчетах
взяты следующие значения параметров: £1 = 1, £2 = 3, £3 = 1, 70 = 1. На рис. 4 представлены результаты расчетов при а = 0,00001, в = 0,01 и проводится сравнение с результатами расчетов из [13]. На рис. 5 расчеты выполне-
Отметим, что описанный в этой работе метод обладает важными достоинствами:
- метод прост в реализации (все известные математические пакеты могут решать задачу Коши);
- метод работает значительно быстрее, чем численный метод, основанный на реализации МИДУ или численный метод, предложенный в [1];
- метод может быть применен для изучения широкого класса нелинейностей, в частности, таких нелинейностей, для которых первый интеграл системы (5) не позволяет легко воспользоваться МИДУ.
Важно отметить, что предложенный в этой работе метод эффективен в случае, если множество собственных значений рассматриваемой краевой задачи является дискретным, причем полная производная по спектральному параметру от функции Г (Л, у) не равна нулю при у = у, где у - собственное значение задачи РМ.
тах(1,£3) < у2 <£2 +ав 1, когда £1 > 0, £3 > 0, £2 > тах(£1,£3), а> 0,
ны при а = 0,01, в = 0,0001.
Заключение
Рис. 2
Н
Н
Рис. 3
Еще отметим, что общий метод для нахождения изолированных собственных значений в нелинейной краевой задаче для обыкновенного диффе-
ренциального уравнения второго порядка вида у" = /(х, у, у , у) был развит
в работе [15]. Однако подчеркнем, что здесь мы предлагаем численный метод для конкретных задач электродинамики, объединенных общей постановкой.
Л
Рис. 4
Рис. 5
Л
Кроме того, предложенный здесь метод развит для системы уравнений
в нормальной форме. Ясно, что далеко не всякую нормальную систему двух
уравнений первого порядка можно свести к одному уравнению второго порядка вида / = f (x,y,y ,y).
Список литературы
1. Зарембо, Е. В. Об одном численном методе решения нелинейной краевой задачи на собственные значения для электромагнитных ТМ-волн, распространяющихся в слое с керровской нелинейностью / Е. В. Зарембо // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2012. -№ 1. - С. 75-82.
2. Зарембо, Е. В. Численный метод решения нелинейной краевой задачи на собственные значения для электромагнитных ТЕ-волн, распространяющихся в слое с произвольной нелинейностью / Е. В. Зарембо // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2012. - № 2. -С. 59-74.
3. Валовик Д. В. О методе задачи Коши решения нелинейной краевой задачи на собственные значения для электромагнитных ТМ-волн, распространяющихся в слое с керровской нелинейностью / Д. В. Валовик, Е. В. Зарембо // Радиотехника и электроника. - 2012. - Т. 57 (принята к печати).
4. Валовик, Д. В. Расчет постоянных распространения ТМ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном слое / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Радиотехника и электроника. - 2008. - T. 53, № 8. - С. 934-940.
5. Валовик, Д. В. О распространении ТМ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном слое с нелинейностью, выраженной законом Керра / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2008. - Т. 48, № 12. - С. 2186-2194.
6. Валовик, Д. В. Расчет постоянных распространения и полей для поляризованных электромагнитных ТМ-волн в нелинейном анизотропном слое / Д. В. Вало-вик, Ю. Г. Смирнов // Радиотехника и электроника. - 2009. - T. 54, № 4. -С. 411-417.
7. Валовик, Д. В. Задача о распространении электромагнитных волн в слое с произвольной нелинейностью (II. ТМ-волны) / Д. В. Валовик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки - 2010. -№ 2 (14). - С. 54-65.
8. Валовик, Д. В. Нелинейные эффекты в задаче о распространении электромагнитных ТМ-волн в слое с керровской нелинейностью / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Радиотехника и электроника. - 2011. - Т. 56, № 3. - C. 309-314.
9. Валовик, Д. В. Задача о распространении электромагнитных ТМ-волн в слое с произвольной нелинейностью / Д. В. Валовик // Журнал вычислительной математики и математической физики - 2011. - Т. 51, № 9. - С. 1729-1739.
10. Smirnov, Yu. G. Electromagnetic wave propagation in nonlinear layered waveguide structures / Yu. G. Smirnov, D. V. Valovik. - Penza : PSU Press, 2011. - 248 p.
11. Eleonskii, P. N. Cylindrical nonlinear waveguides / P. N. Eleonskii, L. G. Oga-nes’yants, V. P. Silin // Soviet Physics Jetp. - 1972. - V. 35, № 1. - P. 44-47.
12. Еругин, Н. П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений / Н. П. Еругин. - Минск : Наука и техника, 1979. - С. 165-185.
13. Valovik D. V. Electromagnetic TM wave propagation through a nonlinear metamaterial layer with arbitrary nonlinearity, P. 1676-1680, PIERS Proceedings, Kuala Lumpur, Malaysia, March 27-30, 2012.
14. Валовик, Д. В. Распространение электромагнитных ТЕ-волн в нелинейной среде с насыщением / Д. В. Валовик // Радиотехника и электроника. - 2011. -Т. 56, № 11. - C. 1329-1335.
15. Волков, Е. А. Об исследовании и решении разностным методом нелинейных задач для обыкновенного дифференциального уравнения / Е. А. Волков // Труды МИАН СССР. - 1976. - Т. 140. - С. 103-129.
Зарембо Екатерина Викторовна
аспирант, Пензенский государственный университет
Zarembo Ekaterina Viktorovna Postgraduate student,
Penza State University
E-mail: mmm@pnzgu.ru
УДК 517.927, 519.62, 517.958 Зарембо, Е. В.
Численный метод решения нелинейной краевой задачи на собственные значения для электромагнитных ТM-волн, распространяющихся в слое с произвольной нелинейностью / Е. В. Зарембо // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2012. - № 3 (23). - С. 59-72.
