Численный метод в задаче о распространении электромагнитных ТЕ-волн в двухслойной нелинейной волноведущей структуре Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.927, 519.62, 517.958

Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов, Е. А. Широкова

ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД В ЗАДАЧЕ О РАСПРОСТРАНЕНИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ТЕ-ВОЛН В ДВУХСЛОЙНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ВОЛНОВЕДУЩЕЙ СТРУКТУРЕ

Аннотация. Рассматривается распространение электромагнитных волн в волноведущей структуре, состоящей из двух плоских слоев с нелинейной средой. Задача сводится к краевой задаче сопряжения на собственные значения в четырехсвязной области. Предложен численный метод для решения указанной задачи. Приведены результаты расчетов.

Ключевые слова: задача сопряжения в многосвязной области, нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение, задача Коши.

Abstract. The article considers electromagnetic wave propagation in a two nonlinear layers’ plane waveguide. The problem is reduced to a boundary conjugation problem in a quadruply-connected domain. A numerical method for solving the problem is proposed. Some numerical results are shown.

Key words: conjugation problem in a multiply-connected domain, nonlinear ordinary differential equation, Cauchy problem.

Введение

В работе рассматривается задача о распространении ТЕ-волн в плоском двухслойном диэлектрическом волноводе. Волновод помещен между двумя полубесконечными средами с постоянными электродинамическими параметрами. Диэлектрическая проницаемость в каждом из двух слоев зависит от

I |2

электрического поля по закону Керра: £ = £const +a|E , где £const - постоянная составляющая диэлектрической проницаемости, а - коэффициент нелинейности. Задача сводится к отысканию постоянных распространения электромагнитной волны в рассматриваемой волноведущей структуре. Предложен численный метод (который будем называть «метод задачи Коши») отыскания собственных значений.

1. Постановка задачи

Рассмотрим электромагнитные волны, проходящие через два однородных, изотропных, немагнитных диэлектрических слоя. Диэлектрическая проницаемость в слоях зависит от электрического поля по закону Керра. Слои

расположены между двумя полупространствами x < 0 и x > h в декартовой

системе координат Oxyz и h = h + h2 . Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянные диэлектрические проницаемости £i и £4 соответственно (£1 и £4 - произвольные действительные постоянные). Считаем, что всюду Ц- = Ц-о - магнитная проницаемость вакуума.

Предполагаем гармоническую зависимость полей от времени в виде

E (x, y, z, t) = E+ (x, y, z )cos rot + E- (x, y, z )sin rot;

H (x, y, z, t) = H + (x, y, z )cos rot + H-(x, y, z )sin rot,

где го - круговая частота; E+, E-, H +, H_ - вещественные искомые функции.

Образуем комплексные амплитуды полей E, H [1]: E = E+ + iE_; H = H + + iH_. Везде ниже множители cos roí и sin rot будем опускать.

Электромагнитное поле E, H удовлетворяет уравнениям Максвелла

rot H = -iroeE; rot E = iro|iH, (1)

условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред х = 0, х = hi, х = hi + и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при |х| в областях х < 0 и х > h . Диэлектрическая проницаемость внутри слоя имеет

I |2

вид e = e¿ +аг- E , где i = 2,3 и e¿, аг- - произвольные постоянные. Будем искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве.

На рис. 1 показана геометрия задачи.

Рассмотрим

Рис. 1

ТЕ-поляризованные волны

E = (0, Ey ,0)

Т т

Н = (ЯХ ,0, Нг) , где (...) - операция транспонирования. Легко показать,

что компоненты полей Е и Н не зависят от переменной у. Волны, распространяющиеся вдоль границы раздела сред г, гармонически зависят от г. Тогда компоненты полей Е, Н имеют вид

Ну = Hy (x)eiYz, Ex = Ex (x)eiYz , Ez = Ez (x)eiYz .

(2)

у у'

Подставив компоненты (2) в уравнения Максвелла (1), выполнив нормировку в соответствии с формулами Х = кх, = к-^-, у = —, е / = — (/ = 1,

dx dХ к £о

а,

2, 3, 4), а, =— (, = 1, 2), где £о - диэлектрическая проницаемость вакуума и е0

к2 =ю2Ц£о с ц = ^о, обозначив Еу (Х ) = У (Х) и опуская значок тильды, получаем следующее уравнение [2]:

У"(х) = У2У (х)-еУ (х), (3)

где у - неизвестный спектральный параметр (постоянная распространения). Будем искать действительные решения У(х) уравнения (3). Полагаем

2

у действительным (так что |Е| не зависит от г) и

£1, х < 0;

е2 + а2У2, 0<х<к;

£= I 2 2 / (4)

£3 + азУ , к < х < к + ^2;

£4, х > / + /2.

Считаем, что функция У дифференцируема в слоях так, что У (х)е С(-^; + ^)п С1 (-^;^) о С2 (-^; 0)п

пС2 (0; Н1 )пС2 (/1; к)пС2 (к; + ~). (5)

2. Решение системы дифференциальных уравнений

Введем обозначения: к2 =у2 -£1, к2 =£2 -у2, к2 =£3 -у2,

к2 =у2 -£4.

Для £ = £1 в полупространстве х < 0 из (3) и (4) получаем уравнение У" = к12У, его общее решение У (х) = + Аекх, в силу условия на бес-

конечности получаем

У (х) = Аекх ,

У'(х) = Ак1ек1Х . (6)

Для £ = £4 в полупространстве х > /1 + /2 из (3) и (4) получаем уравнение У' = к^У, его общее решение У (х) = В^4(х к) + Ве к(х к). В силу условия на бесконечности получаем

У (х ) = Ве_к4 (х- к), У '(х) = -Вк4е~к4 (х-к). (7)

Постоянные А и В в (6) и (7) определяются граничными условиями.

Из формул (6) и (7) легко видеть, что выполняется неравенство

у> тах ((,^/£4).

Внутри слоя 0 < х < /1 уравнение (3) принимает вид

У" = -( +У2 )у . (8)

Внутри слоя h < х < h + уравнение (3) принимает вид

Y'' = -(32 + Y2 )y .

(9)

3. Условия сопряжения

Как известно, касательные компоненты электромагнитного поля непрерывны на границах раздела сред. В нашем случае касательными компонентами являются Еу и Нг. Учитывая сказанное, получаем для функций У и У'

следующие условия сопряжения:

Пусть У) := У (0), У/ := У (к) и постоянная У/ считается известной, тогда В = У/ , А = У0 . Далее, используя (5), (6), получаем

Сформулируем задачу сопряжения (задачу Р): необходимо найти собственные значения у и собственные функции У(х;у), удовлетворяющие уравнениям (8), (9) и условиям (6), (7), (10).

В случае, когда все четыре среды линейны, можно вывести точное дисперсионное уравнение. Это дисперсионное уравнение окажется полезным для тестирования метода задачи Коши, описанного ниже.

Внутри слоя 0 < х < h решение уравнения (3) имеет вид

Y (х) = Cjjsin к2х + C^cos к2х, Y' (х ) = £2 (Cncos k2Х - C^sin k2Х). (12)

Внутри слоя h < х < h + решение уравнение (3) имеет вид

Y (х ) = C2isin £3 х + C22Cos £3 х, Y' (х ) = £3 (C2iCos £3 х - C22 sin кзх). (13)

Пользуясь условиями сопряжения (10) и решениями (6), (7), (12), (13), получаем

(10)

Y'(h) = -k4Yh, Y'(0) = kiYo.

(11)

4. Линейный случай

A = С12,

Ak1 = k2C11,

Сц sin k2h + C12 cos k2h = C21 sin кзк + C22 cos кз^, k2 (Сц cos k2h1 - C12 sin k2h1) = k3 (21 cos k3h - С22 sin k3h), C21 sin k3 ( + h2) + C22 cos k3 (h1 + h2) = 5, k3 (21 cos k3 (h1 + h2)- C22 sin k3 (( + h2)) = -Жф

Предполагая, что cos к2\ Ф 0 и cos к^ Ф 0, получаем дисперсионное уравнение в такой форме:

kf к4 + ^к2 ) tg к2h tg кз^2 - кз (кк - к| ) tg к2h +

+^2 kjtg£3^2 — ^2(з {^к\ + к/4j — 0 . (14)

Уравнение (14) удобно переписать одним из следующих способов:

кк4 — к2 )tgk2hi + к2 (к1 + к4 )

tg k3h2 — к3

tg k2 hi — k2

k2£4 + kik2 jtgк2hi + £2 (к2 — kik4

kk — kik4 j tg k3h2 — £з kki + k4 j

или

(

i

h2 — у arctg

k3

£з I kik4 — k2) — (k^(4 + kik2 j tg k3h2

kk — k2 j tg 12 hi + k2 (ki + k4j

(i5)

(i6)

k2(4 + kik2 jtg t2hi + k2 (k2 — kik4

ЛИ

i

hi — —arctg

k2

k2 — kik4 j tg 13h2 — (з (ki + k4j

(з I kik4 — k^) — (k;2 k4 + kik2 I tg 13h2

+

(i8)

где n > 0, га > 0 - целые числа.

Из представлений (17), (18) легко видеть, что Y< min((J,^/£7). Окончательно получаем, что в линейном случае выполняется неравенство

max(1,£4) < у2 < min (£2,£3), причем левая часть этого неравенства справедлива и для нелинейного случая.

5. Описание метода задачи Коши Будем считать, что hi задано, а изменяется. Опишем метод нахождения у в зависимости от h2. Будем считать, что h2 є £, h*) и

ує (ax((i,^/£4),Y*). Разбиваем интервалы £,h*) и (ax((1,^/£4),Y*) на n и m частей соответственно. Поскольку Yh известно, то для всякого Yj є (ax((1,^/£4), Y*) и h* из формулы (12) найдем Yj £h*) (как легко видеть из (12), значения Yh и Yh от h не зависят, но так писать удобнее). Теперь можно решать задачу Р следующим образом. На отрезке x є h1,h*

можно поставить задачу Коши для уравнения (9) с начальными условиями Ун, У' (Н*) и у = уу . Решив ее, получим Уу (Н), У'у (Н) - значения функции

У и ее производной У' в точке х = Н . Теперь мы можем поставить задачу Коши на отрезке х е [0, Н ] для уравнения (8) с начальными условиями У^ , У'у (Н) и у = уу. Решив ее, получим значения Уу (0), У'у (0) - значения функции У и ее производной У' в точке х = 0 . С другой стороны, из (6) и (12) нам известно, что У (0) = А и У'(0) = ^у2 -£1А . Используя полученные результаты для У = Уj , приходим к выводу, что А = У у (0). Сконструируем

функцию Р (, у у) = У'у (0) - ^у2 - £1Уу (0). Можно показать, что функция

Р(,У) непрерывна по у [3].

Пусть для заданного Н* существуют такие у у и у у+1, что

1

-----г< 0 . Это значит, что существует у у е 1у у, у у+11 такое, что у у яв-

Ч ,Уу+1)

ляется собственным значением рассматриваемой задачи о распространении волн. Значение у у может быть найдено с любой степенью точности, например методом дихотомии.

Пусть уу есть предельное1 значение для Уу (где Уу определяется некоторым итерационным процессом, например методом дихотомии). Тогда Уу есть собственное значение задачи Р, которому соответствуют толщины Н* и Н слоев и собственная функция У (х;Уу), определенная на хе (—^, +^).

Обозначим через /(х)|0 сужение функции /(х) на множество хе0 . Тогда собственная функция У(х;Уу) удовлетворяет следующим условиям:

1) г (■ (-^,0]

2) Г ( Ту) - 1 [0А]

3) Г ( у,-) )Л* ] "

\ь*,+~)

(; Ту )хр Г-(х - И1 )) -е41;

1 Ясно, что указанный предел существует, если Р (*, у) непрерывна по у и

Р (н* , у) меняет знак при переходе от у у к у у+1.

5) функция У (х; Уу) удовлетворяет условиям сопряжения (9) в точках

х = 0, х = Ъ{, х = И + И*.

Отметим, что описанный в данной работе метод обладает важными достоинствами:

- метод прост в реализации (все известные математические пакеты могут решать задачу Коши);

- метод позволяет находить собственные значения с любой заданной точностью;

- метод может быть применен для изучения не только керровской нелинейности;

- метод может быть обобщен на произвольное число слоев.

6. Численные результаты

На рис. 2-4 изображены графики дисперсионных кривых. При расчетах использованы следующие значения параметров: А = 1 (см. (6)); = 1; £4 = 1;

И = 1. На рис. 2-4 вертикальная ось соответствует изменению у, а горизонтальная - изменению И2 .

0 5 10 15

Рис. 2. £2 = 2, £3 = 2,5 , а = 0,02, в = 0,01 Заключение

Рассматриваемая задача на собственные значения для керровской нелинейности (и даже для обобщенной керровской [4]) может быть решена точно: дисперсионное уравнение выписывается в эллиптических функциях. Однако исследование такого дисперсионного уравнения не является тривиальной задачей и будет усложняться при увеличении числа слоев. В то же время такие многослойные структуры (линейные), носящие название одномерных фотонных кристаллов, активно изучаются в настоящее время [5, 6]. Все это оправдывает разработку численных методов решения указанного класса задач.

Рис. 3. е2 = 2, е3 = 2,5 , а = 0,02 , ß = 0,05

h

Рис. 4. е2 = 2,5, е3 = 2, а = 0,02, ß = 0,03 Список литературы

1. Eleonskii, P. N. Cylindrical Nonlinear Waveguides / L. G. Oganes’yants, P. N. Eleonskii, V.P. Silin // Soviet physics JETP. - 1972. - V. 35, № 1. - P. 44-47.

2. Валовик, Д. В. Распространение электромагнитных волн в нелинейных слоистых средах / Д. В Валовик., Ю. Г. Смирнов. - Пенза : Изд-во ПензГУ, 2010. -264 с.

3. Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Л. С. Понт-рягин. - М. : ГИФМЛ, 1961. - 312 с.

4. Валовик, Д. В. Распространение электромагнитных ТЕ-волн в слое из нелинейного метаматериала / Д. В. Валовик // Радиотехника и электроника. - 2011. -Т. 56, № 5. - С. 587-599.

5. Joannopoulos, J. D. Photonic crystals: Molding the flow of light / J. D. Joan-nopoulos, S. G. Johnson, J. N. Winn, R. Meade. - Princeton : Princeton University Press, 2008. - 304 p.

6. Lourtioz, J.-M. Photonic crystals / J.-M. Lourtioz et al. - Berlin : Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2005. - 430 p.

Валовик Дмитрий Викторович

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет

E-mail: [email protected]

Смирнов Юрий Геннадьевич

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет

E-mail: [email protected]

Широкова Екатерина Алексеевна аспирант, Пензенский государственный университет

E-mail: [email protected]

Valovik Dmitry Victorovich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling,

Penza State University

Smirnov Yury Gennadyevich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University

Shirokova Ekaterina Alekseevna

Postgraduate student,

Penza State University

УДК 517.927, 519.62, 517.958 Валовик, Д. В.

Численный метод в задаче о распространении электромагнитных ТЕ-волн в двухслойной нелинейной волноведущей структуре I Д. В. Ва-

ловик, Ю. Г. Смирнов, Е. А. Широкова II Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2012. - № 1 (21). -С.66-74.