Об обосновании численного метода решения некоторых нелинейных задач на собственные значения теории волноводов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.927.4, 517.58, 519.62 DOI 10.21685/2072-3040-2018-4-4

М. А. Москалева

ОБ ОБОСНОВАНИИ ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ТЕОРИИ ВОЛНОВОДОВ1

Аннотация.

Актуальность и цели. Рассматриваются нелинейные задачи на собственные значения типа Штурма - Лиувилля, возникающие в теории волноводов. Основная цель исследования - обосновать численный метод нахождения приближенных собственных значений.

Материалы и методы. Применены классические и современные методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Результаты. Доказана глобальная однозначная разрешимость задач Коши, отвечающих исследуемым задачам. Указанный результат позволяет обосновать метод пристрелки по спектральному параметру для вычисления собственных значений.

Выводы. Численный метод, обоснованный в данной работе, является эффективным способом приближенного вычисления собственных значений.

Ключевые слова: нелинейная задача типа Штурма - Лиувилля, нелинейное дифференциальное уравнение, метод пристрелки, нелинейная диэлектрическая проницаемость.

M. A. Moskaleva

ON SUBSTANTIATION OF A NUMERICAL METHOD TO SOLVE NONLINEAR EIGENVALUE PROBLEMS ARISING IN ELECTROMAGNETICS

Abstract.

Background. The paper is devoted to nonlinear Sturm-Liouville problems. These problems arise in the theory of waveguides. The main goal is to justify a numerical method to calculate approximated eigenvalues.

Materials and methods. The classical and modern methods of ordinary differential equations are applied.

Results. The global unique solvability of Cauchy problems corresponding to the studied problems is proved. This result allows one to justify a numerical method based on shooting by the spectral parameter.

Conclusions. This numerical method is an effective tool for computation approximated eigenvalues.

Keywords: nonlinear Sturm-Liouville problem; nonlinear differential equation; shooting method; nonlinear permittivity.

1 Работа поддержана РНФ (грант №18-71-10015)

© Москалева М. А., 2018. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.

Введение

Как известно, проблемы распространения электромагнитных волн в регулярных волноводах сводятся к задачам на собственные значения [1-3]. В теории нелинейных волноведущих структур такие задачи являются нелинейными как по спектральному параметру, так и по искомым функциям [3-8]. Собственные значения в указанных задачах отвечают постоянным распространения электромагнитной волны, собственные функции - собственным модам волновода.

В последнее время достигнут серьезный прогресс в теоретическом исследовании процессов распространения монохроматических поляризованных электромагнитных волн в плоских слоистых волноводах, заполненных нелинейной средой [7-9]. В частности, получены глубокие результаты о разрешимости соответствующих нелинейных задач на собственные значения, найдены асимптотики собственных значений, указаны условия периодичности собственных функций и формулы для распределения их нулей. Не менее важно, однако, иметь строго обоснованные численные методы для приближенного вычисления собственных значений и собственных функций. Несмотря на то, что в цитированных выше работах были продемонстрированы численные результаты, описания и обоснования использованных для их получения численных методов представлено не было. Задачей настоящей статьи является восполнение этого пробела.

В данной работе будет обоснован широко известный метод пристрелки по спектральному параметру, см., например, [10]. Ясно, что ключевым аспектом применения метода пристрелки является глобальная однозначная разрешимость вспомогательной задачи Коши для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения. Одним из результатов настоящей статьи является доказательство существования глобального решения для упомянутой задачи Коши. Заметим, что для достаточно тонких однородных плоских волноводов такое доказательство элементарно получается из классических результатов о существовании решения задачи Коши на отрезке Пеано (этот подход использован в работах [11, 12]). По очевидным причинам такие результаты нельзя считать удовлетворительными и естественно построить численный метод, обоснованный для волноводов произвольной (фиксированной) толщины.

Введем обозначения: I = (0,И), I =[0,И\, Я = (-^, =(0,

Рассмотрим нелинейную задачу на собственные значения типа Штурма -Лиувилля, которая заключается в нахождении тех значений параметра 7 = 7,

для которых существуют решения и = и(х;7,а) уравнения

1. Постановка задачи

(1)

удовлетворяющие краевым условиям:

и\х=0 = 0, и\ х=0 = А Ф 0,

(2)

и\х=И = (3)

где (х,у,а)е 1хЯхЯ+, Ае Я - постоянная (без потери общности А > 0), £/ е Я+ - постоянная,

и е С2 (Т). (4)

При этом предполагается, что / е С1 [0, - монотонно возрастающая функция и /(0) = 0 .

В силу того, что (1) зависит от у2, достаточно исследовать случай уе Я+.

Введем необходимое определение.

Определение 1. Число у = у > 0 такое, что при фиксированном значении и'| х=0 Ф 0 (без потери общности и'| х=0 > 0) существует функция и = и (х; у, а), которая удовлетворяет уравнению (1) и условиям (2)-(4), будем называть собственным значением задачи (1)-(4), а функцию и (х; у, а), соответствующую собственному значению у, - собственной функцией задачи

(1)-(4).

Задачу (1)-(4) назовем задачей Р, а ее собственные значения обозначим у и у у; в последнем случае предполагается, что собственные значения упорядочены по возрастанию.

Кроме того, рассмотрим задачу Р1, которая заключается в нахождении тех значений параметра у = у, для которых существуют решения и = и (х; у, а) уравнения (1), удовлетворяющие краевым условиям

2 - £ V и | х=0-и1 х=0 =0, и'\х=0 = А Ф ^ (5)

4у2 -£с и|х=Л +и 1 х=к =0, (6)

и условиям (4), здесь 0 <£с <е5 <£/ - постоянные [7, 8].

Определение, аналогичное определению 1, можно ввести и для задачи р. В тексте статьи основные результаты будут доказаны для задачи Р. Для задачи Р1 доказательства получаются почти дословным повторением. По этой причине для задачи Р1 будут приведены только формулировки результатов.

2. Основные результаты

Умножая уравнение (1) на и и интегрируя, получаем первый интеграл

и'2 + ( -у2)и2 +а(и2) = С, (7)

и2

где ^(и2 ) = /0 /()&, а С - постоянная.

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион Подставляя x = 0 в (7) и используя (2), находим

C = A2 > 0. (8)

2 2

Подставляя x = h в (7), используя (3) и (8), получаем B = A , где

B = u'| x=h .

Введем новые переменные:

т = и2, n= - . (9)

u

В переменных (9) имеем f = f (т).

Используя обозначения (9), запишем уравнение (1) в виде системы

т' = 2тт,

I 2 , ч 2\ (10)

Т =-(е/-Y2 +af (т) + П2).

Первый интеграл системы (10) имеет вид

(п2 +£/-Y2) + aF(т) = C , (11)

где постоянная C определена формулой (8).

Проверим, что п'<0 при всех Ye R . Приравнивая правую часть второго уравнения (10) к нулю и используя (11), находим -af (T)T + aF(т) = A2 .

Интегрирование по частям дает -aj^ f ' (t )tdt = A2. Учитывая свойства

функции f, получаем противоречие, которое доказывает справедливость первоначального утверждения. Итак, функция |(x) является монотонно убывающей.

Используя условия (2)-(3) и монотонность функции п(х), находим

п(0)=.

Поскольку формула (11) неявно определяет функцию т = т(т; Y), то второе уравнение системы (10) можно переписать в виде

|' = -w (т; Y), (12)

где w (т; y)=T2 +£/-Y2 +af (т(т; y)).

Пусть u имеет n нулейXj е I, где I = (0,h) и i = 1,n ; при этом Х0 = 0, xn+1 = h . Если n = 0 , то u не обращается в нуль при х е I. Из того, что т'< 0 и условий (2) следуют формулы

lim t(x) = 0, lim |(x) = +°°, x^+0 x^+0

lim t(x) = 0, lim |(x) = ±°°,

x—^ xi x—^ x ±0

где i = 1, n .

Утверждение 1. Задача Коши (1)-(2) однозначно глобально разрешима при x е I, а ее решение u = u (x;y, a) непрерывно зависит от точки

(x, y, a) е I x Rx R +, и справедлива формула

r ds r

J -V + n J

i , w(s;Y) J

T(h)

Доказательство. Пусть

(s; y) _l w (s; y)

= h, n = 0,1,...

(13)

П_+1 = n(x,+1 _0) = _~ ,

П+ = n(x, + 0) = , где , = 0,n _ 1,

обозначают предельные значения функции п в точках ху. Будем интегрировать уравнение (12) на каждом из интервалов (0,х^),(х^,Х2),...,(хи,И). Итак,

П1

J

ф;

n(x)

_ J

n+

П(х)

_J

П+_1

ds

w (s; y)

w (s; y)

w

= x + C0, xe (0,x);

(s; Y)

= x + c,, x e(x,, x,+1), , = 1, n _ 1;

x I c~n, ^x e (xn, h).

(14)

Подставляя x = x0 + 0(= 0 + 0), x = xj+1 -0, x = xn+1 -0(=> вую, вторую и третью строки (14), находим

-0) в пер-

c0

w

П1

= J

n(0) n_+1

c, = _ J

n+ n(h)

cn = _ J

n+_1

ds

(s; yV

w

(s; y)

_ x,+1,, = 1, n _1;

w

(s; y)

С учетом найденных с у формулы (14) принимают вид

П1

П1

• = х +

n(x)w (s; y) " '¿)w (s; y)

П(х

x e

(0, x);

w

(s; y)

П+1 л _ r ds

J+ w (s; y)

n(x) , n(h)

I* ds = I* ds h

+ w(s;y) J w(s;y) '

П+-1 П+-1

xi+1, xe (xi,xi+1 ), i = 1 n-1; x e (xn, h).

Подставляя х = Х1 - 0, х = хг- + 0, х = хп + 0 в первую, вторую и третью строки предыдущей формулы, получаем

0 = xj + J

n(0) n-+1

w

(s; y)

0 = X,-

n(h)

' = x" - J

w (s; y)

■ x,+1, i = 1, n -1;

(15)

w

пП-1

(s; y)

Заменив n± на в формулах (15), получаем

0 < xj = J

w

(s; yY

0 < x,+1 - xi = J / v i =1, n -1;

— w (s; y)

(16)

с1

0 < Ь - хп = / —.

п(Ь) "( У)

Формулы (16) дают расстояния между соседними нулями функции и. Поскольку левые части в (16) конечны, то таковы же и правые части. Отсюда следует сходимость всех несобственных интегралов в правых частях формулы (16). Сходимость указанных несобственных интегралов влечет существование функции п = п(х) на каждом из интервалов (хг-,хг+). Учитывая сказанное и то, что функции и(х) и и'(х) ограничены, см. формулу (7) и (8),

получаем, что функция и (х), как и и'(х), определена для всех хе I . Другими словами, мы доказали, что решение и = и (х;у,а) задачи Коши (1)-(2) существует и определено глобально при х е I . Единственность этого решения и его непрерывность (и дифференцируемость) по х е I, уе Я и ае Я+ следует из гладкости правой части уравнения (1) по и, у и а [13, 14]. Далее, складывая все соотношения (16), получаем

х1 + х2 - х1 + х3 - х2 + ... + хп-1 - хп-2 + хп - хп-1 + Ь - хп =

=n J

+

- w (s; Y) n(h) w (s; y)

Из последнего выражения получаем (13). ■

Заметим, что из (3) и монотонности функции п(х) следует, что П(Ь) = -го . Тогда формула (13) при условии ц(Н) = -°° дает дисперсионное уравнение задачи Р [9].

Рассмотрим функцию Е (Ь, у):= и (Ь; у, а). Учитывая (3), получаем, что,

если число у = у таково, что Е(Ь,у) = 0, то у является собственным значением задачи Р .

* Г * "1

Пусть 0<у* <у<^, уе у*,у . Сформулируем критерий существования по крайней мере одного собственного значения.

Теорема 1. Если отрезок |у,у^ с у*,у* таков, что Е(Ь,у)Е(Ь, у)< 0,

то существует по крайней мере одно собственное значение уе (у,у) задачи Р .

Доказательство. Функция Е является функцией параметра у от решения задачи Коши (1)-(2). В силу утверждения 1 решение задачи Коши (1)-(2) является непрерывной функцией параметра у . Поскольку отрезок | у, у^

таков, что Е(к, у)(Ь, у)< 0, то, по теореме Больцано - Коши, существует

по крайней мере одно значение уе (у,у) такое, что Е(Ь,у) = 0. Это значение

у, по определению функции Е, является собственным значением задачи Р . ■ Рассматриваемый метод позволит построить графики зависимости постоянной распространения (нормированной) у от толщины слоя (нормированной) Ь. Дисперсионными кривыми в таких задачах называют кривые у = у(ю) (или у = у(/)), где ю = 2л/ - круговая частота. Поскольку мы работаем в нормированных переменных, то мы будем называть дисперсионной кривой график зависимости у = у(Ь).

Рассмотрим задачу Коши (1)-(2).

**

Пусть 0<Ь* <Ь и 0<у* <у - некоторые числа. Будем считать, что

и уе

у*, у

*

1 h*, h и У^ У на n и m

Разобьем интервалы

но. Имеем сетку {Ъ, Уу }, ■ е 0, п , у е 0, га , причем Ъо = Л*, Нп = Л , у0 =у*

*

Тот = У .

Рассмотрим систему уравнений и{ = М2,

"2 =-(е/ -У2 + а/(и2))и1.

Для каждой пары индексов (, j) имеем начальные условия

и1 (0 )= и1,у , и2 (0 )= и2,у ,

(17)

(18)

где и°у = и | х=0 , и0 у = и'|х=0 (несмотря на то, что величины и0у , и\у фактически не зависят от Ъ и у, нам удобно оставить двойную индексацию).

Решая любым численным методом задачу Коши (17)-(18), вычислим

и1Ъу = и1 ((, У у).

В силу утверждения 1 функция Е (Ъ, у) непрерывно зависит от Ъ и у. По существу иЪу есть сеточная аппроксимация функции Е(Ъ,у).

Пусть для некоторого Ъ существуют такие уj и у у+1, что и\уи\у+1 < 0. Это значит, что существует уу е (уу,уу+1) такое, что уу является собственным значением рассматриваемой задачи о распространении волн и этому собственному значению соответствует толщина слоя Ъ . Значение у у может быть найдено с любой степенью точности, например, методом

дихотомии [11, 12].

Полученные результаты легко могут быть перенесены на случай задачи р.

Справедливо следующее утверждение.

Утверждение 2. Задача Коши (1), (5) однозначно глобально разрешима при хе I, а ее решение и = и (х;у,а) непрерывно зависит от точки

(х, у, а) е I х Ях Я + и справедлива формула

J

n(h)

w

(s; у)

- + n

w

(s; у)

= h, n = 0,1,...,

(19)

где w(5;у) определяется формулой (7), а С = ( -е5)А2 + 0,5аА4.

Формула (19) при условии п(Ь) = - у2 -£с дает дисперсионное уравнение задачи Р1 [7].

Доказательство этого утверждения осуществляется так же, как и доказательство утверждения 1.

Рассмотрим функцию Е (Ь, у) :=^2 -£с и|х=Ь + и'\х=ь . Поскольку правая часть этой формулы непрерывно зависит от Ь и у, то так же ведет себя и левая часть.

Тогда можно показать, что справедлива следующая теорема.

Y^ Y

таков, что

Теорема 2. Если отрезок y , Y ]с F (h, y)F (h, у) < 0 , тогда существует по крайней мере одно собственное значение Ye (у,у) задачи р.

Доказательство этой теоремы очевидным образом получается из доказательства теоремы 1.

Заключение

В статье рассмотрены нелинейные задачи на собственные значения типа Штурма - Лиувилля, отвечающие задачам о распространении ТЕ-волн в плоском закрытом и открытом волноводах, заполненных нелинейной средой. Доказана глобальная однозначная разрешимость задач Коши, отвечающих исследуемым нелинейным задачам на собственные значения. Обоснован численный метод пристрелки по спектральному параметру для вычисления приближенных собственных значений.

Библиографический список

1. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. - Москва : Наука, 1977. - 735 с.

2. Зильберглейт, А. С. Спектральная теория регулярных волноводов / А. С. Зильберглейт, Ю. И. Копилевич. - Ленинград : ФТИ, 1983. - 301 с.

3. Смирнов, Ю. Г. Математические методы исследования задач электродинамики / Ю. Г. Смирнов. - Пенза : Инф.-изд. центр ПензГУ, 2009. - 268 с.

4. Third-Order Nonlinear Electromagnetic TE and TM Guided Waves / A. D. Boardman, P. Egan, F. Lederer, U. Langbein, D. Mihalache. - North-Holland ; Amsterdam ; London ; New York ; Tokyo : Elsevier sci. Publ., 1991 [Reprinted from Nonlinear Surface Electromagnetic Phenomena, Eds. H.-E. Ponath and G. I. Stegeman].

5. Schurmann, H. W. Solutions to the Helmholtz equation for TE-guided waves in a three-layer structure with Kerr-type nonlinearity / H. W. Schurmann, V. S. Serov, Yu. V. Shestopalov // J. Phys. A: Math. Gen. - 2002. - Vol. 35. - Р. 10789-10801.

6. Schurmann, H. W. Propagation of TE-waves in cylindrical nonlinear dielectric waveguides / H. W. Schurmann, Yu. G. Smirnov, Yu. V. Shestopalov // Physical Review . - 2005. - Vol. 71 (1). - Р. 016614-1-016614-10.

7. Smirnov, Yu. G. Guided electromagnetic waves propagating in a plane dielectric waveguide with nonlinear permittivity / Yu. G. Smirnov and D. V. Valovik // Physical Review A. - 2015. - Vol. 91 (1). - P. 013840-1-013840-6.

8. Valovik, D. V. Novel propagation regimes for TE waves guided by a waveguide filled with Kerr medium / D. V. Valovik // Journal of Nonlinear Optical Physics & Materials. - 2016. - Vol. 25 (4). - P. 1650051-1-1650051-17.

9. Valovik, D. V. On the existence of infinitely many nonperturbative solutions in a transmission eigenvalue problem for nonlinear Helmholtz equation with polynomial nonlinearity / D. V. Valovik // Applied Mathematical Modelling. - 2018. - Vol. 53. -P. 296-309.

10. Волков, Е. А. Об исследовании и решении разностным методом нелинейных задач для обыкновенного дифференциального уравнения / Е. А. Волков // Труды МИАН СССР. - 1976. - Т. 140. - С. 103-129.

11. Валовик, Д. В. Метод задачи Коши для решения нелинейной задачи сопряжения на собственные значения для ТМ-волн, распространяющихся в слое с произвольной нелинейностью / Д. В. Валовик, Е. В. Зарембо // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2013. - Т. 53, № 1. - С. 74-89.

12. Валовик, Д. В. Решение нелинейной краевой задачи на собственные значения для электромагнитных ТМ-волн, распространяющихся в слое с керровской нелинейностью, методом задачи Коши / Д. В. Валовик, Е. В. Зарембо // Радиотехника и электроника. - 2013. - Т. 58, № 1. - С. 69-72.

13. Петровский, И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / И. Г. Петровский. - Москва : Изд-во МГУ, 1984. - 296 с.

14. Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Л. С. Понт-рягин. - Москва : Наука, 1974. - 331 с.

References

1. Tikhonov A. N., Samarskiy A. A. Uravneniya matematicheskoy fiziki [Euqations of mathematical physics]. Moscow: Nauka, 1977, 735 p. [In Russian]

2. Zil'bergleyt A. S., Kopilevich YU. I. Spektral'naya teoriya regulyarnykh volnovodov [Spectral theory of regular waveguides]. Leningrad: FTI, 1983, 301 p. [In Russian]

3. Smirnov YU. G. Matematicheskiye metody issledovaniya zadach elektrodinamiki [Mathematical research methods of electrodynamics problems]. Penza: Inf.-izd. tsentr PenzGU, 2009, 268 p. [In Russian]

4. Boardman A. D., Egan P., Lederer F., Langbein U., Mihalache D. Third-Order Nonlinear Electromagnetic TE and TM Guided Waves. North-Holland; Amsterdam; London; New York; Tokyo: Elsevier sci. Publ., 1991 [Reprinted from Nonlinear Surface Electromagnetic Phenomena, Eds. H.-E. Ponath and G. I. Stegeman].

5. Schurmann H. W., Serov V. S., Shestopalov Yu. V. J. Phys. A: Math. Gen. 2002, vol. 35, pp. 10789-10801.

6. Schurmann H. W., Smirnov Yu. G., Shestopalov Yu. V. Physical Review. 2005, vol. 71 (1), pp. 016614-1-016614-10.

7. Smirnov Yu. G., Valovik D. V. Physical Review A. 2015, vol. 91 (1), pp. 013840-1013840-6.

8. Valovik D. V. Journal of Nonlinear Optical Physics & Materials. 2016, vol. 25 (4), pp. 1650051-1-1650051-17.

9. Valovik D. V. Applied Mathematical Modelling. 2018, vol. 53, pp. 296-309.

10. Volkov E. A. Trudy MIAN SSSR [Proceedings of MIAS USSR]. 1976, vol. 140, pp. 103-129. [In Russian]

11. Valovik D. V., Zarembo E. V. ZHurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Journal of calculus mathematics and mathematical physics]. 2013, vol. 53, no. 1, pp. 74-89. [In Russian]

12. Valovik D. V., Zarembo E. V. Radiotekhnika i elektronika [Radio engineering and electronics]. 2013, vol. 58, no. 1, pp. 69-72. [In Russian]

13. Petrovskiy I. G. Lektsii po teorii obyknovennykh differentsial'nykh uravneniy [Lectures on the theory of ordinary differential equations]. Moscow: Izd-vo MGU, 1984, 296 p. [In Russian]

14. Pontryagin L. S. Obyknovennyye differentsial'nyye uravneniya [Ordinary differential equations]. Moscow: Nauka, 1974, 331 p. [In Russian]

Москалева Марина Александровна

кандидат физико-математических наук, научный сотрудник, Научно-исследовательский центр «Суперкомпьютерное моделирование в электродинамике», Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: [email protected]

Moskaleva Marina Aleksandrovna Candidate of physical and mathematical sciences, researcher, research center "Supercomputer modeling in electrodynamics", Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

УДК 517.927.4, 517.58, 519.62 Москалева, М. А.

Об обосновании численного метода решения некоторых нелинейных задач на собственные значения теории волноводов / М. А. Москалева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2018. - № 4 (48). - С. 39-49. - Б01 10.21685/2072-30402018-4-4.