CC BY
16
УДК 517.958; 621.372.8
DOI 10.21685/2072-3040-2019-4-9
М. О. Снегур, В. Ю. Мартынова
ГИБРИДНЫЕ ВОЛНЫ ЭКРАНИРОВАННОГО ВОЛНОВОДА С НЕЛИНЕЙНЫМ НЕОДНОРОДНЫМ ЗАПОЛНЕНИЕМ1
Аннотация.
Актуальность и цели. Цель работы - численно доказать существование нелинейных азимутально-симметричных гибридных электромагнитных волн. Данный результат может привести к обнаружению новых нелинейных эффектов. Известно, что в настоящее время нелинейные эффекты, возникающие при распространении электромагнитных волн в веществе, имеют широкое применение.
Материалы и методы. Описан модифицированный метод пристрелки по спектральному параметру.
Результаты. Численно доказано существование гибридных неполяризо-ванных азимутально-симметричных волн, которые могут существовать только при наличии нелинейности среды.
Вывод. Разработанный математический подход может быть использован для анализа распространения волн в более сложных нелинейных, открытых волноводах.
Ключевые слова: задача распространения электромагнитных волн, гибридные волны, уравнение Максвелла, нелинейность Керра.
M. O. Snegur, V. Yu. Martynova
HYBRID WAVES OF A SHIELDED WAVEGUIDE WITH NONLINEAR INHOMOGENEOUS FILLING
Abstract.
Background. One of the main directions in an electrodynamics is the problem of waves propagate in a various waveguiding structures. Such tasks are widely used in practice. The purpose of the work is to prove the existence of a new nonlinear regimes of wave propagation.
Materials and methods. In the article modified shooting method is described.
Results. The existence of hybrid nonpolarized azimuthally symmetric waves that occurs only in the presence of nonlinearity is proved.
Conclusion. The developed mathematical approach can be used to analyze wave propagation in more complicated nonlinear open waveguides.
Keywords: problem of electromagnetic wave propagation, hybrid waves, Maxwell's equations, Kerr nonlinearity.
1 Работа написана при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта (№ 1831-00109).
© Снегур М. О., Мартынова В. Ю., 2019. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.
Введение
На протяжении многих лет в электродинамике с особым интересом изучаются задачи об исследовании спектра собственных волн различных волнове-дущих структур. Актуальность таких задач связанна с тем, что они описывают физические явления, имеющие многочисленные приложения [1, 2].
Распространение поляризованных электромагнитных волн в линейных, однородных волноводах, в которых диэлектрическая и магнитная проницаемости постоянны, является классической и хорошо изученной задачей [3, 4].
Более сложным является случай, когда волновод заполнен нелинейной и неоднородной средой. Интерес к данным задачам обусловлен тем, что материалы, входящие в состав волновода, могут быть неоднородными, и, кроме того, при увеличении интенсивности электромагнитных волн начинают проявляться нелинейные свойства материалов.
Данная работа посвящена рассмотрению нелинейной задачи сопряжения на собственные значения для гибридных неполяризованных азимутально-симметричных волн [5, 6], которые распространяются в двухслойных диэлектрических закрытых волноводах кругового сечения, заполненных средой с нелинейностью, выраженной законом Керра. Причем данные волны возникают только при наличии нелинейности среды. В статье представлены численные результаты, подтверждающие существование гибридных неполяризован-ных азимутально-симметричных волн.
1. Постановка задачи
3
Рассмотрим трехмерное пространство □ в которое помещен закрытый цилиндрический диэлектрический волновод (рис. 1):
X:= {(р,ф^) :0 < р < г1,0< ф < 2п} и {(р,ф^): г < р < г2,0 < ф < 2п}.
Подобные волноводы были изучены в работе [7]. Запишем уравнение Максвелла в форме
J rot Й =дtD, [rot E = -dtB,
где D = eE, B = |Й и dt = Э / dt.
Далее перепишем уравнение (1) в следующем виде:
rot E = -dt (|H),
rot H = dt (elE).
(1)
(2)
Считаем, что зависимость электромагнитного поля от времени имеет вид [8]
H(р, ф, z, t)=H+ (р, ф, z) cos Mt + H- (p, ф, z) sin Mt,
Ё(p, ф, z, t)=E + (p, ф, z) cos Mí + E- (p, ф, z) sin Mt,
где M - круговая частота; Ё, E+, E , H, H +, H - действительные вектор-функции.
Предполагаем, что диэлектрическая проницаемость волновода имеет
вид
£ = £0£ 2(Р) + £)«
Ee_iraí ,eP
+ £0
Ев~Ш ,еФ
+
Ее~Ш ,ez
(3)
где £о - диэлектрическая проницаемость вакуума, £2(р) е С[^, Г2]; а >0 -вещественная постоянная.
Перепишем систему уравнений Максвелла (1) в следующем виде:
уЕф =-7|!юЯ р, 1 (рЕф) =-W®Hz, 1уИр - И'г = -7£ю£ф,
<
1 уИф = 7£юЕр 1 '
^(рИф) =-/£ЮЕ2, 1 УЕр - Е'2 = 7|юИф. После некоторых преобразований из (4) мы получаем
(4)
Y2Ep+j(iEz ) =ю2Д££р,
Y2ЕФ - (Р-1 (РЕФ) j = ю2Ц£Еф,
-YP"1 (рер) -Р-1 (p(iEz)) =wV(iEz),
(5)
где
Яр=-у(юц) 1 Еф, Нг = (/юц) 1 р 1 (рЕф) , Нф= (/юц) 1 (Ер-Е'2).
Введем следующие обозначения:
"1(р):= Ер (р), «2(р):= Еф(р), «з(р):= /Ег(р). (6)
Диэлектрическая проницаемость е = еео во всем пространстве имеет
вид
£ =
е1, 0 <р< г1,
е2(р) + а(и2 + и2 + и2), г1 <р<г2.
При 0 < р < г\ имеем е = е1, тогда из системы (5) получаем
у2^1 + ум3 = к0 е^,
<(р-1 (рм2)') -у2М2 = -ко е1^2,
ур-1 (ри1) + р-1 (ри3 ) = —ко е1из.
(7)
(8)
Используя условия ограниченности поля во всякой конечной области, получаем решение системы (8) в виде
"2(Р; Y) = с2 Ii(kiP),
Мр; Y )=QWipX
2 2 2
где к =у - ко е1 и С1, С2 - постоянные интегрирования.
(9)
В оболочке волновода г\ <р<Г2 имеем е = е2(р) + а|и| (р), где
I |2 2,2,2/ \T
u = ui + U2 + U3 , и (Mi,U2,Щ) .
Далее перепишем систему (8):
у2^1 +ум3 = к0 (е2 +а|и|2)
< (р-1 (р«2)') -У2«2 =-ко (е2 +а|и|2)«2, ур-1 (ри1) + р-1 (ри3 ) = -к2 (е2 + а| и|2) и3.
(iO)
Из того, что Нф непрерывна, следует и непрерывность величины е^ на границе раздела сред. Также справедливы условия сопряжения для функций М1, «2, «2, «3:
N ]| = 0,[«2 ]|р=п = О,
г Ml г И (П)
ЫЦ = 0,[«з |p=n = 0,
гДе [ f |p_p = lim f (p) - Hm f (p).
lp-p° p^p° -0 p^p° +°
Распишем функции u2 и u3 на границе p — r в виде
«2(1) — Ccos0, «з(г) — Csin0, (12)
где постоянная C > 0 должна быть известна, а параметр 0е[О,2я] можно
определить, используя граничные условия (11). Из этого следует справедливость следующего выражения:
Ci2 /02(%) + C2 ^(¿щ) — C2. (13)
Выбрав условие (13) (или (12)) определим константы Q и C2 :
„ С sin 0 С cos 0 Ц —- и C2 —-.
I0(*1l) ¡1(^14)
Определение 1. Задача Р^ : необходимо доказать существование вещественных значений у такие, что для постоянной C существуют параметр 0 и ненулевые функции «1, «2 и «3 такие, что:
1) |u|2 ф 0;
2) при p < r функции «1, «2 и «3 находятся по формулам (9);
3) при r ^ p ^ г2 для функций «1, «2 и «3 справедливы уравнения (10);
4) функции «1, «2 и «3 удовлетворяют граничным условиям (11);
5) функции «1, «2 и «3 обращаются в нуль на границе p — r>. Определение 2. Решения у являются собственными значениями задачи
Ph , а функции «1, «2 и «3, которые им соответствуют, являются собственными функциями задачи Р^ .
2. Численный метод
Для решения задачи Р^ предложен метод, основанный на решении вспомогательной задачи Коши [6], что позволяет определить и построить нормированные собственные значения у.
Рассмотрим задачу Коши для системы
«1— Pb
«2 — p2,
«2— Р (14)
«3 — «4 — Р4
где
U4 := u2 +— U2,
1
Р
е2 + 2а I U2U4 — u^ — yuju3
1 2
P =
Р
ui —
2 22
1 уц + у pu3 + 2ар^о ui u3
2.2.
£2 + а( 2u12 + |u|2
YP £2 + a(2u2 + |u |2)
P4 = (2 — k0 (£2 +a|u|2 ))u2,
(15)
с начальными условиями:
u1 (l) := X, u2 (l):= C cos 0, ^(rj) := C sin 0,
здесь x - действительный корень кубического уравнения
Используя условия сопряжения (11) в точке р = ?2, определим следую-
Фиксируя значения константы C и изменяя значения углового параметра 0, мы можем определить (численно) решения уравнений F^ = 0 и Fm = 0. Эти решения представлены в виде кривых (зеленые соответствуют Fe = 0 , а синий Fm = 0), изображающих зависимость спектрального параметра у от углового 0. Затем мы определяем точки пересечения (красные точки) синих и зеленых кривых, эти точки являются собственными значениями задачи PH (рис. 2).
3. Численные результаты
На рис. 3 построена зависимость у(ю). Красная линия соответствует нелинейной азимутально-симметричной гибридной волне, зеленые и синие кривые соответствуют линейным TE- и TM-волнам соответственно.
Теперь рассмотрим систему уравнений
(16)
0.5 1 1.5 2 2.5 3 угловой параметр
Рис. 2. График зависимости спектрального параметра у от углового параметра 0
частота
Рис. 3. График дисперсионных кривых для линейных ТЕ, ТМ и гибридных неполяризованных азимутально-симметричных волн. Отмеченные собственные значения: уЕ = 2,58; ум = 2,58; у1 = 2,58; у2 = 3,81; у3 = 4,48
Изучается поведение нелинейных дисперсионных кривых при варьировании коэффициента нелинейности а. Как следует из численного эксперимента, по мере уменьшения а значение у возрастает. Этот факт показывает, что, когда а^0, нелинейные гибридные моды не превращаются в линейные ТЕ- или ТМ-моды.
На рис. 4-6 представлены графики собственных функций и^,^ и из для отмеченных на рис. 3 собственных значений уе Ум У1 при ® = 1- Цвет кривой соответствует цвету отмеченного собственного значения на рис. 3.
Вертикальные прямые на рис. 4-6 соответствуют внешней границе волновода X, а вертикальные пунктирные прямые соответствуют внутренней границе волновода X. Графики тангенциальных составляющих электромагнитного поля согласуются с физической постановкой задачи, а именно: собственные функции и2 и из непрерывны на границе раздела сред и обращаются в нуль при р = Г2 .
4 2
Р
Рис. 4. График собственной функции и для линейной ТМ (синяя кривая) и нелинейной гибридных неполяризованных азимутально-симметричных волн (красная кривая) волн
4
-2 4
--т-т-т-1-,-т-,-т-т-т-,--.-т-т-.
0 12 3 4 5 6 7 8
Р
Рис. 5. График собственной функции и2 для линейной ТЕ (зеленая кривая) и нелинейной гибридных неполяризованных азимутально-симметричных волн (красная кривая) волн
Заключение
Приведены численные результаты, подтверждающие существование неполяризованных азимутально-симметричных волн в диэлектрическом вол-
новоде. Интересен тот факт, что эти волны не соответствуют линейным поляризованным ТЕ- и ТМ-волнам.
4 2
m п I
з 0 1 -2 4
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Р
Рис. 6. График собственной функции щ для линейной TM (синяя кривая) и нелинейной гибридных неполяризованных азимутально-симметричных волн (красная кривая) волн
Разработанные математические подходы и численные методы могут быть использованы для анализа распространения волн в более сложных нелинейных открытых волноводах.
Библиографический список
1. Адамс, М. Введение в теорию оптических волноводов / М. Адамс. - Москва : Мир, 1984. - 521 с.
2. Бломберген, Н. Нелинейная оптика / Н. Бломберген. - Москва : Мир, 1966. -424 с.
3. Вайнштейн, Л. А. Электромагнитные волны / Л. А. Вайнштейн. - Москва : Радио и связь, 1988. - 440 с.
4. Никольский, В. В. Электродинамика и распространение радиоволн /
B. В. Никольский. - Москва : Наука, 1978. - 544 с.
5. Smirnov, Y. On the existence of non-polarized azimuthal-symmetric electromagnetic waves in circular dielectric waveguide filled with nonlinear isotropic homogeneous medium / Y. Smirnov, E. Smolkin // Wave Motion. - 2018. - Vol. 77. - P. 77-90 .
6. Smolkin, E. The Azimuthal Symmetric Hybrid Waves in Nonlinear Cylindrical Waveguide / E. Smolkin // Progress In Electromagnetics Research Symposium Proceedings. - 2017. - P. 348-353.
7. Веселов, Г. И. Слоистые металлодиэлектрические волноводы / Г. И. Веселов,
C. Б. Раевский. - Москва : Радио и связь, 1988. - 248 с.
8. Eleonskii, P. N. Cylindrical Nonlinear Waveguides / P. N. Eleonskii, L. G. Oganesyants, V. P. Silin // Soviet Physics Jetp. - 1972. - Vol. 35, № 1. -P. 44-47.
References
1. Adams M. Vvedenie v teoriyu opticheskikh volnovodov [Introduction to the theory of optical waveguides]. Moscow: Mir, 1984, 521 p. [In Russian]
2. Blombergen N. Nelineynaya optika [Nonliner optics]. Moscow: Mir, 1966, 424 p. [In Russian]
3. Vaynshteyn L. A. Elektromagnitnye volny [Electromagnetic waves]. Moscow: Radio i svyaz', 1988, 440 p. [In Russian]
4. Nikol'skiy V. V. Elektrodinamika i rasprostranenie radiovoln [Electrodynamics and propagation of radio waves]. Moscow: Nauka, 1978, 544 p. [In Russian]
5. Smirnov Y., Smolkin E. Wave Motion. 2018, vol. 77, pp 77-90.
6. Smolkin E. Progress In Electromagnetics Research Symposium Proceedings. 2017, pp. 348-353.
7. Veselov G. I., Raevskiy S. B. Sloistye metallodielektricheskie volnovody [Laminated metal-dielectric waveguides]. Moscow: Radio i svyaz', 1988, 248 p. [In Russian]
8. Eleonskii P. N., Oganesyants L. G., Silin V. P. Soviet Physics Jetp. 1972, vol. 35. no. 1, pp. 44-47.
Снегур Максим Олегович аспирант, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: snegur.max15@gmail.com
Мартынова Валерия Юрьевна ассистент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: 79273698109@ya.ru
Snegur Maksim Olegovich Postgraduate student, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Martynova Valeriya Yur'evna Assistant, sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Образец цитирования:
Снегур, М. О. Гибридные волны экранированного волновода с нелинейным неоднородным заполнением / М. О. Снегур, В. Ю. Мартынова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2019. - № 4 (52). - С. 95-104. - DOI 10.21685/2072-30402019-4-9.
