CC BY
39
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XIII 1982
№ 3
УДК 629.735.033
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛОВОГО МАТЕРИАЛА В КРЫЛЕ МИНИМАЛЬНОГО ВЕСА ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ ПО ПРОЧНОСТИ И НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ
- А. В. Албу л, И. В. Банту к, В. И. Бирюк, И. И. Коандэ
Рассматривается задача минимизации веса стреловидного крыла большого удлинения при учете ограничений по прочности и несущей способности крыла. Варьируемой функцией служит функция распределения жесткостей по крылу- Получены необходимые условия оптимальности. Исследована зависимость оптимального решения от величин допустимых напряжений и потерь в подъемной силе, обусловленных аэроупругими деформациями.
Рост скоростных напоров для современных летательных аппаратов привел к существенному влиянию упругости конструкции на аэродинамические нагрузки. Для крыльев большого удлинения это влияние следует учитывать уже на начальной стадии проектирования. В работе [1] была поставлена и решена задача мини-' мизации веса крыла за счет оптимального распределения его жесткости при ограничении несущей способности крыла. В данной работе рассматривается аналогичная задача оптимизации конструкции крыла с одновременным учетом ограничений по прочности и по несущей способности крыла.
1. Рассмотрим задачу о статических деформациях стреловидного крыла большого удлинения в потоке газа! Для описания деформаций используем балочную схему конструкции крыла. Аэродинамические нагрузки, действующие на крыло, будем вычислять согласно теории несущей полосы с учетом упругих деформаций крыла. Варьируемой функцией в рассматриваемой ниже задаче минимизации веса конструкции крыла будет служить распределение жесткостей по крылу.
Приведем основные соотношения задачи. Уравнения изгиба и кручения крыла запишем в виде
(Ода")" — qy (С8'У — у.,
(1)
(2)
где и> ($) и 6(1)—функция прогибов и угол закрутки, £ —координата по оси жесткости, д и и,— нагрузка и момент в сечении крыла соответственно, О (2), С (5) — изгибная и крутильная жесткости крыла.
Для системы уравнений (1), (2) имеем следующие граничные условия
<№ (0) — но' (0) = 0, — 0, | .д.
9(0) = 0, (Св05*і = 0. I
Аэродинамические нагрузки и моменты, фигурирующие в правых частях дифференциальных уравнений (1), (2), определяются согласно методу несущей полосы [2, 3]:
д = Су (а0 4- Да) Цг- Ъ (I) собх,
2
\і = ад, Да *= б со$х — да'віп х;
(4)
а Р
здесь Су, а0, г2 , х — коэффициент подъемной силы, угол атаки
недеформированного крыла, скоростной напор и угол стреловидности крыла соответственно, которые предполагаются заданными величинами. Через Ь (£), а (I) обозначены заданные функции: хорда крыла и расстояние между линией аэродинамических фокусов и упругой осью.
Вес силового материала крыла подсчитывается по формуле
г
(5)
О
где 7 (Е)— заданная функция.
По физическому смыслу варьируемая функция должна быть положительной. Однако в силу конструктивных требований обычно при проектировании иа функцию 0(1) накладывается более жесткое ограничение
£>(£)> Аша >0, (6)
где Мпш — заданное минимальное допустимое значение изгибной жесткости.
Между изгибной и крутильной жесткостями предполагается
линейная зависимость
С (5) «*(5) Я (5), (7)
где & (?) — заданная функция.
Сформулируем следующую задачу оптимизации. Требуется определить функцию распределения жесткостей В (с), удовлетворяющую условиям (6), минимизирующую вес крыла (5) и такую, что выполняются ограничения по прочности
шах (I) да" (I)} < з0, о0 = (8)
£
и по несущей способности
Здесь t (I) — известная функция, а через о0, Р0, обозначены отношение максимального допустимого значения напряжения о* к модулю упругости Е силового материала, вес самолета и допустимая потеря подъемной силы за счет упругих деформаций соответственно. Константа Р0 равна величине подъемной силы неде-формированного крыла
i
<Х0 Су cos х J bdr = ~ Р0.
о
Константы Р0 и ДР предполагаются заданными. Используем формулы (4), выражение для константы Р0 и запишем ограничение (9) в форме
i
Cy-^-cosx j (е cos х — w' sin x) bdl >—(10)
0
Следуя методике работы {4], заменим локальное ограничение (8) интегральным неравенством:
{\\tw'Ydi}p <о„. (11)
О
Неравенство (11) переходит в (8) ири р оо.
2. Введем безразмерные переменные
f = Ijt, w = да,7, 6 = bfl, а — ajt, t — t(l, 7 — 7//, D-D/(C;/>*/2), C = C/(CJ/4P®*/2), p,=pJ{C]Pro2m,
ДР=ДР/С;/2рг»2/2)
и обозначим
3j =—’SinxCosx^j — Pa = ao cos P4 — sin 7.cos X ab>
Po
Уравнения (1), (2), граничные условия (3) и ограничение по
несущей способности (10) в новых переменных примут вид (ниже
черточки опускаем)
(ЯгГ-М + М + Рз; (12)
(С0')'=М + М + Рб; (13)
2 (0) = О, (Лг0|=1 - (Ог0«-1 = 0;
6(0) = 0, (С6')с=, = 0;
1
1(Р.г + р2в)й>-«0^. (15)
(14)
При указанной замене переменных условия (6), (11) и выражение для минимизируемого функционала (5) запишем в прежнем виде с тем лишь отличием, что интегрирование в (11) и в (5) осуществляется в пределах от 0 до 1.
Таким образом, задача оптимизации состоит в отыскании функций £>(£), г (£), 6(1), удовлетворяющих уравнениям (12), (13), граничным условиям (14), ограничениям (6), (11), (15) и таких, что функционал веса крыла (5) принимает минимальное значение.
Получим необходимые условия оптимальности. Применим для этого стандартную технику множителей Лагранжа [5]. Не приводя здесь соответствующих выкладок, сформулируем лишь окончательный результат. Оптимальное распределение жесткости О ($,) таково, что
7 + 5"2/ - г'Ь' 6 = 0, ,1б
7-И"г'-г'6'£> 0, /3 = Д™, ]
где сопряженные переменные 5(2) и г (£) [множители Лагранжа, отвечающие уравнениям (12), (13)] определяются как решение краевой задачи
(Оз'У + Р, * + Р4 г - X, р, - Ь2 ф = 0; (17)
(СгО'-Рг^—Р8г + ^Р2=0; (18)
5(0) = 5'(0) = 0, (0$")ы 1 = 0; (19)
= 0, (Сг')-1 = 0.
а?' г
({те)1"
о
Кроме того, должны выполняться условия
1
>•1! I (?1 г + Рг 8) <« + *о 44 = °> >-1 < °.
1
Х2 {(| — а0} = 0, X, < 0,
о
которые означают, что если ограничения (15), (11) выполняются со знаком строгого неравенства, то множители Лагранжа Хи Х2 обращаются в ноль.
Таким образом, для определения неизвестных величин 0(1), 2 (£)> 6 (£), ^(^)> 5 (£), ?ч2 имеется замкнутая система уравнений,
граничных условий и условий оптимальности.
3. Для расчетов оптимальных распределений жесткостей применялся градиентный метод в пространстве управляющих функций О (I), 2 (&), 6 (£). На каждом шаге градиентной процедуры решались краевые задачи (12)—(14) и (17) — (19) и проверялось условие (16). Если условие (16) выполнялось с достаточной точностью, то решение задачи заканчивалось. Для всех рассчитанных вариантов полагалось £=1, 7=1, Су = 5, Дш„ = 0,01, £ = (2 — £)/15, £ = = (2 —1)/150. Задача решалась для различных значений максимального допустимого напряжения и угла стреловидности у.
г{ 0)
Здесь
<ь =
Рассмотрим сначала случай больших значений параметра *0> когда ограничение по несущей способности (15) выполняется со знаком строгого неравенства (Х1 = 0), а ограничение по прочности (11) является активным (12 < 0). Проведенные для этого случая расчеты позволяют проанализировать зависимость оптимального решения от параметра а0. На рис. 1 показаны полученные в результате расчетов оптимальные распределения жестко-стей О (£).
Кривые, отвечающие значениям о0 = 0,3* 10~4, 0,22 * 10 1,
0,14-10-4, отмечены на рис. 1, а также на рис. 2 цифрами 1, 2, 3
/—зс=о,з.1о 2—■70—о,22-ю тайных вариантов функции О (с)
3~по=0Л4«10—1 монотонно убывают по мере воз-
рис. 1 растания аргумента, т. е. при
приближении к свободному кон-
цу крыла, а на участке, примыкающем к свободному концу крыла, выходят на ограничение О^От\п. Интересно отметить, что при более жестких ограничениях по прочности, т. е. для меньших значений как это видно из графика рис. 3, увеличение веса <о в зависимости от максимально допустимого напряжения не соответствует гиперболическому закону
— 1/Ч>, который можно было бы предположить из простых физических соображений.
На рис, 2 показаны распределения напряжений но размаху оптимальных крыльев. Из рассмотрения приведенных на этом рисунке кривых видно, что практически на всем протяжении вдоль размаха крыла, за исключением небольшого участка, примыкающего к свободному концу крыла, напряжения меняются слабо. На указанном же участке крыла имеет место резкое падение напряжений.
Приведем результаты, относящиеся к общему случаю, когда как ограничение по прочности (11), так и ограничение по несущей способности (15) являются активными (>ч •< О, Х2 < 0). Для наглядности представления решения и интерпретации результатов удобно ввести плоскость параметров а0, х0 и выделить области, в которых соответственно активными являются ограничение по прочности (область /), по несущей способности (область II) и одновременно ограничения по прочности и несущей способности (область III).
С целью выделения областей /,■//, /// поступаем следующим образом. Задаем ряд значений параметра *е(*0>0) и для каждого из этих значений решаем задачи оптимизации при одном только ограничении по несущей способности (15). Для найденных решений рассчитываем соответствующие значения параметра о0 и тем самым находим геометрическое место точек (о0, х0), являющееся
Рис. 4
;-3,:1=0,з.ю“4; t2~90=0,22^ю'~*;
>з—9о=о,14*10 * границей между областями // и
Рис. 3 ///. Поступая аналогично, зададим
ряд значений параметра о0(о0>0) и решим для данных значений о0 задачи оптимизации только с одним ограничением по прочности (//). Затем вычислим для найден* ных оптимальных решений значения параметра х0. Полученные точки (з0, -х0) образуют кривую, разделяющую области / и ///.
Найденные в результате расчетов границы областей /, //, /// в плоскости параметров о, % (а = о0* 1СМ, -х = у.0.Ю-4) показаны на рис. 4. Сплошными, штриховыми и штрихпунктирными линиями соответственно изображены границы областей для углов стреловидности х, равных 45°, 30° и 15°. Заметим, что результаты решения задачи оптимизации, соответствующие области /, обсуждались выше, а решение задач, отвечающих области //, содержится в работе [1].
Приведем некоторые результаты расчетов для значений параметров х0, о0 из области ///, в которой активными являются оба ограничения. На рис. 5 сплошной линией показано распределение
Рис. 5
напряжений по размаху оптимального крыла со стреловидностью у = 25° для хо = 0,16-10~4, <з0г= 0,15* 10-4. Для сравнения на этом же рисунке штриховой линией 1 изображено распределение напряжений для решения с одним ограничением по прочности (//) при а0 = 0,15-10~4, а штриховой линией 2 показано напряжение для
решения с одним ограничением по несущей способности (10) при х0 = 0,16.10-4.
Представленные результаты свидетельствуют о необходимости рассмотрения совместного действия ограничений по прочности и несущей способности в задаче минимизации веса конструкции крыла. Полученные зависимости для оптимальных крыльев могут быть использованы при их проектировании.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бани чу к Н. В., Бирюк В. И., Коандэ И. И., Миронов А. А., Сейранян А. П. Крыло минимального веса при ограничении но несущей способности. „Ученые записки ЦАГИ“, т. X, № Ь 1979.
2. Фын Я. Ц. Введение в теорию аэроупругости. М., Физмат-г из, 1959.
3. Бисплингхофф Р. Л., Эшли X., Халфмэн Р. Л. Аэроупругость. М., Изд. иностр. лит., 1958.
4. Баничук Н. В., Картвелишвили В. М., Миронов А. А. Об оптимальных пластинках и одном методе решения задач оптимизации конструкций. Препринт № 89, ИПМ АН СССР, М., 1977.
5. Б р а й с о н А. Е., Хо Ю-ш и. Прикладная теория оптимального управления. Оптимизация, оценка и управление. М., „Мир*, 1972.
Рукопись поступила 511 1981 г.
