CC BY
86
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том XIX
19 88
№ 6
УДК 629.735.33.015.4 : 533.6.013.422 : 629.7.025.1
МЕТОДИКА РАСЧЕТА ЖЕСТКОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК КРЫЛЬЕВ БОЛЬШОГО УДЛИНЕНИЯ С АНИЗОТРОПНЫМИ ПАНЕЛЯМИ ПРИ УДОВЛЕТВОРЕНИИ ТРЕБОВАНИЯМ ПРОЧНОСТИ И ЭФФЕКТИВНОСТИ ЭЛЕРОНОВ
Рассматривается задача выбора функций изгибной и крутильной жесткостей кессона стреловидного крыла большого удлинения. Панели кессона имеют дополнительное подкрепление в виде силового набора, направленного под углом к строительной оси крыла. Минимизируется масса кессона при заданных ограничениях по прочности и эффективности элерона. Проведены параметрические исследования.
Упругие схемы крыльев и других несущих поверхностей большого удлинения являются, как правило, изотропными, у них отсутствует взаимосвязь между изгибными и крутильными перемещениями, и поэтому существует ось жесткости, которая является той основной строительной осью крыла—балки, для которой записываются уравнения и формируются внешние нагрузки.
В предлагаемой статье ставится задача определения потребных жесткостных характеристик анизотропного стреловидного крыла большого удлинения по условиям статической прочности и эффективности элерона. Для этого получены уравнения изгиба и кручения крыла с конструктивной анизотропией. Полученные на основе этих уравнений формулы изгибной и крутильной деформаций крыла обобщают формулы, использованные в методике расчета работы [1] на случай конструктивной анизотропии.
Предлагается методика проектировочного расчета и весового анализа крыла большого удлинения с анизотропными панелями кессона.
1. Получение уравнений движения и деформаций анизотропного' крыла. Рассматривается прямое крыло большого удлинения (рис. 1), подкрепленное стержнями под углом г) к оси жесткости крыла. Дифференциальные уравнения деформаций такого крыла выводятся на основе пластинной аналогии.
Потенциальную энергию деформации крыла в этом случае запишем в виде
В. С. Войтышен, 3. К. Данилова
0 Хі
(1.1)
5—Ученые записки № 6
65
где rji — угол установки подкрепления;
X
%
sin 1) COS 1)
ЯЛ)—средняя по хорде крыла жесткость подкрепления; Dz, Dzx — цилиндрические жесткости; q — погонная нагрузка; W — прогиб; х— направление по хорде крыла; г — направление по оси жесткости крыла; / — полуразмах крыла; хи х2 — координаты концов хорды.
Прогиб W можно представить линейно по хорде крыла, а именно, в виде:
W(x, z) = y (z) + xf(z) ,
где y(z)—функция изгиба крыла; ф(г)—функция кручения крыла, или в координатах r)i, tj:
W fai, *)) = У (^i cos *]) + ^1 sin 7] <p (tq, cosy)).
Вторая производная прогиба по направлению r|i выразится в следующем виде:
д2 W Id2 у d2<e\ d<i
—Г=('7Т + -* 77, I COS2 7]-f— sin 2ч\ =
dzз
dz
d*W d*W
= s*- cos^ + ТШ sin
Отметим, что
| 40 гх ёх — С/к,
Х1
Бг(1х = Е1,
V
где й1к — жесткость на кручение неподкрепленного крыла; Е1—жесткость на изгиб неподкрепленного крыла. Вычислим интегралы, входящие в выражение функционала потенциальной энергии (1.1):
Г йх = Ь (г),
| xdx = уЦг)’ (xa + xt) ,
Xi
Xi
j хъйх = -J- b (z) [x\ + л:, x2 + x\),
xt
где b(z) —хорда крыла.
Введем обозначения:
EITi == EITl -b{z),
Ron = Y (*2 + *,) .
= — Ely (xl-j- xx x2 + Xi) ,
О
R0 = j Dz Xfikc ,
/?! = | Dzx~dx ,
JTi
/?1 S'== .-f- /?1 1) • COS4 7] ,
Ros = R0 + Ron-cos4 ,
а также
G/K s = G/r + • sin2 24, 1 ,j ^
Ек = Е1+Е1ч-cos4 7), J
где G/K s — суммарная жесткость на кручение крыла с подкреплением; Eh — суммарная жесткбсть на изгиб крыла с подкреплением. Тогда выражение (1.1) для потенциальной энергии деформации подкрепленной пластины примет вид:
I/ 1 Пр, on d2y d2* , n (d2*\2 .
V = ~2 J +2/?0SdF -d^ + Rl*(-d^j +
0
Л» (d ?\2 d2 у d<o
+ G/kS V*f) + 2£74 cos2ti sin 27! IF di +
d%у dy }
+ 2R07i cosa7j sin 27) — py — m.'p| afz . (1.3)
где, кроме уже введенных обозначений, р — погонная изгибающая нагрузка; т — погонная моментная нагрузка.
Уравнения Эйлера вариационной задачи для функционала (1.3) дают уравнения движения и естественные граничные условия. В данном случае, пренебрегая коэффициентами /?iе, Ron, Ron, которые
существенны только для пластины малого удлинения, получим следующую систему уравнений движения:
(Eh УТ + (£/ч ¥)" cos2 ч • sin 2ц — р = 0; (б/к^ср')' + (El^y")' cos2 yj- sin 2yj — да = 0,
(1.4)
где штрих обозначает производную по г.
Вторые слагаемые в уравнениях (1.4) являются связями, создаваемыми конструктивной анизотропией. Естественные граничные условия запишутся в виде
(Eh у" (I) У -f (Е1п у' (I) У cos2 т] sin 2т) = 0;
У" (0 = 0;
?' (0 = 0.
Интегрируя дважды по 2 первое уравнение и один раз второе уравнение системы (1.4) ,и учитывая граничные условия, получим:
Eh (z) у" (z) + EIn (z) <p' (z)- cos2 7) sin 2tj = AJ„3r (z), G/к S (z) ?' (z) + Eln (z) y" (z) • cos2 f\ sin 2rj = MKp (z)
;}
(1.5)
где Мшж(г)1 и Мкр(г)—изгибающий и крутящий моменты соответственно. Считаем, что ЕЬ (г) и Е1п (г) изменяются так, что
ТЩг) “ Т ’ (1ЛЗ>
где у — константа.
В работе используется также известная статистическая зависимость между функциями изгибной и крутильной жесткостей крыла большого удлинения [2]:
Е1 (г) = £-С/к (г), где Л = 1,2-г- 1,4. (1.7)
Используя зависимости (1.2), (1.6) ,и (1.7) запишем систему уравнений движения (1.5) в виде:
У"(*) + ?' (*) + -
•?>' (z) • COS2 7) Sin 2y]:
■Л^ИЗГ (г)
1
— + f sin2 2к]
• У" (2) • cos2 7j sin 2yj =
El (г) (1+7 cos4 т]) ’ AfKp (г)
El (г) I ——h 7 sin2 2i)
(1.8)
)
Интегрируя уравнения системы (1.8) от 0 до г и учитывая что у, к. и т] не зависят от г, получим следующие выражения для производных прогиба крыла и угла закручивания:
y'(z) =
•Мизг С2’)
EI (г)(1 + 7 cos4 -rj)
dz-
?(*) =
l-f7 COS4 Y)
мкр (г)
E/(z) sin* 2ч)
■COS2Yj-sin 2yj-<f(z) ,
dz-
+ 7 sin2 2тг)
cos2 yj-sin 2*1-у' (x).
(1.9)
Разрешив систему уравнений (1.9) относительно производных прогиба крыла и угла закручивания, получим следующие выражения:
/(*) = ■
(4- + ТВІП’ 2^)|
МцЗГ (г) ' ЕІ (г)
йг — ^ сое2 ї| віп 2і]
і-
Мкр (г)
\
ЕІ{г)
йг
— (1 + 7 сов41)) + 7 віп2 2-ї) £
(1-1-7 сов4 т])
А
1
<Р (2) =
Мкр {?) ЕІ (*)
йг — 7 сов21] віп 2тг)
Л^изг (г)
ЕІ (гГ
(1.10)
2. Постановка задачи оптимизации. В данной работе используется балочная модель крыла, которая представляет собой удлиненный кессон, на . внешней поверхности которого уложены под некоторым углом к строительной оси стержни, деформирующиеся совместно с обшивкой и работающие на осевые нагрузки. Следует отметить, что в такой конструкции ось жесткости отсутствует, поэтому исходная ось относительно которой записываются уравнения, выбирается как ось жесткости исходной балки, которая составляет угол % с осью Ог, перпендикулярной плоскости симметрии самолета. Ось £ направлена по оси жесткости крыла (рис. 1).
В такой модели масса продольного силового набора крыла может быть представлена в следующем виде:
М = / Ь (?) ЕЬ (?) + Т2 (Е) О/к, (?)] Я ,
Ті (£) —
4р
1
72(5)'
Як (6) в (Є)
(2.1)
£-Я*(6) ’ ,а гОВ(£) Як(£) ’
где Я/а (?), б/ка (?)—соответственно положительные ограниченные функции суммарной изгибной и суммарной крутильной жесткостей крыла с подкреплением (1.2), р, Е, й — плотность и модули упругости силового материала, #к(|), В(£) — высота и ширина кессона, / — полуразмах крыла.
Максимальное нормальное напряжение, действующее в панелях
обшивки для расчетного в виде:
з(?)
изгибающего момента Е Мазг (;)<Г(<) *(£)
■МИЗг(£), запишем
(2.2)
аэродина-
2£/, (5)
где с (|) — относительная толщина профиля крыла; &(£) мическая хорда крыла.
Тогда при заданных максимальных напряжениях в панели о = = Одоп(|) получим ограничение на функцию суммарной изгибной жесткости рассматриваемого крыла:
Ек®Жм$), (2-3)
£ с (6) 6(6)
где /і м (?) = —-----------------— МИ
2®доп (5)
Из конструктивных требований для минимально допустимой приведенной толщины обшивки кессона 8“р" (?) получаем еще одно ограничение на функцию суммарной изгибной жесткости крыла:
£/*(?) >/i а (?), (2.4)
где f 15 (?) = 4 Е~с* (9' ** (6) • В (?)• 8”in (?) .
Окончательное ограничение на функцию суммарной изгибной жесткости крыла получается объединением требований (2.3) и (2.4):
Eh®>A®, (2-5)
где fi (?) = шах [/i м (?), fi 5 (?) ] .
Kio. i]
Аналогично, на основании расчетного крутящего момента, а также максимального касательного напряжения в контуре подкрепленного кессона и минимально допустимой толщины его стенок получается ограничение на функцию крутильной жесткости крыла:
G/KS (?)>/2(?) . (2.6)
Воздействие элерона на упругое крыло рассматривается как действие сосредоточенной силы Р в точке | = /э, которая соответствует положению аэродинамического фокуса элерона. При отклонении элерона на угол бэ крыло деформируется так, что в каждом поточном сечении крыла появляется дополнительный угол атаки Аа(|).
Согласно fjl] изопериметрическое условие, накладываемое на распределение дополнительного угла атаки Аа(|) при задаваемых скоростном напоре q, параметре эффективности элерона а также геометрических параметрах крыла, может'быть представлено как:
jgcZ-Aa(Z) M?)?d? = (l-C,)/4cosx, (2.7)
о
где q — скоростной напор, сау —производная коэффициента подъемной силы по углу а.
Согласно формуле (1.5) дополнительные прогиб г/(|) и угол закручивания ф(|) упругого анизотропного крыла при отклоненном элероне описываются уравнениями изгиба и кручения крыла — балки, у которой имеются упругие связи, создаваемые конструктивной анизотропией:
У (5)=л (?);
Eh (?) • у[ (?) + Е1ц (?) ?' (?) cos2 ц sin 2т)
У (0)=.У1 (0) ==■ 0 ;
GIK s (?) 9' (?) + Е1п (?)• у[ (?) cos2 Tjsin 2tj ? (0) = 0 ;
где xF — расстояние от оси жесткости крыла до фокуса элерона (см. рис. 1). При этом не учитывается влияние на прогиб и угол закручивания крыла аэродинамических сил, обусловленных дополнительным
-Р(4-?), ?£ [о, /э—0] о, ? £ [4 + о, /]
PxF, ?£ [0, /„ — 0]
о, ■?£[/, +о, /]
(2.8)
углом атаки Аа(|), которое как показывают более точные расчеты, мало. Производная прогиба крыла J/i(£), угол закручивания ф(|) и дополнительный угол атаки Л1а(|) для стреловидного крыла связаны геометрическим соотношением:
Да (|) = <р (?) • cos х —ух (?) sin х . (2.9)
В данном случае, учитывая формулы (2.8), (2.9) и (1.10) это выражение примет вид:
7 cos2 т) sin3 2к) с
C0SX- l+Vcos*,-^ ",inx С Р*г „
Дя^)=* ] 7sin2 27) J El (I) ^
— + -------------о
k 1+7 cos41\
7 cos21) sin 2f|
sin x----j------:-------cos*
+ 7 sin2 2ri Jj
---------------------------------Г я(/»-б) ^ (210)
4-7C0SM o £/ ^
i + -A____________
----+ 7 sin2 2tj
£
где у и & определяются формулами (1.6) и (1.7).
Ставится следующая задача оптимального проектирования: найти распределение по размаху крыла функции суммарной изгибной жесткости Е1?, (?) и суммарной крутильной жесткости 0/к!! (?) анизотропного крыла (1.2), обеспечивающие минимум функционала — массы такого крыла (2.1) при ограничениях по прочности (2.5) и (2.6), по эффективности элерона (2.7), при удовлетворении уравнениям (2.8), а также с учетом условий связи (2.10), (1.6) и (1.7).
Существование и единственность искомых функций Е1Ъ (?) и О/к а (?), удовлетворяющих непротиворечивым ограничениям (2.5) —
(2.10), (1.6), (1.7) в этой задаче очевидны из физических соображений. Исходя из этого, для получения оптимального решения в данной задаче ограничиваемся рассмотрением только необходимых условий стационарности.
Решение поставленной задачи проводится методом неопределенных множителей Лагранжа. Методика решения аналогична подробно описанной в работе [1], только роль функций изгибной Е1 (?) и крутильной С/к (?) жесткостей в данной постановке выполняют функции так называемой суммарной изгибной жесткости Е1ъ (?) и суммарной крутильной жесткости акЪ (?) рассматриваемого анизотропного крыла.
3. Параметрические исследования и анализ результатов. Расчет по предлагаемой методике был выполнен для отъемной части крыла (ОЧК) транспортного самолета, изображенной на рис. 1. Программа расчета написана на языке ФОРТРАН, расчеты проводились на ЭВМ ЕС-1055.
Предполагалось, что крыло будет эксплуатироваться при скоростном напоре ^ = 2000 кг/м2. Производная коэффициента подъемной силы по углу атаки сечения считалась постоянной по размаху ОЧК и равной Су =5,1. Элерон был установлен в концевой части крыла. Рас-
стояние его фокуса от борта вдоль оси жесткости равнялось /э = 22,8 м, а его плечо относительно оси жесткости Хр=1,5 м.
Верхняя и нижняя изотропные панели кессона имели дополнительное подкрепление в виде однонаправленного набора установленного под углом т) к оси жесткости кессона. Отношение жесткости дополнительного подкрепления Е1Ч (?) к жесткости изотропных панелей Е/ (?) кессона равно у. В процессе параметрических исследований изменялись: угол стреловидности кессона %=20°; 40°; задаваемая эффективность элерона £ж = 0,3; 0,4; угол установки подкрепления т] = 0; 10°; 20°; относительная жесткость подкрепления у = 0; 0,2; 0,4. Для всех этих вариантов (20) определялись оптимальные изгибная и крутильная жесткости кессона с изотропными панелями, а также масса ОЧК, включая массу элементов дополнительного подкрепления.
На рис. 2 сопоставлены графики изменения изгибных жесткостей кессона по размаху крыла (х = 40°, £ж = 0,3) для значений у = 0 и у = 0,2; г] = 10° (без учета дополнительного подкрепления). Откуда видно, что введение необходимого дополнительного подкрепления ориентированного соответствующим образом, позволяет разгрузить основные панели кессона, причем суммарная масса кессона при этом уменьшается.
На рис. 3 приведены зависимости суммарной массы кессона (основной панели плюс подкрепление) от угла установки подкрепления ц, изменяющегося в пределах от 0 до 20°, для двух различных значений параметра у. При этом % = 20°, £ж = 0,3 и % = 40°, £ж = 0,3.
На рис. 4 показано изменение суммарной массы кессона от относительной жесткости подкрепления у, изменяющейся в пределах от 0 до 0,4, для двух различных значений угла установки т] подкрепления. При этом х = 20°, £х = 0,3 и х = 40°, £* = 0,3.
Анализ полученных результатов показывает, что использование подкрепляющих элементов, создающих общую конструктивную анизотропию панелей кессона крыла большого удлинения, целесообразно с точки зрения создания благоприятных по условиям аэроупругости упругих связей между кручением и изгибом для уменьшения его массы. Эта связь, возникающая вследствие конструктивной анизотропии, обе-
спечивает повышение эффективности поперечного управления, что в свою очередь приводит к уменьшению потребной массы крыла.
Увеличение относительной жесткости подкрепляющих элементов при прочих равных условиях приводит к уменьшению полной массы кессона. Так увеличение у от 0,2 до 0,4 уменьшает массу на 20% (рис. 4).
Увеличение угла установки подкрепляющего набора, отсчитываемого от исходной оси жесткости, при прочих равных условиях приводит к уменьшению полной массы кессона. Например, увеличение т] от О до 10° приводит к уменьшению массы на 20%, а увеличение т] от 10° до 20° уменьшает массу еще на Щ% (рис, 3).
На рис. 3, 4 штриховая линия соответствует массе кессона рассчитанного по одним только условиям прочности (2.5), (2.6).
Представленную методику можно использовать для проектирования и весового анализа крыльев с анизотропными панелями кессона.
ЛИТЕРАТУРА
1. Войтышен B.C., Фролов В. М. Определение погребных жест-костных характеристик крыла большого удлинения по условиям статической прочности и эффективности элерона. — Ученые записки ЦАГИ, 1985. т. 16, № 6.
2. Бирюк В. И., Липин Е. К-, Фролов В. М. Методы проектирования конструкций самолетов.—М.: Машиностроение, 1977.
3. Бисилингхофф Р., Эшли X., Халфмэн Р. Аэроупругость.— М.: Изд. иностр. лит., 1958.
Рукопись поступила 1/VI 1987 г.
