CC BY
46
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
Том XIV 1 983 №6
УДК 629.735.033
ОПТИМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛОВОГО МАТЕРИАЛА В СТРЕЛОВИДНОМ КРЫЛЕ С ПОДКОСОМ
Н. В. Баничук, В. И. Бирюк, И. И. Коандэ
Рассматривается задача отыскания оптимального распределения силового материала в конструкции крыла с подкосом, обеспечивающего минимум веса крыла. Крыло считается балкой, работающей в основном на изгиб, подкос представляется стержнем, воспринимающим сжатие — растяжение. На основе вариационных методов получены необходимые условия оптимальности. С помощью численного решения задачи проведено исследование влияния различных параметров конструкции на оптимальное распределение жесткости по размаху крыла и соответствующую величину функционала.
Весовые и аэроупругие характеристики стреловидных крыльев большого удлинения существенно зависят от способов распределения силового материала [1, 2]. В связи с этим в работах [3, 4] решались задачи минимизации веса крыльев за счет варьирования толщин обшивки при ограничениях по несущей способности и прочности. Были оценены выигрыши по весу и другим характеристикам. получаемые при оптимизации. Анализ полученных результатов показал, что основная масса крыла, ограничивающая эффект оптимизации, концентрируется на участках крыльев, примыкающих к фюзеляжу. Для отыскания дополнительных резервов снижения веса крыла представляется целесообразным рассмотреть эффективные способы разгрузки указанных частей крыла. Одним из способов разгрузки крыльев большого удлинения и увеличения их несущей способности является установление подкосов. Исследованию влияния данного способа подкрепления крыла на минимизацию его веса путем оптимального распределения жесткости по размаху стреловидного крыла и посвящена данная работа. Для описания деформаций в работе используется балочная схема крыла и подкоса. Аэродинамические нагрузки, действующие на крыло, задаются в соответствии с теорией несущей полосы с учетом упругих деформаций крыла.
1. Расчетная схема стреловидного крыла с подкосом. Рассмотрим задачу об изгибе стреловидного крыла в потоке газа. Крыло ОА (рис. 1) жестко прикреплено к фюзеляжу в точке О и поддерживается подкосом СВ. Рассматривается шарнирное соединение
подкоса с крылом и фюзеляжем. Упругая ось крыла и ось балки-подкоса лежат в одной плоскости и составляют между собой заданный угол а. Плоскость, в которой расположены указанные оси, наклонена под углом те/2—х к плоскости, перпендикулярной оси фюзеляжа, где х— угол стреловидности. Предполагается, что крыло имеет большое удлинение и поэтому для описания его деформаций используется уравнение изгиба балки. При этом пренебрегаем крутильными деформациями крыла, поскольку для крыльев большого удлинения изгибающие моменты, как правило, значительно превышают крутящие моменты. Уравнение и граничные условия изгиба крыла имеют вид
где £ [О, /] — координата по оси жесткости крыла, а £>(?), М(%), т(\) — распределения по размаху крыла жесткости на изгиб, изгибающего момента и функции прогибов соответственно. Величина М определяется прикладываемыми к крылу аэродинамическими нагрузками и реакцией подкоса. При подсчете М будем считать, что распределение аэродинамических нагрузок <7(Н) находится методом несущей полосы:
Здесь с*, а0, рг>2/2 — фиксированные параметры: производная
коэффициента подъемной силы по углу атаки я, начальный угол атаки, скоростной напор; Ь (?) — функция, задающая распределение по размаху хорд крыла.
Подкос представляет собой балку переменной площади поперечного сечения (0длина подкоса). Обозна-
чим модуль Юнга материала подкоса через Е, а через Я — его реакцию на крыло. Аэродинамическими воздействиями на подкос пренебрегаем.
Для определения реакции применим метод сил [5]: #=—8?/о, где 8 — перемещение точки В по направлению действия силы при условии, что /?=1; 8 — перемещение точки В, вызываемое распределенной силой ц (?) в направлении силы /?. Применение интегралов Мора [5] приводит к следующим формулам для 8 и 8?:
От" = М, на (0) = т' (0) = 0,
(1.1)
(1.2)
Я (5) = с; («о — э1п у) (ръ2 /2) Ь (?) соз /•
(1.3)
0
о
к / 1\ \
Ьд = бш а [ (д~^} I | я (X) (X — 1)с1х \ й%.
О Ч )
С учетом данных формул выражение для Р принимает вид
/
«--ТЕгЬю/К)*. С'4)
о
где
т-(| *)(!%?-+«к/ Л)"-0<£<
\0 / \ О О У
/(«)'
г (^1 — о<6—о г1 ц-о» , 1 Г ^ V /<?</
Д.] /3(0 ' Ш^а]вР(0 ’
3 / Л о о /
Используя приведенные выражения для прикладываемых к крылу аэродинамических нагрузок (1.3) и силы, обусловленной действием подкоса на крыло (1.4\ приходим к следующему выражению для распределения по размаху крыла изгибающего момента М = М (I), (О фигурирующего в правой части^уравнения (1.1):
М(Е) =
■(Л^ я(*)№)&+ \о<£</,,
О 5
I
| ?(*)(* — 1)(Н,
(1.5)
Подъемная сила крыла (несущая способность) определяется как интеграл от <7(|) по размаху крыла. При исходных аэродинамических расчетах считается, что подъемная сила абсолютно жестких крыльев (упругими деформациями пренебрегается) равняется весу Р0 летательного аппарата. Однако анализ с учетом упругих деформаций показывает, что для стреловидных крыльев происходит потеря несущей способности [1, 2]. Поэтому для летательного аппарата должно выполняться условие
I
и(Д)^> -’ (Р„- АР), (1.6)
О
где Р0, АР—заданные положительные константы, ДР — допустимая потеря подъемной силы за счет упругих деформаций.
Используя (1.3) и соотношение (равенство величины подъемной силы недеформированного крыла половине веса самолета)
О
преобразуем условие (1.6) к виду
cos •/;sin х j W bd% < ДР. (1.7)
У 2
Условие (1.7) означает, что потеря подъемной силы крыла за счет упругих деформаций не должна превышать величину ДР/2. При заданном значении константы ДР неравенство (1.7) накладывает ограничение на возможные реализации функции прогибов и»(£) и тем самым на допустимые распределения по размаху крыла жесткостей D(i).
2. Постановка задачи оптимизации и условия оптимальности. Запишем выражение для функционала — веса крыла и подкоса — в виде
i h
У=Уг+У2, (Е)Я(5)<Я, (6)F(S) d\, (2.1)
о а
где f(;), fj^) —заданные функции, а Р(|) —площадь поперечного сечения подкоса.
На искомое распределение жесткостей крыла D(t) наложим ограничение
D(t)>Dmin> 0. (2.2)
Здесь через Z)mm обозначена заданная константа.
Рассматриваемая ниже задача оптимизации заключается в отыскании распределения жесткостей D(E) по размаху крыла [при заданной функции F (%)], минимизирующего функционал веса (2.1) при удовлетворении ограничению (2.2), ограничению по несущей способности (1.7) и уравнению равновесия (1.1) с граничными условиями (1.2), причем правая часть уравнения имеет разрыв производной по координате \ (1.5), обусловленной наличием подкоса.
Для удобства дальнейших выкладок и общности проводимых расчетов перейдем к следующим безразмерным переменным и обозначениям:
I = Щ, ly = IJl, I, = 12Ц, w = wjl, b = bjl,
_D = Dl(c; I* 9v*I2), _P0 =P0/(cay I2 pv2/2),
ДР= Д Pj(c^P pD2/2), Dmm =Dmin/(c“ l* рг»*/2),
Pi — — sin x cos x b, P2 = a0cos yb, f=f, F=F/l2,
Z=w', /.= ДР0/Р0, p. = c; j (F sin2 a).
В новых переменных уравнение равновесия (1.1) и ограничение по несущей способности (1.7) запишем в виде (ниже черточки над символами опускаем)
1 1 '
DZ' = (5 - /,) j (р, Z + р2) fdt+ J (pt Z+ р2) (t — ;) dt, 0 < S </,;
(2.3),
DZ'= J(P1Z+P,)«-Q^,
4 «Ученые записки ЦАГИ» № 6
49
и
(2.4)
Здесь
(/, - 0 (£ - О 0(0
(/, - О (5 - О 0(0
сИ ,
Выражения для функционала веса (2.1) и ограничения (2.2) сохраняются, а граничное условие для уравнения (2.3) примет вид
Таким образом, задача оптимизации заключается в отыскании функций 0(1), удовлетворяющих задаче Коши для уравнения (2.3) с нулевым начальным условием 2(0) = 0 и ограничениями (2.2),
(2.4), таких, что функционал веса (2.1) принимает минимальное значение.
Заметим, что при фиксированной функции Г(Е) минимизация функционала V (веса системы крыло — подкос) сводится к минимизации функционала веса крыла I/,. Однако при оценке выигрыша, получаемого за счет оптимизации и сравнения решений, полученных для подкосов различной жесткости, следует вычислить разность значений, соответствующих величине V. При этом оценку выигрыша, получаемого за счет оптимизации, проводим по формуле (- К.)/1/„ = (1Ло — У \ *)/ 1Ло, где у*, У * — значения рассматриваемых функционалов для оптимального решения, а 1/0, 1/10 — значения для некоторого традиционного распределения жесткостей. Кроме того, для оценки эффективности представляет интерес сравнение оптимальных решений, полученных для крыльев с подкосами различной жесткости и разного веса. В этом случае для объективной оценки качества системы крыло — подкос следует сопоставлять значения, принимаемые функционалом 1/=1/1+ У2, а не функционалом ]/1.
С целью получения необходимых условий оптимальности, следуя стандартной методике, составим расширенный функционал Лагранжа. Для этого уравнение изгиба (2.3) помножим на вспомогательную функцию 5(2) и проинтегрируем произведение в пределах [0, 1]. Складывая полученный интеграл с функционалом веса крыла У1 и помноженным на константу /. интегралом, записанным в левой части ограничения (2.4), приходим к функционалу Лагранжа. Далее проварьируем функционал Лагранжа по переменным /)(?), 2(;), и получающееся выражение для вариации приравняем к нулю. Не приводя здесь промежуточных выкладок (интегрирование по частям, изменение порядка интегрирования, преобразование подынтегрального выражения к сумме двух слагаемых, содержащих линейно вариации ЬО, 82, приравнивание множителей при 8О и 82 нулю), сформулируем лишь окончательный результат. Необходимые условия оптимальности имеют вид
2(0) = 0.
Ф=0, В>Отт, 0<£</„ Ф>0, £>г=£)т1п,
W = 0, D > Dmin, ^>0, D = Dmia,
Ф = т + sZ'- P(h~')
(Л - £)s
, 4F==T + sZ'.
rz)2 ' T1 £)1
Здесь через Я(5), Q, T обозначены следующие выражения: Я (6) = U (х -1) (ptZ+ ра) dx j (j (/, - £) +
+ ( I (* - 5) (Pi P2) ( j (/i - У ) ,
Q =
(/, — E) (x-6)
L0
0(5)
(/,_;) (JC_6)
d\
(P,Z + fS,)d*|| f(/,_6)Sdsj +
(Pi ^"b Ps)
*1
f(*i-S)
г, fa
-г Г (h - 5)2 Jr , f Л
T — j 0(5) .) F(S) •
о о
Сопряженная переменная s(£) удовлетворяет интегро-диффе-ренциальному уравнению
* 1 Ч
(sD)' — pi/j (/, — t)sdt + р, j(S —f)s<ft —хр,= 0.
(2.5)
3. Результаты расчетов. Расчеты оптимального распределения жесткости по размаху крыла проводились по алгоритму последовательной оптимизации, основанном на варьировании функции D(i) градиентным методом в пространстве управляющих функций и решении задач Коши для интегро-дифференциальных уравнений
(2.3), (2.5) для функций Z(£) и сопряженной переменной s(i) с нулевыми начальными условиями Z(0) = 0, s(l) = 0. Решение интегро-дифференциальных уравнений осуществлялось при помощи разностной аппроксимации на дискретной сетке с шагом 0,01 (отрезок 0,1 разбивается на 100 подынтервалов) и применения метода исключения Гаусса. Для всех рассчитанных вариантов полагалось T=l, Anin = 0,01, * = (2-5)/15, Ро~ 1/12, Р, = — 0,383 (2 — Б)/15,
/, = 0,4. а распределение толщин в подкосе считалось постоянным (F = const). Заметим, что указанные безразмерные значения параметров соответствуют, например, следующим значениям размерных величин: / = 60 м, с*= 5, pv2/2 = 2-104 Н/м2, Р0 = 6-Ю6Я, х = 25°. Задача решалась для различных значений коэффициента потери подъемной силы * и обратной величины жесткости подкоса параметра v = \d2!F.
На рис. 2 кривыми /—7 показаны полученные в результате расчетов оптимальные распределения жесткостей D(z) соответственно для v = 0,0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1,2, оо. Значение параметра у. для указанных кривых равно х = 0,006. Из графиков видно, что
с увеличением жесткости подкоса для всех точек крыла уменьшаются значения величины И и тем самым значительно снижается потребная масса силового материала, распределенного по размаху крыла. Для относительно больших значений V имеет место монотонное убывание жесткости 0(1) вдоль всего размаха крыла (0<.£<Д) от максимального значения 0(0) до минимальной допустимой величины О (1) = Дпш, причем на участке крыла между свободным концом и точкой крепления подкоса распределения 0(1) близки к распределению жесткости неподкрепленного крыла. Соответствующее распределение показано на рис. 2 кривой 7 (V = оо).
Для подкосов значительной жесткости (малые значения V) характер распределения Б (£) оказывается существенно иным. Максимум /)(£) и, следовательно, потребного количества силового материала достигается в точке крепления подкоса. По мере удаления от этой точки функция 0(%) монотонно убывает. В области 0<|<0,4 убывание О по мере приближения к фюзеляжу становится более резко выраженным с увеличением жесткости подкоса (уменьшением V). В этой области при подкреплении крыла подкосом происходит существенное снижение потребного силового материала. На рис. 2 видно, что при v = 0,0 (кривая /) на значительном участке крыла, примыкающем к фюзеляжу, О (I), принимает минимальное значение [£^)=£>тт] и затем резко возрастает при приближении к точке крепления подкоса.
Распределения прогибов по размаху крыла показаны на рис. 3 кривыми /, 2, 7 Скак и на рис. 2 соответственно для значений параметра V = 0,0; 0,2; со). Для приведенных распределений/.=0,006.
Для нежесткого подкоса (V = оо) распределение прогибов тю (?) по размаху крыла (кривая 3) является монотонно возрастающей функцией £ на всем отрезке [0, 1]. С увеличением жесткости подкоса (уменьшением параметра V) появляются участки, примыкающие к точке крепления крыла к фюзеляжу, на которых функция прогибов отрицательна (см. кривые 1 и 2).
V
х = 0,006
о ОЛ О,в \) Рис. 4
О-----------------1—
0,03 о, OS
Рис. 5
X
На рис. 4 показаны полученные в результате расчетов зависимости функционалов веса крыла V, Vu V2 от параметра v, обратного жесткости подкоса при х = 0,006, а на рис. 5 — зависимость Vt от коэффициента потери в подъемной силе х при v = 0,6.
Выигрыш в весе оптимального крыла, т. е. по функционалу Yu по сравнению с крылом, имеющим жесткость D = гр (тг) = const) и обеспечивающим одинаковую потерю подъемной силы, составляет 23%.
Выигрыш в суммарном весе для оптимального крыла с подкосом по сравнению с весом оптимального неподкрепленного крыла (1/2 = 0) при одинаковой потере подъемной силы существенно зависит от жесткости подкоса и, например, для набора данных -/ = 0,006, v = 0,6, / = 60, с* =5, р_у2/2=2-104 Н/м2, Я0 = 6-Ю6Н, а=15° составляет 29%.
1. Би'сплингхофф Р. Л., Эшли X., Халфмэн Р. Л. Аэроупругость. — М.: Изд. иностр. лит., 1958.
2. Bisplinghoff R. L. Principles of aeroelasticity. —New York, Dover, 1975.
3. Бани чу к H. В., Бирюк В. И., Коандэ И. И., Миронов А. А., С е й р а н я н А. П. Крыло минимального веса при ограничении по несущей способности. —Ученые записки ЦАГИ, 1979, т. X, № 1.
4. АЦл б у л А. В., Бани чу к Н. В., Бирюк В. И., Коандэ И. И. Распределение силового материала в крыле минимального веса при ограничениях по прочности и несущей способности. — Ученые записки ЦАГИ, т. XIV, № 3, 1982.
5. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. — М.: Наука, 1974.
ЛИТЕРАТУРА
Рукопись поступила 29/IV 1582 г,
