CC BY
42
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ Т о м XV 19 84
№ б
УДК 629.735.33.015.4
ПРОЕКТИРОВАНИЕ СКОЛЬЗЯЩЕГО КРЫЛА МИНИМАЛЬНОЙ МАССЫ
Н. В. Баничук, В. И. Бирюк, И. И. Коанде
В работе рассматривается задача оптимального распределения жест-костных характеристик по размаху скользящего крыла из условия минимума массы силового материала при ограничениях на аэродинамическую несущую способность крыла и разность моментов между консолями крыла. Исследуется влияние различных конструктивных параметров на оптимальное решение.
Задачи об оптимальном распределении силового материала в стреловидных крыльях минимальной массы при ограничениях по прочности, аэродинамической несущей способности крыла и на минимальные допустимые значения жесткостей рассматривались в работах [1—3]. Отличная по постановке задача оптимизации возникает в связи с проектированием летательных аппаратов со скользящими крыльями. При минимизации массы таких крыльев следует учитывать несимметрию в деформации правой и левой частей крыла (ОВ и АО на рис. 1) и обусловленную ею несимметрию в распределениях аэродинамических нагрузок. Поэтому наряду с ограничениями на минимальные допустимые значения жесткости и потерю несущей способности вводится в рассмотрение дополнительное ограничение на рассогласование моментов аэродинамических сил (относительно оси фюзеляжа), которое парируется каким-либо органом управления. Способы парирования и связанные с ним эффекты (влияние на аэродинамическое качество и т. п.) в данной работе не рассматриваются. В данном случае, как и в ранних работах [1]—[3], наложение ограничений на АМ является формой задания ограничений по жесткости.
Приведем основные соотношения задачи. Нижними индексами 1 и 2 в формулах будем отмечать величины, относящиеся соответственно к правой и левой частям крыла. Выбираемые оси координат показаны на рис. 1. В пренебрежении крутильными деформациями уравнения и граничные условия, определяющие прогибы правой и левой части скользящего крыла, запишем в виде
где ®!1(£), 1И2(У]), £>!(!), £>2 (т)), цх (£), (7)) —функции распределения
прогибов, жесткостей и аэродинамических нагрузок.
Константа й характеризует угол наклона крыла в точке его крепления. Распределение аэрогидродинамических нагрузок и моментов описывается следующими формулами:
Здесь а0, рг/2/2, / —коэффициент подъемной силы, начальный угол атаки, динамическое давление и угол стреловидности; Ь — хорда крыла, 21 — размах крыла.
Задача оптимизации заключается в отыскании распределений жесткостей А(|), Е>г(л)» доставляющих минимум массы скользящего крыла
при ограничениях на допустимые минимальные значения жесткостей
Рис. 1
41 © = Су К — Да,) соэ хЬ (I); Яъ С7)) = Су (“о + Л а г) ^ сое уЬ (7));
(2)
Да.
;, = -те>и!51пХ, Да2 = — тх>2, бш х-
(3)
О
о
(5) > Дпт >0, А (7]) > £>тт > 0,
на величину потери несущей способности
О
и на величину разности моментов аэродинамических нагрузок в точке 1 = 0
Допустимая величина потери подъемной силы АР и допустимая величина разности моментов АМ являются наряду с к, £)т1п основными параметрами задачи. Константа Р0, вес самолета, определяется по формуле
Л>-
(5)
Можно показать теоретически, и это подтверждается в расчетах, что при уменьшении параметра АМ возрастает количество потребного силового материала крыла и при АМ, стремящемся к нулю, функционал массы V стремится к бесконечности. Следовательно, при ДМ = 0 рассматриваемая задача не имеет решения’. Указанные ограничения на потерю несущей способности и рассогласование моментов с учетом (2), (5) могут быть записаны в виде
с; эш х соэ х ]* |>2/ (*) — ти {Г) ] ЬсИ < к2\
„а
где &2 = хР0, х = Д Р/Р0, А, = ДЛ1.
Переходя к безразмерным переменным и обозначениям $ = £.//, 1я)1 = т1/1, щ»2 = и»2//, т == 7 /3»
С = £/(4 /4 р •у2/2), £шш = йтщЦСу /4 р г>2/2),
Р0 = Ро/(с; I2 Р ^/г). А? = Д Р/(с‘, /г рг>3/2),
Р1 =— э1п х СОЭ гъ, р2 = а„ сое X ь, *1 = £,,/(<:“ /3 р г>2/г), к2 = к21(Су Р pv^|2), г^тц, г2 = запишем основные соотношения задачи (черточки опускаем)
(О, г, = — Р1 г, + рг, (£>2 г2е)« = Р1 г2 + Рг5 2,(0) = ^, (Дг105=1 = 0, [ (А ги)^ ]е=1 = О,
22(0)=-£, (Оа 22е)5 = 1 =0, [(Ог 22 5); Ь=1 =0,
1
Г= J р, [г2 —й2.
(6)
(7)
(8)
Получим необходимые условия оптимальности, составляя расширенный функционал Лагранжа
^ — [ (Т (А + А) + 51 [(^1 + Р1 — р2] +
6
+ «2 [ (А 22еЬ - р1 г2 — р2] + х1 ?1 5 (2!+ 22) + *2 ?1 (22 — 2,) } й%
и варьируя этот функционал по переменным £>1, £)2, 2ь 2г-
Выполняя далее интегрирование по частям и учитывая граничные условия (7), запишем выражение для первой вариации функционала
1
{[т + 51 а £,] 8 О* + [т + 52 £5 22] о £>2 —
[ Оо)ё + ^1^2 — ^ I Рх • • Х2 р,] 8 г2 [ 0])е
• 4- Х2р,] 8г,} й\ + [ (Я1 ее ДО 8 г, + (вгк^г) 8,г2]Е=1 -|
+ 1«! ^ (Ох Х\ е)е + 52 8 (£)2 е)е $2 Е 8 (02 22 г) + 5 8 (Е>{ 2\ е) ]г=о-
,0 о ^151
Приравнивая к нулю первую вариацию функционала и учитывая произвольность вариации 6£>ь б£>2, приходим к необходимым условиям оптимальности:
ТГ ~Ь 51 ее = О, П)\ ят1П1
7 "1” 51Е£21^-0, Г)\'=-От\п, Т Н~ ^2 ЕЕ 23 =- О, ^2 ^пнл, Т 52 Е£ 22 О, — ^тт*
О)
Входящие в эти соотношения сопряженные переменные определим как решения краевых задач
(51 Е5 А)е — ?2 5[ — X; 5 Р1 + Х2 Р1 — О,
5, (0) = 0, 51 е (0) =0, {И1 в! ее)е=1 = о, (52 « А>); + Мг — М р1 — Х2 ?1 = О,
5г (0) = 0, 52 е (0) = 0, (О252ее)е=1 = 0.
(10)
При таком определении сопряженных переменных обращаются в ноль множители при вариациях б2ь 6г2 и внеинтегральные слагаемые в выражении для первой вариации функционала Лагранжа. Кроме того, должны выполняться условия
X,
| £р, [г, + г2] й\— ^ | = 0, х1<0, | Р1 [22 — 21] ) = 0, Х2<0,
которые означают, что если ограничения (8) выполняются со знаком строгого неравенства, то ^ и к2 обращаются в ноль.
Задача оптимального проектирования решалась численно с применением алгоритма последовательной оптимизации. Для всех рассчитанных вариантов полагалось с“=5, Дпт=0,01, Ь(%)—(2—£)/15, Р0= 1,642, х = 25°. Это соответствует, например, следующему набору размерных величин /--= 30 м, Р0= 1,479- 107Н, рг>2/г = 2- 104Н/м2. При проведении расчетов использовались безразмерные переменные.
На рис. 2 изображены найденные в результате расчетов оптимальные распределения жесткостей. Зависимости D(|) {D (£) = D, (I) при 0<&<1 и D(|) = D2(—?) при—1<Е<0}, показанные на рис. 2 кривыми с номерами 1, 2, 3, соответствуют значениям kx =0,0016, 0,0011, 0,0007. Для всех распределений жесткости k = 0,1. Из рассмотрения приведенных кривых следует, что максимум жесткости при оптимальном проектировании скользящих крыльев достигается в точке крепления крыла 1 = 0, а по мере удаления от этой точки функция распределения жесткости монотонно убывает.
Важной особенностью распределений жесткости оптимальных СКОЛЬЗЯЩИХ Крыльев является ТО, ЧТО значения функций Did) и A>(s) в точке g = 0 не равны друг другу и, следовательно, распределение £>(|) терпит в этой точке разрыв, причем большая масса силового материала распределяется в части крыла с передней стреловидностью (правая половина крыла на рис. 1) и меньшая масса — в части крыла со стреловидностью назад. Отметим также, что с уменьшением ki возрастает потребное количество материала (при ku стремящемся к нулю, потребное количество материала неограниченно увеличивается).
Распределения прогибов и>(§) =toi(!) при 0<£<1; w2(—|) при —1<£<0} оптимальных скользящих крыльев представлены на рис. 3. Кривые с номерами 1, 2, 3 соответствуют значениям £i = 0,0016, 0,0011, 0,0007. Для всех кривых /г = 0,1. Результаты проведенных расчетов показывают, что с уменьшением разности моментов аэродинамических нагрузок в точке | = 0 уменьшаются и прогибы. Таким образом, наложение более жестких требований на рассогласование моментов приводит к уменьшению гибкости оптимальных крыльев.
Зависимость функционала массы крыла V от параметра kt показана на рис. 4. Из рассмотрения приведенной зависимости видно, что при стремлении параметра &i к нулю вес оптимальных скользящих крыльев неограниченно возрастает. Этим подтверждается то обстоятельство, что
задача оптимального проектирования скользящего крыла в рассматриваемой постановке не имеет решения при &1 = 0.
Кривыми 1, 2, 3 на рис. 5 изображены распределения жесткостей оптимальных скользящих крыльев соответственно для случаев £ = 0,2; 0,1; 0. Эти зависимости рассчитаны при Лц = 0,00367. Заметим, что при увеличении параметра & потребное количество силового материала также увеличивается, причем для всех рассчитанных вариантов А(0)^02(0).
ЛИТЕРАТУРА
1. Баничук Н. В., Бирюк В. И., К о а н д е И. И., Миронов А. А., С е й р а и я и А. П. Крыло минимального веса при ограниче-
нии по несущей способности. — Ученые записки ЦАГИ, 1979, т. X, № 1.
2. Албу л А. В., Баничук Н. В., Бирюк В. И., Коанде И. И. Применение метода возмущений для отыскания оптимального распределения силового материала в стреловидных крыльях. — Ученые записки ЦАГИ, 1983, т. XIV, № 2.
3. Б а н и ч у к Н. В., Б и р ю к В. И., К о а н д е И. И. Об оптимальном распределении силового материала в стреловидном крыле с подко-
сом.— Ученые записки ЦАГИ, 1982, т. XIII, № 3.
Рукопись поступила 13/1 1983 г.
