Задача минимизации веса крыла с обратной стреловидностью при ограничении скорости дивергенции Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А I И

Т о м X

19 7 9

М 6

УДК 629.735.33.015.4.025.1

ЗАДАЧА МИНИМИЗАЦИИ ВЕСА КРЫЛА С ОБРАТНОЙ СТРЕЛОВИДНОСТЬЮ ПРИ ОГРАНИЧЕНИИ СКОРОСТИ

ДИВЕРГЕНЦИИ

Рассматривается задача минимизации веса крыла с обратной стреловидностью при фиксированной критической скорости дивергенции. Данная задача возникает при проектировании летательного аппарата с крылом изменяемой геометрии, имеющим на разных режимах полета различные углы стреловидности: ноль и Л (рис. 1).

Дивергенция крыла с обратной стреловидностью была исследована впервые в [1], об этой работе см. также [2]. Явление дивергенции является одним из существенных факторов, определяющих распределение необходимых жесткостей по крылу [3]. В особенности это относится к крылу с обратной стреловидностью, для

которого явление дивергенции служит определяющим фактором среди прочих аэроупругих явлений (флаттер, реверс) [2].

Различные задачи оптимизации с ограничениями по аэроупругости исследовались в работах [3—10].

А. П. Сейранян

Рис. 1

6—«Ученые записки» № 6

81

1. Основные соотношения. Запишем уравнения, описывающие явление дивергенции стреловидного крыла [1, 2]. В качестве упругой модели принята балочная схема крыла, в качестве аэродинамической модели — теория несущей полосы.

[D (х) w" (*))" — bq eos2 Л = 0; (С (х) В' (х))' + beq eos2 Л с, = 0; cy={B(x) + w' (x)tg Л) с;; w (0) = w' (0) = 6 (0) — 0;

{Dw")x=l = (Dw"yx=l = (С» Vi = 0.

(1.1)

В этих соотношениях D(x) и С(х) представляют собой жесткости крыла на изгиб и кручение соответственно, «'(.к) есть функция прогибов, 6(д:) — угол кручения крыла; параметрами b, е, I, q, А, с* обозначены соответственно хорда крыла, расстояние между осью жесткости и линией аэродинамических фокусов, длина крыла, скоростной напор, угол стреловидности и коэффициент подъемной силы.

Предположим, что изгибная и крутильная жесткости связаны

между собой линейным соотношением С(х) = kD(х), а функционал

i

веса представим выражением V = j* fD(х)dx. Эти предположения

о

справедливы для тонкостенных конструкций с постоянной относительной толщиной профиля.

Упростим исходные соотношения. Для этого введем безразмерные величины:

x — x¡l, w(x) — w(x)/l, u(x) — w'(x) tgA,

D(x) — 2D (.x)/{Ebl3 c% sin 2 A),

C(x) = 2 С (x)¡(Ebl3 слу sin 2 A) = kD (x),

l = q¡E% * = e¡(kl tg A);

здесь модуль упругости.

С учетом введенных величин исходные соотношения (1.1) предстанут в виде (черточки над символами в дальнейшем опускаем)

(Du')" — X (6 + и) = 0; (D6')' + *M0 + ") = O; и (0) = 6 (0) = 0; (Du')x=1 = (Du%sl = (D9 Vi = 0.

Безразмерный функционал веса примет вид

(1.2)

V= §D(x)dx.

(1.3)

Для получения соответствующей размерной величины интеграл (1.3) следует умножить на константу Р— \12-[ЕЫ1 c*sm 2 А. Отметим, что соотношения (1.2) и (1.3) содержат единственный безразмерный числовой параметр х. Задача на собственные значения (1.2) несамосопряженная, поскольку аэродинамические силы, действующие на крыло, неконсервативны [11]. Роль собственного значения играет параметр l — q/E. Отметим, что скоростной напор равен q=l¡2pv2,

р —плотность газа, V — скорость полета. Наименьшее положительное собственное значение Х^у определяет критическую скорость дивергенции v¿^м. Наложим ограничение на скорость дивергенции Ъыу^Ъо, где — заданная положительная величина. В безразмерных переменных это ограничение примет вид

^¡у > = -у- • (1-4)

Сформулируем задачу оптимизации: требуется найти распределение жесткостей (х), минимизирующее функционал веса (1.3) при удовлетворении уравнениям связи (1.2) и ограничению (1.4).

Заметим, что ввиду однородной зависимости собственных значений X от неременной О(х) ограничение (1.4) удовлетворяется в виде равенства Х^у = Х0 [14].

2. Необходимые условия оптимальности. Для вывода необходимых условий оптимальности составим функционал Лагранжа Ь. С этой целью умножим первое из уравнений (1.2) на функцию <р(л;), а второе уравнение (1.2) — на <ь(х) и проинтегрируем результат от нуля до единицы:

1 1 Ь == | Б (х) йх + | ® (х) [(Ои')" — X (6 + и)]йх + о о

I

+ |ф(*Ж0в')' + хХ(е + и)]Же.

о

Найдем первую вариацию этого функционала. Варьируя й, и» 6, выполняя интегрирование по частям и учитывая граничные условия, приходим к выражению для первой вариации: 1 1

8Ь = | Ш [1 4- и.' ?" - 0' -У] йх + 18и [ - (£>?')' - X® + Х*<Ь] йх +

о о

1

+

| 86 \{ОУ)' + Ххф - Хер] йх + <ро фи') и - <р'8 (Он') |> +

о

+ Ьи I» 4- 48 фЬ') |1 — 6' £>8611.

Необходимое условие оптимальности состоит в равенстве нулю первой вариации 8Ь=0. Отсюда с учетом произвольности вариаций о£), 8н, 66 получим уравнения и граничные условия:

1 + и'<р" - в'ф' = 0; (2.1)

(Б?")' + X (<р — хф) = О,

? (0) = <?' (0) = <Ь (0) = 0,

фв"),=, = (Д'УЬ=1== 0.

(2.2) (2.3)

К этим уравнениям и граничным условиям необходимо добавить изопериметрическое условие Х11(у = л0. Отметим, что уравнения (2.2) с граничными условиями (2.3) являются сопряженными по отношению к уравнениям (1.2). Поэтому собственные значения и их кратности в задачах (1.2) и (2.2), (2.3) совпадают [12]. Уравнения и граничные условия (1.2), (2.1), (2.2), (2.3) и изопериметрическое условие Х<пУ = Х0 позволяют при заданных значениях параметров Л, *, Х0 определить функции О0, и°, 6е, <р°, <1>°, реализующие

экстремальное решение. Используя методику исследования экстремума работы [10], можно показать, что в данной задаче экстремали реализуют сильный минимум функционала веса при рассмотренных ограничениях.

3. Метод возмущений. Величина e/kl составляет для реальных крыльев величину порядка 0,05, а угол Л составляет 25—60й. Поэтому величину y = e/(&/tgA) можно считать малым параметром. Будем искать решение задачи оптимизации в виде разложений по малому параметру

D°(x) = D0(*)-f xD, (*)+... а° (х) — и0 (х) + хи, (х) + ... , 6°(х) = 60 (*) + хб, (X) +. . -(•*) = ?0 (х) + *?1 (*)+..., (Л) = % (*) + (*) +. • ■

Подставляя эти разложения в уравнения (1.2), (2.1) —(2.3), для нулевого приближения получаем следующую систему уравнений:

(ЗДГ-Мо = 0;

(D0 до)' = 0;

Фо <Ро)' + Хо?о = 0;

(О0У0У-К <Ро = 0;

«о (0) = ео (0) = ?о (0) = ?0 (0) = <1>0 (0) = 0;

(D0 «0 ),=1 = (D0 u0yx=l = (D0 е0)х=1 - (D0 ?"0)Л=1 = (D0 ф;)х=1=0.

Из второго уравнения (3.1) с учетом граничных условий (3.2) получаем

в0(*)-о.

Введем для удобства обозначение

D* (*) = Ц,(*)Д0. (3.4)

Тогда из (3.1) получим замкнутую систему трех уравнений относительно функций D*, ы0, 'f0;

(D*u'0)''-u0 = 0;

= (3.5)

(D.?0')' + ?o = 0.

Полученная система уравнений описывает исходную задачу оптимизации при отсутствии кручения.

Отметим, что первое уравнение (3.5) описывает явление дивергенции нестреловидного крыла при действии бокового порыва ветра. Задача минимизации веса крыла при ограничении по скорости дивергенции (в указанном смысле) была рассмотрена Эшли и Макинтошем в [4]. Однако можно показать, что полученное ими решение D* (Е)= 1/2 Е2 — 1/613, «„(!) = 1 — S, ? — 1 — х неверно. Действительно, используя и0(х) — х из второго уравнения (3.5), получим <Рд= const. Согласно граничным условиям (3.2) отсюда имеем ip0 (х) = Ах2, где А — произвольная постоянная. Подставив <р0, D* в третье уравнение (3.5), приходим к противоречию А [(1 — xf — 1/3 (1 - xf\ + Ах2 ф 0.

(3-1)

(3.2)

(3.3)

Авторы исходили из предположения и'0(х) = const, <f"0 (х) = const, а далее на основании неправильно решенного примера сделали обобщающий вывод о постоянстве плотности энергии упругой деформации в задачах оптимизации неконсервативных систем. Решение, полученное в [4], является допустимым, но неоптимальным.

Исследуем асимптотику поведения функций D^ix), и0(х), <?0(х) в окрестности границы х—\. Для удобства сделаем преобразование 1=1 — х. Тогда система уравнений (3.5) и граничные условия преобразуются к виду

W (D* (5) -Ж") = - «о (6). "о (1) = ?0 (1) = ?о (1) = 0;

= const-

di di 2 ^UM,

Ж (D* ® = {D* Uoh=o = (D* "0)5=0 = (£>* % )i=0 = 0.

(3.6)

Будем считать и0 (;), <р0(£) нормированными величинами и„(0) = = <р0(0)=1. Тогда положим и0(I) = 1 + о (1), ср0(Е) = 1 + о (1), где £ принадлежит окрестности точки 1 = 0. Подставим эти соотношения в правые части первого и третьего уравнений (3.6) и проинтегрируем их с учетом граничных условий при I = 0. В результате получим

£>*(«) 1/2 + о (£3);

£>* («) Ti (6) = 6 -Н о (Б).

(3.7)

Перемножим эти уравнения и используем второе условие (3.6). Отсюда имеем D* (Е) = ЛЕ3/2 + о (Е3/2), А = const. Исходя из (3.7), разложения для ДД1), и0(S), ср0(Е) в окрестности 1 = 0 будем искать в виде

и0(?) = 1 + а,е«+а2Р + о(5»); (3.8)

<Р0 (?) = 1 + b, S + b2 S3'2 + b3 Е2 + о (Е2).

Подстановка разложений (3.8) в уравнения (3.6) позволяет найти связь между коэффициентами

5 = 0, а2 = 0, ¿з = 0, За, Л = — 1, Зй,Л=4.

Численное решение системы уравнений (3.6) осуществлялось градиентным методом в пространстве управляющих функций £>($) с использованием асимптотик (3.8). При этом на каждом шаге градиентной процедуры по /)(£) решались интегральные уравнения

1 I.

h (?) = х J -Щц [ К - Ц) «о (1) dri,

Е 0

1 -Ч

= J?. (С) Л.

к которым приводятся исходные задачи на собственные значения. Остановка вычислительного процесса производилась при выполнении второго уравнения (3.6) с заданной точностью вычислений. Более подробно о численном алгоритме см., например, [13].

Функции D*(x), и0(х), <?0(х) (х=\ — £), полученные в результате вычислений, представлены на рис. 2. Сравнение с функцией

D = const, удовлетворяющей ограничению Xdiv=l, указывает на

1

выигрыш по функционалу веса j'Ddx — 28,4%. Решение, получено

ное Эшли и Макинтошем [4], приводит к выигрышу в 21%.

4. Первое приближение. Уравнения метода возмущений для первого приближения имеют довольно громоздкую форму. Приведем лишь первые два уравнения и соответствующие граничные условия. С учетом нулевого приближения имеем

(D0«;y + (A «J-Мв,+«,) = 0; (D0e;)'4-x0«0 = 0;

и,(0)=61 (0) — 0;

(4.1)

(4.2)

(4.3)

Из уравнения (4.2) выразим 6, (л) через и0(х), D0(x) и используем (3.4):

01(a:) = |d;1 (x)dxiju0(Qd:.

(4-4)

Умножим (4.1) на <р0 (х) и проинтегрируем от нуля до единицы. Выполняя затем интегрирование по частям и используя условие и'0 ^ = сопв^ приходим к выражению для интеграла

ГDi(x)dx = -^ I 9{{x)yJx)dx. J "ofо J

(4.5)

Константу удобно выразить через £>*(•*)> ио(х)> ?<>(•*)•

С этой целью умножим первое уравнение (3.5) на <?„ и проинтегрируем от нуля до единицы. Интегрируя далее дважды по частям, получаем

"o?o = i"o?o dxj

о / 6

(4.6)

Подставляя в (4.5) выражение (4.6), функцию 6, (х) из (4.4) и выполняя преобразование подынтегрального выражения, приходим к выражению

j'D, (x)dx = \GV.¥, (4.7)

о

где

i

j иOt'odx г

G = ^-= 3,35, Vt= J D*dx = 0,113. (4.8)

\ «o <fo dx 0

о

Таким образом, минимальное значение функционала веса l/° = j (£„ + *£>,)<**

К° = Ао V.0+G*).

Переходя к размерным величинам, выразим вес крыла через исходные параметры в явном виде:

V = 1/2 V^bl* с* pv20 (\/2sin 2 Л + G cos2 Aj . (4.9)

Константы G, V* определяются из (4.8). Полученная формула связывает минимальный вес крыла с критической скоростью дивергенции и другими параметрами задачи. Это же соотношение описывает зависимость максимальной скорости дивергенции от веса крыла, поскольку задача максимизации критической скорости дивергенции при заданном весе крыла является двойственной по отношению к задаче о крыле минимального веса при ограничении по скорости дивергенции [14].

Сравнение с крылом постоянной жесткости по размаху указывает на выигрыш в весе — 28% (при фиксированной скорости дивергенции), а при заданном весе выигрыш по скорости дивергенции составляет —18%.

Формула (4.9) позволяет проанализировать влияние отдельных параметров. На рис. 3 представлена зависимость приведенного минимального веса крыла V= V/(l/2 7ft/4cj рг>2) от угла стреловидности А при различных значениях величины e¡kl. Кривые 1, 2, 3 на рис. 3 соответствуют значениям e¡kl — 0, 0,025, 0,05. Функция

V(A) имеет максимум [соответственно v2(A) имеет минимум] при Л% = 1/2 arctg (kl/Ge), что при рассмотренных значениях ejkl составляет соответственно 45°, 42°36', 40° 12'.

Выше было показано, что минимизируемый функционал веса V° в первом приближении выражается через функции нулевого приближения D0, и0, <р0 [см. (4.7), (4.8)], и для его вычисления нет необходимости определять решение первого приближения. Это обстоятельство остается справедливым и в более общем случае минимизации гладких функционалов, зависящих от параметра (при отсутствии ограничений).

Соотношение (4.7) свидетельствует также о том, что функция

Dn (х) + xD(x), гдеО(х) — произвольная функция, удовлетворяющая 1

соотношению j D(x)dx = h0 с точностью до величин о(*) удо-

0

влетворяет ограничению Xdiv <= À0. Отсюда следует, что в качестве решения задачи оптимизации в первом приближении по * может служить, например, функция

DJx) = l0(l + Gy.) (х). Перейдя к размерным величинам, получим

Dq = 1/2"¡ô/4с* pz^|l/2sin 2 А + G cos2 а| D* j-^-j . (4.10)

Эта функция описывает решение исходной задачи минимизации веса крыла ири ограничении по скорости дивергенции. Функция

как это ви'дко из Рис- близка к линейной зависимости = 0,226

Отметим, что выражения (4.9), (4.10) справедливы при х^Ь что эквивалентно соотношению e/kl-k^tgA.

Рассмотренная задача и изложенный метод ее решения допускают обобщение на случай переменных b(x), е(х), k(x),

Автор благодарит Ф. Л. Черноусько за ценные советы и замечания, Н. В. Баничука и В. И. Бирюка за полезные обсуждения.

ЛИТЕРАТУРА

1.DiederichF. W., BudianskyB. Divergence of swept wings. NASA T. N. 1680, August, 1948.

2. Б и с п л и н г х о ф ф Р. Л., Э ш л и X., X а л ф м э и Р. Л. Аэроупругость. М., изд. иностр. лит-ры, 1958.

3. Голубев И. С. Аналитические методы проектирования конструкций крыльев. М., »Машиностроение", 1970.

4. Ashley H., M с I n t о s h S. С. Applications of aeroelastic Constraints in structural optimization. Proc. 12-th Internat. Congress of Appl. Mech., Stanford, Berlin, Springer—Verlag, 1968.

5. Mcintosh S. С., E a s t e p F. E. Design of minimum-mass structures with specified stiffness properties. „А1АА J.", vol. 6, N 5, 1968

6. Буньков В. Г. Расчет оптимальных флаттерных характеристик методом градиента. Труды ЦАГИ, вып. 1166, 1969.

7. Бирюк В. И. О задаче оптимального проектирования конструкции крыла из условий прочности и аэроупругости. .Ученые записки ЦАГИ", т. 3, № 4, 1972.

8. Бирюк В. И., Л и п и н Е. К., Ф р о л о в В. М. Методы проектирования конструкций самолетов. М., „Машиностроение", 1977.

9. Баничук Н. В. Минимизация веса крыла при ограничении по скорости дивергенции. .Ученые записки ЦАГИ", т. 9, № 5, 1978.

10. Сейранян А. П. Оптимизация веса крыла при ограничениях по статической аэроупругости. „Изв. АН СССР, МТТ\ 1978, №4.

11. Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругости устойчивости. М , Физматгиз, 1961.

12. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., .Наука", 1976.

13. Сейранян А. П. Квазиоптимальные решения задачи оптимального проектирования с различными ограничениями. Прикладная механика, XIII, № 6, 1977.

14. Seyranian А.P. Homogeneous functionals and structural optimization problems. .Intern. J. Solids and Structures", vol. 15, N 10, 1979.

Рукопись поступила 191VII 1978 г.