Крыло минимального веса при ограничении по несущей способности Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том X 197 9 № 1

УДК 629.735.33.015.4.025.1 629.735.33.025.1.01

КРЫЛО МИНИМАЛЬНОГО ВЕСА ПРИ ОГРАНИЧЕНИИ ПО НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ

Н. В. Баничук, В. И. Бирюк, И. И. Коандэ, А. А. Миронов,

А. П. Сейранян

Получены необходимые условия экстремума функционала веса и на их основе с применением градиентного метода численно найдены оптимальные распределения жесткостей по крылу. Расчеты проведены для различных значений параметров задачи. Изучено влияние угла стреловидности и отношения крутильной к изгибной жесткости на оптимальное решение. Исследована зависимость решения от величины допустимых потерь в подъемной силе, обусловленных аэроуп-ругими деформациями.

При оптимальном проектировании летательных аппаратов требуется учитывать значительное число различных ограничений, обеспечивающих необходимые аэродинамические и прочностные характеристики конструкции. Ряд существенных ограничений обусловлен требованиями аэроупругости. Одновременный учет большого числа факторов приводит к сложным задачам оптимизации и не позволяет исследовать влияние отдельных ограничений на формирование оптимального облика конструкции. Для выявления существенных ограничений, определяющих форму и распределение жесткостей конструкции, и анализа зависимости оптимального решения от параметров представляется целесообразным рассмотрение задач в рамках простых моделей для небольшого числа ограничений. Такой подход использовался в работах [1, 2] и позволил исследовать ряд модельных задач минимизации веса крыльев при ограничениях по аэроупругости. В работе [3] оптимизация крыла проводилась с учетом интегрального ограничения на волновое сопротивление, а в [4] решалась задача минимизации крутящего момента при перераспределении силового материала.

Одним из проявлений аэроупругости является уменьшение поточных углов атаки крыльев большого удлинения. С этим связано уменьшение несущей способности и ухудшение маневренных характеристик. Поэтому при минимизации веса крыльев следует

обеспечить выполнение ограничения по несущей способности. Исследованию влияния этого ограничения на оптимальное распределение силового материала по размаху стреловидного крыла и посвящена данная работа. Для описания деформаций в работе используется балочная схема конструкции крыла. Аэродинамические нагрузки, действующие на крыло, вычисляются согласно теории несущей полосы с учетом упругих деформаций крыла. Варьируемой функцией в рассматриваемой задаче минимизации веса крыла служит распределение жесткостей по крылу.

1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу о статических деформациях стреловидного крыла в потоке газа (фиг .1). Предполагается, что крыло имеет большое удлинение, и поэтому для описания его деформаций можно использовать уравнения изгиба и кручения упругой консольной балки

(D«o Y = q\ (1.1)

(Се')' = [а (1.2)

с граничными условиями

«(0) = «/(0) = 0, {D(0«h=i==(D(a^=i = o, |

6(0) = О, (С6')Е=г = 0. ]

В этих уравнениях ш(|) и 6(£)— функция прогибов и угол кручения, D(l), C(S) — изгибная и крутильная жесткости крыла.

Предполагается, что изгибная и крутильная жесткости связаны линейным соотношением

C(%) = k{\)DiS), (1.4)

где k(%)—заданная функция.

Для распределенных аэродинамических нагрузок и моментов имеем соотношения метода несущей полосы [5, 6J:

? = + Да)-^ & (&) cos х. v = aq, |

2 (1.5)

Aa = 0cosx — <•>' sin x; J

здесь c®, a0, pv2j2, x — фиксированные параметры: коэффициент

подъемной силы, начальный угол атаки, динамическое давление и угол стреловидности; Ь{\) и а (!) — заданные функции: хорда крыла и расстояние между линией аэродинамических фокусов и упругой осью (см. фиг. 1).

функционал веса крыла имеет вид

K=jT(5)D(S)d6, (1.6)

о

где 7 (i) — заданная функция.

На варьируемую функцию D(l) наложим ограничения снизу

D{k)>Dmin> 0. (1.7)

Задача оптимизации заключается в отыскании функции распределения жесткостей D(l), минимизирующей вес крыла итакой, что удовлетворяется ограничение по несущей способности

$qdt>±(P0-AP) 0-8)

о

и условие (1.7). Константа Р0 (вес самолета) равна величине подъемной силы недеформированного крыла

а° су cos X j = Ри/2, (1.9)

о

а величина АР — допустимая потеря подъемной силы за счет упругих деформаций. Константы Я0 и ДР предполагаются заданными.

Используя (1.5) и (1.9), ограничение (1.8) запишем в форме

I

cy~T~c0SX / («cosx- <u'sin х) >— -пр ■ (1-Ю)

о

2. Безразмерная форма уравнений и ограничений. Для удобства дальнейших выкладок и расчетов запишем исходные соотношения в безразмерной форме. Для этого введем безразмерные

переменные и обозначения:

\ = Щ, ш = (1)//, ь = bjl, а=а/1, у = Т^3>

D =. Dftc'y 14 рг»2/2), С = С/(4 /4 р^2/2),

Ро— PM I2 Р^2/2), ДР= ДР/(Су /2 Р^2/2),

Pi = — sin х COS х*, = cos2 jp, P3 = aoCOSyb,

p4 = sin x cos yab, = — cos2 yab, p6 = — a0 ab cos x.

Z=zw', % — APjP0.

Уравнения (1.1) — (1.5) в новых переменных примут форму (ниже черточки над символами опускаем)

(.Dz')" = z -f- ^2 ® + ?8> (2.1)

(C0')' = p,z+M + P«. (2.2)

2 (0) = 0, (Dz')«=1 = (Dz%=t = 0, (2.3)

6(0) = 0, (C6')?=1 = 0.

Ограничение по несущей способности запишем в виде

/(M+M)d&>-*4°. (2,4)

о

Функционал веса и ограничение (1.7) по виду остаются прежними.

Таким образом, задача оптимизации состоит в отыскании функций £>(£), г (2), б(£), удовлетворяющих уравнениям (2.1), (2.2), граничным условиям (2.3), ограничениям (1.7), (2.4), и таких, что функционал веса принимает минимальное значение.

3. Необходимые условия оптимальности. Для вывода необходимых условий оптимальности помножим уравнения (2.1), (2.2) на произвольные пока функции 5(1) и г(£) соответственно, а ограничение (2.4) —на множитель X и составим функционал Лагранжа

Варьируя функционал Ь по переменным Б, 2, 0 и выполняя интегрирование по частям с учетом граничных условий (2.3), получим выражение для первой вариации функционала

Потребуем, чтобы сопряженные переменные в(|) и /•(£) удовлетворяли следующим уравнениям и граничным условиям:

Необходимое условие минимума функционала/, при ограничении

(1.7) есть неравенство 81 >0. Отсюда вытекают следующие необходимые условия оптимальности

которое означает, что если ограничение (2.4) выполняется со знаком неравенства, то множитель Лагранжа X обращается в нуль.

Уравнения, граничные условия и условия оптимальности (2,1— 2.3), (3.5), (3.6) составляют замкнутую краевую задачу и позволяют определить оптимальное решение Ъ(%), 2(1), 0(1).

Замечание. Если жесткость крыла на кручение значительно превышает жесткость на изгиб С>£), то кручением крыла можно

— Ре 6 — Ре] + МР12 + р2 0)}

Ы = | {80 [т + г' — г' 0' к) — 8г [(£>5")' + р, 5 + гр4 - хр,] +

+ 8а [(<Сг'У — р2 5 — р5 г + Хр2]} й\ + [(£>*") 82 - г' СЩ^ +

+ [5'8(£>2,)-«&(Дг,У-гЗ(С0')]«=о.

(3.1)

(£)$")' + Р1 в + Р4 г — Хр, — 0;

(Сг')'- р8 я - Р* г-Хр2 = 0;

5(0) = 5' (0), (£>*") 6=1 = 0, 1

г (0) = 0, (Сг')е=1 = 0. }

(3.2)

(3.3)

(3-4)

Тогда выражение для первой вариации (3.1) примет вид

(3.5)

о

7 + 5" 2' — 2' 0'£ = О, £>>0шш,

(3.6)

г' 0' к > О, О = Бгаи

Кроме этого, должно выполняться условие ([7])

(3.7)

пренебречь (0=0). В этом случае основные соотношения задачи оптимизации примут вид

фг')" = ^ + р„ (£*")' + ?1 з - *р, = 0,

2(0) = 0, №)ы1 = (Рг,&=1 = 0, 5(0) = 5'(0) = 0, (^=1=0, ^ + в" г1 = 0 при £> > .Отт, Т + 2' > 0 при О = £>тш,

(3.8)

4. Численные результаты. Расчеты оптимальных распределений жесткостей проводились градиентным методом в пространстве управляющих функций. При этом на каждом шаге градиентной процедуры решались краевые задачи (2.1—2.3) и (3.2 — 3.4). Вычисления велись вплоть до выполнения необходимых условий оптимальности (3.6) с заданной точностью. Для всех рассчитанных вариантов полагалось я = 4, т = 1, <>=5, 0Ш1п = 0>01, Ь = (2 — 5)/15, -Р0 = 1/30. Заметим, что указанные значения параметров отвечают, например, следующему набору размерных величин: / = 30 м, Р0 — = 3- 106Н, рг»2/2 =» 2- 104Н/м2. Задача решалась для различных значений угла стреловидности х и потери в подъемной силе х.

На приведенных ниже фигурах сплошными линиями показаны найденные зависимости в случае учета кручения, а штрихпунктир-ными кривыми — соответствующие зависимости, полученные без учета закрутки (см. замечание к п. 3).

На фиг. 2 кривыми 1, 2, 3 показаны полученные в результате расчетов оптимальные распределения жесткостей £>(£) соответственно для углов стреловидности х = 15°, 45°, 60°. Для приведенных зависимостей х = 0,05. Результаты расчетов показывают, что при изменении угла стреловидности от нуля до 45° увеличиваются значения потребных оптимальных жесткостей, а при дальнейшем увеличении угла х °ни уменьшаются.

Распределения прогибов и углов закрутки показаны кривыми 1, 2, 3 на фиг. 3 и 4 соответственно для х=15°, 45°, 60° (для всех кривых х = 0,05).

Зав^имость функционала веса от угла стреловидности / для х = 0,05 приведена на фиг. 5 сплошной линией.

Интересной особенностью этого графика является наличие максимума при х = 45° (см. исследование зависимости оптимального решения от угла стреловидности в п. 5).

Кривыми 1, 2, 3 на фиг. 6, 7, 8 показаны распределения жесткостей О (&), прогибов о>(£) и углов закрутки 0(1) соответственно для х = 0,05; 0,1; 0,2. Угол х Для всех приведенных на этих фигурах кривых равен 45°. Сравнение полученных зависимостей С(Е) для различных х показывает, что с уменьшением значений х величины потребных жесткостей увеличиваются, так как малые величины х соответствуют менее деформированным крыльям.

На фиг. 9 показано изменение веса оптимальных крыльев в зависимости от допустимого падения в подъемной силе х. Кривые

1, 2 соответствуют параметрам х=15° и 45°.

На фиг. 2—9 пунктирными линиями представлены кривые, полученные без учета кручения, что соответствует значению & = сю. Сопоставление этих графиков с соответствующими зависимостями, учитывающими кручение, показывает, что заметное отличие имеет

в

0,002

0,1

0,4- 0,6

Фиг. 8

0,3

место только для малых углов стреловидности. Это свидетельствует об увеличении влияния кручения при уменьшении у.

Выигрыш в весе, полученный за счет оптимизации, по сравнению с крылом, имеющим жесткость О = а6(а = сопз1) и обеспечивающим одинаковую потерю подъемной силы при одинаковых углах стреловидности, составляет ~28 — 30%.

5. Исследование зависимости оптимального решения от угла стреловидности. Уравнения задачи (3.2), (3.3) зависят от угла атаки а0 через посредство коэффициентов р3, р6. Величина я0 связана с Р0 соотношением (1.9). Используя это соотношение, исключим из дальнейших рассмотрений а0. Кроме того, опустим ограничение

(1.7). Для удобства введем новые переменные

ip = 6 cos2 х, и = z sin х cos x, ]

D° = Djcos x sin x, k°

sln X cosx

k.

(5.1)

В новых переменных основные соотношения перепишем в виде

(D0 и')' = A-l и + А2 Ч> + As,

(k° D° ср')' = Л4 и -{” ^5 ¥ + Аъ,

|(Л,и + Л,?)^>-------------y АР>

О

1

V = sin х cos х J D° '{di,

0

где величины Aif Аъ . . . , Л6 не зависят от х и равны

А\ = — Ь, А2 = Ь, Аа-^=Р0Ь

(5.2)

(5.3)

(5.4)

(5.5)

А6 = -

ab, A6 = P0ba

(5.6)

Граничные условия для уравнений (5.2), (5.2) получаются из (2.3) заменой 6, г, £) на ч>, и, Г)°.

Таким образом, при отсутствии ограничения (1.7) задача является двупараметрической с параметрами и ДЯ/2.

При больших значениях параметра к° (большой крутильной жесткости) кручением можно пренебречь и положить угол закрутки равным нулю. В этом случае будем иметь

Соотношения (5.7) не зависят от параметра k° и тем самым от угла стреловидности у. Следовательно, интеграл в формуле (5.5) для оптимального распределения D° также не будет зависеть от х и поэтому зависимость веса оптимального крыла от угла стреловидности, как это видно из (5.5), определяется множителем sin х cos х- С увеличением у функция ^(у) возрастает и при х = 45° имеет максимум. При дальнейшем увеличении / вес оптимальных крыльев уменьшается (см. фиг. 5).

Оптимальное распределение жесткости и функции прогибов определяются формулами

где и(%) и О0(%) не зависят от угла х- Согласно (5.8) при заданной потере подъемной силы наибольшая жесткость требуется для угла х = 45°. При этом же угле достигаются наименьшие прогибы в каждой точке по размаху крыла.

Для конечных значений крутильной жесткости аналитическое исследование зависимости оптимального решения от угла стреловидности становится более сложным. Для изучения зависимости искомых величин при у, близких к 45°, можно эффективно использовать метод малого параметра. Положим -/ = £ + ^/4, где г—малое число, и представим все искомые величины (функции состояния, сопряженные переменные, управляющую функцию, множитель Лагранжа) в виде рядов по г. Подставляя эти разложения в уравнения равновесия, условия оптимальности и уравнения для сопряженных переменных и выделяя краевые задачи для функций нулевого, первого и второго приближений, можно исследовать зависимость искомых величин от з. Не приводя здесь соответствующих выкладок, лишь укажем, что максимум веса достигается при е = 0 (Х = 7'/4), как и в исследованном выше случае отсутствия кручения-

1. Me In tosh S. С. and Eastep F. E. Design of minimum-mass structures with specified stiffness properties. „А1АА J.“, vol. 6, 1968.

2. A s h 1 e у H., Me 1 n t о s h S. C. Applications of aeroelastic constraints in structural optimization. Proceeding of the 12 th International Congress of Theoretical and Applied mechanics, Springer—Verlag, Berlin,

1969.

3. У к p а и н ц e в Г. В., Фролов В. М. Метод Оптимизации силовой конструкции крыла по жесткости при варьировании распределением относительной толщины профиля. „Ученые записки ЦАГИ-, т. 3, № 4, 1972.

7 —Ученые записки № 1 97

(5.7)

и

и (0) = (D° и')6=1 = (D° и')е=, == 0 •

w = —-----------Г D = D° cos^sinx,

Sin X COS у J v ' ’ *•’

' 0

(5.8)

ЛИТЕРАТУРА

4. Бирюк В. И. Липин Е. К., Фролов В. М. Методы проектирования конструкций самолетов. М., .Машиностроение*, 1977.

5. Фын Я. Ц. Введение в теорию аэроупругости. М., Физмат-

тиз, 1959. *

6. БисплингхоффР. Л., Эшли X., X а л ф м э н Р. Л. Аэроупругость. М., Изд. иностр. лит-ры, 1958.

7. Гирсанов И. В. Лекции по математической теории экстремальных задач. М., МГУ, 1970.

Рукопись поступила 7jIV 1978