Применение метода возмущений для отыскания оптимального распределения силового материала в стреловидных крыльях Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XIV 1983 №2

УДК 629.735.33.015.4.025.1 629.735.33.025

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ ОТЫСКАНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СИЛОВОГО МАТЕРИАЛА В СТРЕЛОВИДНЫХ КРЫЛЬЯХ

А. В. Албу л, Н. В. Баничук, В. И. Бирюк, И. И. Коандэ

Рассмотрена задача минимизации веса стреловидных крыльев при ограничениях по несущей способности. С применением метода возмущений найдено приближенное аналитическое решение задачи оптимизации. Проведено сопоставление приближенных решений в нулевом и первом приближении с точным численным решением задач. Исследована зависимость минимального веса крыла от величин допустимых потерь в подъемной силе, обусловленных аэроупру-гими деформациями, и угла стреловидности.

При решении задач оптимизации конструкций в настоящее время в основном используются численные методы. Однако эти методы не всегда оказываются эффективными. В особенности это относится к исследованию оптимальных решений в задачах со многими параметрами. В этом случае целесообразнее использовать приближенные аналитические методы и, в частности, методы возмущений. Методы возмущений позволяют найти зависимости оптимальных решений от параметров задачи в явной форме, исследовать принципиальные свойства оптимальной конструкции, выделить основные факторы, определяющие ее облик и структуру. Такой подход был применен к задачам оптимального проектирования конструкций в работах [1, 2]. В данной работе метод возмущений применен для решения задачи об оптимальном распределении силового материала в стреловидных крыльях большого удлинения. Эта задача была поставлена ранее в [3] и решалась численно с использованием градиентных методов.

1. Основные соотношения задачи. Рассмотрим стреловидное крыло большого удлинения в потоке газа. Для описания его деформации используем уравнения изгиба и кручения упругой консольной балки

{От")'' = «7, (С8')' = ¡л, да (0) = чю' (0) = 0, {О^=1==(От%=1 = 0, 6(0)= 0, (С9')е=1 = 0,

где l(;[0, /] — координата по оси жесткости крыла; ге»(Е), .6(£) — функции прогибов и углов закрутки; D(E), С(1) — изгибная и крутильная жесткости крыла; штрихами сверху обозначены производные по X.

Аэродинамические нагрузки q и моменты ¡х, действующие на крыло, будем вычислять согласно теории несущей полосы:

q = 1/2 Су (а0 + Да) pi>2 b (?) cos /, ¡л. = aq,

Да}= 6 cos х — w' sin 7;

здесь Су, а0, i, рг>2/2 — соответственно производная коэффициента подъемной силы по углу атаки, начальный угол атаки, угол стреловидности и скоростной напор; b(£), а(£) — хорда крыла и расстояние между линией аэродинамических фокусов и упругой осью. Указанные величины считаются заданными. Между изгибной и крутильной жесткостями предполагается наличие связи С(£) = kD(l), где &(£)—-заданная функция.

В качестве минимизируемого функционала задачи примем вес крыла, который можно представить в виде

i

V= Jt(6) £>№)<*(£),

о

где т(£) — известная функция, связывающая жесткость на изгиб в сечении с погонной массой крыла.

На допустимые распределения жесткостей D(£) накладываются конструктивное ограничение D (I) > Dm\n > 0 и ограничение по несущей способности

I

о

где вес самолета р0 находится из соотношения

i

-^L = a0C5COS* J 6(5) <*(«)•

о

Через Ар обозначена допустимая потеря подъемной силы за счет упругих деформаций. Значения р0, Ар и Dmin считаются заданными.

Для удобства дальнейших выкладок и вычислений введем безразмерные переменные и обозначения

l=£//, w = wjl, b = b¡L, a = a\l, ÿ = -¡73;

d=Dy-!(c; i* pt»s/2), с = cx/(c; P^2/2), x = д^/Я;

Â> = P pv2¡2), Ар = A/V(c; /2 pv2l'2);

Pj = — sin x cos 7.6, = cos2 yb, B3 = 5b 1^2 j bdï

P4= sinocos yab, $b = ~cos^yab, % — — bab j ^2 jbdí J ; z = w'l(*p0), 0 = 0/(*jt»o), 17 = л: V.

В безразмерных переменных основные соотношения задачи принимают следующий вид (ниже черточки над безразмерными переменными опускаем):

2(0) = 0, {Dz')i-i = (Dz')Ui = 0, 6(0) = 0, (С 0')г=1 = О; (1.3)

Задача оптимизации состоит в отыскании функций D(£), z(|), 0(5), удовлетворяющих уравнениям (1.1), (1.2), граничным условиям (1.3), ограничениям (1.4), (1.5), и таких, что функционал (1.6) принимает минимальное значение.

Необходимые условия экстремума для рассматриваемой задачи оптимизации, выведенные в [3], в принятых выше обозначениях имеют вид

Через $(?), г(£) в (1.7) обозначены сопряженные переменные (множители Лагранжа), отвечающие дифференциальным связям

(1.1), (1.2) и удовлетворяющие следующим уравнениям и граничным условиям:

s(0) — s' (0) = 0, (Ds")z=, = 0, г (0) = 0, (Сг')е=1 == 0, (1.10)

где >.—-неизвестная постоянная (множитель Лагранжа).

Оптимальное решение должно удовлетворять условию

из которого следует, что если ограничение (1.4) выполняется со знаком строгого неравенства, то множитель X. обращается в нуль.

Краевые задачи (1.1) —(1.3), (1.8) — (1.10), условия оптимальности (1.7), ограничения (1.4), (1.5) и соотношение (1.11) определяют оптимальное распределение жесткости £>($) по размаху, реализующее минимум функционала (1.6).

2. Применение метода возмущений и решение задачи в нулевом приближении. Для реальных конструкций крыльев параметр у. = Ар /ра является малой величиной, т. е. *С1- Поэтому при ре-

(Dz')" = *(ß iZ + M) + ß3; (Ce')' = *(M + M) + ß6;

(1.1)

(1.2)

(1.4)

О

D(;)>Dmin> 0;

(1.5)

(1.6)

U

(1.7)

(Ds"Y + *ß, s + r = /.ßr, (Cr'Y — xß2 S — xß5 г = — Xß2;

(1.8)

(1.9)

0

(1.11)

шении задачи удобно воспользоваться методом возмущений и строить решение в виде рядов по степеням этого параметра:

О (5) = Ц, (?) + *£, (?) + ** А (5)+

2 (?) = г0 (I) + *г1 (!) -|- х2 г2(?) + . • . ,

е(?) = М?) + *М?) + *2М?) + • • •,

5(^)-5о(^)+«1(!) + х252(!) + ,

г (?) = Л, (!) + кг, (!) + X2 г2 (!) . . . ,

^ = ^0 4~ 4* /2 Ц + • • •

(2.1)

= !о + х!1 + х2!2 +

У = Уо+хУ, + *2 К2 +.

(2.2)

где !*— координата точки выхода распределения жесткостей на Ограничение 0(1*)—Отт.

Подставляя указанные разложения (2.1) —(2.2) в соотношения

(1.1) — (1-І 1) и выполняя стандартные операции (см. [4]), получим уравнения, определяющие оптимальное решение в нулевом, первом и втором приближениях. Для отыскания искомых величин нулевого приближения имеем следующую систему соотношений

(Ц,2оГ = рз, (Со бо)' = р6, (2.3)

го (0) = 0, (О0 го)ы1 = (/>0 2Го)£=1 = о, е0(0) = 0, (С0о)6=. = О, (2.4)

(°о 5оУ — К Ри (Со Го)' — — Рг, (2-5)

(0) — $о (0) = 0, (005оН=1 = 0, г0(0) = 0, (С0г0)5=1 = 0, (2.6)

7 4" во 2о Го 00 к = 0, /50 Ощіп, |

? + ¿о г'о — го 6о £ > 0, О0 = £>тіп, )

і

|* (Рі го Рг ®о) ^? ^ 2~ ’

о

і

£„(?*) = А™, [Т(!)А(!)^!.

(2.7)

(2.8) (2.9)

Интегрируя уравнения (2.3), (2.5) и удовлетворяя граничным условиям (2.4), (2.6), получим выражения для функций го, во, 5о, г0:

2о = “¿Г I Рз (0 ~ 0 9° = Iи}

їмо л, о л.

(2.10)

Подставляя найденные соотношения (2.10) в необходимое условие оптимальности (2.7) и учитывая ограничение £)0 (!) :> Отщ, находим выражение для Ц,(!)

А,(?) =

К—М?і +Та)/Т, ?<?о,

^тіп) ?>?0,

(2.11)

?1 (?) = у р. (о (? - о ^] у р. (о л. ?* (?)=у Ро (о л] (т ]* р2 (о лі |.

Из (2.10), (2.11), (2.4), (2.6) находим выражения для г0, 0О, 50, г0:

Е V

г0 (?) = > Ч*і Ю= І Кт/(?і + ?*) і Рз (0 (ті - *) Шц, £ < ?о;

/- *о

г° (?) — + Ь (?)> 'Ь(^) —[ | Рз (0 ('^ — 0 іїісі'ц, ?>?0;

1

’О

, ... & *)

(?) = , , - Фа (0 =.[ к~1 КтЖТ^) 1 а (І) Ъ (¿) сіісі^ ? <&

г -Л° о о

(е)=-^= + ф4(5)> ^(5)=-^-

Vа- *о

^0

*0 (?) = >-о I (? - ч)/До (ч) і Рі (0 Мч ? < ?о;

и 1

Е *1

50 (?) = 5о й) + -І2- Г (5 _і7і) {Рі (¿) ¿йті, ? > ?о;

П11П % *,

1

£ і

Го (?) = - 1 [Ш0 (тг])]_11 р2 (0 йМц, Є < й;

о о

5 ’І

Г0 (?) = г0(?о) - уг- І 1 (ч) Ї Р2 (0 йісі-п, Е > й.

[(2.12)

тш *

Выражения (2.11), (2.12) зависят от величин ?0, Х0. Для их отыскания используем равенство (2.8) и условие Д,((») = Дпіп-Выполняя элементарные преобразования, приходим к трансцендентному уравнению для отыскания величин со

З (Рі Фі + Рг Фг) ^? "Г Фі («о) і Рі ^? + Фа (?о) ]* Рз &

У(?1 + ъ)1 т +

1

“Ь ^ШІП |1 + 2 | [р! Фз (?) -1- р2-Ы?)М? 1 = 0

и формуле, определяющей множитель Лагранжа Х0

хЛ+2 |[Мз(?) + Р2М?)]^

Найденные величины нулевого приближения представлены на рис. 1—5 кривыми 1. Для сравнения на этих же рисунках штриховыми линиями показаны распределения рассматриваемых величин, найденные в [3] в результате численного решения полной исходной задачи (1.1) —(1.6). Для всех приведенных здесь вариантов полагалось к — 4, у=1, С у = 5, Ашп = 0,01, Ь (£)=(2—5)/15, /?0= 1 /30.

На рис. 1 показано распределение жесткости по размаху крыла. Угол стреловидности -/, параметр х положены равными х = 45°, х = 0,05. Из сопоставления кривых видно, что зависимости £>(?), £„(?), полученные в результате решения полной исходной задачи и задачи в нулевом приближении, находятся в достаточно хорошем соответствии. Максимальное отклонение кривых составляет примерно 7%.

Распределение прогибов (см. рис. 2) и углов закрутки (см. рис. 3), полученные при решении задачи в нулевом приближении, практически не отличаются от -распределения этих величин, полученных при решении полной 2

\

£ (?1 'Ы- ^2 Фг) & + 'Ь (!о) § Р1 <1>2 (¡¡о) | Рг & ) X

'0

Рис. 3

исходной задачи. Максимальное различие достигается у незакрепленного конца и составляет примерно 1%.

Изменение веса крыла в зависимости от допустимого падения подъемной силы х показано на рис. 4. Сравнивая эти кривые, замечаем, что они качественно совпадают, а максимальное различие составляет примерно 80%.

На рис. 5 приведены зависимости веса крыла от угла стреловидности у. Качественный характер кривых и здесь одинаков. Максимальное различие составляет примерно 9% и наблюдается при у —45°.

Таким образом, анализ решения задачи (1.1) — (1.6) в нулевом приближении показывает, что найденные распределения прогибов и углов закрутки достаточно хорошо аппроксимируют эти величины при оптимальном решении полной исходной задачи. Распределения жесткостей и вес крыла, полученные при решении рассматриваемой задачи в нулевом приближении, находятся в качественном соответствии с этими величинами при оптимальном численном решении. Количественные значения этих величин могут заметно отличаться от оптимальных.

Рис. 5

(3.1)

3. Решение задачи в первом приближении. Основные соотношения, определяющие члены первого приближения (поправки к нулевому приближению), имеют вид:

(И0 г\ +• го)" — р1 г0 + р2 б, (С0 01 -Ь С18о)' — ¡54 г0 Р& б0, г,(0) = 0, ф0г; + Дг;)ы = О, (О0г'1 + Огг^=1 =0,

61 (0)=0, (С0е; + С, 0О)£=1 = 0,

(°0 51 + в")' = — 50 — р4 Г0 + ^1 Ри

(С0 г[ + Сг г0)' = р2 5о + Рь г0 — Х[ р2,

51 (О) = х; (О)=о, (о0 8[ + о1 в;):=1 = о,

Г, (О)-0, (С0г{ + С, Гц)Е=1 = 0,

5о г! + 20 — (го б; + г 1 6о) 6 = 0, (; < со),

* Я^о) г

/ (Р1г1 + Р20,)Л = О.

¿'о о

Отыскание величин первого приближения на основании соотношений (3.1) полностью аналогично тому, как это делалось выше в п. 2. Поэтому, не приводя для краткости соответствующие вычисления, сформулируем лишь окончательный результат. Для этого введем следующие обозначения:

М?) = ^М^/, М?)=д||-,

1 1

г а

** ® = -¿Г | г° + Р*0) (5 - 0 ^ ® = 15Г 1(Мо +

1 *1

, В^-Г^к—^11 ^0 — ^12^0 *

¿а (?) —

50 ^9 + ¿7 ^О Г0 &10 ^8

¿1 ¿0 + е0 ¿2 к ___________

50 ^9 + ¿7 — ^0 ^10 ®0 ^8

^9 (?) — ) ¿10 (?)— “д > ^11 (?) = ~£) I 50 1" Р'1 Го) ^ГЬ

иъ ио ^

** ® = 1Ш’ ^(|) = I(?3 5° + “^

г* г

,° * ( 1 *

Л = | р1 (¿3---------------- ¿5 ^9) ¿4 + Рг (^4 — и г1!о) ^ ^ + 1" Р1 1^3^^? +

0 0 о

-* :о 'о

Г £* Е* 1

1 Ч> ^0 1 е

+ J Р1 | (^з — ^5 ^9)^+ Рг | (^4 - ¿5 ¿ю) сИ + ]* Рг | tid■f^dz,

* *

■о Ч>

(3.2)

эа

$ = f •J 0 t t Pi ! ¿о ¿э dt] 4" Рг f ¿6 ^lo о 0 dt 4-

+ 1 * *0 * * — £0 50 ßj j tbt^dri +ß2j t6tl0d-q 0 Ü dt.

С использованием обозначений (3.2) запишем поправки к нулевому приближению

6. (?) = i (h - A tw) drh (i < =o), Ö! (5)= 61 (Й) + ¿1, (? > ?o),

0 p*

5

s,(S) = J(Mi + A*7-*n)(Ê-0<tf, (?<?o), Si (6) = Si (Й) + 0

a n

+ П (Ml “ *ll) ^4. (?>?o), t* 1

r, (?) = j (- X, U — D, i8 + f12) dt, (? < ?Ô),

0

>"l (?) = Г! (So) + j (— ^2 + ¿12) ^ (? > ?0).

«ô

На рис. 1—5 кривые 2 показывают распределения соответствующих величин с учетом членов первого приближения для задачи оптимизации (1.1) —(1.6). Сопоставляя эти кривые с соответствующими кривыми для численного оптимального решения, замечаем, что решение в первом приближении практически не отличается от оптимального. Максимальные отклонения составляют для соответствующих величин примерно 0,1-—0,5%.

ЛИТЕРАТУРА

1. Wu С. Н. The strongest circular arch —a perturbation solution.

„Т. Appl. Mech. Trans.“. ASMF, vol. 35, N 3, 1968.

2. Б а и и ч у к H. В. Об одной вариационной задаче с неизвестной границей и определении оптимальных форм упругих тел.

ПММ, т. 39, вып. 6, 1975.

3. Бани чу к Н. В., Бирюк В. И„ Коандэ И. И., Миронов А. А., Сейранян А. П. Крыло минимального веса при ограничении по несущей способности. „Ученые записки ЦАГИ“, т. X,

№ 1, 1979.

4. Бани чу к Н. В. Оптимизация форм упругих тел. М., .Наука“, 1980.

Рукопись поступила 18/IX 1981 г.