Минимизация веса крыла при ограничении по скорости дивергенции Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м IX

19 78

№ б

УДК 629.735.33.025.1.01

МИНИМИЗАЦИЯ ВЕСА КРЫЛА ПРИ ОГРАНИЧЕНИИ ПО СКОРОСТИ ДИВЕРГЕНЦИИ

Рассматривается обобщение задачи минимизации веса крыла с ограничением по критической скорости крутильной дивергенции на случай упругой заделки и переменных параметров. Получено аналитическое решение задачи и с его помощью изучено влияние упругости заделки и переменности сечения крыла на оптимальное распределение жесткости по размаху.

В работах [1—4] рассматривались задачи минимизации веса прямых крыльев при ограничениях по скорости крутильной дивергенции. В качестве искомой управляющей функции принималось распределение толщин обшивки по длине (размаху) крыла. При этом делалось предположение об абсолютно жестком закреплении крыла и постоянстве основных параметров крыла (хорды, площади поперечного сечения) по размаху. Исключение составляет работа [2], где в предположении абсолютной жесткости заделки численно проанализирован случай изменения хорды по линейному закону. Отметим также работы [5, б], посвященные исследованию оптимальных распределений силового материала в крыльях.

1. Рассмотрим задачу о крутильной дивергенции прямого крыла большого удлинения обтекаемого потоком газа (см. [7, 8]). Обозначая через х координату, отсчитываемую вдоль размаха крыла (фиг. 1), а нижним индексом х дифференцирование по этой координате, запишем уравнение равновесия и граничные условия для скрученного крыла

где 0 <.х</; I■—размах крыла, бУ(х) — крутильная жесткость; й — модуль сдвига; Ь (х) — харда; 1(х) — расстояние между линиями аэродинамических центров и центров кручения (упругой осью);

Н. В. Баничук

((МЮх + \ Су pv* Ш = 0;

(70 —С^),=0 = 0; (ОУ0,),=, = 0,

(1)

(2)

7—Ученые записки № 5

97

р — плотность газа; Су — коэффициент подъемной силы; 0 — угол закрутки крыла. Граничные условия (2) отвечают упругой заделке крыла в точке х = 0 и отсутствию скручивающего момента на свободном конце крыла (х — 1), у — жесткость заделки.

Крутильная жесткость для крыльев большого удлинения вычисляется по формуле GJ(x) = a(x)h(x), где а(х) — 4бЙ2 (х)/з (х), Л (л)— толщина обшивки крыла, а я и 2 — соответственно длина контура поперечного сечения крыла и площадь области, ограниченной этим контуром. В частности, если поперечные сечения

крыла представляют собой подобные фигуры, то крутильная жесткость GJ(x) будет пропорциональна величине h(x)b3(x)(см. [2]).

С использованием обозначений X2 = -i-pv2 Су, т(х) = I (х) b (х),

GJ(x) = h(x)a(x) соотношения (1), (2) примут вид

(iahbx)x -f A2 mb == 0, (3)

(76 - аМх)х=о — 0, (ahbx)x=l = 0. (4)

Соотношения (3), (4) определяют однородную краевую задачу на собственные значения. Коэффициенты а и то предполагается заданными положительными функциями координаты х. Распределение толщин обшивки h(x) по размаху крыла рассматривается в дальнейшем в качестве искомой управляющей функции. Роль собственного значения играет параметр X2. Величина X условно называется критической скоростью крутильной дивергенции.

Предполагая функции а (х), т(х), s(x) и параметры X2, f, I заданными, рассмотрим следующую задачу оптимизации. Требуется определить распределение толщин h — h(x), минимизирующее объем материала (вес) крыла

i

V = J shdx -* min (5)

о

и такое, что дивергенция крыла реализуется при заданной критической скорости I.

Заметим, что сформулированная задача имеет решение не для любых значений параметров X, у, I. Действительно, значение критической скорости X не должно превышать соответствующего значения, отвечающего равновесию отклоненного положения (6^0) абсолютно жесткого крыла (имеющего ту же форму и упруго закрепленного в точке х = 0) под действием аэродинамического момента и реакции заделки. Получим, исходя из этого условия, неравенство, накладываемое на допустимые значения параметров. В силу уравнения и граничных условий (3), (4) имеем следующие равенства:

I I

(^9)^=0 = — | (акЬх)х йх = X51 тЫх.

о о

Для абсолютно жесткого крыла угол 6 = const, и из приведенного

равенства получаем у = Xs J mdx. Следовательно, для того чтобы

о

решение задачи оптимизации существовало, необходимо, чтобы параметры задачи удовлетворяли условию

i

у — X2 J mdx > 0. (6)

о

Знак строгого равенства в (6) исключен, так как для его реализации в рассматриваемой модели упругого крыла требуется бесконечное количество материала (\/ = оо). В дальнейшем предполагаем, что параметры f, X, / и функция т удовлетворяют неравенству (6).

2. Как нетрудно убедиться, краевая задача (3), (4) является самосопряженной и положительно определенной. Следовательно, собственные числа X2 положительны, а для вычисления первого собственного значения может применяться формула Рэлея

X2 = min9 (| a,h$x dx j j I j mb2 dx J . (7)

Используя далее метод множителей Лагранжа и выражения (5), (1), можно показать, что необходимое условие оптимальности в задаче (3) — (6) имеет вид

ЬВХ — (х2 5 = 0, (8)

где постоянная р.2 — множитель Лагранжа.

Условие (8) является не только необходимым, но и достаточным условием оптимальности. Покажем это, применяя способ, предложенный в [9]. Обозначим через А, к* и 6, 6* некоторые распределения толщин обшивки крыла и соответствующие им в силу (7) распределения углов закрутки. Предполагается, что первые собственные значения равны X3 = (X*)2 и что величины А*, 6* удовлетворяют соотношению (8). Функции Л и 0 не обязаны удовлетворять этому условию. Используя сделанные предположения, выполним следующие оценки:

О = ]* аЛ* (б*)2 с1х / ]" т (б*)2 йх — | аМ1 йх М т№ йх

о /о О I о

/ II III

> | аЛ* (0*)2 йх / | т (б*)2 с?л: — | а/г(0*)2 йх § т, (б*)2 с?л: = о /о о /о

г I I

= 112 | я (/г* — А) йх § т (б*)г йх,

1

откуда вытекает, что

г /

| вЛ* йх < | я/гйх (9)

и, следовательно, соотношение (8) является не только необходимым, но и достаточным условием оптимальности.

3. Уравнения и граничные условия (3), (4), (8) составляют замкнутую краевую задачу и позволяют на их основе определить оптимальное распределение толщин Н(х) и соответствующую функцию 9(л:). Замечая, что функция Л не входит в условие оптимальности (8), определим сначала путем интегрирования из этого условия распределение углов закрутки оптимального крыла

л:

б = [а + И), ь = ^У8!айх. (10)

о

Через И в (10) обозначена постоянная интегрирования. Подставляя далее выражения для бЛ и 0 из (8) и (10) в (3), приходим к уравнению

[Уза И)х + X* т, (ф 4- О) = 0, (11)

служащему для определения оптимального распределения толщин к{х) по крылу. Предположим, что УяафО при 0<л:</. Определим функцию к(х), интегрируя уравнение (11) и вычисляя произвольную постоянную интегрирования при помощи второго краевого условия (4). Имеем

X2 с

Л = -7=г л»(ф+/?)</*. (12)

X

Постоянная В находится при помощи первого краевого условия (4) £) = X21 щ^йх^у — X* | тйх^ . (13)

Значение минимизируемого функционала для крыла с оптимальным распределением толщин

I

\/ор* = Х^т'КФ + Д)^. (14)

о

Приведем обоснование оптимальности построенного решения. Выражения (10), (12) — (14) получены на основе использования уравнений (3), (4), (8). В п. 2 было показано, что соотношение (8)

является не только необходимым, но и достаточным условием оптимальности. Поэтому для доказательства оптимальности решения (10), (12) —(14) достаточно проверить, что функция 0 (;с) доставляет минимум функционалу (7), т. е. является первой собственной функцией, соответствующей минимальному собственному значению. Из теории краевых задач на собственные значения для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (см. [10]) известно, что собственная функция обеспечивает минимум релеев-скому отношению тогда и только тогда, когда на рассматриваемом интервале (0, I) не содержится нулей этой функции. Необращение же в нуль функции Ь(х) устанавливается непосредственно на основании формул (10), (13), с учетом положительности величин я, а, т. и неравенства (6). Таким образом, найденное распределение толщин обшивки к(х) является оптимальным.

4. На основании найденного общего решения (10), (12) — (14) задачи оптимизации проанализируем некоторые частные случаи.

Рассмотрим крыло неизменного сечения по размаху. Без огра -ничения общности положим а = т = 8 = 1= 1. В этом случае формулы (7), (12) — (14) запишем в виде

Для сравнения и оценки эффективности оптимизации рассмотрим крыло с постоянным распределением толщины обшивки А и единичным объемом материала (К=1). Критическая скорость дивергенции в этом случае равна первому корню трансцендентного уравнения

Выигрыш по функционалу, получаемый за счет оптимизации, по сравнению с крылом постоянного распределения А (У=1) и с тем же значением критической скорости дивергенции, определяемым из уравнения (16)

Учитывая (16), нетрудно заметить, что величина у — Х2 = Х^Х—X), входящая в выражение для р, положительна для любых т из интервала 0 < у < оо. В случае у оо величина р -»(1 — тс2/12) ^5 0,18. Как видно из (16), (17) при уменьшении 7 (от со до 0) величина р монотонно увеличивается и при ^-*■ 0 значение (3 -> 1/4. Таким образом, при увеличении податливости заделки (уменьшении 7) эффективность" оптимизации возрастает и изменяется от 18 до 25% при изменении 7 от сю до 0.

В случае абсолютно жесткого закрепления крыла (7 = оо) из (15) приходим к решению, найденному ранее в [1, 3]

Оптимальное распределение толщин обшивки (18) показано на фиг. 2 штрихпунктирной кривой. Значение параметрах2 в формуле для А (18) положено равным X2 = (тс/2)2 (значение критической ско-

А = -х)(\ +х + 2й), 1

6=^* + Я), 1/ор4 =

XtgX = 7.

(16)

(17)

А- ^-Х*(1-х2), 6 = ^, У = -±\г.

2. и

(18)

ь

V

0,8

ОЛ

%

А )Сг

к

\

\

0,5 Фиг. 2

Фиг. 3

рости крутильной дивергенции для крыла с постоянным распределением толщин). На этой же фиг. 2 кривыми 1 и 2 показаны оптимальные распределения толщин (15), упруго заделанных крыльев с т = 6, А ^1,35 и 7=1,3, Х^0,94. Из сравнения распределений А видно, что в случае упругой заделки по сравнению с жестким закреплением крыла более выгодным оказывается расположение материала у закрепленного края.

Рассмотрим прямое крыло переменной геометрии по размаху. Предположим, что поперечные сечения крыла (имеются в виду односвязные области, ограниченные внешним контуром обшивки) представляют собой подобные фигуры. В этом случае величины а, т, э могут быть представлены в виде э — к^Ь, т = 1г2Ь2, а = 1г3Ь3. После подстановки указанных представлений для а, т, э в (10), (12), (13) и выполнения элементарных преобразований приходим к формулам, выражающим распределения толщин обшивки и угла закрутки оптимального крыла через распределение хорды:

б' (°+у'к'1к'|т-)в=»(■/*./*. I+4

ь‘м ).

Х= т/^2 X2.

(19)

Для прямого трапециевидного крыла (Ь -= А(1 — ах), А, а — задан' ные параметры) формулы (19) принимают вид

*2М I ГЛ \з , I

£>

+

За А

За

(1 — а)3 (31п (1 — а) — 1) —(1

9_„[д_-!£Н5

'])■

1п

й-АРУЫкь [(1 —а)3(31п(1—а)— 1)-|- 1]/[За2(Зх —Л2/3(3—За }-а2))],

Выражения (20) получены путем инте- д грирования и элементарных преобразований в формулах (19) при предположении, °Л что 0<.а<О- Значение а = 0 отвечает рассмотренному выше случаю крыла посто- о,3 янного сечения по размаху.

Оптимальные распределения толщин о,г обшивки для = £2 = £3 = Л = 1 — \2 —

= 1, 7 = оо (абсолютно жесткое закрепле- 01 ние крыла) и а = 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9 по- ' казаны на фиг. 3 кривыми 1, 2, 3, 4, 5.

На фиг. 4 показаны кривыми 1, 2, 3, 4, 5 о оптимальные распределения толщин упруго заделанного трапециевидного крыла с 7 = 10 и а = 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9. Значения параметров X2, /, А, ku k2, k3 полагались, как и на фиг. 3, равными единице. На фиг. 3 и 4 показано, что максимальное значение толщин с увеличением а смещается от точки закрепления крыла (х = 0). При этом качественное поведение функций h(x)\h(x)-+0 при х-^1] у свободного конца крыла остается тем же, что и в случае крыльев неизменной геометрии по размаху.

В заключение заметим, что задача максимизации критической скорости крутильной дивергенции при заданном объеме и весе крыла является двойственной по отношению к рассмотренной выше задаче (3) — (6) и ее решение может быть получено из формул (10), (12) —(14) простым пересчетом.

Автор благодарит В. И. Бирюка, А. А. Миронова, А. П. Сей-раняна за полезные замечания при обсуждении результатов работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ashley Н., McIntosh S. С. Expanding the consciousness of the aeroelastician. .Fluid—Solid Interaction, American Society of Mechanical Engineers*, 1967.

2. Me 1 n t оsh S. C. and E a s t e p F. E. Design of minimum-mass structures with specified stiffness properties. „А1АА J.“, N 6, 1968.

3. Ashley H., McIntosh S. C., Jr. Applications of aeroelastic constraints in structural optimization. Proceedings of the 12th International Congress of Theoretical and Applied Mechanics, Springer—Verlag, Berlin, 1969.

4. A r m a n d J.-L., V i 11 e W. T. Foundations of aeroelastic optimization and some applications to continuous systems. Department of Aeronautics and Astronautics, Stanford University, Stanford, California, Report SUDAAR N 390. January 1970.

5. Украинцев Г. В., Фролов В. М. Метод оптимизации силовой конструкции крыла по жесткости при варьировании распределением относительной толщины профиля. «Ученые записки ЦАГИ\ т. 3, № 4, 1972.

6. Арутюнов Ю. А., Сейранян А. П. Применение принципа максимума к задаче минимизации веса крыла летательного аппарата. .Ученые записки ЦАГИ“, т. 4, № 1, 1973.

7. Бисплингофф Р. Л., Эшли X., ХалфменР. Л. Аэроупругость. М., Изд. иностр. лит., 1958.

8. Ф ы н Я. Ц. Введение в теорию аэроупругости. М., Физмат-гиз, 1959.

9. Prager W., Taylor J. Е. Problems of optimal structural design. „Journ. of Appl. Mech., Trans, of the ASMF\ vol. 35, N 1, 1968.

10. Курант P., Гильберт Д. Методы математической физики. М., Гостехиздат. 1951.

Фиг. 4

Рукопись поступила 8j VIII 1977 г.