CC BY
65
________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ И А Г И
Том VI 1975
№ 6
УДК 533.6.013.422
О ВЛИЯНИИ ЖЕСТКОСТИ КРЕПЛЕНИЯ КРЫЛА НА УСТОЙЧИВОСТЬ АЭРОУПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ
Н. И. Баранов, А. И. Комаров, И. М. Махлин, Ю. В. Пономарев,
|С. П. Стрелков\
Устойчивость упругих колебаний стреловидного крыла в потоке воздуха исследуется в зависимости от жесткостей крепления крыла к фюзеляжу. Учет колебаний крыла в горизонтальной плоскости приводит к появлению еще одной области неустойчивости. Решение задачи проводится методом характеристического определителя [1].
Исследование устойчивости распределенных систем сведено к анализу спектра собственных значений соответствующей краевой задачи. Краевая задача решалась с использованием фундаментальной системы частных решений.
Постановка задачи. В работе рассматривается стреловидное крыло, крепление которого к фюзеляжу осуществляется с помощью штанги длиной I. Модель крепления крыла изображена на (фиг. 1). Система пружин моделирует жесткость штанги в плоскости хОг (кх1212), уОг (ку1212) и жесткость проводки управления (Ш2). Вследствие большой изгибной жесткости крыла в пло-
скости хОг деформацией изгиба крыла в этой плоскости пренебрегаем.
Система уравнений, описывающая колебания однородного стреловидного крыла в потоке воздуха с использованием квазистацио-нарной аэродинамики [2], имеет следующий вид
где у (г, Ь) — смещение центра масс по оси у в сечении г; 0 (г, і)—угол закручивания крыла в сечении г\ ф(<) — угловое смещение крыла в горизонтальной плоскости от положения равновесия. ЕІ, <31р — жесткость крыла на изгиб и кручение; т и 1т — погонная масса крыла и момент инерции крыла относительно оси жесткости'; 1Х—момент инерции крыла относительно вертикальной оси, проходящей через точку подвеса; о — расстояние от оси жесткости до центра масс; гип — скорость потока, нормальная к передней кромке крыла; Ъ — полухорда крыла; л:0 — расстояние от передней кромки крыла до оси жесткости; хр — аэродинамический фокус; £у —производная коэффициента подъемной силы по углу атаки; а0 — угол атаки; £ — длина крыла; х — угол стреловидности крыла; р — плотность воздуха.
Третье уравнение системы (1) описывает движение крыла в плоскости хОг, происходящее из-за упругой заделки крыла. Правая часть этого уравнения представляет собой суммарный момент аэродинамических сил лобового сопротивления, действующих на крыло из-за установочного угла атаки а0.
Граничные условия для рассматриваемой модели крепления крыла (см. фиг. 1) имеют следующий вид:
9
Поскольку нас интересует граница устойчивости, то решение системы (1) будем искать в следующем виде:
9 (г, г) = 0 (г) еш; у (г, ()=у (г) еш; ^ (*) = <ре‘ш1. Введем безразмерные коэффициенты и параметры:
(3)
г; у =у
Ф = ~гФ; а = -
■а;
к =
(О Ъ
. I
т ' "
тЬъ
7] =
Р кр
где уРкр— частота первого тона кручения свободных несвязанных (а = 0) колебаний крыла.
Учитывая (3), систему уравнений (1) и граничные условия (2) в безразмерных координатах, запишем
йг2
В^^у +с2е + ^з^7 + с4к) ;
: ^2 4~ ^2 в + <1г -)- С?4 фа0| .
(4>
(1 + &) -^5---1 = “о (/1^4- /2 ® +/з + а0/4;
о
у (0) - Л, г,-2/" (0) = 0; 9 (0) - А3 ^,ГР2 6' (0) = 0;
У (0) - л2 ?|Г2/' (0) - 0; у" (1) = у"’{\) = 6' (1) = 0.
(5)
В третье уравнение для горизонтальных колебаний введено обычным способом конструктивное демпфирование £.
Здесь обозначено
л2 т01р 1?
1т Ы
в9 =
'кр
о______ Йд;
■ч; = ——
1хр
кр
А,:
/2£/
1*4- /2 + ^)
/'«ря^(-3-/.*4- /2 + Ч
и _ Б1____________ .
2 —---------ГТ \ ’
р1рт ( -3- ^ +12 +и)
ь3 —
о/»
/’кр ^"2
Комплексные коэффициенты сг, й,, /г- (г =1,2, 3,4) системы (4) определяются через коэффициенты системы уравнений (1) и зависят от числа Струхаля (/г = <*>Ь^п).
Рассматривается модель крыла, параметры которого постоянны по размаху^ Ь — 3,59м; £7= 2,58-10® Нм2; 01р = 1,13-106 Нм2;
6=0,635 м; /т= 2,24 кгм; х0 = 0,425 м; т = 24,2 кг/м; Су — 2,7 рад-1; а = 0,06 м; р = 1,23 кг/м3; / = 0,6 м; .*^=0,25; /л. = 3,68-102 кгм2.
Метод решения. Система уравнений (4) и граничные условия (5) представляют собой однородную краевую задачу на собственные значения относительно параметров т] и Значения этих параметров, при которых краевая задача имеет нетривиальное решение, определяют критическую частоту (т\*) и число Струхаля (&*) на границе устойчивости. Решение краевой задачи может быть получено с использованием фундаментальной системы частных решений.
Введя обозначения х1—у, х2 = у'; л:3 = 0; х4:=у"; х5 —у'"\ хв = б/; х0 = а0Ф, общее решение хк первых двух уравнений системы (4) запишем в виде:
в
= (6=1,..., 6), (6)
' г=0
где хы *— линейно-независимые частные решения, определяемые следующими условиями при 2=1:
*«(!) = »*/; (7)
здесь Ьы — символ Кронекера; г — номер частного решения (хы{1фО) есть частные решения первых двух уравнений системы (4) с ф = О, а хк0 — частное решение с ’ЬфО).
Учитывая (7) и граничные условия (2) на свободном конце крыла (2=1), получаем:
= «о Ф; с4 = с5 = с6 = 0. (8)
Подставляя общее решение (6) в граничные условия у корня крыла (5) и в третье уравнение системы (4), а также учитывая (8), получим систему однородных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов си с2, с3 и с0
3
X (*1 I - Ъ У]-2 хъ г) = — с0 (Xю - нх 7]-2 хб0у,
1=1
3
X С1 (*2 / — К ^ -«4 *)----С0 (Х20 - К ЧГ2 ^4о);
/=1
3
С1 (Х3 I ~~ Ь-З хй ' С0 С^ЗО--^кр2 -^во);
г=1 •
Г 2 1 г1 3
(1 + «) ^ — 1 и = а0 Сь (х3 ,/,+дс! 1&+х2 г/3) гйг-\-<!>/«
1 1 -1 10|=0
Система (9) имеет нетривиальное решение, если ее определитель равен нулю. Этот определитель будем называть характеристическим определителем задачи.
Из первых трех уравнений системы (9) выразим си с2 и с3 через с0 = а0ф;
= -^>ао4», у= 1,2,3, (10)
(9)
где Д = Д (т), £) — главный определитель первых трех уравнений системы (9); Д^> — определители, полученные из определителя Д соответствующей заменой у'-го столбца на столбец
{ — С*10 Х5п) — (Х2о — Н2 У}в Хы) — (х30 Л3 Т]кр -^бо)} •
Подставляя полученные соотношения в четвертое уравнение системы (9), найдем выражение для характеристического определителя в следующем виде:
Бе1 (ч, А) = (1 4- «) -|— 1 — (/, 0* + /2У* + /,/'* +Л) «о, (11)
где
3 (/) 1 1
б* == ^ 10М гйг + 10<4> гйг\
7=1 0 0
3 (/) 1 *
у* =21 х- | у^гйг + ^у^г<1г\
/=10 о
Таким образом, для нахождения значений характеристического определителя при фиксированных значениях у\ и k необходимо получить четыре частных решения первых двух уравнений системы (4). Отметим, что параметры •»)„, 7]кр, т;г и а0 входят в характеристический определитель только в явном виде. Обращение в нуль характеристического определителя при варьировании этих параметров определяет границу устойчивости.
Результаты моделирования. Фундаментальная система частных решений xkl определялась с помощью аналоговой вычислительной машины (АВМ). Вычисление характеристического определителя (11) проводилось па цифровой машине. На АВМ набиралась система уравнений 12-го порядка, полученная из первых двух уравнений системы (4) путем перехода от комплексных переменных у и 0 к действительным машинным переменным и параметрам.
Общую схему расчета устойчивости можно представить так: для фиксированных значений k рассчитывались аэродинамические коэффициенты и для ряда значений т\ на АВМ находились четыре частных решения, а также правая часть последнего уравнения системы (9).
Далее на ЭЦВМ для каждой пары k и -rj и для ряда значений Чв и -)г]кр рассчитывались значения действительной и мнимой части характеристического определителя.
По этим данным определялась граница устойчивости в зависимости от параметров tjb, т]г, т)кр и S/ag.
Результаты исследования устойчивости без учета горизонтальных колебаний крыла (а0 = 0) представлены на фиг. 2 и 3. Увеличение жесткости крепления на вертикальный изгиб kyjl2~y^B приводит к монотонному уменьшению критической скорости VKp (см. фиг. 2). Слабая зависимость г»кр от ч\в объясняется тем, что
ч ч
1.Г 0,3
12- г""'
а
0,1
ел
0,1
0,2
0,3
0,5 0,6 г/!
Фиг. 2. Зависимость критической скорости ^к’рСЛ и частоты тг| (2) от жесткости крепления крыла к)в (1кр = 0,43) без учета горизонтальных колебаний
Фиг. 4. Зависимость критической скорости от жесткости крепления крыла % (%Р=0,4Л). 1 — т)в = 0,123, 2-т)в = 0,18, 3-пв = 0,75
Фиг. 3. Зависимость критической скорости ^кр (/) и частоты т) (2) от жесткости крепления крыла и]кр (1)в = 0,18) без учета горизонтальных колебаний. ---граница динамической устойчивости; ---—•— граница статической устойчивости
при изменении жесткости ку11ъ от 0 до оо частота первого тона изгибных колебаний меняется от 0 до 0,285 и находится ниже первого тона крутильных колебаний т]кр = 0,43.
При изменении жесткости крепления на кручение £е//2 — Т)кр (■Чв — фиксировано) частота первого тона крутильных колебаний может быть как выше, так и ниже частоты первого тона колебаний изгиба, и в системе возможна как динамическая, так и статическая потеря устойчивости (см. фиг. 3). Если <0,158, то частота первого тона кручения меньше частоты изгиба, и в системе при увеличении скорости наступает дивергенция (штрих-пунктирная линия). Если •/]„„> 0,158, то динамическая неустойчивость в результате взаимодействия кручения и изгиба наступает раньше статической (сплошная линия).
Результаты исследования влияния горизонтальных колебаний на области устойчивости представлены на фиг. 4. При изменении частоты горизонтальных колебаний можно выделить три характерные области, в которых флаттер возникает в результате взаимодействия между различными формами колебаний:
0<^г<0,316 —горизонтальный изгиб — вертикальный изгиб, 0,316 < т)г<0,44 — горизонтальный изгиб — кручение, тг)г — > 0,44 — вертикальный изгиб — кручение.
В последнем случае горизонтальные колебания не влияют на границу устойчивости. Взаимодействие горизонтальных колебаний с вертикальным изгибом и кручением приводит к ярко выраженной „резонансной11 зависимости критической скорости от частоты горизонтальных колебаний. Скорость флаттера принимает минимальные значения, когда частота горизонтальных колебаний близка к частотам изгиба и кручения. Пренебрежение конструктивным демпфированием приводит к уменьшению критической скорости до нуля (см. фиг. 5).
, Введение конструктивного демпфирования £ в уравнение для горизонтальных колебаний существенно влияет на границу области устойчивости (фиг. 5). Особенно сильное влияние конструктивное демпфирование оказывает на границу устойчивости в области, где Г1Г близка к частоте первого тона изгибных колебаний
рости от жесткости крепления крыла -г)г(т)в = 0,18, %р = 0,43). 1 — %1а*= 0;
2 — 5/ое§ = 1; 3-£/<** = 3
крыла. При больших значениях параметра в рассмотренном, диапазоне т1г неустойчивость по первому тону колебаний кручения может наступить раньше неустойчивости по горизонтальным колебаниям.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ланда П. С., Пономарев Ю. В., Стрелков С. П. „Механика твердого тела", 1967, № 3.
2. Гроссман Е. П. „Курс вибрации частей самолета". М., Оборонгиз, 1940.
Рукопись поступила 27\ VI 1974 г.
