CC BY
97
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
Том XVI
198 5
№ 2
УДК 629.735.33.015.4 : 533.6.013.424
ДИВЕРГЕНЦИЯ АНИЗОТРОПНОГО КРЫЛА С ОБРАТНОЙ СТРЕЛОВИДНОСТЬЮ
В. В. Кобелев
Рассматривается задача максимизации критической скорости дивергенции крыла обратной стреловидности из анизотропного композитного материала за счет выбора ориентации осей анизотропии материала относительно оси крыла. Уравнения, описывающие деформирование анизотропного крыла обратной стреловидности, получены с помощью обобщенного метода Релея—Ритца. Аэродинамические силы вычисляются по теории несущей полосы. Приближенное решение уравнений, описывающих явление дивергенции крыла, получено методом возмущений. Показано, что при определенном соотношении между жесткостными характеристиками крыла и углом стреловидности скорость дивергенции существенно возрастает.
1. Основные уравнения. Уравнения деформирования тонкого упругого анизотропного крыла являются уравнениями Эйлера для функционала потенциальной энергии:
I Ы2
П (да) = | ^ £>у- ч-і^ — Хчиі ) <1х йу -* шіп;
О ~Ь/2 /,/ = 1,2,6 Ю
= д^тїдх'2, х2 = д2да/с)у2, к.6 = 2 (д2геі/дх ду).
(О
Здесь Оц(х, у) (г, ] = 1, 2, 6) — жесткости анизотропного крыла на изгиб [1]; 2 (х, ^--распределенная нагрузка, действующая на крыло; Ь (х) — хорда крыла (рис. 1).
Разыскивая экстремум в (1) на возможных перемещениях вида но (х, у) = = ни (х) — уЪ(х), получаем уравнения, описывающие совместный изгиб и кручение крыла:
1
Тг
{kuEJwrY' + 2 (¿16£У6')"=Я;
(б^п £70")" -4 (Авв£У0')' -2(*16£/а>')' =М;
т (0) = т’ (0) = 6 (0) = 0, [ (¿„ ЕМ")' + 2(к16ЕЛ')’]х=1 = 1
12
^b^k11EJ(l,y —4ksйEJЬ'—2k1 ъЕ№
"1
.1*=1
= [йц ЕМ’ + 2А1в£У 0']л-=1 = № ¿11EJ0"]^! = 0,
(2)
где R, М — изгибающая нагрузка и крутящий момент, действующие на крыло, w(x), 0(д:)—прогиб и угол закручивания крыла, ka=(Cij—C¡ 3C¡ 3/C33)jE — безразмерные коэффициенты жесткости материала [2], Сц — компоненты тензора упругих постоянных материалов, имеющих характерную величину Е.
Краевые условия в (2) соответствуют жесткой заделке при х = 0 и свободному концу при х=1. Изгибающая нагрузка и крутящий момент, действующие на крыло, вычисляются по теории несущей полосы:
R (х) — q cos2 Л b cv, М (х) = q cos2 Abé ev, )
> (3)
cy = с“ (0 -f w' lg A), q = pV2¡2, f
где Л — угол стреловидности (при Л>0 передняя кромка крыла образует острый угол с фюзеляжем), е — расстояние между осью жесткости и линией аэродинамических центров, q — динамическое давление.
Вводя безразмерные переменные х° = x¡l, w° = w¡l, u — w\ b° = b(x)¡bm, e° = e (x)jem, e=0mll’ A — cy bmIE Jm> = 7/Ут; ^mem> харак-
терные значения величин b, e, J, запишем уравнения (2) —(3) в безразмерном виде (значок „о“ в обозначениях переменных в дальнейшем опускаем):
kn (Ju')" + 2kl6 (У 8')" — Aft cos2 A (0 + и tg A) = 0,
2ku (Ja')' + 4¿6e (У 6')' — 5én (¿2 У 0")" + X b г cos2 A (6 + и tg A) = 0,
6 (0) = « (0) = 0, [*n (Ju')’ + 2k]B (У0')Ъ=i = [kn JW + 2é,6 J 0'],=1 =
= [B ka (62 J 6'')' - ikm У0' — 2k¡eJu']x=1 = [ft2 5 У kn 0']x=1 = 0.
Величины й и e можно считать малыми параметрами; для реальных крыльев е имеет порядок 10~2, б составляет величину 10-3. Выделение в уравнениях (4) малых параметров позволяет применить для отыскания приближенных аналитических решений краевой задачи метод возмущений.
Отметим, что уравнения, описывающие дивергенцию композитного крыла без учета эффекта изгибного кручения [3] [т. е. в (1.4) 6=0]. приведены в [4]. Возникновение дивергенции проанализировано в [4] численно. Затем линия на плоскости параметров, ограничивающая области устойчивости, аппроксимировалась прямой, что позволило построить приближенные формулы для критической скорости дивергенции. В настоящей статье уравнения, описывающие дивергенцию крыла, изучаются с применением метода возмущений. Метод возмущений применялся в [5] для анализа дивергенции изотропного крыла, где были построены оценки критической скорости дивергенции крыла обратной стреловидности переменной жесткости по размаху.
2. Дивергенция анизотропного крыла. Вводя новую переменную v(x)=Q(x) + + и(х) tgA (эффективный угол атаки [4, 6]), преобразуем краевую задачу к виду (6=0):
V (У v')" + e(ftv)' Р — Qbv = 0; v (0) = 0, [v (Jv')' + е Pbv]x=1 — ч Jv' (1) = 0;
(4)
2^tg„A-^^=(Xcos2Arl 4 (ku ¿ев — £]б) 2 (*„ km £16)
При е = 0 краевая задача (5) сводится к изученной в [7] (дивергенция панели в потоке газа) и [5, 6] (дивергенция изотропного крыла). Таким образом, для определения критической скорости дивергенции анизотропного крыла переменной жесткости по размаху достаточно решить задачу на собственные значения:
V0 (За')" — Ьи = 0, и (0)х=(Уц')^=1 = (-/а')Дг=1=°> (6)
описывающую дивергенцию изотропного крыла. Характеристические числа задач (5) и (6) связаны соотношением что с учетом введенных обозначений дает
оценку для критической скорости дивергенции анизотропного крыла:
■Оц 0(56------------0^5
9%РЬт V С082Л(2О6^ Л-01в) ■ (7)
В частности, для прямого крыла постоянной жесткости по размаху (7 = 6=1) характеристическое число равно г°=О_1у=0,158, а собственная функция и0(х) = =ехр[—1,849(1—х)]+2 ехр[0,9245(1—л:)]соб[ 1,602(1—ле)]. Отношение критических скоростей дивергенции анизотропного крыла » и изотропного крыла Уо, для кото-
рых геометрия и распределения толщин совпадают, дается формулой
^ Л — ки
2Л. (8)
Формулы (7)—(8) пригодны при 0<е.Р<(2 (и, следовательно, 2£16х1дЛ—к 16>0). В этих условиях основным фактором аэродинамического воздействия на крыло, вызывающим потерю устойчивости, являются усилия Р. Под действием усилий Р возникают изгиб и, за счет анизотропии конструкции, кручение крыла. Величина аэродинамической нагрузки определяется эффективным углом атаки у = а1дЛ+0, который при определенном соотношении между жесткостями крыла становится равным нулю (при С2 = 0), и «изгибной» формы потери устойчивости не возникает. Под «изгибной» формой дивергенции будем условно понимать форму потери устойчивости под воздействием изгибающих нагрузок Р.
При (}-+ 0 основное воздействие на крыло начинают оказывать скручивающие аэродинамические моменты М и реализуется форма потери устойчивости, условно называемая «крутильной» дивергенцией. Критическая скорость потери устойчивости такого типа существенно выше, что обусловлено относительной малостью скручивающих моментов сравнительно с величиной изгибающих моментов. Для определения критической скорости «крутильной» дивергенции положим в (5) (? = 0 и примем для определенности / = 6=1. Задача на собственные значения, описывающая явление «крутильной» дивергенции
V V1" + е Рх)' — О, V (0) = V' (1) = V у" (I) + г Ру (1) = О,
имеет характеристическое число г Рп~2, что с учетом соотношения 21§А кт = =кК дает для критической скорости дивергенции величину
УйШ=-\/Г--------------Д'6'4-- ■ (9)
у р Су I3 Ьт сое2 Л £
В (4), (5) решения краевых задач разлагаются в ряд по степеням параметра х = тах(еб). Формулы для возмущений первого порядка собственного значения краевой задачи (4) приведены в приложении (п. 1).
3. Оптимальная ориентация осей анизотропии композиционного материала. Анизотропия крыла может быть обусловлена как силовым набором крыла (конструктивная анизотропия), так и неоднородностью на уровне структуры материала (композит). Рассмотрим для определенности случай использования композиционного материала в обшивке. Пусть направление укладки армирующего материала в крыле постоянно; угол между осью крыла и направлением укладки обозначим а (см. рис. 1). Будем считать композиционный материал ортотропным, главная ось упругости [8] которого совпадает с направлением армирования. Приведенные упругие постоянные композиционного материала в главных осях равны £п, й12, *22’ *66 • По формулам преобразования [2, 8] получаем коэффициенты жесткости в системе Оху, связанной с осью крыла:
kK — Sin a COS a (C2 sin2 a — С j COS2 a) ; *68 = (Ci ~h С2) s^n2 «-cos3 a -f- Agg ;
где Ci — — C3, C% — *22 сз> C3 — *22 “Ь 2*gg, £ = Cj.
Формулы для преобразования жесткостей Da получаются из (10) заменой в последних kij на йц. Зависимости скорости дивергенции от угла армирования получаются из (5)—(7) подстановкой выражений (10). Величина угла а, который приводит к значительному увеличению скорости дивергенции, определяется из решения уравнения (буквой у обозначено решение уравнения, соответствующее рациональной ориентации волокон композита):
(Ci + С2) sin2 7 • cos2 7 + *gg = 0,5 ctg A sin 7 • cos 7 • (C2 sin2 7— Ct eos2 7).
На рис. 2 и 3 показаны графики зависимости скорости дивергенции от угла
а. В расчетах использовались данные для упругих постоянных однонаправленного стеклопластика [8]: Сп = 6,08-1010 Н/м2; С22 = 1.74-Ю10 Н/м2; С12 = 2,08-
• 1010 Н/м2; С60 = 0,57-1010 Н/м2 (на рис. 2) и однонаправленного бороэпоксидного композита: Сп =2,068-1 Он Н/м2; ¿22 = 2,068-1010 Н/м2; С12 — 1,034-1010 Н/м2; Свв = = 4,13-109 Н/м2 (на рис. 3). Цифрами 1, 2, 3 обозначены графики v(a)— Vdiv (“V^o. соответствующие углам стреловидности (вперед): А = 30°, 45°, 60°. На рис. 4 представлен график зависимости 7 = 7 (А) для стеклопластика (кривая 1) и композита (кривая 2).
Рис. 3
ПРИЛОЖЕНИЕ
Метод возмущений. Будем искать решение (4) методом возмущений, представляя величины и, в, X в виде разложений по малому параметру х = max (е, 5): и (х) = щ (х) -(- х и, (х) + • • • • в (л:) = 0Q (лг) + х 0j (jc) + . . . , X = Xq -j- х X] + • . .
Рассмотрим сначала случай х = е, В s. Будем считать кц = const вдоль оси крыла. Из второго уравнения (4) с учетом соотношения 0о=—«o/(2*ee) и краевых условий для функции 01 (jc) получаем выражение
ряющую уравнению (IV")' + ¡л Ьу = О, V (0) = V' (0) = (Л )^ — 0, получаем выражение для поправки первого собственного значения:
Если выполняются соотношения 8=х, є<Сб (т. е. упругая ось совпадает с линией аэродинамических центров), то функция ^(х), входящая в выражение для поправки (п. 1), имеет вид
61 (•*) =— К «і/(2£вб) + Ф С*).
Т ,lw I* 2й66/ J 4*в6У J
Умножая первое уравнение (4) на сопряженную функцию v (х), удовлетво-
о
(п. 1)
X
Если, наконец, % = 8 » е, т. е. величины о и е одного порядка, то функция ф (х) определяется выражением:
Автор благодарит Н. В. Баничука, А. П. Сейраняна, А. В. Шаранюка за ценные замечания.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лехницкий С. Г. Анизотропные пластинки, изд. 2. — М.: Физ-матгиз, 1967.
2. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. — М.: Мир,
1982.
3. Власов В. 3. Избранные труды, т. II. Тонкостенные упругие стержни. — М.: Изд. Ан СССР, 1963.
4. W е i s s h а а г T. A. Divergence of forward swept composite
wings. — J. of Aircraft, vol. 17, N 6, Iune 1980.
5. С e й p а н я h А. П. Дивергенция крыла с обратной стреловид-
ностью. — Изв. АН СССР, Мех. тв. тела, 1981, № 5.
6. Бисплингхофф Р. Л., Эшли X., Халфмэн Р. Л. Аэроупругость.— М.: Иностранная литература, 1958.
7. П а н о в к о Я. Г., Губанова И. И. Устойчивость и колебания упругих систем.— М.: Наука, 1964.
8. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. — М.: Наука, 1977.
Рукопись поступила 26/V 1983 г.
