Применение принципа максимума к задаче минимизации веса крыла летательного аппарата Текст научной статьи по специальности «Физика»

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м IV 197 3

№ 1

УДК 629.735.33.015.4

ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА К ЗАДАЧЕ МИНИМИЗАЦИИ ВЕСА КРЫЛА ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА

Ю. А. Арутюнов, А. П. Сейранян

Рассматривается задача минимизации веса крыла большого удлинения с заданными размахом и распределением хорды на двух режимах полета — дозвуковом и сверхзвуковом. В первом случае ■ограничения в вйде неравенств наложены на критическую скорость дивергенции и упругую эффективность элерона и в виде равенства — на потенциальную энергию деформации, являющуюся характеристикой жесткости, причем варьируемой величиной является толщина , ' обшивки крыла. В случае сверхзвукового режима ограничение в виде •; неравенства наложено на упругую эффективность элерона и в виде равенств—на волновое сопротивление крыла и потенциальную энергию деформации. Варьируемые величины — толщина обшивки и форма поверхности крыла! Задача решается с применением принципа максимума Л. С. Понтрягина. ' !

Задачи оптимального проектирования летательных аппаратов обычно рассматриваются в частных постановках. Известны работы по оптимизации аэродинамических форм, минимизации веса с сохранением прочности и^и жесткости, работы по оптимальному управлению летательным аппаратом и др. [1] — [5]. В настоящей статье ставится задача минимизации веса крыла с учетом ряда требований, предъявляемых к летательному' аппарату.

1. Рассмотрим тонкое прямое крыло в дозвуковом потоке (фиг. 1, штриховкой помечены размерные величины). Критическая скорость дивергенции определяется, как известно, собственным значением дифференциального уравнения

+ ^ крит Ь' (г) е’ (г)слу 6(2) = 0

а

йг

(0^ р)

йг

с граничными условиями

0 (0) =0;

01

Кр

:0,

г=£

где GJKp — жесткость крыла на кручение; ^крит— критический скоростной напор; е' (г) — расстояние между осью аэродинамических фокусов и осью жесткости; с* = const — производная коэффициента подъемной силы крыла. Для удобства перейдем к безразмерным

e(z), b(z), 8 (г), zjL = i\. Учитывая, что крыло тонкое (с2 1), из

формулы Бредта получим

ОЛр (г)V* (z)l 6 = GL* b* (г) ЦгЩ.

Предполагая, что«'(2) пропорционально хорде [е' (z) — eb{z)L], окончательно имеем:

Ь*2р„т *8(ч)в(ч)“0;

(1.1)

граничные условия

в(0)==0; ЬЧ-П)ЧП)^

=0,

4=1

где v-

,2 _ ?4>нт еС

рит ~—G/iS ~ приведенная критическая скорость диверген-

ция крыла.';Условие .статической аэроупругости налагает ограни-, чение

Qm&Y. max eel

<3/6

V _______ -.2 ^ 2

— г'тах -<5- ''Крит

(см. например [6]). Интегрируя (1.1), получим

+ *«« fft2(5)6(s)rfs<0; 0(0) = 0.

S6

(1.2)

Упругая эффективность элерона

X =

дМх

упр

дМг

жест

где Мх — момент крена самолета относительно центральной оси [6]. Принимая полужесткую схему крыла, для угла кручения при отклоненном на угол р,элероне имеем

, ?(*, Р) = ®0 (Р) Ъ (*),

где ^1(2) — известная функция кручения крыла, и считая, что элерон абсолютно жесткий, для упругой эффективности X получим

£

дс„

дМ,

дМ.

У"Р

<*Р

b'(z) zdz

d8

С де у

zdz

Выражение для (^/йрн^щрудно определить из уравнения равновесия упругого крыла, используя метод обобщенных координат [7]:

£

<*?о(Р)

dР

Яжг'(^т4,(г)

<?1{z)b'(z)dz

JI °Лр(z) ^ d^)~] - Щ е’ (2) Ь' (z) (г)

dz

Предполагая, что е'(z) = eb' (z), окончательно получим: і і

J ?1 (ч) Ь (ч) Ч<*Ч J* | — ^ -у — ?1 (ч) Ь* (ч) rf4

о о

1 1

J ^-^(ч)ч^ J(ч)^(ч) —-^А*(ч)9?(ч)

2 Я°уе » . о

тде с?,, б — заданные величины.

На упругую эффективность элерона налагается следующее ограничение [6|: *>а,„ причем 1>а>0 или

/[*■«'“« (-ЗЙ4-):

dT\"^v\N,

(1.3)

Принимая балочную схему крыла, функционал энергии деформации изгиба запишем в виде

//_ Г M*(z)dz

■ J EJK3r{z) ’

■ о

здесь M(z) — заданный изгибающий момент; Я/изг — жесткость балки на изгиб; предполагается, что на изгиб работает лишь средняя (кессонная) часть крыла. Поэтому в наших обозначениях

£УНЗГ (tj) = Еу Ц- о W V ft) с2 (ч)>

где v = b (ri)K<tJb (т|); с (•»)) — заданное распределение относительной толщины крыла, а потенциальная энергия

и^В Г

J S(7j)63(7i)c*(7]) ’ о

5 — размерная константа, a jj.2 (•»])—известная безразмерная функция. На потенциальную энергию наложим ограничение

U = U0 = const. (1.4)

Наконец, вес крыла представим в виде

■ . . -1.

W = 2L3^(ti)b(ri)drl. (1.5).

о

Сформулируем задачу.

Найти оптимальное распределение толщины обшивки oft), минимизирующее вес крыла (1.5) при ограничениях в виде неравенств и равенств (1.2), |1.3) и (1.4),; наложенных на критическую скорость дивергенции, упругую эффективность элерона, и потенциальную энергию деформации изгиба.

Необходимые условия оптимальности выпишем в терминах принципа максимума Л. С. Понтрягина [8]. В качестве вектора управления примем ' ! ;

причем управление

Uj (*)>«>0,

где s — минимально допустимая толщина обшивки.

где

За вектор фазовых координат примем вектор х(ї) = (х0, хи х2, х3, х4),

. -«О (*) = / «, (О Ь У) (И\ Х1 (1) = 6 (*);

о

Х3(І)

-жіт

[Л2 (в) (ІЗ

(«) Ь3 (5) Сг (5)

(1.6)

фазовую переменную* *4 (£) определим ниже. Составим систему дифференциальных ур^внщшй, описывающую „движение" в фазовом пространстве: -!

(і), л1(0) = 0;

х$ — — №) Хі (Оі •Хг(1) = 0;

В х3( 0) = 0, х3(1)=1;

“7-5--. *■! . "«МУ ! ¥

и, и, (і)ЬЩЩ

№

х0-=и,(і)Ь(і), х0(0) — 0, х0(1 ) = ~2І

(1.7а)-

(1.76)

Кроме того, на «движение* в фазовом пространстве наложены ограничения ,

V?

х2(()^.и1(і)Ьа (і) иг (0;

йі>х-

(1.8)

(1.3)

Сформулируем вариационную задачу в терминах теории оптимального управления. Найти вектор управления и (£), который,

переводит объект из фазового состояния л:(0) в состояние л (1) так, чтобы функционал л;0(1) достигал минимального значения при заданных ограничениях (1.8), (1.9). ,

Следуя процедуре сведения ограничений в виде неравенств (как интегрального, так и дифференциального типа) к равенствам, согласно Валентайну [91, имеем

»! (і) Ь3 (І) и2 (і) = х2 (0 + т? (*);

(1.10)

Хі *= — Ї2 ■

•о\Ы

, а:4(0) = 0, л4(1)=1, (1.11)

где 1 (0 =?= («1 (0. Тх(^). Та}— новый вектор управления; ^(^ — дополнительная фазовая координата. ......

Присоединяя к системе (1.7) уравнения (1.10), (1.11), запишем гамильтониан расширенной системы в следующем виде:

В

х2 (0+т? (0 и*

Н-Pi (*) - - Рг (t) Ь* (<) (*) + />з V) и°

?2(t)

Ul(t)b4t)

«1 (t)b3(t)

v\m

Ь3 (о и, (ОС8 {t)

+/>o(0«i (t)b(t)\

вектор сопряженных переменных р = (р0, Ри Р2. Рз, Pi) определяется системой

Pi — Ръ (t) № (t) Vttt** t Pt ■

Pi

(1.12a)

Ps — 0; />« = 0; jP0 = 0. (1.126)

Из уравнений (1.126) имеем/>з = const,/?4== const, p0 = const. Вы" ' • • * —*

пишем необходимые условия максимума гамильтониана Н(р, х, ?)-—♦ ’ .

по управлению т (t):

дн 0^0(OMO-Pl(°lXl(0bT?(t)1

duxit) --------- a* „pt (t)b*{t)

р, V) -щ ^ (/) Pi (0 ь* (t) J у

~ bs(t)u\opt(t)~c'(t) H ^

a//

dux{t) >°> —s;

<мг = Pdf) (Л=0.

uxit)bb{t) TlU ’

l . ; • ■ .

f£dt=‘-рЛ‘)ъ-°-

0 . .

(7=1,2, 3,4);

Po — 1»

MW-PjV?) (7=1, 2, 3, 4); Я(*7) = //(*+)•

(1.13a)

(1.136)

(1.13b)

(1.14)

(1.15)

Условие трансверсальности (1.14) дает МО = 0//>4(0) = 0, поэтому из сравнения систем (1.6а) и (1.11а) следует Рх(Ь) = —Охг{(),

где £>= согЫ>0. Тогда (1.136) перепишем в виде

дН

= -£)■

хг(і)

дъ(*)~ иЛЙЬЧ*)

Из выражения для х2(і) (1.6) следует

(отсутствие режима особого „управления"). Таким образом, необходимым условием максимума гамильтониана Н по ?,(£) явится условие Чі (0=0; не теряя общности, можно положить Ь = —1, по 72 максимум достигается внутри области (т. е. ^ ф 0), если Рі — 0, и на границе (т. е. 72 = 0), если р^ф0.

Таким образом, чтобы получить оптимальное распределение материала, необходимо решить систему уравнений

' л:1(0) = 0;

л,

X,

В

—•г'тах Ь2(і)хг(і), Х„ (1) — 0;

їЧі)

и0 и\ оріУ)Ь3(і)с2 (і)

, х3 (0) = 0, х3(1)=1;

и

1 орі

(І)

1

ЬЦІ)

г

С2 (0

(1

(1.16)

если ограничение по упругой эффективности элерона (1.9) выполняется заведомо:

. 1

орі

или систему

-4- Н

о

*.(*)

і (0 іи

х, =

В

“юрі(0*3(0 ’

и2(0

хі (0) = 0; хз (0) = 0, Х3(1)=1;

ио и101Аі)ЬЦі)~сЩ) '

х> = — УІахЬ2(і)х1(і), л2(1)=0;

•*4 = ^у«1°р Л*)ь3(і)

йі

^*(0) = 0, л:4(1)=1;

орі

(0 =

1 -1 / х\{і) -рг В^(і) ий~сЦі)

ьЧі) I ЬЦі) ' (і)' сИ 2 -

Г 1 р 4 Л/г^

(1.17)

(1><>*с).

если ограничение (1.9) не выполняется, причем при і — іс справедливы условия

•*і(*г)=*і(ф; хо(іе) = х2(^У> = (#)» (1Л8)

являющиеся следствием уравнений (1.15). Для численного решения систем вида (1.18) —(1.19) удобны итерационные процедуры,

в частности, алгоритм переходной матрицы, подробно изложенный в работе [10]. На фиг. 2 и 3 приведены результаты расчета для случая

На фазовой плоскости (см. фиг. 2) для отрезка „времени11 где «юр^О определяется выражением (1.16), имеем семейство парабол

Л3 V2

*, = —2=^ (с,-*?). (1.19)

Аналогично для отрезка „времени" l^>t>tc, где и1ор1у) = е имеем семейство эллипсов,

х1

гЪьЧ)\

шах

„Движение" происходит из начальной точки х(0, х2(0)) в конечную х(аг, (1), 0) по фазовой траектории, которая состоит из кусков параболы (1.19) и эллипса (1.20), причем в точке сопряжения выполняются условия (1.18).

Из семейства оптимальных фазовых траекторий выделяем ту, которая удовлетворяет заданному условию но времени движения

1= М = ЬхЛ^)+ Г..............р==г=,(1.21)

VI.. Ь* у

что вместе с (1.18) позволяет определить си с2, Ьс, а следовательно, и 8 и ® (~7г)‘ ^Редп0лагая г малым по сравнению с толщи-

ной обшивки в корневом сечении {~—<с 1), из уравнений (1.18)

\ тах }

и (1.21) получим

1 , 1 „ (л гЬ , г2Ь2\ 1

1 + V* Ьг ’ С'2 \ V2 + V4 ) Ь2 ’

тах / \ шах тах /

тах

Тогда распределение толщины обшивки и угла крутки по размаху крыла получим в виде (см. фиг. 3)

2. Рассмотрим тонкое гомотетное стреловидное крыло с симметричным профилем (фиг. 4). Поверхность крыла будет описываться функцией

У'(Х, г) = 1/(0

(2.1)

X ' " / (2) %

где С, —новые переменные: С=—^ , У—> Ь'(г)=12(г)-

— 1х{г)\ С, ч €[0, 1]. Функция /(С) удовлетворяет условию /(0) = =/(!) = 0.

х,=1,(г)

Линия изводи нами/чески/ фокусов ф^

Ь жесткости £—

Фиг. 4

Для стреловидного крыла приращение угла атаки, вызванное отклонением элерона, за счет изгиба является определяющим (Да за счет кручения пренебрежимо мало). Поэтому положим Да =

= — ^-этХ; здесь т(г, (3) —форма прогиба, индуцированного отклонением элерона на угол р.

Для упругой эффективности элерона имеем выражение

с“ в1п X [ ^ | ^ ь (5)

------А_5_--------------------.

I Jd71 f с|&(5)^5

о ^

Аналогично принятому в разд. 1, полагаем да(2, Р) = ф)(г), причем — заданная функция прогиба. Тогда ограничение по

эффективности элерона запишется в виде

J oft) с2 ft)

ЬЦч)

d2 Wy (z)

dz-

J\ (/^0) d r\ > v\ k,

(2.2)

где

v\ — <7 sin 2 Х/Я;

ЯК-ЭД™*'

О 7,

(1 - я)

if!

дсу

~W

b (u.)

chi

dii

X

и к—заданные величины.

Жесткость крыла на изгиб для рассматриваемого случая можно представить в виде ,

ни 1

а потенциальная энергия деформации изгиба крыла выразится еле-, дующим образом: ; '

и=

■J

Ji (/(У) J 8 ft) № ft) с2 ft) ’

где И — размерная константа; Л (/(С)) — §На потенциальную

о

энергию деформации изгиба наложим ограничение

U = U0 — const.

(2.3)

В соответствии с линейной теорией Аккерета для коэффициента волнового сопротивления имеем [1]

21’ \Ш(С)Л’лГ?(чЖ

d С

где S — площадь крыла, = |/M^sin2<p—I /sin ср; ® — угол между вектором скорости и передней кромкой, Mqo — число М.

5—Ученые записки ЦАГИ № 1

65

На волновое сопротивление наложим ограничение

Сх волн С0 “

const. (2.4)

Вес крыла задается выражением (1.5)

1

W = 2I3 JSft^ftM'i- (2.5)

о

Сформулируем задачу.

Найти оптимальные распределение толщины обшивки и форму поверхности, минимизирующие вес крыла (2.5) при ограничениях

в виде неравенства (2.2) и равенств (2.3) и (2.4), наложенных соот-

ветственно на упругую эффективность элерона, потенциальную энергию деформации изгиба и волновое сопротивление.

За вектор управления примем вектор u(t) — (ul(t), «,(£)) =

= (8(Ч). c2ft)). ^4^10,11, причем и1(0>8,>0, Ив(0>з2>0, где Sj и е2 — минимально допустимые толщины обшивки и крыла.

За вектор фазовых координат примем вектор jc(0 = (*o. xi, х>, х8), где ; ,

t t Ч (0 = J «I (0 Ь (t) dt, xt (t) = J> (/(C)) j и, (t) b (it)dt,

о 0

J Uj (t) b3(t)u2{t)

= ; фазовую координату x3{t) определим ниже.

Система дифференциальных уравнений запишется в виде

хх^Щ^цг(Щилъьа), х,(о)==о, ^(1)= 1;

* j^'2 ^

Хг = ЩА[/(Q)и,(t)ь3(*)и2(Т)’ = л*(1) = 1;

■*« = - f rb -«1 (t)и,(0Й8(/)

. Хд2(0) =0, ЛГ3(1) = 1;

• U7

хв = и1(0&(/), (0) == 0, л:0 (1) == ^-^5- - ,

Здесь -дополнительный компонент вектора управления.

Выпишем гамильтониан расширенной системы

1Г=Л «>од /, (/(Ч)«, (0+Л (/) +

+ />з№[-Т2 + П{€) Jv (/(C))и,-(0«2(*)] -ь/>0(0 uv(t)b(t), (2.7)

d2 wt (t) dt2

где

m(t)

Fy-Ht)

U о PV) ' ?(*) =

n(t)-

2L2

d- wl (t)

dt%

b*{t)

v\k '

b{t).

Вектор сопряженных переменных p = (p0, pu рг, ps) — const, поскольку в выражение для гамильтониана (2.7) не входят фазовые координаты.

Максимум гамильтониана Н по t, как и в предыдущем разделе, достигается внутри области (? фО), если ря — 0, и на границе (т = 0), если РзфО.

Условие равенства нулю первой вариации гамильтониана по /(Q дает выражение

_L.

I

Грх $(0 87, (/(С))(*) dt - Г Рг ^ ’ 1(Л"

J л } 3 Я (/(С) МО МО

о о ' '

+ §р3п (08Л (/(С)) и, (0 «2 (*) М - 0,

и

которое сводится к уравнению Эйлера с граничными условиями

>>2^Р+/(С) = °; ./<0)=/(1)=о, (2.8)

-М/Ю)

где Х^тах-ф^.

Решением системы (2.8) является функция /(С) = 8ШяС. Полученное для /(С) решение действительно реализует максимум гамильтониана по /(С), так как условие Вейерштрасса выполняется в каждой точке оптимального контура. Из условия максимума

гамильтониана по управлению м(0 имеем

дН

дих (t)

дН

ди2 (t)

-0’

b (0 Рг дН

m(t)

dut(t)

: 0 «=/»!?(<) а, — pt дН

al«l2opt (0»2 (0

>o, «ioPt(0 = si; m(t)

■р,л(*)а,и2(0;

^«2 (0

al«. (O^opt

0, ll<i opt(0 == ®

+ />8и (О а, «,(*);

(2.9)

здесь а! = У, (эШпС), а2 = У2 (з!п тсС>. Условие трансверсальности для фазовых переменных системы (2.6) выполняется заведомо, а из

отрицательности вторых производных по и(0 получим /?] <0, />,<0. Решая систему (2.9) относительно И1ор1(0и и2 орЦО. получим:

П-2 ор1 (О

если

(Ш “5“'

Ос > / > 0);

<Р и) т2

<//2

а?* > 1;

№(Ь)а1

X

X-

^1 <3р1 (0 ;

(/

1 +

р'Щ;а^к

(^>/>0);

0 >*>й,

х

^2 ор1 (^)

если

г41)щр,

212

64 (0 /?2 ^— а2 а

X

5фс0

2 “1

1 +

Рз | &* (*)«!«! ОР1(0

212

/»1 -дт— а2 ^ к

5фс0 2

(1 >*>£,), *

4^| “Тор,(о«;„р, <()**(')

а!2 да.

12

<# <1.

(2.11)

(2.12)

(2.13)

В угловых точках £с и tc (предполагается £с^-4) справедливы условия, аналогичные (1.15). Выражение (2.12) является уравнением

относительно iii opt (0- Это уравнение можно разрешить методом итераций, взяв в качестве первого приближения выражение для Ml opt (0 из (2.10).

Решение (2.10), (2.11) реализуется тогда, когда ограничение по упругой эффективности элерона является несущественным, в противном случае реализуется решение (2.12), (2.13).

Фиг. 5

На фиг. 5 и 6 приведены качественные результаты для случая

(1 — / х \

b(t) = b = const, — -—2~~. wi {t) = sin ( ~2~ t\. На фазовой плоскости (фиг. 5) для отрезка 0, где tii opl(t) и м2 opt(0 опре-

деляются выражениями (2.10) и (2.11), имеем семейство прямых

х-, = — х,; на отрезке t'^>t^-tc, на котором их opt(0 определяется Рч

(2.10), а «2 opt (t) = s2 — семейство кривых:

~ „ 2L2 •

х2 = ^i J н-4/3 (*i )dxt + с, (t — tc) а2 е2 b = Xi (t) — л, (4),

ДЛЯ 1,>^>^[при Ui opt (t) — Sj, «2opt(0 = s2] получаем семейство траекторий

i

Х% = 1 Т2 j [А- (х,)

2Z,2 ' £/0 2

Тг “ 5-Ко ai Z7 С2£‘'

„Движение” происходит из начальной точки л(0, 0) в конечную точку х{\, 1) по фазовой траектории, которая состоит из кус-

*с *с 1

ков кривых, описанных выше. Условие 1 = J dt-\- J dt^ dt вме-

О " *

t t С с

сте с условиями в точках сопряжения определяет оптимальную траекторию в фазовой плоскости. На фиг. 6 приведены оптимальные распределения толщин крыла и обшивки.

1. Миеле А. Теория оптимальных аэродинамических форм. М., „Мир", 1969.

2. М а й к а п а р Г. И. Выбор формы крыла для гиперзвуковых скоростей. Изв. АН СССР, МЖГ, № 2, 1967.

3. Комаров В. А. О рациональном распределении материала в конструкциях. Изв. АН СССР, „Механика", Mi 5, 1965

4. М с I n t о s h S. С., Е a s t е р F. Е. Design of minimum — mass structures with specified stiffness properties. AIAA Journal, v. 6, No 5, 1967.

5. Ш к а д о в Л. М., Илларионов В. Ф., Балабанов О. В. Минимизация стационарной температуры аппарата спуска с орбиты. Труды ЦАГИ, вып. 1148, 1969.

6. Голубев И. С. Аналитические методы проектирования конструкций крыльев. М., .Машиностроение", 1970.

7. Ф ы н Я. Ц. Введение в теорию аэроупругости. М., Физмат-гиз, 1959.

8. П о н т р я г и и Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелид-зе Р. В., Мищенко Е. Ф Математическая теория оптимальных процессов. М., Физматгиз, 1969.

9. Jacobson D. Н., Lele М. М. A transformation technique for optimal control problems with a state variable inequality constraint. IEEE Transactions on Automatic Control., v. 6, AC-14, No 5, 1969.

10. Брайсон A. E., Xo Ю. Прикладная теория оптимального управления. М., „Мир", 1972.

Рукопись поступила 24 IV 1972