CC BY
47
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XIII 1982
№ 4
УДК 532.525.011.55.011.6
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ НА КЛИНЕ И КОНУСЕ В ГИПЕРЗВУКОВОМ НЕРАВНОВЕСНОМ ПОТОКЕ ГАЗА
Л1. М. Кузнецов, О. Ю. Полянский
На основе метода тонкого ударного слоя определено поле давления около клина и конуса в гиперзвуковом неравновесном потоке для произвольной термодинамической и кинетической модели газа. Получены простые выражения для распределения давления по телу, позволяющие проанализировать влияние различных физико-химических процессов в газе на аэродинамические силы.
Для простейшей модели газа с неравновесным возбуждением колебательных степеней свободы получено аналитическое решение и установлены некоторые законы подобия. Показано, что в случае конуса, в отличие от клина, типичны режимы, когда коэффициент сопротивления в неравновесном потоке будет заметно выходить за .вилку" между своими значениями в замороженном и равновесном потоках.
1. Клин и конус относятся к числу конфигураций, обтекание которых неравновесным потоком на простейших моделях газа изучено достаточно подробно [1—5]. Однако аналитические решения и простые структурные зависимости получены лишь при ряде дополнительных ограничений (колебательная релаксация, малая величина отношения энергий внутренних и активных степеней свободы и т. д.), что не позволяет использовать эти решения в общем случае-
Метод тонкого ударного слоя, развитый в работах Г. Г. Черного [6], в принципе позволяет построить решение задачи о неравновесном обтекании клина и конуса без каких-либо дополнительных ограничений. В такой постановке решение этой задачи в главном приближении дано в работе [4]. В настоящей работе подробно исследуется следующее приближение, которое представляет особый интерес для определения влияния неравновесности на поле давления, поскольку в методе тонкого ударного слоя в главном приближении давление на клине и конусе представляет собой константу, не зависящую от физических свойств газа.
Рассмотрим задачу обтекания клина и конуса при нулевом угле атаки гиперзвуковым неравновесным потоком газа. Угол при вер-
шине тела 20 предполагается произвольным, но таким, что ударная волна будет присоединенной.
_ |
Обозначим: ;=-------. 7 — показатель адиабаты в замороженном
7 ^
V'
потоке, М = ——число М, 1/оо — скорость полета, а<х, — скорость звука.
Здесь и ниже индекс „оо“ относится к величинам в набегающем потоке газа.
Примем, что
в 1, Мет 9 > 1, $ М2 эт2 6 > 1. (1)
Воспользуемся методом тонкого ударного слоя [6], В переменных Мизеса (х, О), где х — координата вдоль поверхности тела, отсчитанная от его носка, ф — функция тока, исходная система уравнений движения неравновесного газа имеет вид [4]
0у_
д<Ь
и
I
ду
(2* г)’ о а ’ дх и ’
ди — 1 др °1' — /О- г\*
дх
ду
р дх ' дх
(2)
и = Q„ (р, Т, qu q2. . .)== Q„ (р, Т, qj,
чх
? = ?(*. т. iJ- h = h{T, qm).
(3)
Здесь у—координата по нормали к поверхности тела, у (х, ф) при 'Ъ = const — уравнение линий (поверхностей) тока, г — расстояние от оси симметрии до данной точки, и, v — составляющие скорости по осям х, у соответственно; h, р, р, Т — энтальпия, давление, плотность и температура поступательных степеней свободы, соответственно, qn — массовые концентрации или энергии внутренних степеней свободы (релаксационные параметры), /г= 1, 2, . . ., qm=qu <h ■ • ■ > Qn — правые части релаксационных уравнений, v = 0; 1 соответственно для плоских и осесимметричных течений.
Введем следующие безразмерные координаты и функции:
X
V.. COS
Роо (т V -T s'n ® COS 6)^+1 ’
v ,, 2 h
D__ у D__^e п.. • 1/__________ ________
o^V2 Sin2 е’ Poo '.'.COS O’ K_sin8'" sin3
(4)
Здесь -— некоторое характерное для рассматриваемой совокупности релаксационных процессов время релаксации.
В переменных (4) система уравнений (2) примет вид
дУ
dri
ctg- 6 U
TRU\ о с
д-
______
dz — R d\ r . ~ (2;) 7:
(5)
Для построения асимптотического решения этих уравнений воспользуемся предельным переходом
е О, М sin 6 -> ос, s М3 sin2 9 —* оо.
Первые два условия — обычные для ньютоновской теории, последнее— следствие требования того, чтобы температура за ударной волной была соизмерима с характеристической температурой Г* рассматриваемых физико-химических процессов, что выражается условием
s М2 sin2 е Г
1=----------------= О (1) при Т I . - 0 .
Л*
Введем следующие представления искомых функций:
1 +м Р, (5, Т,)+.. .. A? = /V0 4) + *^ (5. г,)-}- •
U = 1 — г 1\ (;. г/) +- , , • , V= в V, (;, r() -f- . . . , У = «У,(5, kj) -г - • • »
(6)
Здесь Ys — уравнение ударной волны.
Подставим (6) в (5) и приравняем члены при одинаковых степенях s. Функции нулевого приближения R0, TQ, qm0 определяются из решения системы уравнений (3) при U — «'А.= 1. Р— Р0 = I, Н, — Н0= 1 и начальных условиях a_iu) = <7_.m при Е = 5„(т). где (^) — координата входа линии тока rq = const в ударную волну, Qтж — значения параметров qm перед фронтом ударной волны. Для клина и конуса
1. yjlil+v
(7)
Функции Р0, Т0, цт0 имеют следующий вид [4]:
#0 = Г> — *0 (*))]> Т’о = Г0 [; - (1|Я, ЯтО = Я тО Г’ - ^0 (ч)]- (8)
Для функций первого приближения 1/,, Рх система уравнений (5) приводится к виду
у,=т- ■ г т ч %, ц=а, •
(9)
Учитывая (7) и (8) и переходя от т( к переменной £0 согласно (7), из системы (9) имеем
— = -(1 f V,
оъ>
’Ш'й! f
откуда, применяя интегрирование по частям, получаем
X (Ї - z)'Ro\z)dz\ -г Л*(Е) •
P\w vw — произвольная функция, которая находится из условия на
Это условие в безразмерных переменных (4) принимает вид
Из (10) и (11) после несложных, но громоздких преобразований получаем:
для клина (у = 0)
Обозначая через Рц и Р\е соответственно значения Р1 в замороженном и равновесном потоках и учитывая вид R(l, получаем:
Значения Руг для клина и конуса совпадают с соответствующими значениями Р, в совершенном газе [4]. При практическом нахождении давления Р\т (£) по формулам (12) и (13) вместо функции R0 (ч), найденной по описанной выше методике, можно использовать решение для плотности за прямой ударной волной р (^), распространяющейся по газу со скоростью Vx sin 0. При этом переход от переменной t-—времени пребывания частицы в области за фронтом ударной волны — к координате л: вдоль поверхности тела осуществляется по формуле х =/У,» cos 6 или \ — tlx. Действительно, поскольку величина — г за ударной волной отличается от R0 (?) —
главного члена асимптотического разложения (6) — на величину порядка є, то значения еР1и1, найденные по формулам (12), (13) с использованием этих двух значений плотности, будут отличаться на величину порядка г2, что в рассматриваемом приближении несущественно.
ударной волне
(12)
для конуса (v = 1):
•+■ 2ЛЯГ1 (: — 1 т,)| — Ptw (?) ;
(13)
4
4 ' 4 4
ОС
Найдем коэффициент сопротивления Сх клина и конуса, используя следующие соотношения:
С..=
X
— Poo V"L (L tgfl)l+'1
■Схь[\+гСх1+ О (e*)J;
X = sin б [ (2тс rypdx , г = х
sin
Cr0 = 2sin2 6, Cxl
^i =
a,
x cos I
здесь I—длина клина, /.1 = 1/соз0. Учитывая (12), для клина получаем
С„ = /25-41,).
і
(14)
(15)
В замороженном потоке (индекс „/“) Схи=Сх1 (О) = 1, в равновесном (индекс ) Схи = С,! (оо) = 1 /Я0(оо).
Для конуса соответственно получаем:
^л-1/---------г > Сх1е —
1
Выражение С\<1е можно записать в иной форме, если использо-
вать величину є* =
1* ■
, где т.,.—эффективный показатель адиабаты
в равновесном газе [4,5], определяемый как т.. = п/е : е — внутренняя энергия; hue здесь берутся по условиям за прямой ударной волной, распространяющейся по газу со скоростью V,т sin 0, т. е.
при р-
V,оз sin5 0 и h = l/co sin2 0. В результате получаем для клина: C^ = 2sin3 0 [1 -f- в* + О (sj)];
для конуса: С*. = 2 sin2
1+f+0<^]
Выражения (12)—(15) получены без использования конкретной кинетической модели газа и поэтому применимы для любой совокупности неравновесных процессов.
2. Вычислим P%w (?) и Сх1 для простейшей модели неравновесного течения с колебательной релаксацией:
t = const, h = cpT -{- cvkTk, p = pRT, c„* = const, a = const,
i'r. с.д.— теплоемкости активных и колебательных степеней свободы,
Тк—колебательная температура,
R— газовая постоянная.
Обозначим a — c.JcО < а < со. Для двухатомных газов характерно значение а<1, для многоатомных — а~1. Формально, исследуя влияние энергетического параметра о на структуру ударной волны, можно включить в рассмотрение также диапазон 1.
Из системы (3) при р = const = l/^sin2 6 и h = const
vt Sin2 6
получаем
J _ T q(;. Tj — 0)
7o(; = 0, t;=0) 1 +
1 - і
exp [-(1 з);|.
^0^) = -^’ • І
ро(ї=0) Т0
Подставляя (16) в (12), для клина получаем
• (?) = —-----1- ——ехр [— (1 + а) і] — ;з ехр [—(1 —а);|.
1 —С 1 -р б
(16)
Если перейти к переменной
то давление можно представить в форме, выражающей закон подобия
W 1 — \е
= <г-:_5^=7](г,
1г
Для рассматриваемой модели Р\е
I
. Обозначая Д Р =
1 т- а
— Р,™—Р1е , получаем а = АР1<? ——— =------—с—
' 1 -(- П 1 — 5
АРт| достигается при значении 1=2). Аналогично для конуса имеем
А.8И
и
Plf-Pxe
= 4
■•(т-т
б
1 \ 6 1 1 ,
+ — Н—;---------=Л (Q,
Р.. — — Р. =-----------------------------
V 4 ' 4(1 - -)
при ^«і л (С) = і — с + о (:-)
Іо
Графики функций У, (С) и У2 (С) приведены на рис. 1.
Вычисляя величину сх1 в коэффициенте сопротивления, получаем:
£( 1 + о)
~ 1 + а ехр (—L') Т,
для клина С,, ==-^L'—^ry——,-0-
или
<^)
1
1 + С
для конуса
I
или
Сх\ (Ю-С,
Х\ё
На рис. 2 приведены значения
Сх\е
Схг/ Сх\е
для клина и конуса.
Видно, что коэффициент сопротивления конуса в неравновесном потоке может выходить за „вилку“ между своими значениями в
Рис. 2
замороженном и равновесном потоках и (для достаточно энергоемких процессов) может оказаться даже ниже своего ньютоновского предела Сх0.
Авторы благодарят В. Я. Нейланда за полезное обсуждение работы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Жиг л е в В. Н. Об эффекте релаксационного пограничного слоя. ДАН СССР, т. 144, № 6, 1962.
2. Lee R. S. Hypersonic nonequilibrium flow over slender bodies. „J. Fluid . Mech. , VII, vol. 23, Part 3, 1965.
3. Sednev R., Gerber N. Nonequilibrium flow over a cone.
AIAA J., vol. 1, M 11, 1963.
4. Лунев В. В. Гиперзвуковая аэродинамика. М., „Машиностроение*, 1975.
5. Агафонов В. П., В е р т у ш к и н В. К., Гладков А. А., Полянский О. Ю. Неравновесные физико-химические процессы в аэродинамике. М., .Машиностроение", 1972.
6. Черный Г. Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. М., Физыатгиз, 1959.
Рукопись поступила 28 X 1980 -г.
■»— Ученые записки НАГИ № 4.
