Метод расчета неравновесных течений около тонких затупленных конусов под большими углами атаки Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XVIII

19 87

№ 5

УДК 533.6.011.55.011.6

МЕТОД РАСЧЕТА НЕРАВНОВЕСНЫХ ТЕЧЕНИЙ ОКОЛО ТОНКИХ ЗАТУПЛЕННЫХ КОНУСОВ ПОД БОЛЬШИМИ УГЛАМИ АТАКИ

О. Ю. Полянский, Г. Н. Саяпин

Рассмотрена задача обтекания тонких затупленных тел под большими углами атаки гиперзвуковым невязким неравновесным потоком воздуха. На основе закона плоских сечений реализован метод расчета газокинетических параметров в ударном слое около тонких затупленных конусов. Получены формулы для оценки изменения толщины энтропийного слоя вдоль тела.

Для некоторых режимов обтекания конусов воздухом приведены распределения газодинамических параметров и концентраций компонентов, в частности, электронов в неравновесном ударном слое.

1. Рассмотрим обтекание тонкого затупленного тела под умеренными или большими углами атаки («~1 рад) неравновесным гиперзвуковым потоком газа со скоростью У». Предположим, что число Рейнольдса достаточно велико, пограничный слой тонок и его влиянием на невязкую область течения можно пренебречь. Качественная картина течения хорошо известна (рис. 1). Перед телом на наветренной стороне существует тонкий ударный слой. Внутри него находится энтропийный слой, толщина которого уменьшается по мере удаления от носка, и в результате энтропийный слой поглощается вязким пограничным слоем.

Поставим задачу: определить параметры течения на наветренной стороне конуса вне энтропийного и пограничного слоев на достаточном

Рис. 1

удалении от затупления, где энтропийный слой тонок. (Формулы для оценки толщины энтропийного слоя будут приведены ниже). В этой области течение в ударном слое перед тонким затупленным телом будет почти таким же, как на соответствующем заостренном теле. К этому заостренному телу можно применить закон плоских сечений [1], согласно которому рассматриваемая задача эквивалентна нестационарной плоской задаче обтекания «расширяющегося» цилиндрического поршня гиперзвуковым потоком со скоростью Vco sin а. Закон расширения поршня (цилиндра) определяется формой исходного тела. Если тело тонкое (наклон образующей тела т<1), а угол атаки а достаточно большой (ctg а~1), то число Струхаля Sh, характеризующее влияние нестацио-нарности, обусловленной изменением радиуса поршня, будет мало [2]:

с. ^«cos а

Sh = —------;--= х ctg а < 1.

уж sm а

Следовательно, с относительной погрешностью O(Sh) влиянием нестационарное™ можно пренебречь и вместо исходной задачи рассматривать стационарную задачу поперечного обтекания цилиндра со скоростью Voo sin а. Для совершенного и равновесного газов решение, по существу, не зависит от радиуса цилиндра, что существенно сокращает объем расчетов. Поскольку для неравновесных течений закон плоских сечений [1] сохраняет силу [2, 3], а влияние затупления проявляется так же, как в совершенном и равновесном газах, то к неравновесным течениям применим такой же подход. Вместе с тем, в неравновесных течениях существенным параметром является геометрический масштаб обтекаемого тела. Поэтому для получения информации о параметрах неравновесного ударного слоя вдоль всей длины тела требуется, вообще говоря, провести не один расчет, как в случае равновесного газа, а серию расчетов стационарного обтекания цилиндров с различными радиусами гт.

1 2. Оценим изменение толщины энтропийного слоя в плоскости сим-

метрии в случае обтекания тонкого затупленного тела вращения под углом атаки а~1 рад гиперзвуковым потоком со скоростью V

Сначала, для простоты, рассмотрим обтекание кругового цилиндра совершенным газом. Введем цилиндрическую систему координат х, г, ср, связанную с телом. Координату х направим по оси цилиндра; ф = 0 — плоскость симметрии на наветренной стороне.

Приближенно будем считать, что на некотором удалении от затупления распределение нормальной к поверхности тела скорости вне энтропийного слоя в плоскости ср = 0 будет таким же, как и при обтекании кругового цилиндра потоком со скоростью V„ = Vcsina, а скорость Vx= Voo cos а=const.

Анализ результатов обтекания круговых цилиндров совершенным [4, 5] и равновесным газами показал, что профиль изменения радиальной составляющей скорости Vr в плоскости ф = 0 близок к линейному.

В подтверждение сказанному на рис. 2 приведены распределения скорости Vr, отнесенной К максимальной скорости Ушах- Здесь М„ = = MooSin a, Moo — число М набегающего потока, %■—расстояние, отсчитываемое от тела, отнесенное к толщине ударного слоя, | = 0—на теле, |=1 — на ударной волне. Учитывая это, будем считать, что распределение радиальной составляющей скорости подчиняется закону

Vr = — Vook(r — 1)sin a, (1)

Рис. 2

I — МдаЗ 10; х = 1,4; работа [3];

2 — Мм = 10; рот = 0.1 атм; 7'00=21б К;

R„ = 1 см; настоящая работа;

3 — = 3 ; Н = 30 км; работа [4);

-f-Moa^lO; * = 1,2

где k'— -4- ; е=-^2_; Л = -^—; г = ——; р4 — плотность газа

Д Pi r-i г т

за прямой ударной волной при скорости !/<*, sin а; Д —отход ударной волны в плоскости ф — 0 при -0>rT; А = const. При Moo sin а^5 и % = = 1,2-И ,4 (х — показатель адиабаты) & = 0,42. Величина k получена путем обработки результатов расчетов обтекания цилиндров совершенным газом [4, 5] и равновесно-диссоциирующим воздухом (результаты расчетов А. П. Косыха) и А. Н. Минайлоса, полученных по ме-

тодике работы [6]).

Запишем в плоскости ф = 0 уравнение линии тока, которую условно будем отождествлять с границей энтропийного слоя гэ{х),

drэ _ dx ^2)

tV vx

Интегрируя (2) с учетом (1), l^,.= l4oCOsa и полагая, что при некотором значении х=-хх га (*!) = rT + 8(*i), где 8 — толщина энтропийного слоя, имеем

5 (л:,)

Здесь л; и XI—в калибрах радиуса гт. Таким образом, для цилиндра имеет место очень быстрое (по экспоненциальному закону) уменьшение толщины энтропийного слоя по мере удаления от затупленного носка.

Аналогично можно рассмотреть обтекание произвольного тонкого затупленного тела вращения. Опуская выкладки, приведем конечный результат:

-* “ I у *

Ш=е х/т{х)- (4)

В частности, для тонкого затупленного конуса с углом раствора 20 имеем

Вэ (х)

-k tg сс

8Э (xt)

[1 + (х-х,)Ь] • , (5)

где л; =—т—г, индекс «1» означает некоторое начальное сечение, от

гт №.)

которого идет отсчет и в котором толщина энтропийного слоя предполагается известной или оцененной из каких-либо дополнительных соображений. Например, можно принять бэ (лгі) = А (лгі) .

В неравновесных потоках радиальная составляющая скорости в ударном слое около цилиндра при <р = 0 может заметно отличаться от линейной функции (см. рис. 2). Поэтому для неравновесных потоков точность полученных зависимостей будет ниже, чем для потоков совершенного и равновесного газов. Но во всех случаях для оценки толщины энтропийного слоя будем применять формулы (3) — (5) и считать, что условием, позволяющим пользоваться описанной выше методикой (законом плоских сечений), будет условие, что при рассматриваемых х

»(*)

В (лгі)

«1.

(6)

Таким образом, на некотором расстоянии от затупления расчет течения у тонкого тела вращения под большими углами атаки можно свести к расчетам обтеканий круговых цилиндров различных радиусов.

3. Рассмотрим обтекание воздухом кругового цилиндра с радиусом гт. Течение в ударном слое при неравновесном обтекании кругового цилиндра рассматривается на основе уравнений Эйлера, дополненных релаксационными уравнениями:

урК = 0; \_

Р

Уур—а* Кур —%рф;

^УТг =

V чеы = (ап1.

Здесь р, р, V — плотность, давление, скорость соответственно; еу1 — энергии колебательных степеней свободы молекул воздуха (02 и Ы2); ъ — мольно-массовые концентрации компонентов смеси;

(7)

аі — замороженная скорость звука; ■*.—

замороженный пока-

затель адиабаты; — скорость образования компоненты г; функция Ф — некоторая комбинация скоростей физико-химических процессов [6].

Предполагается, что воздух представляет смесь совершенных газов (Ог, N2, N0, О, N. N2", О^, N0+, е) со следующими термическим и калориметрическим уравнениями состояния:

Яр Т

й= ХМ7) Ті-

і = і

Здесь /? — универсальная газовая постоянная; [х — молярная масса; Н%—-энтальпия 1-й компоненты; Т — температура.

При расчетах использовалась следующая кинетическая модель воздуха:

1. 02 + УИ + 5,12эВ?:

2. N2 + Af + 9,76 эВ ^

3. N0 + М + 6,49 эВ;

4. N2 + 0 + 3,27 эВ^

5. N0 + 0 + 1,37 эВ.

6. N2 + 02 + 1,9 эВ 5=

7. N + 0 + 2,76 эВ —

8. N + N + 5,82 эВ 5=

9. О + 0 + 6,96 эВт=

± 20 + М;

12N + М;

— N + О +М; iN + N0;

— N4 02;

12N0;

N0+ + е\

■ N2+ + е;

:02+ +е.

Здесь М — каталитическая частица. Константы скоростей реакций и константы равновесия выбраны согласно данным работ [7, 8]. Вместе с тем учитывалось неравновесное возбуждение колебательных степеней свободы молекул N2 и 02. Предполагалось, что колебательные степени свободы молекул N0 находятся в равновесии с поступательными.

Граничными условиями являются условия непротекания на поверхности тела и соотношения Рэнкина — Гюгонио на отошедшем скачке ср

уплотнения с х =-----= 1,4. Вводится полярная система координат (г,ф),,

су

область интегрирования преобразуется в полосу единичной ширины с помощью соотношения

Г* (?) - 1

Здесь Мф)—уравнение ударной волны. Решение задачи проводится методом прямых [9].

При подборе формы ударной волны используется метод Ньютона. Известно, что в условиях, близких к равновесным, в уравнениях появляются члены, содержащие произведение большой величины на малую. Для обеспечения необходимой точности решения использовался метод, предложенный в работе [10].

По указанной методике проведены расчеты неравновесного обтекания кругового цилиндра радиусов rT= 1; 10; 20 см потоком со скоростью Vn 00= У» sin а = 3 км/с. Условия в набегающем потоке соответствуют условиям на высоте #=30 км.

На рис. 3 приведены распределения плотности в ударном слое, отнесенной к плотности в набегающем потоке р/роо в зависимости от координаты £. Здесь и далее распределения параметров вдоль луча ф = 0 обозначены индексом 1, для ф = 0,92 рад —индексом 2. Распределения параметров в ударном слое в случае обтекания цилиндра радиуса гт = = 1 см приведены сплошной линией, для гт=10 см —штриховой линией, для гт = 20 см — штрихпунктирной.

Проявление влияния неравновесных физико-химических процессов зависит от отношения времени нахождения газа в рассматриваемой области течения к характерному времени протекания этих процессов [3]. В отличие от течения около сферы [10, 11] ударный слой около цилиндра при одинаковых условиях в набегающем потоке имеет значительно большую толщину (отличается в 1,5—2 раза). Поэтому, несмотря на относительно небольшую гиперзвуковую скорость набегающего потока (М„=10), при обтекании цилиндра неравновесные процессы играют бо-

лее существенную роль даже для тел малых размеров (сплошная кривая /).

На рис. 4 приведены распределения температуры Т в ударном слое при тех же условиях в набегающем потоке. С увеличением радиуса цилиндра влияние неравновесных физико-химических процессов, протекающих в воздухе, усиливается. При обтекании цилиндра радиуса гт = 1 см быстрое падение температуры в ударном слое около ударной волны в основном обусловливается возбуждением колебательных степеней свободы молекул кислорода и азота. Дальнейшее падение температуры объясняется в основном протеканием диссоциации кислорода. В случае гт = 10 см большие градиенты температуры у фронта ударной волны объясняются наличием одновременного возбуждения колебательных степеней свободы молекул 02 и Ы2 и диссоциации кислорода. Это подтверждается приведенными на рис. 5 распределениями нормированных мольно-массовых концентраций атомов кислорода = Цоот о ((Хоо = = 29 г/моль) (штриховая и штрихлункдарная линии). Для гт = 20 см имеет место немонотонное изменение концентрации атомов кислорода

3—«Ученые записки» № 5

33

~[д, которое объясняется увеличением роли обменных реакций 4—5 системы (8) с ростом величины -(р.

На рис. 6 приведены распределения плотности электронов пе, 1/см3.

Рассматриваемый режим течения характеризуется малой степенью диссоциации молекул азота. Мольно-массовые концентрации атомарного азота не превышают величины 10-6. моль/г.

Приведенные значения параметров на теле получены экстраполяцией с некоторого расстояния от поверхности тела. Поэтому в случае больших градиентов газокинетических параметров у тела последние на его поверхности определены с некоторой погрешностью.

В заключение авторы выражают благодарность В. П. Шкадовой за передачу опыта расчетов неравновесных течений.

ЛИТЕРАТУРА %

1. Сычев В. В. Пространственные гиперзвуковые течения газа около тонких тел при больших углах атаки. •— ПММ, 1960, 24, вып. 3.

2. Л у н е в В. В. Гиперзвуковая аэродинамика. — М.: Машиностроение, 1975.

3. Агафонов В. П., Вер туш кин В. К., Гладков А. А., Полянский О. Ю. Неравновесные физико-химические процессы в аэродинамике.— М.: Машиностроение, 1972.

4. Б а з ж и н А. П., Челышева И. Ф. Аэродинамические характеристики затупленных клиновидных профилей. — Труды ЦАГИ, 1966, вып.

1034.

5. Дьяконов Ю. Н., Пчелкина Л. В., Сандомирс-кая И. Д. Сверхзвуковое обтекание затупленных тел.— ВЦ МГУ, 1971.

6. Косых А. П., М и н а й л о с А. Н. Обтекание сферической поверхности сверхзвуковым потоком равновесно-диссоциирующего воздуха. — Ученые записки ЦАГИ, 1971, т. 2, № 5.

7. Lin S. Ch., Те are J. D. Rate of ionization behind shock waver in

air, p. II. — Theoretical Interpretations, Phys of Fluids, 1963, III, vol. 6, N 3.

8. Рей К. Л. Химическая кинетика высокотемпературного воздуха. —

В кн.: Исследование гиперзвуковых течений.'—М.: Мир, 1964.

9. Г илинский С. М., Теленин Г. Ф., Тиняков Г. П. Метод расчета сверхзвукового обтекания затупленных тел с отошедшей ударной волной. — Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, 1964, № 4.

10. Ш к а д о в а В. П. Околоравновесное обтекание тел вращения

сверхзвуковым потоком воздуха. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1969, № 2.

11. Полянский О. Ю., Саяпин Г. Н. Неравновесная концентра-

ция электронов за ударной волной и около затупленных тел в гиперзвуко-вом потоке воздуха. — Ученые записки ЦАГИ, 1978, т. 9, № 4.

Рукопись поступила 25/VI 1986 г.