CC BY
58
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И Том VI 1975
М3
УДК 533.6.0)1.72
О НЕКОТОРЫХ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЯХ С ИНВЕРСИЕЙ НАСЕЛЕННОСТЕЙ КВАНТОВЫХ
УРОВНЕЙ
В. М. Кузнецов
Рассмотрены примеры газодинамических течений с инверсией населенностей квантовых уровней. Показано, что эффект инверсии имеет место в ударном слое при обтекании затупленного тела, а также при нестационарном движении неравновесного многоатомного газа с плоскими, цилиндрическими и сферическими волнами, вытесняемого поршнем по экспоненциальному закону.
В задачах сверхзвуковых и гиперзвуковых течений газа существенны неравновесные процессы, связанные с возбуждением колебательных степеней свободы, химических реакций, излучения и т. д. Для обнаружения, вероятной лазерной среды большой интерес представляют неравновесные течения с инверсией населенностей квантовых уровней. Существует несколько различных типов газодинамических процессов, приводящих к инверсии населенностей, например, быстрый нагрев или охлаждение газа [1, 2]. В связи с развитием газодинамических лазеров появилось много работ, посвященных изучению распределения состояний частиц в быстро-расширяющихся потоках (см., например, [3]).
Течения сжатия в этом смысле менее изучены. Предположение о возможности получении* инверсии в ударных волнах было высказано в работах [1, 4]. В работе [5] с помощью численного интегрирования уравнений одномерного течения невязкого газа за прямым скачком уплотнения была обнаружена инверсия между уровнями. 04°0—00° и 20°0—00°1 молекул С02 в смеси С02-|-1^2+Не, а в [6, 7] получены аналитические решения для исследования инверсии в релаксационных зонах за ударными волнами и в энтропийных слоях около поверхностей обтекаемых тел. Эти решения, в частности, пригодны для расчета параметров течения за скачками уплотнения, которые могут возникать в газодинамических лазерах. Известно, что скачки уплотнения в лазерах на основе С02 приводят к уменьшению или исчезновению инверсии между уровнями 00°1 —10°0 молекул С02 и изменению коэффициента усиления.
Настоящая работа посвящена изучению других примеров газодинамических течений сжатия, приводящих к инверсии населенностей колебательных уровней.
1. Рассмотрим некоторые особенности неравновесного течения вдоль линий тока за ударной волной при обтекании затупленного тела релаксирующей смесью многоатомных газов с учетом вращательных и колебательных степеней свободы. Непосредственно за фронтом волны идет процесс возбуждения колебательных уровней и на нулевой линии тока достигается равновесие в критической точке. На других линиях тока равновесие может быть достигнуто где-то внутри ударного слоя, либо колебательная энергия „заморозится“ прежде, чем достигнет равновесного уровня. Характерной особенностью течений лазерных смесей, содержащих относительно небольшие концентрации многоатомных компонентов [например,
C02-f- N2 + Не (НаО)], является малая величина параметра е= J------,
К
где 2^—суммарная колебательная энергия, h0 — полная энталь-i
пия. В гиперзвуковых потоках значение удельной энтальпии Л = const за фронтом прямой ударной волны, а также
i
в некоторой части ударного слоя при обтекании затупленных тел, где расширение потока относительно невелико.
Поскольку при колебательной релаксации кинетика реакций смесей С02 + N2 -j- Не(Н20) определяется бинарными процессами, для исследования населенностей колебательных уровней в ударном слое может быть использован метод соответствия течений [8]. Согласно этому методу при условии h = const, бинарности реакций и одинаковых условиях в невозмущенном потоке может быть установлено соответствие между значениями газодинамических параметров в ударном слое и в релаксационной зоне за прямым скачком уплотнения. В рассматриваемом случае это может быть сделано следующим образом. Аналитическое решение, с помощью которого определяются населенности колебательных уровней за фронтом йрямой ударной волны, известно [6, 7]. Введем безразмерные параметры x — C\-^-dx (где /?0, и0, л: —давление, скорость и
J UQ
расстояние от фронта прямого скачка уплотнения) и ^ = С J do
для соответствующих величин вдоль линии тока в ударном слое, где о — длина дуги, отсчитываемая от фронта скачка. Значения р0 и «о легко определяются по соотношениям для прямого скачка. Для определения Xi должны быть известны значения pt и их вдоль линии тока. Эти величины выбирались из расчетов обтекания затупленных тел воздухом, проведенных авторами работы [9]. Размерная константа С, нормирующая интервал изменения величин х и Xi, может быть выбрана произвольно. В данном случае прини-
п 1
малось, что С =-------, где р0, т12 — давление и время релаксации
РО т12
симметричной и деформационной моды за прямым скачком уплотнения. Соответствие течений заключается в том, что при x = Xi значения внутренней энергии Et{j) и температуры Тг(х) г-моды колебаний за прямым скачком совпадают с £г(хJ, T’i(Xi) в соответствующей точке линии тока ударного слоя (см. схему фиг. 1), где начало каждой линии тока ог (¿ = 0, 1, ... и т. д.) характеризуется
углом 0г. Поэтому заселенности квантовых уровней в этих точках также совпадают. Времена релаксации х< колебательных мод С02 могут быть определены способом, аналогичным описанному в работе [10], по данным для скоростей реакций из [И]. Было рассмотрено течение в ударном слое около цилиндра радиуса /?=12,5мм
(фиг. 1). На фиг. 2 показаны распределения газодинамических параметров: давления р — —,
Poo ^00
плотности р = р/рсо , температуры
7’ = 7’/7со и компонент скоростей и = «/¿Уоо, V — v/Um для линии
Фиг. 1
тока 05 = 2О°, полученные из расчетов [9]. По этим и аналогичным им данным для других линий тока определялись значения параметра Xj. Был выбран режим течения, соответствующий следующим условиям в набегающем потоке: расстояние от ударной волны до тела Д = 5,4 мм, Моо = 8, 7^= 180 К, {/«, = 2160 м/с, рх> = 2\0 Па, 0з = Юо, 05 = 20°.
На фиг. 3 показаны результаты расчетов инверсии -населенностей между уровнями 04°0—00°1 молекул С02 для нулевой 0=0, третьей 03 и пятой 05 линии тока в смеси 89% N2, 10% С02, 1% Н20. Кривая на фиг. 3 получена из аналитического решения для прямой ударной волны [7] и соответствует условиям невозмущенного потока для нулевой линии тока. Аналогичные кривые для инверсии за прямой ударной волной были получены для условий, соответствующих третьей и пятой линиям тока, но они незначительно отличались от кривой фиг. 3. Используя соответствие течений, можно получить распределение инверсии в ударном слое вдоль нулевой (шкала о0 на фиг. 3), третьей (s3) и пятой (<з5) линий тока. Результаты расчетов свидетельствуют о том, что зона инверсии в ударном слое расширяется по мере перехода к удаленным линиям тока (пунктирная кривая на схеме фиг. 1). Недостатком метода соответствия является условие h=const, что не позволяет применять этот метод во всей области ударного слоя.
Для этой цели необходимо воспользоваться численными методами. При этом, если разворот течения около затупления окажется достаточно быстрым, вниз по потоку может возникнуть инверсия между уровнями 00°1 —10°0 молекул С02, что соответствует обычному лазерному переходу. ,
Были проведены приближенные расчеты такого течения, основывающиеся на известном распределении р, р, Т вдоль линий тока и неравновесной модели газа [6]. Пример расчета, выполненного на ЭЦВМ, показан на фиг. 4, где представлено распределение коэффициента усиления вдоль линий тока 91 = 2°, 63=10°, 65 = 20°
при обтекании плоского затупленного тела с радиусом затупления /?= 12,5 мм смесью 10% С02, 85% Ы2, 5% Н20 при М=8, Тсо=218 Кг {/оо = 2350 м/с. Расчет коэффициента усиления проводился для ветви Р(20 —19) с одновременным учетом допплеровского и лорен-цовского уширений.
2. В работе [11] было показано, что уравнения одномерного адиабатического движения совершенного газа с одной колебательной степенью свободы и постоянной теплоемкостью допускают автомодельное решение в классе экспоненциальных функций, когда релаксационное уравнение имеет вид
Отмеченное свойство автомодельности имеет место и для модели многоатомного газа [6], пригодной для описания неравновесных течений с инверсной населенностью. Уравнения одномерных-нестационарных течений релаксирующего газа в этом случае имеют следующий вид:
dp , 1 д (purv) _п да , ^ да 1 др
Ж + 7^ dr ~~U; ~dt ~т~а~дг ~~ Г ~дг ’
cv Т + ? cvt Tij 4- Р -¿ц (—-) = 0; р = рRT',
dTj
dt
T—Ti
г= 1, 2, 3 .
(2)
где ¿ — различные типы колебаний, а у = 0, 1,2 соответственно для плоских, цилиндрических и сферически симметричных движений. В случае течения газа, вытесняемого поршнем по экспоненциальному закону, скорость поршня имеет вид
us = U ы ekt, — 00<г<00, Um = const, £ = const.
(3)
Систему (2) можно привести к обыкновенным дифференциальным уравнениям, если газодинамические переменные представить в следующем виде
Р = Poo G (6); p=pooUl е2« Р (?); и = Uoo ekt V(5);
ui
и:
(4)
¿=1,2,3...,
ПОЛОЖИВ ДЛЯ невозмущенной среды Роо = const, Рс0 = 0, Гоо = 0. G, Р, V, Н, Н1 так же, как и в [12], являются безразмерными функциями автомодельной переменной % — rkekt /£/«, и параметров Т = cp/cv, т, — \ К = CvJR (i = 1, 2, 3 . . .).
С помощью преобразований (4) система (2) приводится к виду
dG
GdH
V-0;
dt
G d%
с, -Ёът cv-+ S'». ж ('^+2 S'»<■".
G d%
(U-l) = 0,
0; Р=Ш; ¿ = 1,2,3...
(5)
Граничные условия имеют следующий вид. На поршне (индекс «)
11,. = и,ю е*', откуда
а на ударной волне (индекс „0“)
и ___ 2 П _Ро__7 + 1 п — 2 „ Г)2 т — 0
7 + 1 Роо 7 — 1 ’ Л)" 7 + 1 У<0 —и- ,
/ — 1, 2, 3 . . .,
где £>=-—— скорость распространения ударной волны; г0 = —
аг %
уравнение ударной волны, параметр Х>0, который определяется в процессе решения. С учетом (4) условия на ударной волне принимают вид .
Ц>=-ГТХ> С0 — ’ р0 = -4гт'к2>
и и 1 — 1’ и 7 + 1
tfio = 0, ¿=1,2,3...
(8)
Система уравнений (5) вместе с граничными условиями (6), (7) может быть решена способом, аналогичным тому, который применялся для случая газа с одной колебательной степенью свободы [13]. Рассмотрим вновь какой-либо многоатомный газ или смесь газов, в которой релаксация колебательной энергии происходит согласно модели Андерсона [10]. Это значит, что в системе (5) имеются два релаксационных уравнения с быстрым и медленным xg временем релаксации. Время характеризует релаксацию симметричной и деформационной мод С02, т2 — время релаксации антисимметричной моды колебаний азота.
Устанавливать точное соответствие между ^ и т2 в данном случае не имеет смысла, поскольку автомодельное решение получено при условии, что cv — const, zt — const. Рассмотрим общую
картину явлений при различных соотношениях между s и х2, когда в невозмущенном течении колебательные степени свободы заморожены. При х,, х2ф0 непосредственно за фронтом ударной волны ни один из колебательных уровней не возбужден и все частицы находятся в основном состоянии. В релаксационной зоне колебательные уровни начинают заселяться с различной скоростью. При колебаниях по закону гармонического осциллятора условие образования инверсии между тп-м уровнем моды 1 и п-м уровнем моды 2 имеет вид-р->^р, где 9Ь 9, — характеристические
У 2
колебательные температуры.
Если Xj = 0, то при любом х2>0 максимум инверсии достигается сразу за фронтом волны, а при 0<x1<^t2 — где-то внутри релаксационной зоны.
На фиг. 5 и 6 представлены значения инверсии применительно к уровням 04°0—00°1 молекул С02 при различных и т2 = оо для * = 0 и разных температур Т0 за скачком уплотнения. Значительные изменения в уровне инверсии в зависимости от xt и Т0 объясняются тем, что шах Ть в релаксационной зоне может быть значительно меньше величины Т0[13]. Применяя гиперзвуковой закон плоских сечений [14], можно перенести полученные результаты
на случай тонких заостренных тел. При этом соответствие тече-
х'
ний устанавливается с помощью преобразования где х'—
координата, направленная по вектору скорости. Уравнение г = гк (х) для линии тока, которую можно отождествить с контуром обтекаемого тела [15], имеет вид, указанный в работе [13]. Тогда, если
выбрать профиль с углом наклона образующей в носовой части к направлению набегающего потока <р=15° при ¿До = 5000 м/с, распределение инверсии в ударном слое будет соответствовать кривой фиг. 5 для Т0 — 2000 К.
Выражаю благодарность О. Ю. Полянскому за полезное обсуждение работы и ряд замечаний.
ЛИТЕРАТУРА
1. Басов Н. Г., Ораевский А. Н. Получение отрицательных температур методом нагрева и охлаждения системы. ЖЭТФ, т. 44, вып. 5, 1963.
2. Конюхов В. К., Прохоров А. М. Инверсная населенность при адиабатическом расширении газовой смеси. Письма в ЖЭТФ, т. 111, вып. 11, 1966.
3. К о р н ю ш и н В. Н., Солоухин Р. И. Применение газодинамических течений ,в лазерной технике. „Физика горения и взрыва“, т. 8, № 2, 1972.
4. Бирюков А. С , Гордиец Б. Ф„ Шелеп и н Л. А, О получении инверсной заселенности на колебательных уровнях многоатомных молекул. ЖЭТФ, т. 55, вып. 4, 1968.
5. Андерсон, Мэддон. Инверсия заселенностей за прямы-
ми скачками уплотнения. Ракетная техника и космонавтика, № 8, т. IX, 1971. .
6. Кузнецов В. М. Об инверсии населенностей уровней молекул в задачах релаксационной газовой динамики. „Численные методы механики сплошной среды*, т. 4, № 3, 1973.
7. Кузнецов В. М. Инверсия населенностей колебательных уровней молекул около тел при гиперзвуковом обтекании. .Ученые записки ЦАГИ”, т. IV, N° 6, 1973.
8. Gibson W. E., Marrone P. V. Correspondence between normal-shock and blunt body flows. Physics of Fluids, vol. 5, N 12, 1962.
9. Благосклонов В. И., Минайлос А. Н. Обтекание кругового цилиндра сверхзвуковым потоком совершенного газа. „Ученые записки ЦАГИ“, т. III, № 2, 1972.
10. Anderson J. D. Time-Dependent analysis of population inversions in s.an expanding gas. „Physics of Fluids“, vol. 13, N 8, 1970.
11. Генералов H.A., Козлов Г. И., Селезнева И. К. Об инверсной заселенности молекул С02 в расширяющихся потоках газа.! ПМТФ, № 5, 1971.
12. А г а ф о н о в В. П., В е р т у ш к и н В. К., Гладков А. А., Полянский О. Ю. Неравновесные физико-химические процессы в аэродинамике. М., .Машиностроение“, 1972.
13. II о л я н с к и й О. Ю., Лебедева Н. Г. Об одном классе автомодельных движений релаксирующего газа. „Журн. вычйслит. матем. и матем. физики“, т. 6, № 6, 1966.
14. Ильюшин А. А. Закон плоских сечений в аэродинамике больших сверхзвуковых скоростей. ПММ, т. 20, вып. 6, 1956.
15. Черный Г. Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. М., Физматгиз, 1959.
Рукопись поступила 27jII 1974 г.
5—Ученые записки № 3
