CC BY
27
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ и А Г И Т о м X/ 198 0
М 6
УДК 533.6.011.055.011.6
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК НЕРАВНОВЕСНОГО ТЕЧЕНИЯ В ЭНТРОПИЙНОМ СДОЕ
В. П. Агафонов
На основе упрощенной модели химических реакций и иониза-зацин в воздухе за ударной волной при малых плотностях предложен аналитический метод определения концентраций компонентов воздуха в энтропийном слое при гиперзвуковом обтекании тонких затупленных тел.
1. При гиперзвуковом обтекании воздухом тонких затупленных тел за сильными ударными волнами непосредственно в области перед затуплением интенсивно развиваются процессы диссоциации и ионизации. Так как скорости этих реакций экспоненциально зависят от температуры газа, то практически все образующиеся атомы и электроны сосредоточены в так называемом энтропийном слое, образованном линиями тока, прошедшими через участок ударной волны с большим углом наклона. При дальнейшем обтекании затупления концентрации компонентов либо оказываются замороженными, либо уменьшаются в результате развития обратных реакций рекомбинации, пока соответствующие линии тока не поглотятся вязким пограничным слоем, который развивается на дне энтропийного (1|.
При больших плотностях газа в окружающей среде (на низких высотах полета) сразу за ударной волной в области перед затуплением воздух быстро достигает состояния, близкого к термодинамически равновесному, отклонение от которого (замораживание концентраций) возможно только в результате последующего резкого расширения газа при обтекании затупления. При этом местные значения атомарных и электронных концентраций становятся намного больше равновесных и определяющую роль играют реакции рекомбинации; этот случай подробно рассмотрен в работе [2].
На больших высотах воздух за ударной волной даже перед затуплением из-за низкой плотности газа не успевает прийти в
6—.Ученые записки ЦАГИ' .>* 6.
81
состояние, близкое к термодинамически равновесному, и уровень замороженных концентраций компонентов определяется скоростью реакций диссоциации и ионизации, точнее, отношением времен релаксации этих реакций к характерному газодинамическому времени течения в этой области. Для расчета концентраций электронов на больших высотах некоторыми авторами используется метод соответствий течений за прямым скачком уплотнения и в ударном слое с введением поправки на изменение энтальпии вдоль линии тока. При этом необходимо путем расчетов найти распределение газодинамических параметров вдоль линий тока в ударном слое и распределение концентраций компонентов при течении за прямым скачком.
В настоящем исследовании использована модель химических реакций и реакций ионизации в воздухе, впервые предложенная в работе |3|. Это позволило получить аналитические выражения для оценки замороженных значений концентраций компонентов воздуха (в том числе концентрации электронов) в энтропийном невязком слое около тонких затупленных тел в зависимости от условий полета и геометрических параметров с приемлемой для инженерных целей точностью.
2. Рассматривая процесс развития диссоциации и ионизации в энтропийном слое при малых плотностях окружающей среды [1], предполагаем, что за фронтом сильной ударной волны в воздухе колебательные степени свободы возбуждены ПОЛНОСТЬЮ (7=9/7), и принимаем слудующую модель химических реакций в воздухе [3):
(Л1 — преимущественно молекула кислорода О, или азота К2). Воздух считаем слабо диссоциированным и ионизованным; пренебрегаем обратными реакциями, а также уменьшением числа атомов кислорода и азота в результате реакции ионизации; предполагается, что все атомы азота, образующиеся при реакции (16) поглощаются реакцией (1 в). В этом случае уравнения кинетики для мольно-массовых концентраций /-компонента имеют вид:
0, + /ИЛО + О + М; Мг + О-^КО + Ы;
N + О, Л N0 + О;
N ■+■ О — * N0^ е~
(1а)
(16)
(1в)
(1г)
(26)
(2в>
(2а)
(2г)
Здесь ъ=С|//Н1 = я</(Мор) (Щ — молекулярный или атомный вес; К0 число Авогадро |4|), а константы скоростей реакций являются известными функциями температуры [5]:
А, = 2,3-1019Г-1 ехр(—5У400,Т)І см*(с«моль)-1; Аг = 6,8 •1013ехр(— 37750 Ту,
Ая = 1,8 • 10* Т3'* ехр(— 3300 Т);
А4 = 1,3* 10® 7'ехр(—31900/ 7^.
Остальные концентрации могут быть найдены из уравнения материального баланса и суммы массовых концентраций [4).
Газо- и термодинамические переменные определяются уравнениями:
(С', р, р, А — соответственно скорость, плотность, давление и энтальпия смеси газов), дополненных уравнением состояния:
где ср1 — молярные теплоемкости компонентов смеси, связанные С удельными теплоемкостями Ср, соотношением Ср1т, = Ср1,
уравнением, определяющим изменение давления р\ последнее может быть получено в рамках теории гиперзвукового ударного слоя [6|.
3. Интегрируя первое уравнение (2а) вдоль линии тока I ((Н = и<И), имеем:
Здесь р = р р ; £/=£/, £Лс ,/ =//а, а —радиус затупления тела.
Так как подынтегральная функция /(/) экспоненциально зависит от температуры, а при обтекании затупления температура вдоль линий тока падает*, концентрация ?0 быстро замораживается, и ее величина определяется максимальным значением интеграла /0 (/), который асимптотически при /. = (59400 Т (0)) > 1 может быть вычислен следующим образом:
Таким образом, для определения замороженной концентрации т0 необходимо только знать газотермодинамические величины и их первые производные вдоль линии тока непосредственно за ударной волной при 1 = 0 (индекс $).
* За исключением линий тока в замороженном течении, непосредственно примыкающих к критической.
и <111=----------у<ір\
сііі = -^-<ір
(3)
(4)
(5)
калорическим уравнением:
(6)
АV — энергия образования одного моля атомного компонента, и
(7)
о
(8)
Для сильных ударных волн с углом наклона з за фронтом ударной волны при 7=9/7 имеем [6]
.1+1 7
2 . ./2
----| = 8; ~ ]/ЛС052 з 4- з ;
Р, = У°о ею2 з; 7 = 7 = 7ко = 7, - 0;
I 1
(То. + Тх: )* = т71 — 1/28.9 |г моль]-1;
Г Лс
----?!----- 1^, 5Ш" 3
_(•< + !)»
1 ЙГ,
(9)
При вычислении производной --—-сделаем ряд упрощений.
Используя близость по величине молекулярных весов кислорода и азота, уравнение сохранения массовых концентраций
^ /я, 7, = 1 можно записать в виде:
I 71 2 (То т Т„> ~ (То, + ТN,1$ ~ т
-1
5 *
(10)
С учетом (10) выражение (6) вблизи ударной волны преобразуется следующим образом:
~2~ ~щ г ^ те- (То ~ Т\-) j + 1Ло70Ч- Ло7х].
Тогда из (4), оставляя главные по порядку величины члены, получим
[1+0Шг’ %)]• <">
1 дТ 2 ! др, 2 1Р0 т5 д10 Г
Т, 61 9 Р.1 д\ 9 ¿Г 1
/?г5 4л°0 :< 1 и 2 1.
Для определения градиента давления можно воспользоваться ньютоновским приближением
1 ^5 Р = Р*~:ъТГа
ф
Например, для сферического затупления имеем (см. |6], §5.2)
• др, ^ 5-7
Р* д!
сгё з.
Аналогичным образом, интегрируя уравнение (2г) вдоль линии тока, получим:
I _ 66350
~!е “ Се I' (Т) = Се \ Г (5) /I (5) е Г <15-,
10й1
Г?:сд
; /7(5) = т'*
Vо, Ьу Т ’
Используя экспоненциальную зависимость подынтегральной функции от температуры, при k = [66350/7^] > 1 можно оценить величину интеграла Iе следующим образом:
К (7)~ 1/(0) Ia \F{s) s2 e~kTs'Tds ~ 2 , (13)
о
1 дТ' ,11Ч
где производная -f~ ~дГ определяется тем же выражением (11).
Было проведено сравнение с результатами расчета [7] при обтекании кругового конуса с углом раствора 10° и радиусом затупления а — 0,015 м со скоростью полета *= 4 км/с на высоте Н — 45 км (рое = 2 -10-3 кг м3). Расчет по формулам (7) — (8) и (12) —(13) (при 7^ = 5830 К) дает следующие максимальные значения концентраций: Tfomax = 2,5-10—3; fe шах — 1 • Ю-9; это удовлетворительно согласуется с соответствующими данными из работы [7]: (-j0)max = = 3,5-10-3; (^„ = 3,5-Ю-9.
4. Вдоль критической линии dl~= — dy, скорость определяется выражением [8] U — —у < 1 [на ударной волне _у=Л=(т— — 1)/(Т+1); на теле У =*0], и с помощью (4) —(10) изменение температуры может быть представлено в виде:
7'/7’f 0~ 1-ms т0 (у); Tsl)=VÍ (14)
а 'í0
Используя предположение о слабодиссоциированном газе, из формулы (7) методом возмущений можно получить:
С0/(0) «-'*
•0~
['-(лП- (15)
. 59400 2 Td „ , ...
где }'о = ~т^г; a=irr~;m*cof(Q)e °ys<i-
В предельном случае .замороженного“ течения (при л„а-»0) из формулы (15) следует:
То(.у)-*Со/(0)<?-Чп -&■. (16)
Это согласуется с логарифмическим законом изменения концентраций, полученным в работе [8], где пренебрегается изменением температуры при движении газа вдоль критической линии тока [при а -*• б Т — Ts0 в выражении (14)].
Максимальное „замороженное“ значение >-0nux по формуле (15)
(при у — 0) определяется выражением:
_ Со/(О)«?—*0 _ 9 Г,о 1 П7.
То max ).0 а 2 Tdms ' ’
То же самое выражение получается из формулы (7), (8), если в ней положить з = г 2 (в этом случае -~-(dps!di)s -*■ 0 j :
\ *•$ J
(То>"
Cof(0)e~x э Ts0 1
kf±JL)
[Ts dljs
2 Td ms ,
Аналогично из выражения (12) для величины концентрации электронов вдоль критической линии имеем:
■■ [/(0)е-Ч«Р<0)«-*‘ г П8>
' (Хо а)3 3 *>-*<•« ’ ^ '
где к0 = 66350/ 7"50; г *= у¡у3.
Максимальное замороженное значение
2 С, [/(О) е-'* ]*/=Ч0)<Г*«
аз*р - /-о)(*0 + 2 /о)
(19)
согласуется с (уе)т»\, расчитанным по формулам (12), (13) при з = тс/2 и ¿0» 1-
Таким образом, для оценок можно пользоваться формулами (7), (8) и (12), (13) в энтропийном слое, включая критическую линию.
5. Вычислим суммарный поток Ч' замороженных концентраций /-компонента в энтропийном слое:
Л 5
Ч’( = 2- т[ ^ т< шах Ц = 2- т,рм Уж \ у, шах г,<1г„ о
так как 7« тах = V/ (•» и на ударной волне = р,г>,г^г,/81пя = = р=о Уя>г3аг„ где — расстояние от точки на ударной волне до оси симметрии течения. Если Я3 — радиус кривизны ударной волны,
то г$ = = сое з; / = г? = 1 — вШ2 з. Тогда
Ч-,
(20)
(здесь использовано приближение ~0 — радиус кривизны на критической линии).
Для суммарного потока концентрации кислорода О,, подставляя (7), (8) в выражение (21), получим:
чг, /
~то Рос у» о
г2
• О шах
X
«1-»
Л (0 = х
• О тпх
{I 1+Фо
(1 — о3 л (О
Ф»(0 --¡гтт^гт'-г----------г(1 — О2 УНйГ + Т-Ц
8 Со (70 ','тЬ ’ г [64 1-<
(21)
Вблизи критической линии (¿</*-*0): Ф0(/)<1 и интеграл в правой части (21) равен У0(<*)|/.-о~ <*. Наоборот, если Ф0(£)2> 1. то
тяУ г<|— о-(*у
) Ф0(0 *о*о<<*) •
*•
Величина при которой сращиваются оба предельных выражения, определяется соотношением Ф0(/*)— 0(1), непосредственно зависит от геометрических размеров тела, скорости и высоты полета и характеризует толщину слоя, содержащего основную часть суммарного потока концентрации.
Аналогично для суммарного потока концентрации электронов имеем, подставляя (12), (13) в выражение (20):
le____________ j (t)______dt 09
0 TíoJ [I -f Ф0(0)■' •
'mvn Peo V’x Rs
Вблизи критической линии (£</*« -»0): Ф0(t)<£ 1 и •/,(***) ~ Во внешней части Ф0(0^ 1 и
шах |
(1 — <)13,2g (1 - <,*)172е 1-'
*0 (Ад—Х§) /ф
**)
|Фо(013 (*с + 2^)(Фо«**)]3
Величина при которой сращиваются оба предельных выражения, определяется соотношением Ф,('**)~0(1), также непосредственно зависит от геометрических размеров и условий полета и характеризует толщину слоя, заключающего основную часть всей концентрации электронов.
В заключение автор благодарит О. Ю. Полянского за внимательное отношение к работе и полезные замечания.
ЛИТЕРАТУРА
1. Полянский О. Ю., Агафонов В П., Кузнецов М. М. Методика оценки уровней неравновесной концентрации электронов около тонких затупленных конусов в гиперзвуковом потоке воздуха. Сб. .Проблемы физической газовой динамики". Труды НАГИ, вып. 1656, 1975.
2. Полянский О. Ю. К расчету неравновесной концентрации электронов на поверхности затупленных тел. .Ученые записки 11АГИ\ т. 4, № 2, 1973.
3. Levinsky Е. S., Fernandez Е. L. Approximate nonequl-librium air ionization in hvpersonic flows over sharp cones. .A1A A“ J„ vol. 2. N 3, 1964.
4. Агафонов В. П., Вертушкин В. К., Г л а д к о в А. А., Полянский О. Ю. Неравновесные физико-химические процессы в аэродинамике (под ред. Г. И. Майкапара). М., .Машиностроение', 1972.
5. Дж. Мартин. Вход в атмосферу. М., .Мир*, 1969.
6. Лунев В. В. Гиперзвуковая аэродинамика. М.. .Машиностроение", 1975.
7. С а япин Г. Н. Неравновесные концентрации электронов на поверхности тонких затупленных конусов при обтекании сверхзвуковым потоком воздуха. Сб. .Проблемы физической газовой динамики*. Труды ЦАГИ, вып. 1656, 1975.
8. Агафонов В. П., Кузнецов М. М., Полянский О. Ю. К асимптотической теории гиперзвуковых течений с неравновесной ионизацией в окрестности критической точки. .Ученые записки ЦАГИ“, т. 9, № 1, 1978.
Рукопись поступила 26¡X¡I /977 г.
