CC BY
37
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И Том XX 19 89
М 3
УДК 533.6.011.55.011.6
О ПРЕДЕЛЬНОМ ПРОСТРАНСТВЕННОМ ОБТЕКАНИИ ТОНКИХ ТЕЛ СВЕРХЗВУКОВЫМ потоком РЕАЛЬНОГО ГАЗА
М. М. Кузнецов
Рассмотрена асимптотическая форма уравнений пространственного тонкого ударного слоя в случае двойного предельного перехода е 0, -*■ 0 (где е — отношение плотностей газа на ударной волне, —параметр подобия [1]). Показано, что неравновесное течение в пространственном пристеночном подслое зависит от ряда новых безразмерных параметров, влияющих на характеристики сопротивления и теплопередачи.
1. Рассмотрим неравновесное обтекание заостренного тонкого тела под углом атаки а.
Следуя основным представлениям асимптотической теории тонкого ударного слоя [2, 3], будем считать, что толщина этого слоя при М^ sin2 а > 1 пропорциональна малому параметру е (М*—число Маха набегающего потока). Введем следующие безразмерные представления координат и функций в рассматриваемой задаче:
df. dñ dy» d
A± dx = -1, A2dz = -J?, dy=-j, 5 = -y
l
к»
1/0
и =
Fqq COS a
Sin a 1
P =
єро
P =
P v
ТОО r <X
T--
2 c°p T° V^sin2«*
(1.1)
Здесь (дс, у, z) — криволинейная триортогональная система координат [4, 5], d/p df \ — элементы длин линий кривизны поверхности тела F, уа — расстояние, измеренное по нормали к F, j4i(x, z), А2(х, z)—коэффициенты основной квадратичной формы F, причем
dfv= /(1 + У <) Аг dx, d/° = rf (1 К%) А2 dz,
КJ {х, г), /(® (х, г) — главные кривизны F по направлениям х и г, и°, к», — сос-
тавляющие вектора скорости, р°, pf>, Т°, с® — плотность, давление, температура и теплоемкость при постоянном давлении, V d — характерные размеры тела. Под-
ставляя соотношения (1.1) в полную систему уравнений движения с физико-химическими превращениями [6] и в соответствующие граничные условия, будем иметь
D (и ctg а) - те»2 (/С0 d) = _ Ы __ к и д (в с, } _
Ai р/ дх Ai дх
-[w(*° «Q +«»(*?<*] в ctg«, (1.2)
Dw-{K°xd)(uctgap=-*fy _k udw_
Л2рдг Ai дх — (k° d) (« ctg a) w — £ (K% d) VW, p = M (qm) pT-i,
«2 (/cf d) + ^ (/(0 d) + о («) = _L
P öy
л_і + + (Ko d) pu cfg a + (/fo d) pa) +
+ *8 V ^ = °> ¡D + *».V “ Я = 0>
на ударной волне у = 5 (л:, г),
“i = («t» ri) cos-1 a, = (ето r3) sin-1 а,
j—і... dS it d-S , eoo и«>
üí ----- Ал W — —j— К ъ A * Jf — -T* II- y
S 2 dz -Г 8 Ax U dx-r ^
Ps = (eoo nwy sin-2 a, qs = (л:, z), ps = ps (x, z)
(1.3)
на поверхности тела
jr = 0, u = 0. (1.4)
Здесь /С^—главные кривизны поверхностей — const, г = const) по направлениям г и х:
К° = А~х ¿21 Г1 , К°х = i4f1 d—1 ,
z 1 ¿ дх x 1 ¿ dz
H— полная энтальпия газа, H—h ц2 + M{qm) — молекулярный вес газа, X„ — отношение характерного газодинамического времени d (V^ sin а)~1 к времени релаксации т; гг, r2, nw, г — единичные вектора по направлениям х, у,
z, [5]. Переходя к пределу е ->■ 0; kb = const—получим в главном приближении систему уравнений пространственного тонкого ударного слоя, основные свойства которой исследованы в работе [Б],
Рассмотрим далее двойной предельный переход
(в-»0, *5-0). (1.5)
Ограничимся классом тонких тел [1], б<1. Тогда величины коэффициентов Ламе и главных кривизн должны соответствовать условию ó<Cl, т. е. с необходимостью будем иметь
K°zd^b, К° d^b, Kid^b, K\d< 1. (1.6).
Учитывая соотношения (1.6) и переходя к пределу (1.5), получим, что все производные по х и тангенциальные градиенты давления исчезнут из уравнений (1.2) и граничных условий (1.3), причем поле течения в каждом сечении х=const будет таким же как и при плоском поперечном обтекании тела со скоростями шик.
Однако такая картина течения может быть нарушена в некотором пристеночном подслое [3, 6, 7], что связано с «ньютоновским» характером (е 0) двойного предельного перехода (1.5).
Для анализа подобной особенности необходимо учесть в уравнениях движения члены меньшего порядка, опущенные при совершении предельного перехода [3, 6, 7]. Порядок величины скорости w в пристеночном подслое находится из сопо-
, dw
ставления основного конвективного члена w и максимального из опущенных.
ог
Рассмотрим далее случай
K°zd~K<ld~b, K%d~ 1, K°d<b. (1.7)
Тогда порядок величины w будет следующим
£6, если £5>|ЛГ;
® ~ (*= л- г- \ (1.8)
Ve, если ks<^Y
Оценим толщину пристеночного слоя Д|, в котором составляющая скорости со имеет малую величину (1.8). Из уравнения неразрывности следует, что у ~|хД(. Рассмотрим область течения вблизи плоскости растекания потока (Л2Дг)<1, где величина ш~|А. Ввиду того, что на ударной волне ^4—1 ~ 1, получим, что ширина об-
2 ¿z
ласти (Л2Дг) ~ ц. Составляя уравнение расхода для газа, вошедшего в ударный слой вблизи плоскости растехания со скоростями ш~(х<с1 и движущегося затем в пристеночном подслое Д1, получим
Poo Voo sin “ (■Д3 bzd) ~ Р., Sin a (á! ed).
Откуда следует
Aj — 1, v ~ ¡л.. (1.9)
Таким образом, толщина пристеночного подслоя оказалась сравнимой с толщиной всего ударного слоя Д~1 (ранее подобный вывод был сделан в работах [3, 6, 7]).
Выпишем систему уравнений В пристеночном подслое при ks>
Dl (и ctg а) = о (e/Äg), DtH= 0,
(1.10)
Здесь
т1 + *2 и «»1 — Хд- и2 = — е£6 2 (Л2р х) 0 (е),
ог
V ш + тг + ту + '‘'“ + ° «*’> - »■
|£. = о (4|, 8), С, «, . ^-0, , - М
ду к&
•ш = к, тюх, V = к; Ул, О = АГ1 и -Д- + А? 1 + V .
0 1 дх * дг ду
В случае къ С плоский характер течения не нарушается в пристеночном подслое, однако в отличие от основной области течения, где ~ 1, нельзя пренебрегать величиной АГ1 р-1 [6, 7]. Кроме того, степень неравновес-
дг
■ости течения в подслое определяется величиной параметров Ая/уг7', где п — 1, . . . , N.
Из уравнений (1.10) следует, что течение в пристеночном подслое при ^5 ~ У~Т будет пространственным, причем необходимость учета тангенциального градиента давления А%1 р~1^ зависит от величины
*6 = hlV^. (1.м>
Аналогичный параметр Q = Q/Yz был введен в работе [3] при рассмотрении ньютоновского обтекания тонких крыльев малого удлинения (S = tf ctg а/у^е [8], ç —угол при вершине крыла).
Степень неравновесности в подслое при kb>Y^ определяется величинами параметров Х„ = X„¡кь, и=1,...,
2. Для выяснения влияния течения в пространственном пристеночном слое на величину давления воспользуемся асимптотическим решением задачи о сверхзвуковом обтекании (тонкого) конуса под углом атаки потоком совершенного газа, полученное в малой окрестности плоскости симметрии [6].
Выделяя в этом решении при (В <g ], къ ->• 0, s -s- 0) параметр és, будем иметь
(R — 1), w = <рда,; (2.1)
Д= * =-ln(*sR) +0(1): />2(0) = ß = A; (2.2)
stgö0 *
(®/fer1-2A) = -l + o(ésln^). (2.3)
Здесь у — азимутальный угол, <р < 1, еФ = р0 (у = 0) — 1 + e/2, R = l/1 + 2 8 kf2> остальные обозначения те же, что и в работе [6].
Из формулы (2.2) следует более точная по сравнению с (1.9) оценка отношения * толщин Ai/Д
(Ai/A) ~ (ln kJ*1 0,
что позволяет применять принцип сращивания асимптотических разложений в областях у~Д и y~Ai [7].
На основании выражения (2.3) можно заключить, что пристеночные слои оказывают малое влияние на величину давления, оцениваемое величиной ~еРг (кд, кь), где
Pl =: kb ln kb при kb > Ÿ г ; pt ~ къ 1пУ е при ks С Y г.
3. Проанализируем влияние пристеночного слоя и, в частности, параметра ks на характеристики трения и теплопередачи применительно к рассмотренным ранее условиям обтекания тонкого конуса. С этой целью воспользуемся интегральным решением задачи, приведенным в работе [9]. Заметим, что в этом решении параметр К, характеризующий азимутальное растекание потока, может быть явно выражен через к~
/С=-|-Л2-1 (*a«)-1g'Si-(R-1)=i-(]/'1
Тогда для величин, характеризующих трение и теплопередачу в обозначениях работы [9], можно записать
Rœ0,5 Nw — — Cfw Y1 + К • (3-1 )
Здесь Nw, Cfw— безразмерные коэффициенты теплопередачи и трения,
Rw — число Рейнольдса, R® = nf1 pi ( V«, cos a) x, ^ = %s, p-i = H-s, Ф = Ф (К, <*>, 6W),
<a=ctg2a, 6W = Tw/Ti, Tw — температура поверхности. На рисунке показано изменение функций Ф и F" YI + К в зависимости от величины параметра Л6, опре-
деляющего предельное состояние пристеночного подслоя. Эти графики могут оказаться полезными для моделирования тепловых потоков на линиях растекания тонких конусов в аэродинамических установках с энергоемкими газами (типа фреонов).
Таким образом, согласно соотношению (3.1), в случае двойного предельного перехода (^fes->-0 и е-*-0, 6<1) предельная величина потоков трения и тепла существенно зависит от параметра k§ = г и будет, вообще говоря, различной для газов с различными значениями у, где y — отношение удельных теплоемкостей сР/с„. Так для воздуха (е—1/6, пунктирная линия 1) и фреона (е=0,1, пунктирная линия 2) значения функции F" при сверхзвуковом обтекании конуса (0=10°, а = 45°) будут отличаться на свою величину.
Заметим, что и для неравновесного течения в ударном слое при Хп~1 (например, с колебательной релаксацией) зависимость (3.1) будет по-прежнему справедлива, поскольку в пристеночном вихревом подслое течение будет равновесным (так как = \п k^1 > 1), что позволяет вновь воспользоваться решением (2.1).
В заключение автор благодарит В. В. Сычева, В. Я. Нейланда, В. В. Михайлова за обсуждение работы и полезные замечания.
ЛИТЕРАТУРА
1. Сычев В. В. Пространственные гиперзвуковые течения газа около тонких тел при больших углах атаки. — ПММ, 1960, 24, вып. 2.
2. Hayes W. D., Р г о b s t е i n R. F. Hypersonic flow theory. Vol. 1.— Inviscid Flow, 1966.
3. Ч e p н ы й Г. Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью.— М.: Физмагиз, 1959.
4. X о й э р з JI. Пограничный слой в пространственных потоках. Вывод уравнения обтекания произвольной искривленной поверхности. — Сб. переводов. Механика, 1951, № 1.
5. Голубинский А. И., Голубкин В. Н. Пространственное гиперзвуковое обтекание тела конечной толщины. — Ученые записки ЦАГИ,
1982, т. 13, № 2.
6. Л у н е в В. В. Гиперзвуковая аэродинамика. — М.: Машиностроение, 1975.
7. Коул Ж., Б ра й н е р д Ж. Обтекание тонких крыльев гиперзву-ковыми потоками при больших углах атаки. — В сб.: Исследование ги-перзвуковых течений.-—М.: Мир, 1964.
8. М е с с и т е р А. Ф. Подъемная сила тонких треугольных крыльев по ньютоновской теории. — РТК, 1963, № 4.
9. АвдуевскийВ. С. Расчет трехмерного ламинарного пограничного слоя на линиях растекания. — Изв. АН СССР, ОТН, сер. Механика и машиностроение, 1962, № 1.
Рукопись поступила 18 VII 1983 г.
