CC BY
45
_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И
Том IV 19 73
М 6
УДК 533.6.011.72
ИНВЕРСИЯ НАСЕЛЕННОСТЕЙ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ УРОВНЕЙ МОЛЕКУЛ ОКОЛО ТЕЛ ПРИ ГИПЕРЗВУКОВОМ ОБТЕКАНИИ
В. М. Кузнецов
Рассмотрены аналитические решения уравнений релаксационной газовой динамики, приводящие к инверсной населенности колебательных уровней молекул за сильными ударными волнами и в релаксационных энтропийных слоях около поверхности тел, в частности клина, обтекаемого гиперзвуковым потоком газа.
1. Ибпользование сверхзвуковых течений релаксирующего газа для получения инверсной населенности частиц было предложено в работах [ 1]—[3]. В работе [1] предлагалось два метода получения инверсной населенности: быстрое расширение газа в сопле (колебательная температура газа больше температуры активных степеней свободы Т^>Т) и быстрый нагрев газа (например, в ударной волне), когда Т~>Т ^ Возможность получения инверсии в ударной волне высказывалась также в работе [4]. В недавно опубликованной работе [5] путем численного интегрирования уравнений одномерной газовой динамики для смеси, содержащей 1,9% С02, 38,1% N2 и 60% Не с использованием наиболее простой кинетической модели Андерсона была получена инверсия между колебательными уровнями (04° 0—00° 1) и (20° 0—00°1) молекул С02. Представляет интерес показать наличие инверсии в ударной волне, используя аналитические решения уравнений газовой динамики в случае колебательной релаксации. Ниже получены такие решения для более строгой кинетической модели, чем модель Андерсона.
Структура ударной волны в релаксирующем газе рассматривалась многими авторами, в частности в работах [6] —[9]. В случае так называемых слаборелаксирующих газов, когда отношение
Л0
где ^ — внутренняя, например колебательная, энергия, а к0—полная энтальпия, параметры течения в релаксационной зоне можно
определить путем линеаризации уравнений газовой динамики по параметру е [8]. В случае смеси
2 «г
г
где а1 — мольные концентрации компонентов, содержащих колебательную энергию. Из расчетов следует, что величина е мала при колебательной релаксации двухатомных газов, а также в случае релаксации смесей газов, например Ы2 + С02 + Не(Н2 О), при относительно небольшой мольной концентрации многоатомных компонентов. Искомое решение представляет собой вариацию от решения для обычной ударной волны в совершенном газе- В случае стационарных движений многоатомного газа с несколькими колебательными степенями свободы уравнения имеют следующий вид:
сИури = 0; и(уи) = — у + срГ + 2Я, = /г0;
Г * *
р = рЯГ; = / = 1, 2, 3 ...; (1.1)
где р—плотность; и — скорость, р— давление, Т — температура поступательных и вращательных степеней свободы, Е1л Т1—средняя энергия и температура г-й колебательной степени свободы, т^сопв!— времена колебательной релаксации; Л0, ср, Я, 6г = Л^/&—константы.
Уравнения (1.1) можно обосновать, исходя из обобщенного уравнения Больцмана [10]. Несколько независимых релаксационных уравнений имеют место в следующих случаях. При отсутствии обмена энергией колебаний между соседними модами, так что их активация и дезактивация при столкновениях происходит только за счет обмена с поступательной энергией. Э;го справедливо в том случае, когда вероятность обмена колебательной энергии между соседними модами при столкновениях много меньше, чем вероятность обмена с поступательной энергией. При обратном соотношении характерные колебательные температуры мод следует считать близкими или совпадающими между собой. При качественных исследованиях релаксационные уравнения типа (1.1) могут быть использованы и в том случае, когда упомянутые вероятности одного* порядка величины. Соответствующие значения х1 при этом являются некоторыми эффективными значениями, определяемыми по* правилу „параллельных сопротивлений" [11]. Наиболее вероятными! в рассматриваемой модели являются обычные упругие и резонансные колебательные обмены, устанавливающие больцмановское распределение по уровням в каждой колебательной степени свободы.
Рассмотрим частный вид уравнений (1.1), описывающих прямую* ударную волну:
ри = С1; /?-[-ри2 = С2; ~2~-\-срТ + 2 Е1 = /г0; р—рЯТ. (1 -2^
3 — Ученые записки ЦАГИ № 6
за
После линеаризации они принимают следующий вид:
Ро«' + Р' «о = 0; р’ + 2 и0 р0 и' + и* р' = 0;
+ + р'=Я(?оТ' + р'Т0). I (1,3)
г
Величины с индексом „0“ соответствуют параметрам газа за фронтом идеальной ударной волны, а величины со штрихом обозначают приращения газодинамических величин за счет влияния релаксации. Релаксационные уравнения в нулевом приближении интегрируются непосредственно. Имея в виду в дальнейшем исследование распределения частиц в релаксационной зоне за фронтом ударной волны, будем искать такие решения этих уравнений, которые соответствовали бы замороженным значениям колебательной энергии непосредственно за фронтом волны, т. е. Е1 = Е1со и=о, и равновесным значениям Е1== Е10\х=оо в конце релаксационной зоны. Эти решения можно записать в следующей форме:
X X
Е\ (*) - Е, оо <Г “»+ Е1 о (1 - е И“). (1.4)
Е,
Если удельные внутренние энергии обозначить через аг = -^07 ,
то, используя соотношения для средних значений Еь можно получить выражения для колебательных температур:
Тг =----\(1.5)
г Ма-Ч-!)
Приращения газодинамических величин в релаксационной зоне определяются из уравнений (1.3)
тг_ V • / I . „Г <
1 =----^--------- - Р =-----м2-------
(1 — Мо) су Щ-1
м§(т-1)2в; м
Р «о ’ (Мц —1)м0
(1.6)
где М0 — число М за фронтом волны, т— постоянная адиабаты.
В дальнейших расчетах в соотношениях (1.4) вместо Т0 используется температура, получаемая с учетом решений (1.6). По известным из решений (1.4) и (1.6) макроскопическим параметрам газа инверсная населенность может быть определена, исходя из общего больцмановского распределения частиц по уровням, которое для молекул С02 имеет вид
N — -^1 — — — ЛЬ. _ _ Л®*. _ 0_з_
В^_^р_==е г. (1-е г‘)(«+ 1)е т'(\-е т*?е т°(1—е г»),(1.7)
где т, п, р\ 1=1, 2, 3 — последовательно симметричная, деформационная и антисимметричная мода колебаний С02; множитель (га+1) связан с вырождением колебаний деформационной моды, а 9г=/Ь>г//г — соответствующие характеристические температуры. Предположение
о больцмановском распределении по уровням внутри колебательных мод справедливо для различных газовых смесей, в частности для смесей на основе С02. Так как основной интерес представляют низшие колебательные уровни, то при расчетах остается справедливой модель гармонического осциллятора. При наличии у газа нескольких колебательных степеней свободы (например, С02) качественная картина релаксации за прямой ударной волной имеет следующий вид. Симметричные и деформационные колебания релак-сируют на расстояниях д: — и довольно быстро принимают температуру поступательных степеней свободы. Антисимметричные колебания релаксируют медленно (х — ^2и0, ,с2^>т1), и определяют фактическую величину релаксационной зоны. Если в некотором интервале Дх за фронтом волны выполняется условие Еп, 1ЕЫг <[7'і/7’г> где Ец1 , Еы, — энергии верхнего и нижнего уровня колебаний соответствующих мод, то на уровне Ец1 больше частиц, чем на уровне Слг2 (инверсия).
Отношение числа молекул в колебательных состояниях т, п, р с учетом изменения плотности в релаксационной зоне к полному числу молекул С02 в ед. объема при температуре Т0 равно:
Отметим, что, если условие £<С^1 не выполняется, газодинамические параметры в релаксационной зоне можно уточнить, применяя выражения (2.2) из работы [9], обобщив их на случай многоатомных газов. Условие ^ = со1^ при этом станет более грубым.
_ 9«
Введем обозначение уь = е Г‘с*). Тогда для разности населенностей состояний т.', п', р’ и т, п, р получим
В частном случае уровней (04°0 — 00° 1) и (20°0 — 00°1) будем
(1.8)
(Т-1) К'ІіЕі (х)
где К— 1--------------5—-—5--- , а В — выражение (1.7).
(Мп— 1) и1
= -у,) (1 - у2)2 (1-уз) у?уду* [(«' +1) X
Хут'~туп2~пург'~р(п+ !)]•
(1.9)
иметь
ДЛГх
= _уі){1_у2Г{ї — уг)у3(у\у-1 — 1); (1.10)
ДЛ?2
%!•» V =к\ 1 ->.,)(! -Л)!(1 -У,)У,(УІУҐ ~ 1). (1-11)
Используя соотношения для аг и Е1 из (1.1), выражения (1.10) и (1.11) можно преобразовать к следующему виду:
No
=*[(«,+1)(а2 + l)2(e.+ l)]-1[((
Д2
0>2 "Ь 1
ДЛГ2
= /C[(a1 + l)(a2 + l)2(a3+l)-i
ах
а3
(1.12)
(1.13)
, ,, , ж, [^+1; [а3+1)
который при расчетах ДУУ/Л^ не требует предположения о постоянстве колебательной теплоемкости. Граница инверсии (равенство количеств частиц на верхнем и нижнем уровне) при фиксированных условиях перед фронтом волны имеет место для определенного отношения г = 12/х1- Значения т2 не могут быть определены в рамках задачи газовой динамики и выбираются либо из эксперимента, либо из квантовомеханических расчетов. Однако отношение 2, при котором ДА^/Л^0 = 0, может быть определено из следующих двух условий. Во-первых, необходимо, чтобы
(1.14)
условие, следующее из обращения в нуль производной от разности колебательных температур в релаксационной зоне. Во-вторых, необходимо, чтобы
1 (То - Тоо) _______ р$з
mb2
■ const,
(1.15)
Т0-е “•т‘(Г0-7<оо)
условие, следующее из обращения в нуль производной от выра жений (1.10) и (1.11).
Выражения типа (1.10) — (1.13) вместе с (1.4) —(1.6) можно ис пользовать для быстрых оценок возможных инверсных населен ностей в различных газовых смесях, и для параметрических исследований инверсии и коэффициента усиления в зависимости от Моо,
«г» / ч по данным
/ / Ч \ данные адшора
1 \
>
/ \
1 г 0Ь°0-00о1
1, \ / \
х \
А \
1 J Х2О°О-О0°1
/ \ \
1 1 \ \
1 \ \ \
\ N
/ 1 \\ \ \
V \
\ \ \
\ \ \ \
0,5 Фиг. 2
10х,мм
ъК 4 6 8
значение ДЛГтах<103 при
04°0->00°1 •^•тах» 04°0-»00°1 •*тах> ММ 04°0-*-00°1 ■*тах> ММ
4 2,55 0,23 4,43 0,15 4,45 0,07
5 3,84 0,23 5,79 0,14 5,75 0,06
7 5,59 0,25 8,35 0,14 7,51 0,06
10 7,01 0,27 9,05 0,14 8,89 0,06
102 11,33 0,37 12,73 0,14 12,35 0,05
103 11,98 0,40 13,15 0,14 12,73 0,05
10* 12,19 0,48 13,19 0,14 12,77 0,05
рх, *г. Эти же соотношения могут быть применены для оценки деструктивной роли ударных волн в газодинамических лазерах. Так, например, уменьшение или исчезновение инверсии на переходе 00° 1 —10°0 в активной среде, содержащей прямые или косые скачки уплотнения, также определяется из соотношений (1.4), (1.6) и (1.9). Известно, что характерные времена релаксации различных мод С02 зависят не только от р и Т, но и от состава смеси, так что их можно регулировать. В выражениях типа (1.10) — (1.13) мольный состав и другие характеристики смеси можно учесть через эффективные значения 7, тг, молекулярный вес и т. д.
На фиг. 1 и 2 сравниваются результаты, полученные из соотношений (1.4) —(1.6), (1.10) — (1.13) с результатами численного расчета Андерсона [5] для одних и м тех же условий перед скач- дг ком с временами]тг, определен-иыми на основе работы [12]. За
Видно, что модель Ан- 1
дерсона, в которой предпо- 5
лагается, что Тх—Тг, является приближенной, поэтому в работе [5] инверсия между 3
уровнями 04°0 — 00°1 оказалась завышенной, а между уровнями 20°0—00°1 —заниженной (фиг. 2).
При формальном увели- '°з
чении отношения 2 инверсия 7
увеличивается. Изменение 6
уровня инверсии происходит 5
и в том случае, когда число *
Мсо перед волной возрастает, з
что связано с увеличением перепада температур за скач- 2
ком уплотнения (см. таблицу), составленную для смеси 1,9% С02, 38,1% N.. 60% Не 16з, при /?оо= 101,3 Па {Тх= 300 К).
Однако значительные изменения числа Ми нерациональны, что следует из фиг. 3, на которой приведены изменения количеств частиц на колебательных уровнях молекулы С02 в зависимости от температуры. (Сплошные кривые соответствуют равновесному возбуждению всех типов колебаний, пунктирные — замороженному уровню 00°1 при Т = 300 К; населенность уровня 00°1 отсчитывается при этом по правой шкале). Полученные результаты свидетельствуют
о важности оптимального выбора параметров при исследовании инверсии и усиления в чистых газах и газовых смесях, когда механизмом накачки является быстрый нагрев в ударной волне.
2. Как известно, при обтекании клина потоком релаксирующего газа неравновесная зона образуется не только за ударной волной, но и в области, непосредственно примыкающей к поверхности
клина [13] —[15]. Распределение газодинамических характеристик: в этой зоне можно определить методом, аналогичным случаю ударной волны. Релаксационный слой возникает потому, что в отличие от обтекания обычным идеальным газом, ударная волна криволинейная, так что в трубках тока в направлении поперек потока (фиг. 4) энтропия не одинакова. Если клин с характерным размером; Ь — и01 обтекается смесью многоатомных газов, где т — время релаксации „медленной моды“, то инверсия в этом слое также возможна. Релаксационные уравнения имеют в этом случае следующие решения (в координатах фиг. 4):
а возмущенные относительно идеального течения газодинамические параметры следующий явный вид:
х
Фиг. 4
(2-1 >
Р' = Ро «о % А, {tg ? (1 - е~*Мс,г *) - v +
-*1+У1 _ v +
V’ = - Ио 2 А, [ е~х^ctg 9 + е~х^у‘ ~
i
00
(2.2)
П — \
1 +.с_ А
Iх
і
со
+ 2 ^ ( — 5)" е~у‘с1е 9т сЬ ([ітп у >} ];
П =1
и' — и0 Р (у) -
Т' = Т0\(т-1)Щ
Ро «о
Р(У)
Ро«о
-£^о(і
где
А,-
Еі „I
р = 2 а0
е 1 1 ) і
-ІР’ I Ро т
'Г ?
1 — (Д.2 tg2
1 — (ЛЧ
= —г-г ; т = , . . .
[IV + і ’ 1 Н- м- їй ф '
(2.3)
,2 _______
м?-1, Хг
У і
У
«о *і ’
2 Д с1§<р — (1 — Д) (7 — 1) Мр вігі <р сое 9 Мр -у (віп3 у Д соб2 <(>) — 1 -)- Д с,й2 ? — (7 — 1) Мц ’
2 Д --- (1 -- Д) (Т -- 1) Мд віп2^
Мд 7 (1 — Д) віпЗср— 1 —Д
д =.^ Ро
(2.4)
Решения (2.2) — (2.4) представляют собой вариант решения [13], обобщенного на случай рассматриваемой модели многоатомного газа. При заданном угле полураствора клина 8 и угле <р между поверхностью клина и положением замороженного скачка (см. фиг. 4) параметры идеального течения (с индексом „о“) рассчитываются по законам сохранения для косой ударной волны. Решения для параметров возмущенного течения (2.2) находятся с учетом граничных условий на поверхности клина и на ударной волне, т. е.
V = 0 при у = 0, х > 0;
= /? = Си при .у = л: tg ?, л>0.
(2.5)
Рассмотрим для простоты решение для нулевой линии тока (у = 0). В этом случае
Г = Т0 {(Т - 1) Мо ру=о - 2 [£, со є"*' + Е, о (1 - е~х%
(2.6)
где
Ру=о = 2 А ( ^ <р (1 - е х‘) - V + _!_ [е хі— 2 5е-лг<1
І Ц
28Є~хіт -... ];
Ро«о
(2.7)
Вследствие быстрой сходимости рядов в выражении для давления учитываются первые два члена. Решения (2.6) и (2.7) определяют поправку для температуры, связанную с возбуждением
колебательных степеней свободы при течении вдоль поверхности клина, которая затем используется в соотношениях (2.1). Изменение плотности вдоль боковой поверхности имеет вид
p = Mo/7y=o + 2l£icoe-^+ Я40(1 — е~х% P = IL. (2.8)
/ Ро
Инверсная населенность в релаксационном слое может быть определена подстановкой выражений (2.1), с учетом решений (2.6) и (2.8) в соотношения типа (1.10) — (1.13).
Таким образом,'разбираемый случай отличается от рассмотренного в разд. 1 несколько иными закономерностями изменения газодинамических величин, определяющих заселенности колебательных уровней.
Рассмотрим в качестве примера клин с полууглом раствора 8 = 25° (см. фиг. 4), обтекаемый смесью 1,9%С02, 38,1 %N2, 60% Не
при Моо = 7,3, />оо= 101,3 Па, Г^^ЗООК.
При этом температура за фронтом косого скачка уплотнения та же, что и в случае прямой ударной волны с Моо = 4, рассмотренном выше (вариант сравнения с работой [5]). Однако течение в релаксационном энтропийном слое сверхзвуковое, и характер изменения величин М, Т, р, и, р иной по сравнению с прямой ударной волной. Распределение инверсной населенности уровней 04°0 — 00°1 и 20°0 — 00° 1 вдоль боковой поверхности клина показано на фиг. 5. Максимум инверсии получился несколько меньшим, чем при аналогичных температурах за прямой волной, Фиг. 5 что объясняется несколько большей вели-
чиной Т', а зона инверсии более растянутой, поскольку течение сверхзвуковое. Однако варьируя условия на оо, состав смеси и угол 8 можно добиться тех же абсолютных
инверсий, что и за прямой ударной волной. Проведенные расчеты
показывают, что основное влияние на величину инверсии оказывает отношение z, а также температура Т0 и ее уменьшение Т' в релаксационной зоне. Изменение плотности р' на величину ДМ/А/о практического влияния не оказывает.
Одним из предположений, принятых в работе, является предположение тг=const. Оно является широко распространенным в релаксационной газовой динамике и необходимо для исследования эффектов неравновесности аналитическим путем. В данном случае в релаксационной зоне за фронтом ударной волны изменения АТ—Т0—Т — О(е), Ар^ О (е) малы, поэтому условие \ = const вместо *i=f(T, р) должно давать не только качественное, но и удовлетворительное количественное описание явления.
3. Полученные результаты свидетельствуют о том, что образование инверсной населенности по уровням может иметь место в гиперзвуковой аэродинамике при обтекании тел.
Естественно, что рассмотренные примеры не исчерпывают всех возможных случаев.
Так, например, при обтекании затупленных тел в районе критической точки имеет место „сопловой эффект". Сама критическая точка играет при этом роль форкамеры, где состояние газа равно-
весно, а при расширении вдоль боковой поверхности происходит замораживание концентраций и может возникнуть инверсия. Аналогичное явление имеет место при развороте течения около хвостовой кромки тела, где возникает течение расширения типа Прандтля — Майера.
Механизм быстрого расширения или сжатия потока не является единственным, способным вызвать инверсию состояний.
В принципе образование инверсии возможно около боковой поверхности тела и в области гиперзвукового следа за ним, при смешении набегающего потока с продуктами разложения теплозащитного покрытия за счет диффузионного механизма накачки уровней [16]. Тот факт, что в данной работе рассматривалось обтекание клина специальной смесью, не имеет принципиального значения. Исследования последних лет показали [17—21], что при быстром расширении газа в сопле инверсия возможна и на электронных переходах в водороде, углероде, азоте, аргоне и т. д. Таким образом, воздух также является потенциально активной смесью. Однако в условиях обтекания роль состояний, образующих инверсию, еще не изучена. Исключением являются некоторые исследования неравновесного излучения |22], связанного с небольцмановским распределением состояний частиц газа по различным квантовым уровням.
ЛИТЕРАТУРА
1. Басов Н.Г., Ораевский А. Н. Получение отрицательных температур методом нагрева и охлаждения системы. „Журн. экспер. и теор. физ.‘, т. 44, вып. 5, 1963.
2. К о н ю х о в В. К., Прохоров А. М. Инверсная населенность при адиабатическом расширении газовой смеси. „Письма в журн. экспер. и теор. физ.“, т. Ill, вып. 2, 1966.
3. Hurle J. R., Hertzberg A. Electronic population inversion by fluid-mechanical technique. „The Physics of Fluids", v. 8, No 9, 1965.
4. ГордиецБ. Ф., Соболев H. H., С о к о в и к о в В. В., Ш е-лепин Л. А. Кинетика физических процессов в ОКГ на С02. „Журн. экспер. и теор. физ.“, т. 53, вып. 5, 1967.
5. Андерсон, Мэддон. Инверсия заселенностей за прямыми скачками уплотнения. .Ракетная техника и космонавтика”, № 8, 1971.
6. Зельдович Я. Б. О распространении ударной волны в газе с обратимыми химическими реакциями. .Журн. экспер. и теор. физ.“, т. 16, вып. 4, 1946.
7. Д ь я к о в С. П. Ударные волны в релаксирующей среде. „Журн. экспер. и теор. физ.“, т. 27, № 6, 1954.
8. Жигулев В. Н. К вопросу о течении неравновесного газа. ДАН СССР, т. 149, № 6, 1963.
9. Полянский О. Ю. О неустойчивости некоторых стационарных течений релаксирующего газа. „Изв. АН СССР', Механика, № 3, 1965.
10. Егоров Б. В., Жигулев В. Н., Кузнецов В. М. Об уравнениях аэродинамики при наличии бинарных молекулярных процессов. ДАН СССР, т. 164, № 6, 1965.
11. Anderson J. D. Time-dependent'analysis of population inversions in an expanding gas. „The Physics of Fluids", v. 13, No 8, 1970.
12. Teilor R. L., Bitterman S. Survey of vibrational relaxation data for processes impartant in the C02 — N2 laser system. .Reviews of Modern Physics.", v. 41, No 1, 1969.
13. Жигулев В. H. Об эффекте релаксационного пограничного слоя. Докл. АН СССР, т. 144, № 6, 1962.
14. Ж и г у л е в В. Н., К у з н е ц о в В. М. Некоторые проблемы физической аэродинамики. Труды ЦАГИ, вып. 1136, 1969.
15. Чир и хин А. В. О влиянии неравновесности в набегающем потоке на обтекание клина. „Изв. АН СССР, МЖГ", 1969, № 6.
16. Hof land R., Mire Is H. Flame-sheet analysis of С. K. diffusion-type chemical lasers, A1AAJ., v. 10, No 4, 1972.
17. Гудзенко Л. И., Ill e л e п и н Л. А. Усиление в рекомбинирующей плазме. ДАН СССР, т. 160, № 6, 1965.
18. Г о л ь д ф а р б В. М., Лукьянов Г. А. О возможности использования плазменной струи для усиления излучения. Изв. АН СССР, Журн. техн. физ., т. XXXVIII, вып. 10, 1968.
19. Гольд фар б В. М., И л ь и н а Е. В., Костыгова И. Е., Лукьянов Т. А. Спектроскопическое исследование сверхзвуковых плазменных струй. „Оптика и спектроскопия", т. XXVII, вып. 2, 1969.
20. Боуэн, Парк. Численное исследование неравновесного возбуждения в течениях рекомбинирующей плазмы азота через сопло. „Ракетная техника и космонавтика", т. 9, № 3, 1971.
21. Боуэн, Парк. Инверсия населенностей атомарного углерода в потоке рекомбинирующей плазмы. „Ракетная техника и космонавтика", т. 10, № 4, 1972.
22. А г а ф о н о в В. П., В е р т у ш к и н В. К., Г л а д к о в А. А., Полянский О. Ю. Неравновесные физико-химические процессы в аэродинамике. М., „Машиностроение", 1972.
Рукопись поступила П/Ш 1973
