CC BY
30
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И Том VII 1976
№ 4
УДК 533.607.11
ОБ ОДНОМ ЭКОНОМИЧНОМ МЕТОДЕ РАСЧЕТА ТЕЧЕНИЙ РЕЛАКСИРУЮЩИХ ГАЗОВ В СВЕРХЗВУКОВЫХ СОПЛАХ
Предлагается вариант обратной задачи, позволяющий разделить переменные в системе дифференциальных уравнений, описывающих течение релаксирующей смеси газов в сверхзвуковых соплах и сократить затраты времени при решении задачи на ЭЦВМ. На основании изложенного метода проводится оптимизация состава активной газовой смеси с целью получения максимальной инверсии заселенностей для некоторого класса сопл.
Для расчета течения релаксирующей смеси газов в сверхзвуковых соплах пользуются постановкой как прямой, так и обратной задачи [1]. Под прямой задачей понимается задание конфигурации сопла с последующим нахождением всех остальных характеристик течения, под обратной задачей — задание распределения какого-либо параметра течения (например, плотности или температуры) вдоль сопла. В этом случае форма струи получается в результате решения системы уравнений.
В настоящей работе предлагается вариант обратной задачи с использованием переменной типа Лагранжа, позволяющий разделить переменные в системе уравнений и снизить затраты времени при решении задачи на ЭЦВМ.
Рассматривается одномерное стационарное течение. Уравнения, описывающие колебательную релаксацию в газах, можно записать в виде [1 — 4]
где Е-1 — энергия /-й колебательной моды; р, и, Т — соответственно плотность, скорость и температура газа, — концентрации компонентов газовой смеси.
Вид функции Р зависит от выбранной модели релаксации. Если совершить замену переменной х на т по формуле
Задавая температуру как функцию переменной т, получаем замкнутую систему, состоящую только из релаксационных уравнений. Таким образом, введение переменной х но формуле (2) позволяет отделить релаксационные уравнения от газодинамических.
Г. Я■ Дынникова
(1)
х
(2)
уравнения (1) преобразуются к виду
(3)
Можно выделить следующие преимущества данного варйанта обратной задачи по сравнению с прямой задачей: отсутствие особой точки (это преимущество является общим для всех видов обратной задачи), уменьшение числа уравнений в системе за счет газодинамических уравнений. Дополнительным удобством является также то, что преобразование переменных (2) представляет собой относительное растяжение начальной области сопла, где течение близко к равновесному и обычно требуется более мелкий шаг. При использовании переменной х расчет может проводиться с постоянным шагом.
Все это вместе взятое позволяет сократить затраты времени при решении задачи на ЭЦВМ по сравнению с прямой задачей в несколько десятков раз. Так, расчет одного варианта на ЭЦВМ БЭСМ-6 проводился за 3—5 с. Следует заметить, что при этом использовалась одна из наиболее усложненных кинетических схем (учитывались все реакции, приведенные в [3]). Применение упрощенных кинетических моделей позволит сократить затраты машинного времени еще более существенно. Так, для модели Андерсона [4] задача сводится к решению системы из двух дифференциальных уравнений.
Задавая различные функции Т (х) и рассчитывая по ним ход релаксационных процессов, можно проводить анализ различных лазерных смесей, исследовать влияние тех или иных добавок, а также решать задачи по оптимизации условий течения. В частности, оптимизация течения в сопле газодинамического лазера, представляющая собой сложную многопараметрическую задачу, требующую при расчетах известными методами больших затрат машинного времени или же предельного упрощения кинетической схемы [5, 6], в данной постановке сводится к нахождению оптимальной функции Т (х) и оптимального состава лазерной смеси. Время расчетов при этом существенно сокращается и оптимизация может быть выполнена без существенного упрощения кинетической схемы.
В случае необходимости по заданной функции Т (х) и найденным £/(х) легко восстановить все остальные характеристики течения. Скорость находится из закона сохранения энергии. Площадь поперечного сечения Сможет быть получена из уравнения
Здесь х0 выбирается в равновесной области сопла таким образом, чтобы скорость была отлична от нуля, а величины р (х0) и Я(х0) с хорошей точностью согласовывались с плотностью и давлением в форкамере.
И, наконец, обратный переход к переменной х осуществляется с помощью уравнения
Как видно из уравнений (4) — (6), форма сопла, давление и плотность определяются по заданной функции Т(х) неоднозначно.
Однозначно определяются функции
где £=р0х\ р0 — давление в форкамере.
Изменяя р0, можно получить класс сопл, соответствующих заданной функции Т’(х).
Для того чтобы не выходить за пределы одномерной задачи, необходимо наложить некоторые ограничения на функцию Т (х). Эти ограничения могут быть получены из следующего соотношения:
а х
S = const —jj- exp Tj-
(4)
где а их — замороженные скорость звука и показатель адиабаты Давление и плотность определяются по формулам
р 3 (х0) Ц (х0) _р_____Т р
р0 _ 5 (х) и (х) ’ р0 ~ Т0 р0 *
(5)
Т
(6)
S(6) № р_(|)_
5* ’ Ро ’ Ро ’
dS dS dT dx dx ~~ dT dx dx
max’
откуда
dT
dx <
где функция
ЩТ)кт0
~та-)
может быть вычислена по равновесному течению (0шах. тт.Ро тт — предельно допустимые угол раствора сопла, размер поперечного сечения и давление в фор-камере соответственно).
Фиг. 1
Как уже говорилось, использование преобразования переменных (2) оказывается удобным для решения задач на оптимизацию параметров течения, так как позволяет существенно сократить время решения задачи на ЭЦВМ.
В настоящей работе была проведена оптимизация концентраций компонентов смеси С02, N2, Н20 для различных функций Т(-г). Заметим, что задание функции Т (т) эквивалентно неявному заданию формы сопла. Функция /'(^задавалась в виде парабол:
ГЮ^Гоа-Лт») (7)
с различными значениями коэффициента А. После того как темперарура достигала значения 340°, она считалась постоянной. Такой вид функции хорошо аппроксимирует зависимость Т(х), полученную при решении прямой задачи; Т0 полагалась равной 2000 К. Для каждой заданной функции Т (т) находилось такое соотношение концентраций компонентов смеси, при котором значение относительной инверсии населенностей В = (Л^о! — ЛА100)/М(где Л^оо1 иА/'юо— число молекул, находящихся на верхнем и нижнем лазерных уровнях соответственно; N — общее число молекул смеси в единице объема) достигает максимального значения.
Решались релаксационные уравнения, соответствующие приближению гармонического осциллятора с учетом колебательных переходов на всех энергетических уровнях [2, 7, 8]. Схема реакций и аппроксимации вероятностей переходов были взяты из работы [3], за исключением скорости дезактивации деформационной моды С02 при соударении с молекулой азота. Скорость этого процесса в соответствии с [9] бралась равной 1/5 скорости дезактивации деформационной моды С02 при соударении с молекулами С02. Кроме того, была опущена реакция обмена между верхним лазерным уровнем и третьим энергетическим уровнем деформационной моды С02.
Нахождение оптимума осуществлялось методом градиентного спуска из различных начальных точек.
На фиг. 1 приведены некоторые из рассмотренных функций. Кривым I, II, III, IV, V соответствуют значения коэффициента А в формуле (7), равные 10 30;
3-10 30; 10 29; з.Ю 2в; ю 28 СМ4/С2. (для удобства в расчетах использовались нормированные величины %' = т 10-к и ^4' = юге л. Соответственно правые части уравнений (3) были умножены на 10»), Соответствующие этим функциям конфигурации сопл приведены на фиг. 2.
Фиг. 3
На фиг. 3 представлены результаты оптимизации. Из графиков видно, что
для сопл, характеризующихся более высокими значениями отношения * ЛБ
5* ра сіх
характерно смещение оптимума в сторону 'увеличения молярных долей С02 и Н20. При этом достигаемая инверсия населенностей также увеличивается.
ЛИТЕРАТУРА
1. Агафонов В. П., Вертушкин В. К., Гладков А. А., Полянский О. Ю. Неравновесные физико-химические процессы в аэродинамике. М., „Машиностроение*, 1972.
2. Бирюков А. С., Гордиец Б. Ф. Кинетические уравнения релаксации колебательной энергии в смеси многоатомных газов. ПМТФ, 1972, М 6.
3. Генералов Н. А., Козлов Г. И., Селезнева Н. К. Об инверсной заселенности молекул в расширяющихся потоках газа. ПМТФ, 1971, № 5.
4. Anderson J. D. Time-dependent analysis of population inversions in an expanding gas. Physics Fluids, vol. 13, № 8, 1970.
5. Лосев С. А., Макаров В. H. Оптимизация коэффициента усиления в газодинамическом лазере на углекислом газе. .Квантовая электроника', т. I, № 7, 1974.
6. Л о с е в С. А., Макаров В. Н. Многофакторная оптимизация газодинамического лазера на углекислом газе. I. Оптимизация коэффициента усиления. .Квантовая электроника*, т. 2, № 7, 1975.
7. Егоров Б. В., Комаров В. Н. Исследование неравновесного течения релаксирующей смеси газов С02 — N3— Н20 в трубке тока. .Численные методы механики сплошной среды*, т. 4, № 3, 1973.
8. Дынникова Г. Я. Расчет течения смеси релаксирующих газов при адиабатическом расширении. .Ученые записки ЦАГИ*, т. 6, JS6 4, 1975.
9. Tailor R., Bitterman S. Survey of vibrational relaxation data for process important in the C02—N2 Laser system. Rev. of modern Physics, vol. 41, № 1, 1969.
Рукопись поступила 231X11 1974
