CC BY
45
_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том XVI 1985
№ 5
УДК 532.525.011.5
К РАСЧЕТУ КРИТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ НЕРАВНОВЕСНОГО ГАЗА В СОПЛЕ ЛАВАЛЯ
Г. Я■ Дынникова
Предлагается метод численного решения прямой задачи неравновесного течения газа в сопле Лаваля с критической точкой типа «седло», основанный на модификации исходных уравнений, позволяющей проводить сквозное интегрирование уравнений из дозвуковой области течения в сверхзвуковую, приближаясь к искомому' решению с любой заданной точностью. Метод позволяет рассчитывать как одномерные течения, так и неодномерные, а также находить решение в других задачах, содержащих особенность типа «седло».
Уравнения, описывающие стационарное течение газа в соплах, в широком классе задач характеризуются наличием особенности типа «седло» и могут быть в общем виде представлены как
Лу^йх = /г (у, х)/у (у, х), г = 1, 2, ... , п,
где х — координата вдоль течения, у = {9х, <р2, . . ., <рл}—вектор газодинамических параметров, причем функции // и ? в особой точке одновременно обращаются в нуль.
В случае одномерного течения функцией <р является выражение М2 — 1, для неодномерного течения, описываемого в приближении пограничного слоя, ф — это интеграл Пирсона [1]; для двухфазных течений [2] —
/X _ Л + 02 /X _ ^
®1 Р? \ а1 ) т\ Р2 \ а\ )
где О;, р,-, а-1 — расход, скорость, плотность и скорость звука г'-й фазы.
Для простоты остановимся на случае одномерного стационарного течения при наличии неравновесных кинетических процессов. Уравнение, описывающее изменение числа М, в этом случае имеет вид
— мГЛ+*—1 Мз\ 1 М + (*-1)(»М»+1) <1Е йх [д 2 / 5 (1х 2уЛТ йх
(М2— I). (1)
Здесь Т — температура газа, Е—энергия внутренних степеней свободы, % — «замороженный» показатель адиабаты, 5 — площадь поперечного сечения сопла, к — постоянная Больцмана.
Уравнение написано для случая х=сопз!:, число М определено по «замороженной» скорости звука. Это уравнение вместе с кинетическими уравнениями, описывающими изменение Е, и алгебраическим уравнением сохранения энергии образуют замкнутую систему, решением которой является семейство кривых, схематически изоб-
раженных на рис. 1 сплошными линиями. Искомым критическим является решение Ж(х), монотонно возрастающее в окрестности особой точки х=х% М=1. Ввиду неустойчивости нахождение этого решения при численном интегрировании представляет большую трудность. Для преодоления ее при решении прямой стационарной задачи применяют различные методы [3—5]. Широко используются также такие приемы, как замена стационарной задачи на нестационарную (метод установления [6]), прямой
Рис. 1
задачи — на обратную [7]. Перечисленные методы являются в той или иной степени громоздкими, а метод, предложенный в [4], хотя и прост, но может давать непрогнозируемую погрешность.
В данной работе предлагается новый метод, отличающийся от известных большой простотой реализации и оценки возникающей погрешности. Сущность его состоит в том, что в некоторой окрестности особой точки правая часть уравнения, содержащего особенность, заменяется на ее модуль, т. е. в рассматриваемом случае уравнение (1) заменяется следующим:
¿М _ I м Г/, , у-1 Ш\1 + (х-1)(хМ»+ 1) ЛЕ 1
<1х I 2 ) $ йх ЪШ Лх ] I
(2)
Уравнения (1) и (2) имеют одно общее решение, а именно — искомое критическое. Остальные решения (2) имеют вид, схематически представленный на рис. 1 штриховыми линиями [в области I решения уравнений ^(1) и (2) совпадают, в областях II и IV правые части уравнений (1) и (2) отличаются знаком, в области III уравнения (1) и (2) совпадают]. Можно показать, что решения уравнения (2) обладают устойчивостью, т. е. для каждого е>0 существует такое 6(е)>0, что при изменении начальных условий на величины, меньшие б, изменение решения во всех точках не будет превышать е.
Отсюда следует, что, подбирая соответствующим образом начальные значения газодинамических параметров (например, величины расхода газа и соответствующих ей значений числа М и температуры), можно получить решение, сколь угодно близкое к критическому. Критерием близости полученного решения к искомому может служить величина г=хг — хи где Х\ и х2—значения х, при которых соответственно числитель и знаменатель выражения, стоящего в правой части (2), обращаются в ноль. Величину расхода в, соответствующую критическому течению, можно найти путем численного решения (например, методом секущих) уравнения г(й)= 0. Сравнивая интегральные кривые, соответствующие двум последним приближениям й (с разными знаками г), можно оценить погрешность решения в целом.
Уравнение (2) имеет особенность, связанную с обращением в бесконечность правой части при М=1, однако это интегрируемая особенность, и существующие численные методы позволяют учесть наличие такой точки, выдерживая заданную точность.
Для проверки эффективности предлагаемого метода был проведен расчет одномерного критического течения идеального газа в сопле Лаваля, и результат сравнен с точным аналитическим решением. Интегрирование проводилось методом Милна с автоматическим выбором шага. Начальное приближение б было взято с точностью
10%, а соответствующее решение уравнения (2) отличалось от искомого более чем на 30%. Однако уже при пятой итерации величина <3 была найдена с точностью 0,01%, а распределение М(*)—с точностью 0,5% в окрестности особой точки и
0,02% на выходе из сопла. Вблизи особой точки вследствие увеличения кривизны решения шаг измельчался. Причем, чем ближе кривая к искомой, тем больше кривизна и тем мельче должен быть шаг. Однако это не привело к заметному увеличению времени расчета, так как одновременно уменьшался размер области дробления шага.
На рис. 2 приведены результаты расчета колебательно-неравновесного течения газовой смеси С02+М2 + Н20 в осесимметричном сопле. Профиль сопла изображен
в верхней части рисунка. Интегрирование проводилось с помощью неявной разностной схемы, описанной в работе [8]. Течение характеризуется следующими параметрами: температура торможения — 2000 К, давление в форкамере 106 Па, состав газа 10% СОг+89% N2 + l% Н20, диаметр критического сечения сопла 5,65 мм. Схема учитываемых реакций и кинетические уравнения, использовавшиеся в расчете, те же, что и в работе [9]. Представлены зависимости М(л'), соответствующие первым пяти приближениям (кривые 1—5). Начиная с пятого приближения, точность решения соответствовала заданной. На этом же рисунке изображены графики поступательной температуры Т, а также колебательных температур: симметричной — Tlt асимметрич-
ной— Т2 мод С02 и азота — Тя, соответствующих пятому приближению.
Предлагаемый метод может быть применен и для расчета более сложных течений, например, для двумерного течения, описываемого в приближении пограничного слоя, или течения многофазных сред. В этом случае в окрестности критической точки аналогично (2) модифицируется выражение, стоящее в правой части дифференциального уравнения, описывающего изменение давления. При этом необходимо учесть, что при переходе из дозвуковой области в сверхзвуковую давление падает, поэтому перед знаком модуля должен быть поставлен минус. В остальные уравнения войдет полученное указанным образом выражение для dpjdx.
ЛИТЕРАТУРА
1. Pearson Н., Holliday I. В., Smith S. F. A theory of the cylindrical ejector supersonic propelling nozzle. — J. Roy. Aeronaut. Soc.,
1958, vol. 62.
2. Невинский В. В., Розеблюм В. И. Критическое истечение двухфазной среды. — Вопросы газотермодинамики энергоустановок, вып. 4, Харьков, ХАИ, 1977.
3. Эмануэль Дж. Применение метода численного интегрирования при наличии особеннности в виде седловой точки к расчету неравновесного потока в сопле. — Экспресс-информация. Астронавтика и ракетодина-мика, ВИНИТИ АН СССР, 1965, № 41.
4. Невинский В. В., Розен б л юм В. И., Савельев М. И. Численное решение прямой одномерной задачи критического течения в соплах. — Инженерно-физический журнал, 1981, т. 40, № 3.
5. Дмитриев Л. М., Маркачев Ю. Е. Расчет неравновесных квазиодномерных течений в соплах. — Численные методы механики сплошной среды. 1979, т. 10, № 4.
6. A n d е г s о п J. D. Time-dependent analysis of population inversions in an expanding gas. — Phys. Fluids, 1970, vol. 13, N 9.
7. Eschenroeder A. Q., Boyer D. W., Hall J. G. Nonequilibrium expansions of air with coupled chemical reactions. — Phys. Fluids, 1962, vol. 5, N 5.
8. К а м з о л о в В. Н., Пирумов У. Г. Расчет неравновесных течений в соплах. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1966, № 6.
9. Дынникова Г. Я. Расчет течения смеси релаксирующих газов при адиабатическом расширении. — Ученые записки ЦАГИ, 1975, т. VI, № 4.
Рукопись поступила 10/IV 1984
