CC BY
38
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И
Том XIII
19 8 2
М 5
УДК 532.525.011.55.011.6
АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТОНКИХ КРЫЛЬЕВ В НЕРАВНОВЕСНОМ ГИПЕРЗВУКОВОМ ПОТОКЕ ГАЗА
На основе метода тонкого ударного слоя разработан приближенный метод определения аэродинамических характеристик плоского крыла произвольной формы в плане, обтекаемого неравновесным гиперзвуковым потоком газа под малым углом атаки. Метод применим для любой термодинамической и кинетической модели газа. На примере простейшей модели газа с релаксацией колебательных степеней свободы исследовано влияние неравновесности на аэродинамические коэффициенты плоского треугольного и прямоугольного крыльев, в частности, определено смещение центра давления.
1. Обтекание крыльев произвольной формы в плане под углом атаки представляет собой сложную трехмерную задачу даже для такой простой термодинамической модели, как совершенный газ. В то же время для достаточно широкого класса крыльев и условий их обтекания (тонкие крылья с острой передней кромкой под малым углом атаки в гиперзвуковом потоке газа) независимо от состояния газа—равновесное или неравновесное—имеет место правило полос, которое позволяет решение трехмерной задачи свести к решению совокупности плоских задач [1]. При этом в рассматриваемом ниже методе для крыльев большого или умеренного удлинения в определении интегральных характеристик крыла (Сх СУа, т2, Сд) при использовании правила полос получается малая ошибка, порядок
которой равен 62*, где 5 — наибольшая из величин а, М~*, й, е; здесь а — угол
атаки, Моо—число М полета, й—относительная толщина крыла, е=(7 — 1)/(т + 1)> ~1—показатель адиабаты в замороженном потоке.
Для крыла в виде тонкой пластины задача сводится, таким образом, к использованию решения для клина, в данном случае—решения для неравновесного обтекания клина. В этом случае давление на поверхности клина уже не является постоянной величиной, как в совершенном или равновесном газах, а зависит от координаты вдоль поверхности клина, длины релаксации и от термодинамической и кинетической моделей газа. В дальнейшем при определении аэродинамических коэффициентов используется выражение для распределения вдоль поверхности клина
полученное ранее на основе метода тонкого ударного слоя в работе [2]. Здесь 5 — координата вдоль поверхности клина, отсчитанная от его вершины и отне-
* С такой точностью и будут даны ниже выражения для ^ и С^1
М. М. Кузнецов, О. Ю. Полянский
(1)
сенная к длине релаксации /р, /?0 (I) — главный член в разложении плотности газа в ряд по степеням е: R = R — Ra е Ri + • • • (см. [2]).
Роо
2. Рассмотрим обтекание плоского крыла произвольной формы в плане (рис. 1, а) при следующих условиях:
а« 1*, а Мте » 1, //60^О(1).
(2)
Здесь 60 — корневая хорда, 21—размах крыла.
Воспользуемся следующими определениями аэродинамических коэффициентов (приведенные ниже выражения даны для симметричного крыла):
Ха " qS
г, _____-“а ___‘а
----Го ’ ьУа ^ ’
qS
l x¿z)
Mz (x0)
qS ь0~
Сл — Ц-Д
^d — —r—
^0
M:
Ya= 2 | J p (x, z) dx dz, Xa = a Ya,
U x¡(z)
l
(x0) — 2 j* J p {x, z) (x — x0) dx dz = Mz (0) + x0 Ya.
0 x¡
(3)
Рис. 1
Здесь СХа, Суа—коэффициенты лобового сопротивления и аэродинамической подъемной силы крыла, т2 (х0) — коэффициент продольного момента, подсчитанного относительно точки хат, Са — коэффициент центра давления; ^—скоростной
напор q — ; 5 — площадь крыла ^5 = 2 ^ [х2 (г) — х\ (г)] dг | ; хг (г), х2 (г)
— уравнения передней и задней кромок крыла; хц —координата * центра давления; М2(х0) — момент относительно точки лг=лг0; р (х, г)—давление на нижней поверхности крыла. (Вкладом в СХа, СУа и т2 верхней поверхности крыла в рассматриваемой постановке можно пренебречь).
Выражения для аэродинамических коэффициентов (3) могут быть существенно упрощены, если воспользоваться методом тонкого ударного слоя, применимого к рассматриваемому случаю (2), и правилом полос. Согласно правилу полос газодинамические величины в потоке около крыла в сечении г=сопв1 будут такими же, как около клина с полууглом раствора а, причем
Р (х> г) = р (х — хг(г)).
(4)
* Ограничение а « 1 не является принципиально необходимым для выполнения правила полос при е 0.
Переходя в соотношениях (3) к безразмерным переменным £ =
х — х-1 (г)
= тг~
и с
и используя формулы (1), (4), после несложных, но громоздких преоб-
разований получим:
СУЙ = ^ а0 (! + £ «!>• ^ 0 0 + 2 .,)■
тг( 0)
тг (0) = ты (1 +'е тг1), Са -
Д Са —— з (тг1 Су .)
^у тго
У а\> С
'Уа 0
(5)
где
"Уд 0
— 2а2, С Ха 0 — 2а3, С ¡¡а — ^
тго
У а 0
■А—1
«20 ==— ®**о
Т -1-1 I
б J О
7
Сх а1 ~ СУа1~'
^2 + С — ]
тл = 2
(6)
где
х2(г) — хх(г)
т =
/р
-г ¿'п
В частном случае плоского крыла треугольной формы в плане (рис. 1, б) выражения (6) запишем следующим образом:
•«2, £<¡0 = 2/3,
С*а1=СУа1=~ Г тл = — Г (6)^6,
о
¿>0 ¿0 г Г5/?о_1(^ -4- Г
I) ьо J
ДС„=-£ —
4 1
(7)
х — кг
Здесь 5= —т---------------, £= -у , функция /?о(5) предполагается известной. Про-
‘р £
цедура нахождения /?0(£) Ддя произвольной кинетической модели газа описана в работе [2].
3. Вычислим аэродинамические коэффициенты треугольного крыла для простейшей модели неравновесного течения с релаксацией колебательных степеней свободы:
т = const, h — Cp Т + cvк Тк, cVK — const,
dTK Т-^ТК
dt
где Ср, — соответственно теплоемкости активных и колебательных степеней свободы, Тк — колебательная температура, *— время релаксации.
В этом случае для Я0 имеем [2]:
и формулы (7) примут вид
1 а /, % т
с ха 1 — Су а 1 = ] д + I а 91 (!•), £ '■
Ы1+«)
/о
и21="1+а + 1+0 Ъ{1)' ДС</ = е -'i + Г?
(8)
где
2 —
.2 e~L-Le-L
При L 1
¥з = — — — ( 6в L — — + 2 + 4е‘ т 3 Z.2 I L L
L +
(9)
2 ЗА А
?1 = 1 — з £ + О (¿3), <р2 = 1 — 4 + О (£г), 93 = — + дц — 90 ^ ®
При I > 1
?1 — ~[Т + ® (Ье 1), <р2 = ¿у + О (Ье £), ср3 == — + "¿5" + О (/.« £).
Выпишем аналогичные формулы для клина или, что то же в нашей постановке, для прямоугольного крыла (отмечено штрихом):
^’ \ а , , 1 о , _ о ,
Сха 1 = уа 1 = Т+Т + 1 + о ?1> тг 1 = 1 + о + 1 + 0 Т2' = е Т+Т ^3- (10)
Здесь С'ха1 и Суа1 связаны с С'ха и Суа зависимостями (5), 1 с 0) —
зависимостью м2(0) = — а2 (1 + еягг г), а функции определяются формулами:
Ъ=~и{ь*е l + Le L + e £—l);
ч>з = - тг + е
■1(т + -г + тг>
, £ ¿2 ¿3
?з= — ТГ + 1Г — ~20 + 0 ^ при ^ ^ ! ’
1
?з = — U +0(е L) при L > 1.
(П)
На рис. 2 и 3 приведены графики функций <р,, <р2 и для треугольного (9) и прямоугольного (<р') крыльев.
Максимальное относительное смещение центра давления |ДС^|шах на треугольном крыле по модулю приблизительно в два раза меньше, чем на прямоугольном крыле.
[Є \ Те — 7 л
= 1 + 0 + 0 (зє) , где єе = ^ , 7е = е
эффективный показатель адиабаты в равновесном потоке за ударной волной, приближенно представим выражения (5), (8) и (10) в универсальном виде, выражающем закон подобия:
Суа = 2а2 [1 + ее + (£ — є<>)<Рі (і)]. С ха = &Суа, | ^
тг (0) = — -4а3 [ 1 + Ее "Ь (£ — Ее) *Р2 (£)]> — (е еє) <Рз 1
(для треугольного крыла /4 = 4/3, для прямоугольного А — 1).
Аналогичную структуру будут иметь аэродинамические коэффициенты крыльев других форм в плане при иных термодинамических и кинетических
свойствах газа. При этом, естественно, будут другими величины ге, е, А, Ь и функции <р; (Ь), причем всегда (0) — <р3(0)= 1 и ^ (оо) = <р2 (оо) =<р3 (0) = <р3(оо) = 0.
На основе полученных формул и графиков легко оценить максимально возможное смещение центра давления |Д-*ц-д1тах- Так, в случае двухатомного газа при Сг, = Я, а = 2/7, е = 1 /6, ее=1/8 для крыльев прямоугольной и треугольной формы в плане 1 Длгц [шах соответственно составляет 0,35 и 0,15% корневой хорды. Для гипотетического газа с бесконечно большой энергоемкостью' релаксирующих степеней свободы (а -»■ оо, ге оо) | Дл:ц |тах составляет соответственно 1,5 и 0,65% корневой хорды. Эти результаты согласуются с оценками максимального смещения центра давления на клине, полученными в работе [4].
Полученные результаты свидетельствуют о том, что применение метода тонкого ударного слоя и правила полос к сложной пространственной задаченеравновесного обтекания крыла позволяет в ряде случаев значительно ее упростить. Действительно, указанная проблема по существу распалась на две формально не связанные части. Первая из них решается чисто аналитически,
приводя в итоге к простым соотношениям [однократные квадратуры от величины -/?0 (2)] Для аэродинамических коэффициентов. Вторая часть заключается в определении функции У?о(£). зависящей от термодинамических и кинетических свойств газа. Эта последняя часть проблемы сводится к хорошо изученной задаче интегрирования (как правило, численного) системы обыкновенных дифференциальных уравнений химической кинетики [1, 3].
Все это позволяет рассматривать описанную выше процедуру как приближенный метод определения аэродинамических характеристик крыльев, который может оказаться полезным и для других классов неравновесных течений, отличных от рассмотренного выше.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лунев В. В. Гиперзвуковая аэродинамика. М., „Машиностроение", 1975.
2. Кузнецов М. М., Полянский О. Ю. О распределении давления на клине и конусе в гиперзвуковом неравновесном потоке газа. „Ученые записки ЦАГИ“, т. XIII, № 4, 1982.
3. А г а ф о н о в В. П., В е р т у ш к и н В. К., Гладков А. А., Полянский О. Ю. Неравновесные физико-химические процессы в аэродинамике. М., .Машиностроение“, 1972.
4. Полянский О. Ю., Меньшикова В. Л. О роли неравновесных процессов в задачах аэродинамики. «Молекулярная газовая динамика“, сборник научных трудов. Ч. III. Ин-т теплофизики СО АН СССР, Новосибирск, 1980.
Рукопись поступила ЗЦШ ¡981 г.
