Распад нейтрона в сильном магнитном поле с учетом взаимодействия аномальных магнитных моментов фермионов с внешним полем Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.12.01:539.125.4

РАСПАД НЕЙТРОНА В СИЛЬНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ С УЧЕТОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ АНОМАЛЬНЫХ МАГНИТНЫХ МОМЕНТОВ ФЕРМИОНОВ С ВНЕШНИМ ПОЛЕМ

X. Гоударзи, И. В. Мамсуров

(.кафедра теоретической физики)

Получена полная веротность /3-распада нейтрона во внешнем магнитном поле с учетом взаимодействия аномальных магнитных моментов частиц с полем. Рассмотрены случаи слабого и сильного магнитных полей. В случае слабого поля проведено сравнение с ранее полученными результатами.

Введение

Настоящая работа посвящена исследованию процесса /3-распада нейтрона в присутствии сильного магнитного поля с учетом взаимодействия аномальных магнитных моментов (АММ) фермионов с внешним полем п ^ р+ + е^ + й. Этот процесс (но без учета взаимодействия АММ фермионов с внешним полем) рассматривался многими авторами [1-6], так как актуальность распада нуклонов и, в частности, УРКА (1ШСА)-процеееов [7-13] объясняется тем, что вырожденный идеальный газ нейтронов, протонов и релятивистских электронов во внешнем сильном постоянном и однородном магнитном поле является простейшей моделью, которая позволяет достаточно адекватно изучать влияние сильного магнитного поля на процессы, поддерживающие химическое равновесие материи в центральной области сильно намагниченной нейтронной звезды. Однако в сверхсильном магнитном поле становятся актуальными именно такие процессы распада нуклонов, которые обусловлены взаимодействием АММ нуклонов с магнитным полем. Так, в работе [11] показано, что в сверхсильном магнитном поле становится энергетически разрешенным позитронный распад свободного (т.е. не входящего в состав атомного ядра) протона. Это происходит исключительно благодаря включению взаимодействия АММ нуклонов со сверхсильным магнитным полем.

В настоящей работе рассматривается процесс распада нейтрона в приближении сильного и слабого магнитных полей. При этом в случае слабого поля получен результат, который сравнивается с полученными ранее. В случае же сильного магнитного поля впервые получен результат, учитывающий взаимодействие АММ частиц с внешним полем. Исходя из релятивистского эффективного лагранжиана и выражений для волновых функций частиц будет получена формула для вероятности распада нейтрона. При этом в случае слабого поля сохраняется зависимость от его спина, т.е. не предполагается, что нейтрон находится в нижнем спиновом состоянии. Это оказывается существенным, если магнитное поле В <С В' = 4.7 х 1018 Гс. Отметим, что движение

протона в таких полях можно считать квазиклассическим.

1. Матричный элемент процесса

Релятивистский эффективный лагранжиан процесса (V — А) ® (V — А) имеет вид [8, 12]

С = -д \фрЪ(1 + «75)фп) + 1ь)ФА , (1)

где G = Gf cos$c, Gf — константа Ферми, t?c — угол Кабиббо и а и 1.26 — отношение констант аксиально-векторного, Ga, и векторного, Gy, взаимодействий. Для нуклонов волновые функции берутся в слаборелятивистском приближении, либо при переходе к соответствующему пределу в точных решениях уравнения Дирака, либо сразу из решений уравнения Паули [9, 10, 14]. Соответственно для энергий протона и нейтрона также возьмем их нерелятивистские выражения. Так, волновые функции нейтрона берутся в виде

где C\fl = 1 ± sn, sn = ± 1, и соответствующий спектр энергии

= P^/2m„ -sn\fj,n\B. (3)

Аналогично для протона

ф (r t) = _!_e-iePt+ip2Py+ip3Pz (ClpUn(v')\ (4)

Р{ ' 2^2 L \W)/'U

где

С1р = 1 + sp, Civ = 1 — sp,

= + 7 = еВ/2,

Un(r]) — функции Эрмита. Энергия протона отличается от энергии нейтрона лишь слагаемым, учитывающим взаимодействие заряда протона с магнитным полем:

£р = + ~п ~ ^PV8' sP = ±l, (5) 2 тпг, mv

где п = 0,1,2,... — уровни Ландау. Наоборот, для электрона, поскольку его масса много меньше массы нуклонов, волновая функция и энергия будут взяты в релятивистском виде исходя из точного решения уравнения Дирака в присутствии внешнего магнитного поля. Однако по сравнению с АММ нуклонов АММ электрона можно пренебречь, считая его малой величиной /|ей0. В итоге волновая функция для электрона имеет вид [9, 10]

/СхС/п-х^Л гС2ип(г))

Сзип-М \ Ю4ип(г}) )

те же функции

^е-(М) = j<:

-ie t+ip2eV+ip3eZ

(6)

где Г] = + {р2е)1^, Un(rj) Эрмита.

Коэффициенты Ci с учетом нормировки получаются равными

/В3(А3 + А4)\

(Сг\

С2 С3

\с4)

2^2

.64(^4 — A3)

В3(А3^А4) \B4(A4 + A3)J

(7)

где

А3 = y/l +Рзе/ее, В3 = y/l + sem0/k0, А4 = se^l-p3e/ee, B4 = sey/l-sem0/k0, se = ± 1, причем энергия ее

= \/Рзе + то + 4п7. а

= \[т,

2 _

Наконец для антинейтрино, учитывая отсутствие

у него взаимодеиствия с внешним полем, имеем

Фи =

2L3/2

Jxot-iXr

(fA

h -h \-f2J

(8)

Д = - СО8 0„)1/2, /2 = (1 + СО8 0„)1/2.

В этом выражении хо = \ XI и X энергия и импульс антинейтрино, а (ри и 9„ — азимутальный и полярный углы, характеризующие вектор % ■

Матричный элемент процесса распада нейтрона получается из точного выражения для релятивистского лагранжиана. В общем случае имеем

= с?4ж |(1 — а) {ъ>1 — г^з)(п1 + п3) х

Х(Р1 + Рз){4 - 4) + (^2 - Щ)(п2 + п4)(р*2 +р*4)х х(4^4) + (1 + а) -п3)(р1

х(е2 - 4) + (^1 - уз)(«2 - п4){р*2 -р\){е\ - е*3)

+2{v3^ví){e*2^et4) +2{v2^v4 )(eï —

p\{an2 -n4) +pl(an4 -n2) рЦпз - ani) + pl(ni - an3)

(9)

где i/ц, nfl, p,¿, и — спиноры, соответствующие нейтрино, нейтрону, протону и электрону.

Теперь с помощью полученных выше волновых функций вычислим матричный элемент данного процесса, используя выражение (9). Подставляя решения (2), (4), (6) и (8) в (9) и проинтегрировав по пространству-времени, получим матричный элемент в виде

\Mfi\=jMfid4x= S(En хо) х

хд(Р2р + Р2е - Р2п + Х2) $(РЗр + РЗе ^Р3п + Хз)х x{e^+íW-l)A}1(п_1)гЛр) . (С1е _ Сзе)х

x[(l-a)CipCi„/i + (l+a)C2PC2nfi - 2aC2pCi„/2]-

^[fl+{n-n')X]Inn,(p)-(C2e^C4e)x

x[(l^a)C2PC2nf2 + (l+a)ClpClnf2 - 2aClpC2nfi}},

где n и n' — главные квантовые числа соответственно электрона и протона. Здесь использовано свойство функций Эрмита [15]

где

а = Хi - Pin, ц = а(р2е+Р2р)/2-у, А = arctg(a/(p2p +Р2е)), a Inni (р) — функции Лагерра с аргументом

Р= {а2+ (Р2Р+Р2е)2)/Ь-

Для последующего нахождения вероятности распада получаем выражение для квадрата модуля матричного элемента

\Mfi |2 =

2 _ TG|(2TT)3

2Т/К ô(En-Ep-Ee~xo)x

xS(p2p + Р2е ~ Р2п + Х2) КРЗр + РЗе ^Р3п + Хз)х

x{J(n-i)тА.Р) • (cie ~ C3ef [(1 ^ a)2C¡pC¡nfl+ +(1 + afC\vC\jl + 4a2CfpCf„/f ] + /2„,(р)х х (С2е С4е)2 (1 — a)2C'2pC'2nf2 + +(1 + а)2С21рС21пЙ + 4 a2C2lpC¡nf!]}, (10)

которое следует подставить в формулу для полной вероятности:

'2 ьЧ3Ра

ш =

Е /^П

(2тг)э

(Н)

S рjSg,п,п

Здесь индекс а нумерует конечные частицы.

2. Полная вероятность. Случай слабого поля

В итоге точное выражение для вероятности распада в присутствии слабого магнитного поля будет иметь вид [8, 14]

(71,71') шах л

Ь Е Е/1Х/.1

п,п'=0

йф, (12)

где

ь2 ь2 ь3

йф = Щ2 ёр2е Фзе Щ2 ёр2РёрзР Щг х ■

Подставляя (10) в (12), учитывая, что при слабом поле аномальные магнитные моменты всех частиц малы по сравнению с массой фермионов, а также что еВ/т2 -С 1, получаем

в<вс

(??.,??/)тах

Е Е

П,п'=0 «е

г* 2

(_Г тр

22(2тг )4Ь

X / ф2е / ф3е / (1р2р / фзр / <{'Х. Х

хд(Р2р+Р2е ^Р2п +Х2)3(РЗр + РЗе ^ РЗп + Хз) X

хШ + а,

т0

РЗе

(п—1)п;

'(р)х

^т2+р2е + 4в7 х [1+За2^(1^а2) соб (а—1+(сН-1) соб в^)

1 т<ЛЛ , РЗе \ г2 / ч

1-вй— 1 I 1+ , . . М„П'(Р)Х

^т0+Язе + 4п7 х [1+За2+(1^а2) соб (а-1-(сН-1) соб 0„)]

где А = тпп — гпр.

Произведем суммирование по п! и интегрирование, учитывая, что при В <С В'а верхний предел суммирования можно заменить бесконечностью (см., напр., [6]). Тогда, используя свойство функций Ла-герра

оо

1п'1(х)1п'1'(х) = 5ц>,

п'=0

а также учитывая, что

в итоге получаем

ёр2е = еВЬ,

¿2 (1 + За ) х

(13)

п=0

(2тг)г

где А = [А2 — (тп1 + 47п)]1/2 .

А + А

(14)

Итак, видим, что полная вероятность распада в присутствии слабого постоянного магнитного поля пропорциональна коэффициенту (1 + За2).

В предельном случае В <С Всг суммирование в (14) можно заменить интегрированием, используя формулу Эйлера-Маклорена [15] (см., напр., [5]):

n

n

п=О

При этом в данном пределе выражение для вероятности (14) будет таким:

где

си0 =

и

(2^)3

(1+За2)М

16 15'

19

30

А2ш2

4

т0

^Ато 1п

15 А + А А ^ А

1С2

ш(В) = -^-(1 + За2) х

3(2тг)3 А3

3 т%

2 А - А 1п

А + А

2А - А 1п

А ^ А А + А

(еВ) (е2В2)

А ^ А,

где А = (А2 — т2)1/2. Этот результат соответствует полученному в работе [2].

Если учитывать аномальные магнитные моменты фермионов, то к полученному выражению для вероятности следует добавить член вида

Г/.. о\21

ш(цВ) и в2рт1 О

УеВ

то

В силу того что тп » то, в этом члене содержится только АММ электрона.

3. Полная вероятность. Случай сильного поля

Теперь рассмотрим процесс распада поляризованного нейтрона в присутствии сверхсильного магнитного поля. При вычислении матричного элемента (9) учтем, что электрон и протон будут находиться на нижнем уровне Ландау, п = п! = 0, а спиновая поляризация фермионов будет строго определена. Таким образом, нетрудно получить соответствующее выражение для вероятности

ш.

¿-►/I

/~<2

»„ (2ж)4 Ь

X / ф2е / Фз,

ф2р / Фзр И3ХХ

х 5 — у^

т0+РЗе^Х0

Рзр 2 т„

X Ö(P2p + Р2е - Р2п + Хг) Ö(p3p + р3е - р3п + Хз) х

РЗе I Р - (х 1 -Р1,г ) 2 /27 Р - (Р2р +Р2е ) 2 /27 v

X 1

V^O+PÍe,

X [(1 — а)2(1 — •8„)(1 + СОБ ви)] ,

где А' = А — \цп\В + црВ и учтено, что конечные частицы поляризованы: = —1, = +1.

Проведя интегрирование по р3р и р2Р и учитывая (13), получаем

(ЯеВ

ш =

(2тг)4

dp3e dáxx

х S ^А' — \Jm2 + р\е — хо

(РЗе + Хз f

2 т„

х 1

РЗе

ехр ,-ܱÄ\x

л/т20+рУ -V 27 х (1 + соб0у) [(1 — «)2(1 — •»„)] .

Принимая во внимание, что (р3е + хз)2/2тр -С 1, и проведя интегрирование по оставшимся переменным фзе и с13х, получим окончательный результат для вероятности распада нейтрона в сильном магнитном поле с учетом взаимодействия АММ нуклонов с внешним полем:

4G%eB . .

А' (А'2+ш2)

I д'З _ Д'2Д' + In

А'+А' А'—А'

(15)

где А' = ^А'2 — . Здесь нейтрон может быть

поляризован только против поля: зп = —1.

Таким образом, получены выражения для полной вероятности распада нейтрона в случаях слабого и сильного внешних магнитных полей. Как видно, в случае сильного поля результат пропорционален первой степени напряженности поля. Кроме того,

если параметр а положить равным единице (что имеет место при распаде кварков), то в случае сильного поля вероятность обратится в нуль, а в случае слабого будет оставаться отличной от нуля. Все это говорит о существенном влиянии, которое внешнее магнитное поле оказывает на характер протекания /3-раепада нейтрона.

В заключение авторы выражают благодарность профессору В. Р. Халилову за постановку задачи и целый ряд полезных замечаний.

Работа частично финансировалась программой поддержки ведущих научных школ (грант НШ-2027.2003.2).

Литература

1. Тернов ИМ., Лысое Б.А., Коровина Л.И. // Изв. вузов. Физика. 1965. №5. С. 58.

2. Mátese J., O'Connell R. // Phys. Rev. 1969. 180. P. 1289.

3. Fassio-Canuto L. 11 Phys. Rev. 1969. 187. P. 2141.

4. Баранов И.Г. // Изв. вузов. Физика. 1974. №4. С. 115.

5. Коровина Л.И. // Изв. вузов. Физика. 1964. №6. С. 86.

6. Shinkevich S., Studenikin А. // hep-ph/0402154.

7. Leinson L.B., Perez A. // astro-ph/9711216.

8. Вайнберг С. Квантовая теория поля. Т. 1. М., 2003.

9. Соколов A.A., Тернов И.М. Релятивистский электрон. М., 1974.

10. Khalilov V.R. Electrons in Strong Electromagnetic Fields.

Amsterdam, 1996. И. Мамсуров И.В., Гоударзи X. // Вест. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2004. №3. С. 40.

12. Окунь Л.Б. Лептоны и кварки. М., 1981.

13. Вайнберг С. Гравитация и космология. М., 1975.

14. Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика. М., 1980.

15. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., 1963.

Поступила в редакцию 29.12.04