ОБРАТНЫЙ β+-РАСПАД ПРОТОНА В ПРИСУТСТВИИ СИЛЬНОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.12.01:539.125.4:539.12.13

ОБРАТНЫЙ /3+ -РАСПАД ПРОТОНА В ПРИСУТСТВИИ СИЛЬНОГО

МАГНИТНОГО ПОЛЯ

И. В. Мамсуров, X. Гоударзи*'

(.кафедра теоретической физики) E-mail: [email protected]

Получены спектры энергий и решения уравнения Дирака для заряженных и нейтральных фермионов с учетом взаимодействия аномальных магнитных моментов частиц с внешним полем. Найдена полная вероятность обратного бета-распада протона в присутствии сильного однородного магнитного поля с учетом аномальных магнитных моментов нуклонов.

Введение

В настоящей работе исследуется обратный /3+-распад протона в присутствии сильного однородного магнитного поля: р+ ^ п + е+ + ь>. Здесь и ниже р+ — протон, п — нейтрон, е+ — позитрон, V — нейтрино. Этот процесс становится энергетически разрешенным только при учете взаимодействия аномальных магнитных моментов (АММ) нуклонов с внешним магнитным полем. Данный процесс представляет особый интерес для астрофизики, поскольку подходящие для его протекания условия имеют место в нейтронных звездах, на поверхности которых магнитное поле может достигать 1015 Гс.

Прямой (3^ -распад нейтрона в сильном магнитном поле без учета АММ фермионов рассматривался ранее [1]. Так называемые урка-процессы

п ^ р+ + е- + й, р+ + е- ^ п + V,

где е- — электрон, 9 — антинейтрино, как предполагают [2], поддерживают химическое равновесие в вырожденном идеальном газе нуклонов и электронов, которым в первом приближении моделируют вещество в центральной области нейтронной звезды.

В работах [3, 4] изучалось влияние сверхсильного вмороженного в нейтронную звезду магнитного поля на условия химического равновесия и уравнение состояния вырожденного газа нуклонов и электронов с учетом вкладов, обусловленных взаимодействием АММ нуклонов с магнитным полем.

Вначале получим решения уравнения Дирака с учетом взаимодействия АММ фермионов с внешним магнитным полем, являющиеся собственными функциями гамильтониана Дирака с АММ и оператора поляризации рз. Следует отметить, что эти задачи частично рассматривались в работах [5, 6].

Выберем систему единиц, где Н = с = 1.

1. Биспиноры и спектры энергий фермионов

с учетом АММ

Уравнение Дирака для фермиона с АММ в присутствии постоянного и однородного магнитного

поля имеет вид

idt4> = HD4>, (1)

где

Hd = (qP) + трз + Мрз(ЕН), а = pi's,

0 1 ~1 0 " о- О"

> рз = , s =

I 0 0 -1 0 <7

где а и рх,з — матрицы Дирака, 01,2,3 матрицы Паули, Р /V — г А — обобщенный импульс фермиона, А — векторный потенциал электромагнитного поля, т — масса, е — заряд, М — аномальный магнитный момент фермиона, Ф(г, — четырехком-понентный спинор.

Рассмотрим движение заряженного или нейтрального фермиона с АММ в постоянном и однородном магнитном поле, описываемом вектором потенциалом А в следующей калибровке:

АХ = АХ = О, Ау = Нх. (3)

Биспинор Ф(г, ищем в виде

Ф(г,£) = е~'е*Ф(г).

Тогда для Ф(г) получим следующую систему уравнений:

(е - (т + МН))Фх - (Рх - ¿Р2)Ф4 - Р3Ф3 = О, (е - (т - МН))Ф2 - (Рх + 1Р2)Фз + Р3Ф4 = О,

(4)

(е + (т + МН))Ф3 - (Рх - ¿Р2)Ф2 - Р3Ф1 = О, (е + (т - МН))Ф4 - (Рх + гР2)Фх + Р3Ф2 = 0.

Вначале рассмотрим случай заряженного фермиона (протона). Волновую функцию Ф(г) будем искать в виде

1

Ф(г) =-ехр(гр2у + гр3г)/, (5)

*•' Университет «Орумия», физический факультет. Орумия, Иран.

/ =

гС2ип(г]) Сзип-1(г)) гС±ип{г])

= л/^уХ

Р2 №

еН

7 =

где ип(т}) — функции Эрмита.

Подставляя (5) в (4), получим систему линейных уравнений для коэффициентов С\:

(6)

(ет(т + МН))С\$ - у/ШгуС^ -рзСзд = О,

(е =р (т — МЯ))С2,4 — л/ЗггуСзд + £>364,2 = 0.

Из условия равенства нулю определителя системы находим спектр энергии (см. также [5]):

£(п) = + (л/т2 + 4П7 + 8МН)2, в = ±1. (7)

Можно показать, что с коммутирует оператор Аз [7]:

Аз = тЕ3 + р2 [53 х Р], , р2 =

0 -И и о

(8)

(9)

который описывает спиновые состояния фермиона: проекцию спина протона на направление магнитного поля. Поэтому

АзФ = К0Ф,

где Ко — собственное значение Дз.

Из последного уравнения следует, что коэффициенты Сг удовлетворяют системе линейных уравнений:

(е(п) _ Ко - МН)Сг = +р3С3, (еМ + Ко + МН)С2 = -Р3С4, (е(") + Ко + МН)С'з = +р3С'ъ (е(") - К0 - МН)С'4 = -рзС2-

При получении этой системы мы воспользовались соотношением

/¿зФ = (е(")рзЕз^гр2Рз)Ф-

Из системы (9) получаем выражение для собственного значения оператора (13:

в = ±1. (10)

Коэффициенты можно найти, решая совместно уравнения (6) и (9). При этом оказывается, что решение существует только если знаки 5 в выражениях (7) и (10) противоположны. Таким образом, получается следующее правило согласования знаков:

К0 = -МП ■

е(п) = у'р\ + (уГт2 + 4п7 + зМН)2,

(Н)

Учитывая условие нормировки

¿1^ = 1,

г=1

для Сг получаем:

"сГ

(12)

О4

= {1 + А2)-Ц2{1 + в2)-Ц2

-АВ

А В

(13)

где

А =

;(") -Ко- МИ

В =

К0 + т + 2 МН

Рз \fiSvy

Заметим, что эти коэффициенты не обращаются в бесконечность при рз = 0, п = 0.

В случае нейтральной частицы (нейтрона) волновая функция и спектр энергии имеют вид соответственно:

Ф«(г) =

¿3/2

Сг

С2 Сз

С4

(14)

= ^р2з + (^т1+р2+зМпН)2, р1+р1=р8 = ±1,

(15)

где тп — масса, Мп — АММ нейтрона.

Собственные значения оператора (13 (с е = 0) определяются формулой (10) с правилом согласования знаков (11). Коэффициенты определяются формулой (13), в которой В имеет вид

В =

Крп + тп + 2 МпН Р-

(16)

2. Полная вероятность вблизи порога

Обратный процесс распада протона будем описывать лагранжианом

Ь = ^ [Фп7а4(1 + а75)Фр] [#,7^(1 + 7б)Фе+] ,

(17)

где Ор — константа Ферми, а — отношение констант аксиально-векторного и векторного взаимодействий О а и Оу (а и 1.25), 7^, 75 — матрицы Дирака. Рассмотрим процесс вблизи порога, т.е. когда

А = гп МН - (тп - МпН) -те<^еН < те,

где те — масса позитрона.

Волновую функцию позитрона можно получить из волновой функции протона, если заменить т на те и положить М = 0, так как в отличие от

(кинематических) аномальных моментов нуклонов АММ позитрона имеет динамическую природу и в области значений рассматриваемых магнитных полей является исчезающей функцией магнитного поля (см., напр., [9]).

Волновую функцию нейтрино можно получить в виде

где

/2 =

Р3_

|Р|

А = - ехр

2L3/2

1/2

• + Ру -г arctg —

Рх

-iet+ipr

А /2 -Л -h

1/2

(18)

Вычисления проводим в системе отсчета, где протон покоится (рз = 0, п = 0). Так как мы рассматриваем процесс вблизи порога, в первом приближении можно пренебречь импульсом нейтрона по сравнению с тп в коэффициентах С\ волновой функции. Тогда после интегрирования по пространственным координатам всех четырех частиц для квадрата модуля матричного элемента получаем следующее выражение:

рзЛ 0_+с)2

Ш) 1

(Р1п +Р1и)2'

Г<2 Up

1МГ = 41^(1-а) i1

С2

х ехр

Ple+

47

(19)

где

С =

т*

■pL+

т

Р3е+

Полная вероятность обратного /3-раепада протона определяется следующим выражением:

L10

W =

(2ж)5

х ¿(Рзп

~РЗе+

\М\25(ер-еп-ее+ -е„) х

+ РЗкЩР2П +Р2е+ +P2v) X х d3pnd3pvdp3e+dp2e+ ■

(20)

Мы учли, что вблизи порога вклад в сумму по п даст только член с п = 0. Сначала с помощью ¿-функции по р2 и рз проинтегрируем по импульсам позитрона, а затем с помощью ¿-функции по энергии найдем области изменения импульсов нейтрона и нейтрино:

\pln \ \/2тпА,

\р2п \ < \/2тпА,

\Рз п

\Plv\

\Р2и | \РЗи\

< А.

С учетом малости А отсюда следует, что всюду в интеграле можно пренебречь импульсом нейтрино по сравнению с импульсом нейтрона. Далее, переходя к цилиндрическим координатам

<13рп(13р1/ = (2^l)2p^ndp^np^udp^udpзndpзlJ,

главный член вероятности рассматриваемого процесса получаем в виде

Г< 2

327Г3

а

)2V2 m^Ä5/2,

(22)

где А = А/те.

Таким образом, полная вероятность распада оказывается пропорциональной А5/2.

Отметим, что аналогами урка-процессов в квар-ковом веществе являются электрослабые распады и и d кварков. Эти распады можно также описать лагранжианом (17), в котором волновые функции протона и нейтрона нужно заменить соответственно волновыми функциями и и d кварков и, кроме того, положить параметр а = 1. Если кварки обладают кинематическими АММ, то для вероятности распада и кварка в сильном магнитном поле можно использовать формулу (22), в которой следует положить а = 1. Тогда главный член полной вероятности распада и кварка с АММ в сильном магнитном поле обратится в нуль. Следовательно, в этом приближении (ос А5/2) электрослабый распад и кварка с АММ в низшем энергетическом состоянии оказывается полностью (кинематически) запрещенным.

В заключение авторы выражают благодарность проф. В. Р. Халилову за постановку задачи, помощь в проведении вычислений и написании ностоящей статьи, а также целый ряд полезных замечаний.

Литература

1. Студеникин А.И. // Ядерная физика. 1989. 49. С. 1665.

2. Вейнберг С. Гравитация и космология. М., 1975.

3. Халилов В.Р. Ц ТМФ. 2002. 130. С. 87.

4. Khalilov V.R. // Phys. Rev. 2002. D65. P. 036001; ТМФ. 2002. 133. С. 103.

5. Тернов И.М., Багров В.Г., Жуковский Б.Ч. // Вести. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 1966. №1. С. 21.

6. Лоскутов Ю.М., Левентуев В.П. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 1970. №5. С. 554.

7. Соколов A.A., Тернов И.М. Релятивистский электрон. М., 1968.

8. Окунь Л.Б. Лептоны и кварки. М., 1981.

9. Khalilov V.R. Electrons in Strong Electromagnetic Fields. Amsterdam, 1966.

Поступила в редакцию 17.10.03