Решения уравнения Паули для заряженного и нейтрального фермионов в присутствии цилиндрически-симметричного магнитного поля с учетом аномальных магнитных моментов частиц Текст научной статьи по специальности «Физика»

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА УДК 539.123.17:539.124.17

РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПАУЛИ ДЛЯ ЗАРЯЖЕННОГО И НЕЙТРАЛЬНОГО ФЕРМИОНОВ В ПРИСУТСТВИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ С УЧЕТОМ АНОМАЛЬНЫХ МАГНИТНЫХ МОМЕНТОВ ЧАСТИЦ

X. Гоударзи*), И. В. Мамсуров

(.кафедра теоретической физики) E-mail: goudarzia@phys.msu.ru

В настоящей работе получены волновая функция и спектр энергии уравнения Паули во внешнем цилиндрически-симметричном магнитном поле для нейтрального фермиона, а также поправки к спектру энергии для заряженного фермиона с учетом взаимодействия аномального магнитного момента частиц с внешним полем. Получены оценки для порога распада нуклонов в присутствии данного поля.

Введение

В релятивистской квантовой теории движение заряженной частицы со спином 1/2 во внешнем электромагнитном поле описывается уравнением Дирака, содержащим так называемое «минимальное» взаимодействие заряженного фермиона с векторным потенциалом внешнего электромагнитного поля А^(х). Паули [1], изучая лагранжианы релятивистских заряженных фермионов во внешних электромагнитных полях, указал, что добавлением к лагранжиану дополнительных членов, содержащих явно напряженности внешнего поля Р^{х), можно описать дополнительные (аномальные) магнитные моменты (АММ) заряженных фермионов.

Учет дополнительного члена, связанного с аномальным магнитным моментом заряженного и нейтрального фермионов, существенно усложняет структуру и нахождение точных решений полученного из такого лагранжиана обобщенного уравнения Дирака-Паули в присутствии внешнего электромагнитного поля. Точные решения уравнения Дирака-Паули для заряженного и нейтрального массивного фермионов, обладающих АММ, известны лишь в некоторых специальных конфигурациях электромагнитных полей: в поле плоской электромагнитной волны [2, 3], в произвольном постоянном электромагнитном поле [4] и для одного класса постоянных неоднородных электрических полей [5, 6]. Решения уравнения Дирака-Паули для акеиально-еиммет-ричного магнитного и центрально-симметричного электрического полей получены в [7].

В настоящей работе с помощью метода теории возмущений будут получены волновые функции и спектр энергий уравнения Паули во внешнем постоянном цилиндрически-симметричном магнитном поле для заряженного и нейтрального массивных

фермионов, обладающих аномальными магнитными моментами в нерелятивистском приближении. На основе полученных решений даются оценки для порога распадов нуклонов в таком поле. Цилиндрически-симметричное магнитное поле зададим в виде

В(г) = (О, О, Ь + а/г), а, Ь = const, г = \/ х2 + у2.

(1)

Поскольку задача рассматривается в нерелятивистском приближении, для нахождения спектра энергии и волновых функций надо привести уравнение Дирака к уравнению Паули, т. е. разложить уравнение Дирака и искать решение, сохраняя члены ~ 1 /с [8].

Исходим из уравнения Дирака-Паули для фермионов с учетом АММ ((л) во внешнем поле [9] д

Ш—ф(г, t) = [с(аР) + р3т0с2 - [лр3(стВ)] ф(г, t).

(2)

В релятивистском выражении для энергии частицы содержится также и ее энергия покоя mac2. Для перехода к нерелятивистскому приближению она должна быть исключена, для чего вместо ф вводим функцию ф'

ф(г,г) = ф'(г,г)е^тосН/н.

Тогда

= [с(аР) + р3т0с2 - црз(<тВ)] ф'(г,г). (3)

Представив ф1 в виде ф' = [ , |, получим систему уравнений

ih

д_

at

/л(аВ)

ф' = с(аР)Х',

(4)

Физический факультет, Университет «Урмия», Урмия, Иран.

ih

д_

dt

2 m0c2 — /л (о-В)

Х' = с(аР)ф' (5)

(ниже будем опускать штрихи у ф и х> что не вызовет недоразумений, так как далее пользуемся только преобразованной функцией ф').

В первом приближении в левой стороне уравнения (5) оставляем лишь член 2тас2х и получаем

Х =

2т$с

Подставляя (6) в (4), получаем

(сг'Р)ф.

ih

8_

dt

/л(аВ)

1

2то

[(аР)]2ф.

(6)

(7)

Используя соотношение для матриц Паули [8]

(ста)(ab) = ab + ia(a х b),

где в данном случае а = b = р — е/сА, и учитывая, что векторное произведение (а х Ь) не обращается в нуль в силу некоммутативности р и А, получаем

[сг(р - е/сА)]2 = (р - е/сА)2 - eh/c(aB), и при этом для ф получается уравнение

*мф=

2то

(р - е/сА)2 - (р + eft/2m0c) (стВ)

(8)

Это так называемое уравнение Паули с учетом аномального магнитного момента электрона.

Стационарное состояние для биспинора ф =

I Фг

будем искать в виде

ф(г^) = е-шф(г)

(9)

где е — энергия фермиона в нерелятивистском приближении. Подставляя (9) и (1) в (8), получаем следующую систему уравнений (перейдем при этом к системе единиц, где Н = с = 1):

еф^г) =

2то

(-¿V - еА)2 - (р + е/2ш0)(Ь + -)

еф2(г) = 1

2то

(-¿V - еА)2 + (ц + е/2т0)(Ь + -)

^i(r), (10)

ф2( г). (Н)

Векторный потенциал внешнего цилиндричес ки-симметричного магнитного поля в цилиндриче ской системе координат выберем в виде

Ьг

Аг — Az — 0, Аш —

а.

(12)

1. Нейтральный фермион

Сначала найдем решение уравнения (10) для случая нейтрального фермиона. Это решение в цилиндрической системе координат имеет вид

0ik?,z _

1

2^2 y/L ^Дж

г)

(13)

где к3 = (n3,1 = 0, ±1, ±2,

ч.»3,. ...) и /(г) - ради-

альная функция, которая удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению

f"(r) + -f'(r)

г

2то((лпЬ + е) — fcf

2moßna

/(0 = 0,

(14)

и коэффициенты зависят только от спина: С\а = 1 ± 5„ = ±1,

где параметр $п характеризует поляризацию спина по полю или против поля.

Найдем асимптотическое поведение дифференциального уравнения (14). При г ^ оо ищем решение уравнения

Ог)-А/00(г) = 0

в виде

/(г оо) = е

(15)

где А = —2mo(ßnb + е) + fcf. В другом предельном случае (г —> 0) решение будет иметь вид

f(r^0) = r\ (16)

удовлетворяющий уравнению

rfH(r) + fUr)^^fo(r) = 0. Тогда с помощью (15) и (16) находим решение (14) f(r) = e-VJrrlY(r). (17)

Подставляя (17) в (14), получаем хорошо известное дифференциальное уравнение для вырожденной гипергеометрической функции [10]

гУ"(г) + (1 + 21 - 2y/är)Y'[r) -

- VÄ(21 + 1) + b\ Y(r) = 0,

где В = —2то(лпа, с решением

Y(r) = F (y/Ä(21 + 1) + В, 2(1 + 1); 2y/Är) . (18)

Вследствие физической необходимости исчезновения волновой функции на бесконечности имеем

y/Ä(21 + 1 ) + В = ^п,

п = 0,1,2,..., (19)

при этом вырожденная гипергеометричеекая функция (18) сводится к полиному Лагерра:

Y(r) = F (-п, 2(1 + 1); 2у/Аг)

(21 +1)1п1

L2r!+1(r).

(20)

(п + 21 + 1)!

Отсюда находим спектр энергии е для нейтрального фермиона с учетом АММ в нерелятивистском приближении в цилиндрически-симметричном магнитном поле. Как легко видеть, этот спектр имеет вид

fc? m(ur.a)2

en,i = sii,nb+-± 1

(21)

2т 2(п +1 + 1/2)2' где параметр 5 = ±1.

2. Заряженный фермион

Далее рассмотрим решение уравнения (8) для заряженного фермиона. Так как уравнения (10) и (11) с векторным потенциалом внешнего поля (12) для заряженной частицы аналитически не решаются, используем теорию возмущений. При этом допустим, что внешнее поле является постоянным. Для однородного поля решение было получено в [11], теперь вычислим поправку от возмущающего члена а/г.

Гамильтониан системы заряженного фермиона в цилиндрически-симметричном магнитном поле можно записать в виде

Н = Н0 + Н',

где гамильтониан заряженного фермиона в од-

нородном поле с учетом АММ фермиона

Но = (аР) + р3т0 - цр3(аВ),

где, как и ранее, Р = —¿V — еА, а р3 — матрица Дирака.

Возмущающий член гамильтониана, Н', легко получается в виде

тт! ( еа 1 ,„„,

Н'=[а/л + ----- + --г, (22)

2то то J г 2то

где а, Ъ — постоянные внешнего поля.

Теперь вычислим поправки к энергии для состояний п = 0и» = 1 заряженного фермиона (протона):

^ I ^ = J f = Jr^4>d3x. (23)

Проинтегрировав (23) и применив соотношения для гамма-функций

РОО

Г(п)= / п> 0,

J о

ГОО

х- ~e-)3xdx = — Г(а),

„а—1

г им: —

/о /3'

получим следующий результат:

= ^ = ф 7 = Т- (24)

где п — главное квантовое число. При этом для случая п =1 получим

1

13

Г/п=1 2

= ТГУ^ г"=1 =

4 \/7'

(25)

где было произведено суммирование по состояниям спиновой поляризации 5 = ±1.

С помощью (24) и (25) можно получить поправку, вызываемую возмущающим членом Н' в спектре энергии:

(Н')п=0=4{а(ЛР

еа

е2аЬ Гк

<26)

, „А 13 / еа \ _ 47е2аЬ [ж

<н >»=1= т К- V 7

2 mr

Наконец, для полного спектра энергии заряженного фермиона (протона) в цилиндрически-симметричном магнитном поле в нерелятивистском приближении находим

Р%

Е0р = mp + spii,pb , 2т 27

<Я')

п=0 '

Eip = тр

Spfipb ■

Рзр

(н%

(27)

(28)

тр '' г 2тр ' х >п-1' где (Н')п=01 определяется соотношением (26).

3. Пороги распада нуклонов

Для энергетического порога распада нуклонов (например, нейтрона) в рассматриваемом цилиндрически-симметричном магнитном поле можно получить следующие оценки. Предположим, что постоянное поле Ва. Тогда можно считать, что электрон и протон находятся на нижнем уровне Ландау (п = п! = 0). Будем исследовать вероятность распада нейтрона в той системе отсчета, где он покоится. В матричный элемент распада (см., напр., [11]) обязательно войдут экспоненты е^гЕп1, е-ъЕрг^ е-«хо*; поскольку внешнее поле явля-

ется стационарным и соответствующие экспоненты в любом случае будут входить в волновые функции частиц [12]. После интегрирования по времени эти экспоненты дадут ¿-функцию по энергии

8 (А' - те + 2тп(рпа)2 - Р1р/2тр - {Н')Рп=0 -

^р1/2те^(Н')еп=0^Хо), (29)

где Д' = Д + зпцпЬ — ЗрЦрЬ.

Далее, приравнивая нулю аргумент ¿-функции и учитывая, что (р1р/2тр, р\е/2те,хо) >0, получаем следующее неравенство:

А' — те + 2тп(цпа)2 — 4а ( ц.

2т.

6 )

v J

e2ab рк 2ае _

\---yß7"

V 7

т

e2ab Гж -

те у 7

(30)

в котором можно пренебречь слагаемым, пропорциональным а2, вследствие его малости. Учитывая также, что те/тр -С 1, приходим к выводу, что вероятность распада нейтрона будет отличной от нуля лишь при следующем соотношении между параметрами внешнего магнитного поля а и Ь:

а <

тР.

2\/2же ((лр + е/те) у/Ъ

(31)

Проведя аналогичные рассуждения для случая обратного /3+ — распада свободного протона, получим, что соотношение между а и Ъ для указанного процесса должно быть следующим:

а <

те+

2\/2we (цр — е/те+) у/Ь

(32)

В заключение авторы выражают благодарность профессору В. Р. Халилову за постановку задачи и ряд полезных замечаний.

Литература

9 10 11 12

Pauli W. Ц Rev. Mod. Phys. 1941. 13. P. 203.

Тернов И.М., Багров В.Г., Клименко Ю.И. // Изв. вузов.

Физика. 1968. №2. С. 50.

Клименко Ю.И., Кулиш В.В., Худомясов А.И. // Изв. вузов. Физика. 1974. № 10. С. 142.

Лавров П.М. // Изв. вузов. Физика. 1977. № 12. С. 68. Тернов ИМ., Багров В.Г. // Ядерная физика. 1966. 4, №4. С. 797; ДАН СССР. 1966. 168. С. 1298. Клименко Ю.И. // Ядерная физика. 1978. 27. С. 1677. Халилов В.P. II Теор. и матем. физика. 2001. 126, №3. С. 427.

Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика. М., 1980.

Соколов A.A., Тернов И.М. Релятивистский электрон. М., 1974.

Градштейн И.С. и Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., 1963. Гоударзи X., Мамсуров И.В. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2006. №1. С. 11.

Вайнберг С. Квантовая теория поля. Т. 1. М., 2003.

Поступила в редакцию 02.03.05