ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА УДК 539.123.17:539.124.17
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПАУЛИ ДЛЯ ЗАРЯЖЕННОГО И НЕЙТРАЛЬНОГО ФЕРМИОНОВ В ПРИСУТСТВИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ С УЧЕТОМ АНОМАЛЬНЫХ МАГНИТНЫХ МОМЕНТОВ ЧАСТИЦ
X. Гоударзи*), И. В. Мамсуров
(.кафедра теоретической физики) E-mail: goudarzia@phys.msu.ru
В настоящей работе получены волновая функция и спектр энергии уравнения Паули во внешнем цилиндрически-симметричном магнитном поле для нейтрального фермиона, а также поправки к спектру энергии для заряженного фермиона с учетом взаимодействия аномального магнитного момента частиц с внешним полем. Получены оценки для порога распада нуклонов в присутствии данного поля.
Введение
В релятивистской квантовой теории движение заряженной частицы со спином 1/2 во внешнем электромагнитном поле описывается уравнением Дирака, содержащим так называемое «минимальное» взаимодействие заряженного фермиона с векторным потенциалом внешнего электромагнитного поля А^(х). Паули [1], изучая лагранжианы релятивистских заряженных фермионов во внешних электромагнитных полях, указал, что добавлением к лагранжиану дополнительных членов, содержащих явно напряженности внешнего поля Р^{х), можно описать дополнительные (аномальные) магнитные моменты (АММ) заряженных фермионов.
Учет дополнительного члена, связанного с аномальным магнитным моментом заряженного и нейтрального фермионов, существенно усложняет структуру и нахождение точных решений полученного из такого лагранжиана обобщенного уравнения Дирака-Паули в присутствии внешнего электромагнитного поля. Точные решения уравнения Дирака-Паули для заряженного и нейтрального массивного фермионов, обладающих АММ, известны лишь в некоторых специальных конфигурациях электромагнитных полей: в поле плоской электромагнитной волны [2, 3], в произвольном постоянном электромагнитном поле [4] и для одного класса постоянных неоднородных электрических полей [5, 6]. Решения уравнения Дирака-Паули для акеиально-еиммет-ричного магнитного и центрально-симметричного электрического полей получены в [7].
В настоящей работе с помощью метода теории возмущений будут получены волновые функции и спектр энергий уравнения Паули во внешнем постоянном цилиндрически-симметричном магнитном поле для заряженного и нейтрального массивных
фермионов, обладающих аномальными магнитными моментами в нерелятивистском приближении. На основе полученных решений даются оценки для порога распадов нуклонов в таком поле. Цилиндрически-симметричное магнитное поле зададим в виде
В(г) = (О, О, Ь + а/г), а, Ь = const, г = \/ х2 + у2.
(1)
Поскольку задача рассматривается в нерелятивистском приближении, для нахождения спектра энергии и волновых функций надо привести уравнение Дирака к уравнению Паули, т. е. разложить уравнение Дирака и искать решение, сохраняя члены ~ 1 /с [8].
Исходим из уравнения Дирака-Паули для фермионов с учетом АММ ((л) во внешнем поле [9] д
Ш—ф(г, t) = [с(аР) + р3т0с2 - [лр3(стВ)] ф(г, t).
(2)
В релятивистском выражении для энергии частицы содержится также и ее энергия покоя mac2. Для перехода к нерелятивистскому приближению она должна быть исключена, для чего вместо ф вводим функцию ф'
ф(г,г) = ф'(г,г)е^тосН/н.
Тогда
= [с(аР) + р3т0с2 - црз(<тВ)] ф'(г,г). (3)
Представив ф1 в виде ф' = [ , |, получим систему уравнений
ih
д_
at
/л(аВ)
ф' = с(аР)Х',
(4)
Физический факультет, Университет «Урмия», Урмия, Иран.
ih
д_
dt
2 m0c2 — /л (о-В)
Х' = с(аР)ф' (5)
(ниже будем опускать штрихи у ф и х> что не вызовет недоразумений, так как далее пользуемся только преобразованной функцией ф').
В первом приближении в левой стороне уравнения (5) оставляем лишь член 2тас2х и получаем
Х =
2т$с
Подставляя (6) в (4), получаем
(сг'Р)ф.
ih
8_
dt
/л(аВ)
1
2то
[(аР)]2ф.
(6)
(7)
Используя соотношение для матриц Паули [8]
(ста)(ab) = ab + ia(a х b),
где в данном случае а = b = р — е/сА, и учитывая, что векторное произведение (а х Ь) не обращается в нуль в силу некоммутативности р и А, получаем
[сг(р - е/сА)]2 = (р - е/сА)2 - eh/c(aB), и при этом для ф получается уравнение
*мф=
2то
(р - е/сА)2 - (р + eft/2m0c) (стВ)
(8)
Это так называемое уравнение Паули с учетом аномального магнитного момента электрона.
Стационарное состояние для биспинора ф =
I Фг
будем искать в виде
ф(г^) = е-шф(г)
(9)
где е — энергия фермиона в нерелятивистском приближении. Подставляя (9) и (1) в (8), получаем следующую систему уравнений (перейдем при этом к системе единиц, где Н = с = 1):
еф^г) =
2то
(-¿V - еА)2 - (р + е/2ш0)(Ь + -)
еф2(г) = 1
2то
(-¿V - еА)2 + (ц + е/2т0)(Ь + -)
^i(r), (10)
ф2( г). (Н)
Векторный потенциал внешнего цилиндричес ки-симметричного магнитного поля в цилиндриче ской системе координат выберем в виде
Ьг
Аг — Az — 0, Аш —
а.
(12)
1. Нейтральный фермион
Сначала найдем решение уравнения (10) для случая нейтрального фермиона. Это решение в цилиндрической системе координат имеет вид
0ik?,z _
1
2^2 y/L ^Дж
г)
(13)
где к3 = (n3,1 = 0, ±1, ±2,
ч.»3,. ...) и /(г) - ради-
альная функция, которая удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению
f"(r) + -f'(r)
г
2то((лпЬ + е) — fcf
2moßna
/(0 = 0,
(14)
и коэффициенты зависят только от спина: С\а = 1 ± 5„ = ±1,
где параметр $п характеризует поляризацию спина по полю или против поля.
Найдем асимптотическое поведение дифференциального уравнения (14). При г ^ оо ищем решение уравнения
Ог)-А/00(г) = 0
в виде
/(г оо) = е
(15)
где А = —2mo(ßnb + е) + fcf. В другом предельном случае (г —> 0) решение будет иметь вид
f(r^0) = r\ (16)
удовлетворяющий уравнению
rfH(r) + fUr)^^fo(r) = 0. Тогда с помощью (15) и (16) находим решение (14) f(r) = e-VJrrlY(r). (17)
Подставляя (17) в (14), получаем хорошо известное дифференциальное уравнение для вырожденной гипергеометрической функции [10]
гУ"(г) + (1 + 21 - 2y/är)Y'[r) -
- VÄ(21 + 1) + b\ Y(r) = 0,
где В = —2то(лпа, с решением
Y(r) = F (y/Ä(21 + 1) + В, 2(1 + 1); 2y/Är) . (18)
Вследствие физической необходимости исчезновения волновой функции на бесконечности имеем
y/Ä(21 + 1 ) + В = ^п,
п = 0,1,2,..., (19)
при этом вырожденная гипергеометричеекая функция (18) сводится к полиному Лагерра:
Y(r) = F (-п, 2(1 + 1); 2у/Аг)
(21 +1)1п1
L2r!+1(r).
(20)
(п + 21 + 1)!
Отсюда находим спектр энергии е для нейтрального фермиона с учетом АММ в нерелятивистском приближении в цилиндрически-симметричном магнитном поле. Как легко видеть, этот спектр имеет вид
fc? m(ur.a)2
en,i = sii,nb+-± 1
(21)
2т 2(п +1 + 1/2)2' где параметр 5 = ±1.
2. Заряженный фермион
Далее рассмотрим решение уравнения (8) для заряженного фермиона. Так как уравнения (10) и (11) с векторным потенциалом внешнего поля (12) для заряженной частицы аналитически не решаются, используем теорию возмущений. При этом допустим, что внешнее поле является постоянным. Для однородного поля решение было получено в [11], теперь вычислим поправку от возмущающего члена а/г.
Гамильтониан системы заряженного фермиона в цилиндрически-симметричном магнитном поле можно записать в виде
Н = Н0 + Н',
где гамильтониан заряженного фермиона в од-
нородном поле с учетом АММ фермиона
Но = (аР) + р3т0 - цр3(аВ),
где, как и ранее, Р = —¿V — еА, а р3 — матрица Дирака.
Возмущающий член гамильтониана, Н', легко получается в виде
тт! ( еа 1 ,„„,
Н'=[а/л + ----- + --г, (22)
2то то J г 2то
где а, Ъ — постоянные внешнего поля.
Теперь вычислим поправки к энергии для состояний п = 0и» = 1 заряженного фермиона (протона):
^ I ^ = J f = Jr^4>d3x. (23)
Проинтегрировав (23) и применив соотношения для гамма-функций
РОО
Г(п)= / п> 0,
J о
ГОО
х- ~e-)3xdx = — Г(а),
„а—1
г им: —
/о /3'
получим следующий результат:
= ^ = ф 7 = Т- (24)
где п — главное квантовое число. При этом для случая п =1 получим
1
13
Г/п=1 2
= ТГУ^ г"=1 =
4 \/7'
(25)
где было произведено суммирование по состояниям спиновой поляризации 5 = ±1.
С помощью (24) и (25) можно получить поправку, вызываемую возмущающим членом Н' в спектре энергии:
(Н')п=0=4{а(ЛР
еа
е2аЬ Гк
<26)
, „А 13 / еа \ _ 47е2аЬ [ж
<н >»=1= т К- V 7
2 mr
Наконец, для полного спектра энергии заряженного фермиона (протона) в цилиндрически-симметричном магнитном поле в нерелятивистском приближении находим
Р%
Е0р = mp + spii,pb , 2т 27
<Я')
п=0 '
Eip = тр
Spfipb ■
Рзр
(н%
(27)
(28)
тр '' г 2тр ' х >п-1' где (Н')п=01 определяется соотношением (26).
3. Пороги распада нуклонов
Для энергетического порога распада нуклонов (например, нейтрона) в рассматриваемом цилиндрически-симметричном магнитном поле можно получить следующие оценки. Предположим, что постоянное поле Ва. Тогда можно считать, что электрон и протон находятся на нижнем уровне Ландау (п = п! = 0). Будем исследовать вероятность распада нейтрона в той системе отсчета, где он покоится. В матричный элемент распада (см., напр., [11]) обязательно войдут экспоненты е^гЕп1, е-ъЕрг^ е-«хо*; поскольку внешнее поле явля-
ется стационарным и соответствующие экспоненты в любом случае будут входить в волновые функции частиц [12]. После интегрирования по времени эти экспоненты дадут ¿-функцию по энергии
8 (А' - те + 2тп(рпа)2 - Р1р/2тр - {Н')Рп=0 -
^р1/2те^(Н')еп=0^Хо), (29)
где Д' = Д + зпцпЬ — ЗрЦрЬ.
Далее, приравнивая нулю аргумент ¿-функции и учитывая, что (р1р/2тр, р\е/2те,хо) >0, получаем следующее неравенство:
А' — те + 2тп(цпа)2 — 4а ( ц.
2т.
6 )
v J
e2ab рк 2ае _
\---yß7"
V 7
т
e2ab Гж -
те у 7
(30)
в котором можно пренебречь слагаемым, пропорциональным а2, вследствие его малости. Учитывая также, что те/тр -С 1, приходим к выводу, что вероятность распада нейтрона будет отличной от нуля лишь при следующем соотношении между параметрами внешнего магнитного поля а и Ь:
а <
тР.
2\/2же ((лр + е/те) у/Ъ
(31)
Проведя аналогичные рассуждения для случая обратного /3+ — распада свободного протона, получим, что соотношение между а и Ъ для указанного процесса должно быть следующим:
а <
те+
2\/2we (цр — е/те+) у/Ь
(32)
В заключение авторы выражают благодарность профессору В. Р. Халилову за постановку задачи и ряд полезных замечаний.
Литература
9 10 11 12
Pauli W. Ц Rev. Mod. Phys. 1941. 13. P. 203.
Тернов И.М., Багров В.Г., Клименко Ю.И. // Изв. вузов.
Физика. 1968. №2. С. 50.
Клименко Ю.И., Кулиш В.В., Худомясов А.И. // Изв. вузов. Физика. 1974. № 10. С. 142.
Лавров П.М. // Изв. вузов. Физика. 1977. № 12. С. 68. Тернов ИМ., Багров В.Г. // Ядерная физика. 1966. 4, №4. С. 797; ДАН СССР. 1966. 168. С. 1298. Клименко Ю.И. // Ядерная физика. 1978. 27. С. 1677. Халилов В.P. II Теор. и матем. физика. 2001. 126, №3. С. 427.
Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика. М., 1980.
Соколов A.A., Тернов И.М. Релятивистский электрон. М., 1974.
Градштейн И.С. и Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., 1963. Гоударзи X., Мамсуров И.В. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2006. №1. С. 11.
Вайнберг С. Квантовая теория поля. Т. 1. М., 2003.
Поступила в редакцию 02.03.05