CC BY
9
чен только после окончания расчета коктейля электрон-позитронных пар и его вычитания из измеренного спектра. Существенное улучшение точности измерений ожидается в результате имплементации дополнительного отбора
электрон-позитронных пар с использованием данных детектора HBD.
Работа поддержана в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 — 2013 гг.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Adcox, K. Formation of dense partonic matter in relativistic nucleus-nucleus collisions at RHIC: Experimental evaluation by the PHENIX collaboration [Text] / K. Adcox, V. Riabov, Y. Riabov, Y. Berdnikov [et al.] // Nucl. Phys. A. - 2005. - Vol. 757. - P. 184-283.
2. Adare, A. Detailed measurement of the e+e- pair continuum in p+p and Au+Au collisions at 200 GeV and implications for direct photon production [Text] / A. Adare, V. Riabov, Y. Riabov, Y. Berdnikov // Phys. Rev. C. - 2010. - Vol. 81. - P. 034911-034967.
3. Matsui, T. J/Psi suppression by quark-gluon plasma formation [Text] /T. Matsui, H. Satz // Phys. Lett. B. -1986. - Vol. 178. - P. 416-422.
4. Porter, R. Dielectron cross section measurements in nucleus nucleus reactions at 1.0-A-GeV [Text] / R. Porter, J. Caroll, P. Kirk [et al.] //Phys. Rev. Lett. - 1997. -Vol. 79. - P. 1229-1232.
5. Agakichiev, G. Systematic study of low-mass electron pair production in p-Be and p-Au collisions at 450
GeV [Text] / G. Agakichiev, M. Appenheimer // Eur. Phys. J. C.—1998.—V01. 4. - P. 231-247.
6. Adcox, K. PHENIX detector overview [Text] / K. Adcox, V. Riabov, Y. Berdnikov [et al.] // Nucl. Instrum. Meth. A.-2003.-Vol. 499. - P. 469-479.
7. Baym, G. RHIC: From dreams to beams in two decades [Text] / G. Baym // Nucl. Phys. A. - 2002. - Vol. 698. - P. 23-32.
8. Makek, M. Measurements of low mass e+e- pairs in p+p and Au+Au collisions with the HBD upgrade of the PHENIX detector [Text] / M. Makek // Nuclear Physics A. -2011. -Vol. 855. -P. 265-268.
9. Kozlov, A. Development of a triple GEM UV-photon detector operated in pure CF4 for the PHENIX experiment [Text] / A. Kozlov, I. Tserruya, I. Ravinovich, [et al.] // Nucl. Instrum. Meth. A.- 2004.-Vol. 523. - P. 345-354.
10. Kopylov, G.I. Like particle correlations as a tool to study the multiple production mechanism [Text] / G.I. Kopylov // Phys. Lett. B.-1974.-Vol. 50. - P. 472-474.
УДК 539.128.2, 539.171.016
ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ТОКА ДЕЙТРОНА В ПЕРЕМЕННЫХ СВЕТОВОГО КОНУСА
Ф.Ф. Павлов
Одним из наиболее важных вопросов современной физики элементарных частиц и атомного ядра является развитие методов релятивистского описания дейтрона как составной системы. Наиболее актуальным вопросом является изучение релятивистских явлений в электромагнитной структуре дейтрона и построение оператора электромагнитного тока релятивистского дейтрона, удовлетворяющего
условию Лоренц-инвариантности и дискретным симметриям Р и Т. Для изучения данных явлений обычно проводятся эксперименты по упругому электрон-дейтронному рассеянию при больших переданных импульсах. Как известно, электромагнитные форм-факторы дейтрона (зарядовый, квадрупольный и магнитный) выражаются через матричные элементы электромагнитного тока дейтрона. Зная форм-
факторы дейтрона, можно оценить релятивистские поправки к магнитному и квадрупольному моментам дейтрона, зарядовому радиусу.
Целью данной работы является расчет матричных элементов плюсового компонента электромагнитного тока дейтрона в переменных светового конуса (судаковских переменных) и исследование поведения матричных элементов в зависимости от величины квадрата переданного импульса.
Для достижения результата используются развитые ранее методы релятивистской теории поля в переменных светового конуса. В данной работе волновая функция дейтрона будет аппроксимироваться только протон-нейтронным фоковским состоянием и дейтрон будет представляться как суперпозиция двухнуклонных фо-ковских состояний с инвариантной массой, зависящей от относительного импульса нуклонов.
Амплитуда однократного электрон-дейтронного рассеяния
Рассмотрим треугольную фейнмановскую диаграмму процесса однократного электрон-дейтронного рассеяния, в которой показана вершина поглощения дейтроном D виртуального фотона с импульсом Q (рис. 1).
Используя принципы написания дисперсионных интегралов и стандартные правила Фейнмана, вершинную часть амплитуды процесса, соответствующего рис. 1, в импульсном приближении можно представить в виде интеграла по 4-импульсу нуклона-спектатора [1 — 4]:
xi
Fk = ("1)J
d4Р3 Sp{lM'')'
(2л)4i (p32 - m2 + is)>
i (-Рз + т )• / (Г ¿у^)»
2 2 х(р2 - т + /е) х
х/(р2 + т) • /Ок • /(рх + т
2 2 ' х(рх - т + /е)
где р1, р2 — 4-векторы импульсов протонов; интегрирование ведется по 4-вектору импульса нейтрона р3, где контур интегрирования замкнут вокруг полюса нейтронного пропагатора (массы всех нуклонов равны т); под импульсом со «шляпкой» подразумевается выражение
Р = РЛ (^ - 4-матрицы Дирака); Гр - полная вершинная функция распада дейтрона на конституенты в начальном состоянии, а Г а — полная вершинная функция дейтрона в конечном состоянии; и ^ — 4-векторы поляризаций дейтрона в начальном и конечном состояниях; р = ±1, 0 — спиральность дейтрона; по дважды повторяющимся тензорным индексам а и Р всегда подразумевается суммирование. Вершина взаимодействия нуклонов с фотоном Ок имеет вид
fS (Q 2)
Ok = FS(Q2)yk °k.vQv ,
(2)
где Qv — 4-вектор импульса виртуального фото-
СО V О
на; Ff (Q ), F2S (Q ) - изоскалярные электромагнитные форм-факторы нуклона Дирака и Паули, соответственно, причем F¡s(0) = 1 и
Fs (0) = -0,12, tfk v= | (У k Yv"YvY k )•
Двухчастичное состояние в переменных светового конуса
При высоких энергиях удобно использовать параметризацию для 4-импульсов в переменных светового конуса. Современная техника светового конуса, берущая начало в работе В.В. Судакова [5], подробно рассмотрена в работах [2 — 8]. Напомним, что в формализме светового конуса любой 4-вектор имеет компоненты
где
Рис. 1. Фейнмановская диаграмма для дейтрона
(a+, a-, a i ^ 1
=—(ao ±a^),
л'
(3)
(4)
а поперечный компонент a± = (а^ а2) лежит в плоскости (х, у). Для упрощения формул часто будем опускать 4-тензорный индекс над 4-век-торами. Скалярное произведение имеет вид
аЬ = а+Ь_ + а_Ь+ - a ± Ьх .
(5)
Для частицы на массовой поверхности квадрат 4-вектора импульса равен
2 2 2 р2 = т2 = 2 р+ р_- pi
(6)
Р- =
т2 + p2 2 Р+
(7)
В представлении светового конуса будут использоваться у -матрицы Дирака:
у± =^2(Уо ±уз).
(8)
М2 = Р2 = (р + Р3)2 = 2 2 2 2
+_ ^ pз1 )2.
г 1 - г
(9)
pLL = k + гP1; Pзl=-k + (1 - г) P1.
(10) (11)
М2 =
k2 + т2
г (1 - г)
В данной работе дейтрон будет рассматриваться как суперпозиция двухнуклонных фо-ковских состояний с инвариантной массой М, зависящей от относительного импульса конституэнтов.
4-вектор импульса двухнуклонных фоков-ских состояний с инвариантной массой Мв переменных светового конуса имеет компоненты
и минусовый компонент 4-вектора импульса равен
(
Р = ( Р+, Р_, P1) =
М2 + p
' 2Р. ' J
л
(13)
Спиральные состояния для двухнуклонных фоковских состояний с инвариантной массой М в переменных светового конуса будут описываться продольным (р = 0) 4-вектором поляризации [4, 6, 7]:
у (р=°)= _!_ М
-М2 + P2 2Р,
P1
(14)
Рассмотрим двухчастичное состояние в переменных светового конуса с внутренними 4-импульсами р1 и р3 (см. рис. 1). Так как полный 4-импульс такого двухчастичного состояния равен
Р = Р1 + Рз,
то удобно ввести г = р1+ / Р+ и 1 - г = р3+ / Р+ — доли импульса системы, которые несут частицы 1 и 3.
Квадрат инвариантной массы такой системы следует выражению
и поперечным (р = ±1) 4-вектором поляризации в переменных светового конуса [4, 6, 7]:
у(р=±1) =
0,
(P±• в«)
.(р=±1)
(15)
где поперечные циркулярные орты имеют привычный вид
1
^ (±в1 + *®2 ),
Определим относительный поперечный импульс k для двух начальных нуклонов соотношениями
Из соотношений (9) — (11) при т1 = т3 = т следует, что
в1, в2 — единичные орты вдоль осей х и у, соответственно.
Подчеркнем, что в формуле (14) М ф Мв . В релятивизме вектор поляризации продольного состояния неизбежно зависит от инвариантной массы протон-нейтронной пары (12). Такой «бегущий» продольный вектор поляризации в ранних оценках релятивистских эффектов не использовался.
Система отсчета Брейта
При рассмотрении различных задач рассеяния удобно пользоваться системой отсчета с
нулевой передачей энергии или системой Брей-та, в которой плюсовые компоненты 4-импуль-са не меняются до и после рассеяния, а поперечные импульсы равны по значению и противоположны по направлению. В такой системе поперечные импульсы протон-нейтронной пары в начальном и конечном состо-янияхвыбираются в виде P1 = -О / 2 и Р± = Q / 2 соответственно, и плюсовые компоненты не меняются: Р+= Р+ . Тогда плюсовый компонент переданного 4-импульса 0 будет равен 0+ = Р+- Р+ = 0 , а поперечные компоненты Q = (0Х, 0У) выберем в виде 0Х = 0, 0у = 0 , то есть направим Q вдоль оси х.
Тогда с учетом соотношений (10), (11) получим удобное представление для 4-векторов импульсов нуклонов в начальном состоянии р1 и р3 на массовой поверхности:
( 2 /,_ ~ ,„ч2
Р1 =
т +
(к-гО/2) 2гР,
(16)
к - г 11;
Рз =
(1 - г) р+,
2
т +
(-к-(1 - г) Q| 2 )2 2 (1 - г) Р+
(17)
"к "(1 - г) 0-|,
Рз =
(1 - г) Р.
т2 +(-к + (1 - г) О/2)2 2 (1 - г) Р+
"к + (1" г)
где относительный поперечный импульс к для конечного состояния двух нуклонов равен
к = к + (1 - г) О;
Кх = кх +!1 - г
(21)
К у ~ ку'
причем квадрат инвариантной массы конечной пары нуклонов с 4-импульсами р2 и Р3 на массовой поверхности будет иметь вид
М2 =( Р2 + Рз) =
22 2 к2 + т
(22)
г I1 - г )•
Таким образом, начальное состояние протон-нейтронной пары с инвариантной массой Мв системе Брейта будет описываться 4-векто-ром импульса в переменных светового конуса:
р = {р М2 + о2/4 _ 0 0
+ ' 2Р^ '2'
(23)
V "Г /
продольным (р = 0) 4-вектором поляризации начального состояния
причем квадрат инвариантной массы начальной пары нуклонов с 4-векторами импульсов Рх и Р3 на массовой поверхности имеет вид
у (р=°)= _!_ М
гр _М2 + 02/4 _ 0 ^
2Р,
2
(24)
и поперечным (р = ±1) 4-вектором поляризации начального состояния
М =( Р1 + Рз) =
22 2 к2 + т
г I1 - г )■
(18)
Для 4-векторов импульсов в конечном состоянии р2 и Рз:
(
Р2 =
т2 +(к + г О/2)2 2гР1
к+г !|;
(19)
(
у (р=±1) =
0, -
(О • е^1))
л
2Р^
, е
(р=±1)
. (25)
Аналогично конечное состояние протон-нейтронной пары будет описываться 4-векто-ром импульса и 4-векторами поляризации в переменных светового конуса:
р = ( р+, р., Рх) =
( р М2 + 02/4 0 0 ^
+, 2Р^ , 2,
(26)
M
V(р-=о)= X P -M2 +Q2/4 Q
P+,
2Р
V (р'=±1) =
о,
(Q • e^1))
2P^
, e
, —, о 2
,(р=±1)
; (27)
(28)
(Pi " Рз),
Р .
_d M2 - 4m
гр =—4— +
2
M + 2m M + m
(30)
2
(Pi - Рз )з; (31)
ф s ,d (m 2) =
2Ч Gs,d (M2)
M2 - mDD '
(32)
fe (p2 -p3)0
a ia VV о
M + 2m
M + m
~d = Mm2 - 4m2 _
^a 4 Уa^
2
(P2 - Рз )a . (35)
V У
«Волна» над буквой обозначает конечное состояние.
Соотношение между вершинной и радиальной волновыми функциями дейтрона
Полная вершинная функция перехода дейтрона в протон-нейтронную пару в начальном состоянии имеет вид [2, 4, 9, 10]:
Гр=Г^ (М 2) + (М2), (29)
где вершинные функции начального состояния протон-нейтронной пары с инвариантной массой Мдля и ^-волновых состояний следуют выражениям [2, 4, 9, 10]:
Условие нормировки радиальных волновых функций двухнуклонных фоковских состояний для и ^-волн по отдельности приведены в работах [2, 4]. В нерелятивистском случае используются волновые функции дейтрона ^ (р) и Тв(р). Соответствие между радиальными волновыми функциями в (М ) и нерелятивистскими волновыми функциями (р) будет иметь следующий вид [2, 4]:
Фs (м2)(Р);
2M
Фв (M2) = ,
4Mp'
(Р).
(36)
(37)
GS в (М ) — скалярные вершинные функции для S- и ^-волновых состояний дейтрона, которые связаны с радиальными волновыми функциями дейтрона ФS в (М ) соотношением
В качестве нерелятивистских волновых функций TS D можно использовать ряд современных реалистических волновых функций, например CD-боннскую (CD-Bonn) [11], полную боннскую (Full Bonn) [12] и парижскую (Paris) [13]. Для таких нерелятивистских волновых функций дейтрона обычно используется параметризация вида
Р) = J-
I ?
C
p2 + m2
(38)
где Мв = 1875,6 МэВ/с2 — масса дейтрона.
Полная вершинная функция дейтрона в конечном состоянии имеет вид
г a=fSfe (мMM2)+rDGD (MM2), (33)
где вершинные функции конечного состояния протон-нейтронной пары с инвариантной массой ММ для S- и ^-волновых состояний следуют выражениям:
где p — относительный 3 -импульс двух нуклонов в дейтроне; параметры С\ и т1 приводятся в работах [11 — 13].
На рис. 2 представлены зависимости CD-боннской, полной боннской и парижской волновых функций дейтрона от относительного импульса р.
Видно, что при большом относительном импульсе р протона и нейтрона в дейтроне волновые функции ^-волновых состояний дейтрона сравнимы по величине с волновыми функциями £-волновых состояний; последние проходят через нуль при р « 400 — 450 МэВ (в единицах с = 1). Поэтому область релятивистских импульсов, где доминирует ^-волновое состояние дейтрона, представляет особый интерес.
2
(
Рис. 2. Зависимость от величины относительного импульса р составляющих волновой функции дейтрона:
S-(I), В-(2) волновых состояний CD-боннской волновой функции; S-(3), Б-(4) волновых состояний полной боннской волновой функции; S-(5), Б-(6) волновых состояний парижской волновой функции
Параметризация электромагнитных форм-факторов нуклона
Как известно, изоскалярные электромагнитные форм-факторы нуклона Дирака и Паули F1S ^2) и F2S ^2) связаны с электрическим и магнитным форм-факторами Сакса GE и GM следующим образом:
^ —(Gе); 1 + ^
F2 ^М - ^ ) >
1 + л
(39)
(40)
где форм-факторы Сакса GE и GM равны сумме форм-факторов протона и нейтрона:
GE,М - GE,M + ^,М •
(41)
В данной работе для форм-факторов нейтрона будет использоваться следующая параметризация [14]:
1 + Ьц
(42)
(43)
где ц = Q¿/2т2; а = 0,888; Ь = 3,21; цп =-1,91 -магнитный момент нейтрона (в ядерных магнетонах);
GdiE -
2
1 ♦ % л2,
-2
л2 = 0,71 (ГэВ/с)2.
Для форм-факторов протона будет использоваться параметризация
GE = GdiE[1 -0,ВД2 -0,04)]; (44)
0Рм pGdip, (45)
где ц р = 2,79 — магнитный момент протона (в ядерных магнетонах).
Матричные элементы плюсового компонента электромагнитного тока дейтрона
Как было показано в работах [15 — 19], использование плюсового компонента электромагнитного тока дейтрона J+ в системе бесконечного импульса в специальной системе Брейта (Q+= 0) дает правильное пространственно-временное описание релятивистских эффектов (невозможность рождения пар из вакуума и подавление вкладов так называемых Z-диаграмм).
Вычисление шпура в амплитуде (1) подробно рассматривается в работах [2, 3]. Не повторяя все этапы расчета однопетлевого интеграла, матричный элемент плюсового компонента дейтронного тока J+ = F+ в переменных светового конуса можно свести к следующему виду:
Р'| J+|р) = F+ =
1
2
dгd k
2(2я) г2(1 - г)
V ( р„ *ЛР'К (р2, х
М2 - М2В х[й (р2, у.)0+ы (рь у)]х
и (р1>у)ГрУр(р)V(р3,Я.) М2 - М2В
(46)
где V = ±1, ц = ±1 — удвоенные спиральности протонов; Х = ±1 — удвоенная спиральность нейтрона; напомним, что под дважды повторяющимся индексом подразумевается суммирование и «волна» над буквой обозначает конечное состояние; и (р1, у) — спинор начального
протона с импульсом рх и спиральностью s = V / 2, V = +1 (входящий фермион с точки зрения фейнмановской диаграммы) [2, 4, 7, 8]; и ( р2, ц) — спинор конечного протона с импульсом р2 и спиральностью s = ц/ 2, ц = + 1 (выходящий фермион с точки зрения фейнмановской диаграммы); V (Рз, — спинор нейтрона (выходящий антифермион с точки зрения фейнмановской диаграммы) с импульсом —Рз и спиральностью -s = -Х /2, ^ = ±1 [2, 4, 7, 8].
Формула (46) допускает простую кванто-вомеханическую интерпретацию: дейтрон в спиновом состоянии, описываемый вектором
поляризации со спиральностью р, представляется как система протон-нейтрон со спиральностями V и X; после рассеяния система протон-нейтрон проецируется на дейтрон в спиновом состоянии, описываемом вектором
поляризации ^, со спиральностью р'; по всем промежуточным спиральностям V, X идет суммирование, и оно по спиральностям заменяет вычисление фейнмановских следов. Другими словами, мы рассматриваем переход составной системы с массой М в составную систему с массой М. Следует отметить, что спиноры в формализме светового конуса отличаются от привычных спиноров Дирака только спиновым вращением, которое есть известное преобразование Вигнера — Мелоша [4, 20].
Плюсовый компонент вершины (2) имеет
вид
М1 = М + 2т ; М2 = М + 2т .
°+= Р1У++ ~2т/ .
(47)
Матричные элементы электрон-дейтронно-го рассеяния (46) в зависимости от спиральных состояний поляризаций дейтрона в начальном (р = ± 1, 0) и конечном (р' = ± 1, 0) состояниях (для S-' D- и SD- интерференционного волновых частей) после элементарного, хотя и довольно громоздкого вычисления, будут иметь весьма компактный аналитический вид, который будет приведен ниже.
Для удобства введем следующие обозначения:
р2 =1М2 - т2; s2 =1 ММ2 - т2;
4 4
+1 JJ+1) 5 =
-I-
dzd2 к
(2л) г2(1 - г)2 М1М2
ФS (ММ 2)Ф5 (М 2) х
X ({м1м2 [(к - к) + 2т2] + 2тМ2к2 + + 2тМ1к2 + 4(к • к)2 + (к • к)(1 - 2г )2 МММ} + (49) + 20 {2[(к-к) + т2](1 - 2г )(к хМ - кхМ) -
-2(1 - г)0к)(Мх + М2) --2(1 - г)2 0тМ1М2 + 4(1 - г)(1 - 2г)0т3});
I
+11 J+\+1) ь = dzd2 к
2 ФЬ (ММ 2)ФВ (М2) х
(2%)ъ1 г2(1 - г)
х (F1 {2m2p2s2 - т(М + m)s2к2 -
22
- т(М + т)р2 к2 +
2
+ (М + т)(М + т)(к -к)2 + + (к -к)рр2 + (1 - 2г )2 |^2р2 +
22 + (М + m)ms + (М + т)тр +
+т2(М + т)(М + т) || +
(50)
р20\ 2 + |-тр2
2s2(1 - г) +
2т
+ (ММ + т)т(1 - 2г)] кх + + ms2[2p2(1 - г) + (М + т)т(1 - 2г)]кх + +(к • к) (1 - 2г) {(М + m)[s2 + (ММ + т)т]кх
-(ММ + т) [р2 + (М + т)т]кх | +
+ ку; (1 -
(1 - г№2(М + т) + р2(М + т)]Ц;
+1" =
Р+ г dzd 2к (2^ -1 г2(1 - г)2 М2
ФS (ММ 2)фв (М2) х
<({2т2М2р2 - тМ2(М + т)к2 +
+2тк2p2 -2(М + m)(k-к)2 +
+(k •к){p2M2 +
+(1 - 2г )2 ММ [p2 + (М + т)т]ц +
+{-2mp2[(1 - г)ММ + т]кх + 2т
+тМ2 (1 - г)+(М + т)т(1 - 2г)]кх + +(1 - 2г )(k • к) {(М + т)ММкх + +2[p2 + т(М + т)]к х | +
+ку(1 -
(1 -гШ(М + т)М2 -2p2]}); (51)
+1Л+1
DS
ф*в (ММ ^ф^. (М2) х
Р+ г dгd2 k (2л)3 -1 г2(1 - г)2 М х(¥х {2т2М^2 - тМ1(ММ + т)к2 +
+2mk2s2 -2(ММ + m)(k-к)2 + +(k -к^М +
+(1 - 2г )2 М [s2 + (М + т)т]ц +
+F2Q {2ms2 [(1 - г)М + т]кх -2т
-тМ1 [2s2(1 - г) + (ММ + т)т(1 - 2г)]кх --(1 - 2г )(k - к) {(М + т)М к х +
+2[s2 + т(ММ + т)]кх | + +ку2(1 - г)Q[(Mf + т)М1 - 2s2]}); (52)
+11 А 0 г
ч/2Р+
dгd2 k
(2л) г2(1 - г)2 МХМ2
ФS (ММ 2)ФS (М2) х
X (^ {(1 - 2г)М [-тМ2 (1 - г)Q +
+2кх (т2 + ^ - к) - г(1 - г)ММ)]} -
Щ 2т
{М [-(2г(1 - г)М + т) х
х(тМ2 + 2кХ) - кх кх (1 - 2г )2 ММ +
+ку Ку (1 - 2г)М2 ]}); (53)
+ 11 ^ 0 D =
-^з фD (ММ 2)ФD (М2) х
8 (г2(1 - г)2
<( ^(1 - 2г){
-4т
М(М + т^2кх -
^2М (ММ + 4т)кх -(k - к) [(М + 4т)М(ММ + 4т)кх -
-4М (М + т)(ММ + т)кх ] -ку2 (1 - г) Q(M + 4т)ММ(ММ + 4т)} -
■ {4[4mp2 -(М + 4т^2]х
2т
22 x[ms2 - (М + т)к2] +
+(k • к)(1 - 2г )2 М (М + т)М (М + 4т) -
-8к2уМ(1 - г) |~2г(М + m)p2 +
+(1 - 2г )(М + т^2 ]});
(54)
+ 1^ 0 SD =
1 -ЪгЬ- ФS М ^ (М2) х
2(2я) г2(1 - г)2М2 х(^(1 - 2г){-т[М(М + т)М2кх -
^М к х ] --к)[(М + 4т)ММкх + 2М (М + т )к х ] -
-к^(1 - г)0(М + 4т)М} +
2° |[4тр2 - (М + 4т)к2 ] [тМ2 + 2к2] +
+(к • к)(1 - 2г )2 М (М + т)М + +2ку2 (1 - г)М [гМ(М + 4т) --(М + т)[(1 -2г)М + 2т]]}); (55)
МА 0 Ь* = Ьгаг ФЬ (М 2)Ф* (М2) х
4 ( 2л) Г (1 - г г Мх х( ^(1 - 2г ){-т[ ММ (ММ + 4т)М1кх -
-4s2Mkx ] --2(к • к)[(М + 4т)Мкх + 2М (ММ + т)к х ] -—2ку2 (1 - г)0(М + 4т)М} +
+ р0 {4[-ms2 + (ММ + т)к2] [тМ1 + 2к2] -
-(к • к) (1 - 2г )2 ММ (ММ + 4т)М --8ку!(1 - г)М[гМ1(ММ + т) - (1 - 2г^2]}); (56)
■Л , =
2Р,
Г
dzd2 к
ФS (М 2)Ф5 (М2) х
(2л) г2(1 - г)2 МХМг X (р {[(к - К) - 2ку2] [2г(1 - г)ММ - 2т2] -
-2к2 к2 + 4(к -к)к2 + +(1 - г)0 [кх (тМ2 - 2ку2) -
-к х (тМ1 - 2ку2)]} + р 0
{т\кх (гМ + т)М2 -
2т
-кх (гМ + т)М1 ] +
+(1 - 2г )(к -к)(кхМ -к хМ) +
+2(1 - г )к2у(кх + Кх )(М - ММ)+
+(1 - г)0к2(1 - 2г)(М + ММ)}); (57)
+11 Ь =
dzd2 к
8 (2л) г2(1 - г)2
-I-
фЬ (ММ 2)Фь (М2) х
х( 2р {[(к-К) - 2ку2]х
х [г(1 - г)ММ(М + 4т)(М + 4т) --4т2(М + т)(М + т) -(1 - г)0 |кх (М + т) [4(М + тк + 4ms2] -
-к х (ММ + т)[4 (М + т) к2 + 4тр2]} --4(М + /и)(ЖГ + т)[к2к2 - 2к2 (к • к)]} +
\т (4s2 [4р2г - 2(М + т)т(1 - 2г)]кх -
2т
-4р2 [4s2z - 2(М + т)т(1 - 2г )]к х) --2(1 - 2г)(к • к)[(М + т)М(ММ + 4т)кх --М (М + 4т)(М + т)кх ] -
-4(1 - г)ку2(кх + Кх )(М - М) х
х[мМ + т(М + ММ) + 4т2 ] --2(1 - г)(1 - 2г)0к2 [(М + т)М(ММ + 4т) +
+(М + т)М(М + 4т)]}); (58)
+1 JJ-1) =
Р+ | dгd2k
2(2л) г2(1 - г)2М2
ФS (ММ 2)Фь (М2) х
с (2Р1 {(к • к) [г(1 - г)ММ(М + 4т) + +2(М + т)(т2 - 2к2)] + 2(М + т)к2к2 -
2т
-2к2у [г(1 - г)ММ(М + 4т) + +2т (М + т) --(1 - г О {(М + т)(тМ2 - 2к2у)кх + +2[mp2 + к2у(М + т)]кх }} +
{2т {м2 [2p2г - (М + т)т(1 - 2г )]кх
-2p2(гMf + т)к х }--(1 - 2г )(k -к) [2(М + т)ММкх + +М (М + 4т)кх ] +
+4(1 - г)к? (кх + Кх) [2p2 + М2(М + т)] +
+2(1 - г)(1 - 2г0ку2 х 2p2 -(М + т)(М -2т)]}); (59)
+1
DS
Р+ ^ dгd2 k
/ \3 J 2Л ■ФD(ММ^(М2)X
2 (2л) г2(1 - г)2 М
с (2F1 {^ • к) [г(1 - г)ММ(ММ + 4т) -
+2(М + т)(т2 - 2к2)] + 2(М + m)k2к2 -
-2к2 [г(1 - г)ММ(М + 4т) +2т (М + т) + +(1 - г)Q {(ММ + т) (тМ1 - 2к2)
•у2)К х +
+2
22 ms2 + ку;
2т
(ММ + т)] кх}}
{2т ^2(гМ + т)кх
-М1
2s2г -
г - (М + т)т(1 - 2г) кх}+
+(1 - 2г )(k • к)[2(М + т)М кх
+М (ММ + 4т)кх ]-
-4(1 - г )ку2 (кх +кх) 2s2 + МХ{М + т) +2(1 - г)(1 - 2г)0к2 х
2s2 -
(ММ + т)(М - 2т)]}); (60)
0 Л10) S =
2Р, г dгd2kMM , * , ~ 2.^ / цг2\
—±г I -2-(МГ2)Фе (М2) х
(2л)3 3 г 2(1 - г)2 М1М2 ^ ' ^ '
X (F1 {(1 - 2г)2 ^ - к) + (2Мг(1 - г) + т) х х(2Мг(1 - г) + т)} +
2т {(1 -2г)[2г(1 -г)(кхМ-кхМ)-
-(1 - г)т0 ]}); (61)
0 0 D =
2
Р. г- dгd kMM » , ~ 2
= 1ТуП^^(М ^(М >«
X (F1 {(1 - 2г )2 (М + т)(М + т)^ • к) + +[-М(М + 4т)г(1 - г) + т(М + т)] х х [-М(ММ + 4т)г(1 - г) + т(М + т)]} +
2т
{(1 - 2г ){(М + т)х
х [-М(ММ + 4т)г(1 - г) + т(М + т)] кх -
-(ММ + т)[-М(М + 4т)г(1 - г) +
+т(М + т)]кх }}); (62)
(°1 ^ 0 SD =
2
РI г- dгd^ММ ~ 2 /Ъ/Г2 . ]—-Г^Т фs (М (М 2) х
(2л) г2(1 - г)2 М2
<( F1 {-(1 - 2г )2(М + т)^ к)-
-[2Мг(1 - г) + т]х х[-М(М + 4т)г(1 - г) + т(М + т)]} -
{(1 - 2г ){-(М + ту
2т
х[2Мг(1 - г) + т] кх
+ [-М(М + 4т)г(1 - г) + т(М + т)] кх }}); (бз)
200 Ds =
Р+ ФЬ (M^У)ФS (М2) х
(2пу г (1 - г Г М
X (р {-(1 - 2г )2 (М + т)(к - к) -
-[2Мг(1 - г) + т]х х [-М(М + 4т)г(1 - г) + т(М + т)]} +
+рт00 {(1 - 2г ){(М + т)[2Мг(1 - г) + т]кх -
- [-М(М + 4т)г(1 - г) + т(М + т)] кх}}). (64)
Кроме того,
(+1|1+\+1) = (-1|I+ |-1> =
= (+11+ Н S + Н1+И Ь +
+ (+111+НSD + (+117+ИDS ;
(65)
(0\I+|+1) = -( 0 I+ И) =
=-(+1\1+ И=Н 0=
=(01+И S+< 01+И ь + +(0 ^И SD+(01+И Ds;
(+1 /+|-1)=(-11+|+1)= = Н1+ Н S + Н1+ Н Ь + + Н1+ НSD +Н1+ НDS ;
(66)
(67)
6 7 8
0У'(ГэB/c)2
Рис. з. Зависимости матричных элементов /+ для спиральных состояний поляризаций дейтрона в начальном (р = ±1, 0) и конечном (р' = ±1, 0) состояниях:
(+1|/+|+1) (1), (+17+\-1) (2), (+17+ 0 (3), (00 (4) от величины квадрата переданного импульса Qу
{01+ 0=(о|1 + 0 s+(01+1°) ь+
+(011+10Ь ■ (68)
На рис. з представлены зависимости матричных элементов /+|р) от величины квадрата переданного импульса 02, с использованием CD-боннскои волновой функции дейтрона.
Видно, что при больших значениях квадрата переданного импульса 02 матричный элемент 1+ 0 преобладает над всеми остальными, при увеличении 02 проявляет медленное снижение и становится сравнимым с другими матричными элементами; правда, такие большие значения 02 находятся, по-видимому, вне области применения двухнуклонного приближения. Характерно знакопеременное поведение матричных элементов, что связано с обращением в нуль волновых функций, причем
2
нули сдвинуты в сторону больших 0 .
Итак, в данной работе в аналитическом виде приведены результаты вычислений матричных элементов плюсового компонента дейтронного тока в переменных светового конуса, показано
поведение этих матричных элементов в зависимости от величины квадрата переданного импульса. Матричные элементы электромагнитного тока дейтрона необходимы в первую очередь для вычисления электромагнитных форм-факторов дейтрона (а они выражаются как раз через матричные элементы) и дальнейшей оценки релятивистских поправок к магнитному и квадрупольному моментам дейтрона.
В заключение автор выражает глубокую благодарность доктору физико-математических наук, профессору Н.Н. Николаеву, сотруднику Института теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН и Института ядерной физики г. Юли-ха, Германия, за многочисленные обсуждения различных вопросов теоретической физики; профессорам Йозефу Шпету и Ульфу Мейснеру — за возможность работы в аспирантуре в Институте ядерной физики Исследовательского центра г. Юлиха, Германия; С.И. Манаенкову, сотруднику Петербургского института ядерной физики им. Б.П. Константинова РАН — за критические замечания, независимый расчет и проверку матричных элементов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Алхазов, Г.Д. Дифракционное взаимодействие адронов с ядрами при высоких энергиях [Текст] / Г.Д. Алхазов, В.В. Анисович, П.Э. Волковицкий. — Л.: Наука, 1991. - 223 с.
2. Ivanov, I.P. Diffractive production of Sand D wave vector mesons in deep inelastic scattering [Электронный ресурс] / I.P. Ivanov // arXiv: hep-ph/9909394.
3. Павлов, Ф.Ф. Оценка релятивистской поправки к средней спиральности протона в дейтроне [Текст] / Ф.Ф. Павлов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки.-2011.- № 3 (129).- С. 143-152.
4. Павлов, Ф.Ф. Расчет спин-зависимой структурной функции дейтрона в переменных светового конуса [Текст] / Ф.Ф. Павлов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки.- 2012.- № 1 (141).- С. 118-128.
5. Судаков, В.В. Вершинные части для сверхвысоких энергий в квантовой электродинамике [Текст] / В.В. Судаков // Журнал экспериментальной и теоретической физики.- 1956.-Т 30.-С. 87-89.
6. Choi, H.-M. Electromagnetic structure of the p meson in the light-front quark model [Text] / Ho-Meoyng Choi, Chueng-Ryong Ji // Phys. Rev. D.- 2004.- Vol. 70.-P. 053015-1 - 053015-14.
7. Brodsky, S.J. Quantum chromodynamics and other field theories on the light cone original research article [Text] / S.J. Brodsky, P. Hans-Christian, S.S. Pinsky // Phys. Rep.- 1998.- Vol. 301.- P. 229-486.
8. Lepage, G.P. Exclusive processes in perturbative quantum chromodynamics [Text] / G.P. Lepage, S.J. Brodsky // Phys. Rev. D.- 1980.- Vol. 22.- P. 2157-2198.
9. Anisovich, V.V. The Bethe-Salpeter equation and the dispersion relation technique [Text] / V.V. Anisovich, D.I. Melikhov, B.Ch. Metsch [et al.] // Nuclear Physics A.- 1993.- Vol. 563.- Iss. 4.- P. 549-583.
10. Jaus, W. Semileptonic decays of B and D mesons in the light-front formalism [Text] / W. Jaus // Phys. Rev. D.-1990.- Vol. 41.- P. 3394-3404.
11. Machleidt, R. High-precision, charge-dependent Bonn nucleon-nucleon potential [Text] / R. Machleidt // Phys. Rev. С.- 2001.- Vol. 63.- P. 024001-1-024001-32.
12. Machleidt, R. The Bonn meson-exchange model for the nucleon-nucleon interaction [Text] / R. Machleidt, K. Holinde, Ch. Elster // Phys. Rep.- 1987.- Vol. 149.-P. 1-89.
13. Lacombe, M. Parametrization of the deuteron wave function of the Paris N-N potential [Text] / M. Lacombe, B. Loiseau, R. Vinh Mau [et al.] // Physics Letters
B.- 1981.-Vol. 101.- Iss. 3.-P. 139-140.
14. Madey, R. Measurements of GnE / GM from the 2h(e, e'n)1 h reaction to ß2=1.45 (GeV/c)2 [Text] / R. Madey, A.Yu. Semenov, S. Taylor [et al.] // Phys. Rev. Lett.- 2003.-Vol. 91.- P. 122002-1-122002-5.
15. Grach, I.L. Electromagnetic form-factor of deuteron in relativistic dynamics. Two nucleon and six quark components [Text] / I.L. Grach, L.A. Kondratyuk // Sov. J. Nucl. Phys.- 1984.- Vol. 39.- P. 198-205.
16. Kondratyuk, L.A. Relativistic correction to the deuteron magnetic moment and angular condition [Text] / L.A. Kondratyuk, M.I. Strikman // Nuclear Physics A.-1984.-Vol. 426.- P. 575-598.
17. Кондратюк, Л.А. Релятивизм нуклонов и многокварковые кластеры [Текст] / Л.А. Кондратюк, М.Ж. Шматиков // Матер. XVIII Зимней школы ЛИЯФ. Физика атомного ядра.- 1983.-Т. 18.-Ч. 3.-
C. 107-171.
18. Bakker, B.L.G. Frame dependence of spin-one angular conditions in light front dynamics [Text] / B.L.G. Bakker, Chueng-Ryong Ji // Phys. Rev. D.-2002.- Vol. 65.- P. 073002-1-073002-13.
19. Frankfurt, L.L. Deuteron form factors in the light-cone quantum mechanics «good» component approach [Text] / L. L. Frankfurt, T. Frederico, M. Strikman // Phys. Rev. C.- 1993.- Vol. 48.- P. 2182-2189.
20. Melosh, H.J. Quarks: currents and constituents [Text] / H.J. Melosh // Phys. Rev. D.- 1974.- Vol. 9.-P. 1095-1112.
