Расчет спин-зависимой структурной функции дейтрона в переменных светового конуса Текст научной статьи по специальности «Физика»

А_

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

УДК 539.125.4, 539.143.42

Ф.Ф. Павлов

РАСЧЕТ СПИН-ЗАВИСИМОЙ СТРУКТУРНОЙ ФУНКЦИИ ДЕЙТРОНА В ПЕРЕМЕННЫХ СВЕТОВОГО КОНУСА

Одним из наиболее актуальных вопросов современной физики элементарныхчастиц и атомного ядра является развитие методов релятивистского описания спиновых характеристик составных систем. На данный момент особое внимание уделяется так называемому спиновому кризису. Как известно, результат для спин-зависимой структурной функции нейтрона g^ извлекают из измеряемых в эксперименте спин-зависимой структурной функции протона g[ и спин-зависимой структурной функции дейтрона $1 , которые связаны между собой известным нерелятивистским соотношением. Сведения о спин-зависимой структурной функции нейтрона gl менее точны, чем для протона, из-за трудностей в создании нейтронной мишени. Поэтому дейтрон - это один из главных источников информации для определения спин-зависимой структурной функции нейтрона.

Целями данной работы являются расчет спин-зависимой структурной функции дейтро-

на «/>(*, б2) в бьёркеновском пределе и дальнейшая оценка релятивистской ядерной поправки к первому моменту спин-зависимой

структурной функции дейтрона Г^ [р1).

Использование данной поправки позволяет вычислить первый момент спин-зависимой

структурной функции нейтрона Г" [О?). Исследуется зависимость спин-зависимой структурной функции дейтрона (х, ) от бьёр-

кеновской переменной х при значении переданного импульса виртуального фотона б2 = 5 (1ЪВ/с)2, с учетом различных параметризаций партонных распределений; проверяется выполнение правила сумм Бьёркена при указанном значении (р. Для достижения результата используются развитые ранее методы релятивистской теории поля в переменных светового конуса. В данной работе дейтрон представляется как суперпозиция двухнуклонных фоковских состояний с инвариантной массой, зависящей от относительного импульса конституэнтов. Описание двухчастичного состояния в переменных светового конуса подробно рассматривается в работах [1,2].

Нормировка зарядового форм-фактора дейтрона

Рассмотрим треугольную фейнмановскую диаграмму процесса однократного электрон-дейтронного рассеяния (рис. 1).

! О

Рис. 1. Фейнмановская диаграмма для дейтрона

Как было показано в работе [1], плюсовый компонент матричного элемента электромагнитной вершины дейтронного тока соответствующий диаграмме на рис. 1, в переменных светового конуса определяет условие нормировки зарядового форм-фактора дейтрона при нулевой передаче импульса фотона О2=О (ГэВ/с)2:

, ¿Уз ЦМр))х

••(2я )4ф32-т2+/е)х

х[р2 ~т2 + *е)х

х(р1+т)-у+-(р1+т)}

х[р2 -т2 + г'е^

5

о М - 4т

г" -

Ая-

V

М + т

{Р1-Рг\\ (4)

(Уд 0(М2) — скалярные вершинные функции д ля и Б- волновых состояний дейтрона, которые связаны с радиальными волновыми функциями дейтрона ФЗВ(М2) [1, 2] соотношением

<г> ш

(5)

причем М— инвариантная масса протон-ней-тронной пары; Мв = 1875,6 МэВ/с2 — масса дейтрона. Условие нормировки радиальных волновых функций дейтрона (5) для и Б-волн имеет вид [1,2]:

где — вероятности Я- и Х)-волновых со-

стояний в дейтроне, соответственно, причем М75+ = 1> Р\> Р2> ~ 4-векторы импульсов протонов; интегрирование ведется по 4-вектору импульса нейтрона р3, где контур интегрирования замкнут вокруг полюса нейтронного про-пагатора (массы всех нуклонов равны /и); под импульсом со «шляпкой» подразумевается выражение р = р'(у^ — 4-матрицы Дирака); у+ = (у0 +Уз)/^2 ; Гр — полная вершинная функция распада дейтрона на конституэнты в начальном состоянии [1, 2]; Г^ — полная вершинная функция дейтрона в конечном состоянии; , У^* — 4-векторы поляризаций дейтрона в начальном и конечном состояниях в спиральном представлении [3, 4]; р = ±1, О — спиральность дейтрона; по дважды повторяющимся индексам аи(3 всегда подразумевается суммирование; — изоскалярный электромагнитный форм-фактор нуклона Дирака, причем 7^(0) = 1.

Полная вершинная функция перехода дейтрона в протон-нейтронную пару имеет вид [1,2]:

Гр=Г^(М2) + Г^(М2), (2)

где Гр , Гр — вершинные функции дейтрона для и Д-волновых состояний:

йгй1 к

У

М1

Ф 5(М2) 2

(2я)

(6)

(2п)3' 2(1-2)'

у

2М2р4 Ф0(М')

(2л)

(7)

\

г(1-г) 1 М

1 м

В нерелятивистском формализме обычно используется нормировка:

¡арр^^^+^^р))2

(8)

= И>у+И>д=1.

Соответствие между радиальными волновыми функциями Ф3£) и нерелятивистскими волновыми функциями 4хд имеет вид

|2 К2 I |2

Ф.с1 =^тт1ТсГ; (9)

2М1 5 ' 2

I |2 Я | |2

=ТТ7Т1^1 '

4Мрч

(10) 119

Напомним, что полный 4-импульс дейтрона равен Р = рх + р3 (см. рис. 1). В дальнейшем будем опускать 4-тензорный индекс ц над 4-векторами. Так как в переменных светового конуса плюсовый компонент 4-импульса дейтрона равен Р+ = рх+ + р3+, то удобно ввести 2 — р1+ / Р+ и 1 — г = р3+ / Р+ — доли импульса системы, которые несут частицы 1 и 3. Квадрат инвариантной массы такой системы равен

М2=Р2=(Д+й)2 =

г 1-г

(П)

Ри

= к + гР

± >

р3±=-к + (1-2)Р±.

(12)

Из соотношений (11) и (12) при ту=тъ=т следует, что

м*У+т2

(13)

4-вектор импульса двухнуклонных фоков-ских состояний с инвариантной массой Мв переменных светового конуса имеет компоненты

Г , \

Р = (Р+,Р_, Р±

М2+Р2

(14)

сьшаться продольным (р = 0) 4-вектором поляризации [3, 4]

/ , Л

М

-М2 + Р?

2 Я

1 Р

(15)

и поперечным (р = ±1) 4-вектором поляризации в переменных светового конуса [3, 4]:

к(р=±1) =

о,"

(16)

где поперечные циркулярные орты имеют привычный вид

Поперечный импульс Р± = р1± + р31 описывает движение системы как целого. В системе Брейта поперечные импульсы протон-нейтрон-ной пары в начальном и конечном состояниях выбираются равными Р± = (2 / 2 и Р| = (2 / 2 соответственно, а плюсовые компоненты совпадают: Р+=Р+'. В данной работе мы ведем расчет плюсового компонента матричного элемента электромагнитной вершины дейтронно-го тока при нулевой передаче импульса фотона (2 = 0, который определяет условие нормировки зарядового форм-фактора дейтрона.

Определим относительный поперечный импульс к для двух начальных нуклонов соотношениями

»(р=±1) —__!_

^(±е!+/е2);

е1; е2 — единичные орты вдоль осей х и у, соответственно.

Как и должно быть, скалярное произведение 4-векторов = 0. Подчеркнем, что в формуле (15) Мф Мв. В релятивизме вектор поляризации продольного состояния неизбежно зависит от инвариантной массы про-тон-нейтронной пары М. Такой продольный вектор поляризации двухнуклонного фоков-ского состояния с инвариантной массой ранее не использовался.

Вычисление шпура в амплитуде (1) подробно рассматривается в работах [1, 2]. Не повторяя все этапы расчета однопетлевого интеграла, плюсовый компонент матричного элемента электромагнитной вершины дейтронного тока

в переменных светового конуса мы можем свести к виду

X

2(2п)л ' г2 (1-2)

(17)

где

Ф

лА

М2 -Мп

д

Спиральные состояния для двухнуклонных фоковских состояний с инвариантной массой М в переменных светового конуса будут опи-

= ["(^^)Кр(р)Г^(ЛД)]Ф5(Л/2)+ (18) + [й(р1,у)Кр(р)Г^(р3Д)]фд(Л/2).

Аналитические выражения (18) при р = ± 1, О приведены в работе [1].

Выражения для нуклонных матричных элементов, входящих в формулу (17), имеются в работах [2,4,5], в которых используются спиноры в формализме светового конуса, в частности

р1+т = £ и(р1,\)и

У=±1

-ръ+т = v(^>зД)v(JpзД);

Л=±1

й{Рх,ч)ч+и(рх,\) = 2 ри = 2гР+ ;

(19)

(20) (21)

и (я, У)у+у5и(р1, V) = 2ур1+ = 2\гР+ , (22)

где и(рр V) — спинор протона (входящий фер-мион с точки зрения фейнмановской диаграммы) с импульсом р1 и спиральностью 5 — у/2, у = ±1 [2, 4, 5]; у(/?3,А,) — спинор нейтрона (выходящий антифермион с точки зрения фейнмановской диаграммы) с импульсом —р3 и спиральностью —5 = Х/2, X = ± 1 [2,4,5]. Следует отметить, что спиноры в формализме светового конуса отличаются от привычных спиноров Дирака только спиновым вращением, которое есть известное преобразование Вигне-ра — Мелоша [6, 7]. Явный вид спиноров будет более подробно рассмотрен в приложении «Спиноры для частицы со спином 1/2».

Представим выражение (17) как

Р+=2Р+\п^\г)<12 = _ , ¿Л у (Р)* (Р) _ (23)

Тогда простое вычисление дает следующий результат:

1

сгк

2(2я) *(!-*) х,у 1

2М

2(2я)3 ; -г) + 2М2р2 [р2 + (3 / 2)к2 ] |фд (М2 )|2 + +4Ж2[р2-(3/2)к2]ф5(м2)фд(м2)},

(24)

где р = (к, рг) — относительный внутридейтрон-ный 3-импульс, введенный в работе [8];

рг=~{\~Ъ)М, 12=±М2-т2.

Следует отметить, что при усреднении по угловым переменным ^к2 ^ = (2 / 3) р2 [2].

Для дейтрона со спиральностью р = 0 можно записать:

и<°>(*) =

= 1 [Ауфн»ф(и =

ъ/ъ \3 J -тП ^ V/

2(2я)3

J

¿2к

2 М1

Ф

■И

(25)

2(2я) 1 г(\-г) + 2М2р2 [4р2 - Зк2 ] |фл (М2 )|2 + +Ш2 [Зк2 - 2р2 ]Ф5. (М2)Ф0 (М2)}.

Зная явный вид выражения (24),

можно найти неполяризованные структурные функции дейтрона и (хд) в преде-

ле бьёркеновского скейлинга:

Г 1С л

1

7Ы

(26)

(27)

которые имеют простую квантовомеханиче-скую интерпретацию: вероятность найти кварк в дейтроне, несущий долю импульса дейтрона х0, есть произведение вероятностей найти кварк в нуклоне с долей импульса хв1 2 и найти нуклон с долей импульса г.

Релятивистская ядерная поправка к средней спиральности протона в дейтроне

Как известно, в нерелятивистском приближении удвоенная средняя спиральность протона в дейтроне (ур) определяется выражением

Р / попге1

1

: % - —М>

О

1 3

= 1--

(28)

В релятивистском рассмотрении это выражение кардинально изменится [ 1 ]. Если использовать полную волновую функцию дейтрона (18), то выражение для средней спиральности приобретет привычную квантовомеханическую формулу для вычисления среднего значения с правильной нормировкой:

Г к у-1

ф(р=0*ф(р=1)

(29)

V*.

Аналитическое вьфажение для релятивистской средней спиральности и результаты расчета приведены в работе [1], где в качестве нерелятивистских волновых функций в использовались боннская [9] и парижская [10] волновые функции и правила соответствия (9), (10).

Для нахождения релятивистской поправки необходимо выражение (29) разделить на привычную нерелятивистскую часть (28) и релятивистскую поправку Дге/:

х

1 3

4 Ш\2Р,-т) ф|(дг2) +

(30)

(М + 2т)(к2+т2)

\тк2р2{М + Ат)

р 2М

(31)

(к2+т2)' +8 т2р\ + к2М(М-4т)^Ф20(М2) +

+ / 9 \ {к2 [М(2^ ~ ■"О '+ 2МРг ] + (к +/и |

+ 4/и2/?21Ф^ (М2)Фд (М2 )|.

Если среднюю спиральность (29) представить в виде

1

у,р)=\Л2)<ь>

то можно оценить зависимость подынтегрального выражения (распределениесредней спиральности дейтрона) от доли переданного импульса г. Как было показано в работе [1], в формализме светового конуса появляется релятивистский эффект асимметрии, когда нуклон, уносящий большую долю импульса системы 2, дает больший вклад в распределение средней спиральности дейтрона.

Релятивистская ядерная поправка к спин-зависимой структурной функции дейтрона

Если пренебречь поперечным импульсом кварка, по сравнению с его продольным импульсом в глубоконеупругом рассеянии лепто-нов на протонах при высоких энергиях, то 4-вектор импульса кварка можно представить в виде хмр^, где хм — скейлинговая безразмерная переменная Бьёркена для нуклона хм= (Р/2рд (0 < хк < 1) (доля импульса нуклона, который несет кварк); — 4-векгор импульса нуклона (ф — 4-вектор переданного импульса виртуального фотона, (Я = — ф). Кроме того, если 4-вектор импульса кварка представить в виде хвР^, где хв = Qi/2pq (доля импульса дейтрона, который несет кварк), Р1 — 4-вектор импульса дейтрона, то

р»=(хв/хы)р»-

Р+ = {х0/хк)Р+ = гР+ ; г = хв /хы .

Как известно, спин-зависимая структурная

функция нуклона {хм, £?2) в кварк-

партонной модели представляет собой разность вероятностей того, что кварк в продольно-по-ляризованном нуклоне имеет долю импульса хктл его спин направлен параллельно или анти-параллельно спину нуклона:

8\(*н) = \Ъе\ \(*лг )1>

где (хд,) — распределение по доли импульса хм кварков с проекцией спина+1/2 на направление спина нуклона.

Как известно, согласно наивной кварк-партонной модели, спин протона 1/2 набирается из спинов составляющих его кварков. В1988 году Европейская мюонная коллаборация (ЕМС) в Европейской организации по ядерный исследованиям (CERN) измерила спин-зависимую структурную функцию протона g((x) в области х = 0,01 — 0,90 и представила результаты, в которых спины кварков дали малый вклад в спин протона. Оказалось, что спины кварков вносят всего 20—30 % в спин протона. Эта проблема в литературе получила название «спиновый кризис». Дальнейшие эксперименты проводились Спиновой мюонной коллаборацией (SMC) в Европейской организации по ядерный исследованиям (CERN), Швейцария; в Национальной ускорительной лаборатории Стэнфордско-го центра линейного ускорителя (SLAC), Стэнфорд, США; в исследовательском центре «Немецкий электронный синхротрон» (DESY), Гамбург, Германия. Спиновый кризис до сих пор не разрешен, и все еще нет окончательной ясности, несмотря на огромное количество публикаций и теоретических гипотез. Спин-зависимая структурная функция протона в первом приближении может быть получена из экспериментально наблюдаемых величин — продольной асимметрии А^, фактора деполяризации D виртуального фотона и неполяри-зованных структурных функций F^{x, Q2j и

R^x, Q2j [11]. Результат для спин-зависимой

структурной функции нейтрона получают из измеряемых в эксперименте спин-зависимой структурной функции дейтрона gf, спин-зависимой структурной функции протона gf, неполяризованных структурных функций Ff, F" и Fxd по формуле [12]:

S"

Si

d

if +Ff

'1 3 1—w

d

7 d

S(

структуры дейтрона представляется очень перспективным. Данному вопросу посвящено обширное число публикаций, например [13 — 15].

Спин-зависимая структурная функция дейтрона g\[xD, в бьёркеновском пределе

может быть выражена через распределение средней спиральности дейтрона v(z) [1] и спин-зависимую структурную функцию нуклона g\ [xN, Q2^ следующим образом:

g?(xD,Q2)=l^v(z)g?[^,Q2\ (32)

где функция g(J ^Хд,, 021 представляется в виде полусуммы спин-зависимых структурных функций протона и нейтрона:

Si

n

е2)=

= Us[(xN, Q2yg?(xN, Q2)).

(33)

Как известно, величина первого момента спин-зависимой структурной функции дейтрона представляет из себя интеграл

rf(ö2) = K(^, Q2)dxD = о

= )dxD)^v{z)g»[^,Q2\

о

(34)

Техника вычисления ядерных поправок к спин-зависимой структурной функции дейтрона является актуальной, поскольку на сегодняшний день не найдено однозначной процедуры учета релятивистских эффектов в дейтроне; в связи с этим развитие релятивистской теории

а величина первого момента спин-зависимои структурной функции нуклона

гГ(о2)=К(^,02)^ (35)

характеризует полный вклад кварков в спин нуклона.

Делая замену переменных в интеграле (34) как хм = хв / г и меняя порядок интегрирования, выражение для первого момента спин-зависимой структурной функции дейтрона можно разделить на нерелятивистскую часть и релятивистскую поправку, с учетом формулы (30):

T°(Q2)=\v(z)dz\g»(xN,Q2)dxN

1

rf(e2)=

l-|wJrf(G2)+Arcirf(G2).

о

= /v

(36)

3 2

Напомним, что экспериментаторы в своих расчетах используют нерелятивистское соотношение:

Приведем экспериментальные значения первых моментов спин-зависимых структурных функций протона ^ и нейтрона Г" при б2 = 5 (ЬВ/с)2,

полученные коллаборацией Е155 из анализа всех доступных данных [12]:

Tf = ОД 1В ±0,004 (стат.) ± ±0,007 (сист.);

Tf = -0,058 ± 0,005 (стат.) ± ±0,008 (сист.).

(37)

(38)

Экспериментальное значение для rf со-

ставляет

Г? = 0,028 ± 0,004 (стат.) ±

(39)

±0,005 (сист.).

Для первых моментов протона и нейтрона существуют теоретические соотношения, связывающие их с фундаментальными константами слабых взаимодействий—правила сумм Бьёрке-на, Эллиса — Джаффе. Проверка правила сумм Бьёркена для б 2 = 5 (ГэВ/с)2 по данным эксперимента £155 [12] дало следующий результат:

Tf -Г? = 0,176 ± 0,003 (стат.) ±

т

±0,007 (сист.).

Запишем первый момент спин-зависимой структурной функции нейтрона, который извлекают из измеряемых в эксперименте первых моментов спин-зависимых структурных функций дейтрона Г^ (02) и протона Г^ (О2)

V )\ехр \ "ехр

с учетом релятивистской поправки:

г?

И-

2rf

и

ехр

-rf(e2)|

ехр

При Q 2 = 5 (ГэВ/с)2 получаем следующий результат: Г" = -0,05621.

Тогда правило сумм Бьёркена при Q2 = = 5 (ГэВ/с)2 даст следующий результат: Tf —

— Г" = 0,17421, который хорошо согласуется с экспериментальным значением.

Для спин-зависимой структурной функции

нуклона g^ ^х, Q2 j существует несколько различных параметризаций [16]. В данной работе использованы параметризации партонных распределений GRSV2000 [17], DNS2005 [18] и LSS2006 [19].

На рис. 2 показаны результаты мировых данных по gi для дейтрона, где gf усреднена по Q2и приведена к одному и тому же значению Q 2 = 5 (ГэВ/с)2 по результатам экспериментов Б155 [20], Б143 [21] в Национальной ускорительной лаборатории Стэнфордского центра линейного ускорителя SIAC, Стэнфорд, США; SMC [22] в Европейской организации по ядерный исследованиям CERN, Швейцария; и параметризация через партонные распределения GRSV2000 (NLO «standard» scenario) [17].

На рис. 3 приведены сравнения результатов расчета структурной функции нуклона gf* (33) при Q2 = 5 (ГэВ/с)2 и той же функции, умноженной на фактор 1—(3/2)^^ (обе при

1 л j ; 1 .

1 w * - - / : °-2 : " -3 :

0,001

0,01

0,1

Рис. 2. Графики спин-зависимой структурной функции g"(x) для дейтрона, построенные по результатам различных исследовательских ipyrai: Е155 [20] (2), Е143 [21] С2), SMC [22] (J); Q2= 5 (ГэВ/с)2; линия — параметризация через партонные распределения GRSV2000 [17]

gl\х), (\-У2ч>п^"(х)

а)

-0,2

в)

1 л

г)

-0,15-

Рис. 3. Сравнение пар (1,2) графиков спин-зависимых структурных функций для нуклона

(а, в, д) с аналогичными одиночными графиками для дейтрона (б, г, е); построены с использованием параметризации партонных распределений СК5У2000 (а, б), ОК82СЮ5 (в, г),

и382006 (д, е);

для всех случаев 02 = 5 (ГэВ/с)2; 1,2— функции gfr(x) и (1-(3/2)№1>)аАГ(х) соответственно; 3 — функции

х{\Х), рассчитанные по формуле (32)

б 2 = 5 (ГэВ/с)2), с результатами расчета структурной функции дейтрона gl по формуле (32) при 0 2 = 5 (ГэВ/с)2, параметризованные через различные партонные распределения. Результаты приведены с использованием боннской волновой функции дейтрона [9].

Из рис. 3 видно, что форма кривой спин-зависимой структурной функции дейтрона gf от х, рассчитанной по релятивистской формуле (32), несильно отличается от функции (1 - 3 / 2мв) , параметризованной через пар-тонные распределения. Видно, что вклад реля-

тивистскои поправки к спин-зависимои структурной функции дейтрона мал. Это связано с тем, что в качестве волновой функции дейтрона использовалась нерелятивистская волновая функция [9]; но можно предположить, что при рассмотрении указанной функции дейтрона, описывающей малые межнуклонные расстояния, при которых будут проявляться вклады, обусловленные кварк-глюонной структурой нуклона, этот вклад будет не так мал. Полного решения уравнения для дейтрона на световом конусе не существует. Ряд широко используемых потенциалов содержит компоненты, вообще не поддающиеся теоретико-полевой трактовке. Поэтому в качестве начального приближения предполагалось оценивать релятивистские эффекты, используя правила соответствия (9), (10) и современные реалистические волновые функции, например боннскую и парижскую.

В заключение автор выражает глубокую благодарность доктору физико-математических наук H.H. Николаеву, сотруднику Института теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН и Института ядерной физики г. Юлих, Германия, а также С.И. Манаенкову, сотруднику Петербургского института ядерной физики им. Б.П. Константинова РАН, за ценные идеи и обсуждения, стимулировавшие появление данной работы.

Приложение Спиноры для частицы со спином 1/2

В данной работе используются спиноры в формализме светового конуса. Как известно, спиновое состояние частицы со спином 1/2 с 4-импульсом р = (Е, р) в представлении Дирака — Паули описывается спинором [23]:

и(р) = = \jE + m

\lE + mw

VF

' w g-p

\E + m

w

(42)

где n = p/|p| -ортвекторар, ст = (стх, ay, стг) -матрицы Паули, w^ — собственная функция

оператора ^-(а-п):

-(ст-п)мА > =swK'.

В формализме светового конуса для описания частицы со спином 1/2 и 4-импульсом р = (р+, р_, р±) используются следующие спиноры [2, 4, 5]:

и(р,Х) =

р+

(44)

Г1 о 1

гдеР = у0=[0 _J,a =

при X = ±1 имеют вид

0 ст ст 0

; спиноры ix

-1).

(45)

Простые алгебраические вычисления дают выражения для спиноров:

u(p,X = l) = N

V2РЛ

+ т

■+

PX+iPy л/2р+ -т

Px+iP

(46)

у У

' -Рх+'Ру л

u(p,X = -l) = N

+ т

V2Р+

Рх-'Ру —J2p+ +т

(47)

где нормировочный множитель N =

л/2Л/2р+ '

При этом, согласно результатам работ [2,4,5], справедливы выражения

(48)

(49)

и(р,Х')и(р,Х) = = ~v{p,X)v(p,X') = 2тЪхх. Спиноры для античастицы описы-

ваются как

у{рХ) = ~г^=Шр+ -Р/и + а-р±)х_х. (50)

В результате алгебраических преобразований получаем выражения для спиноров:

v(p,X = l) = N

v(p,k = -l) = N

-Px+ÎPy л/2р+ -m Рх-Фу -л/2р+ -m

^-v/2р+ -тЛ Px+iPy л/2р+ +т Px+iPy j

(51)

(52)

= N

■■N

(a-Pj.)

л12р+ -m

\Î2p+ +m [>/2p+ + /и + (ст-р±)(ст-п)]х

(53)

Чтобы установить соответствие с привычным видом решений уравнения Дирака (42)

i{p) = 4Ë

+ т

-4Ё

+ т

w о-Р

Е + т иЛ w'

W

(54)

введем спинор у/ = [л/2/>+ + т + (ст ■ р± )(ст •

Тогда, обращая это выражение, получим равенство

Х =

Поскольку (о'п)1 = А1, где п — единичный вектор вдоль оси г, можно записать спинор и[р,Х) в виде

и(р,Х = 1) =

л/2р+ + m - ( ст • р± ) ( с • n ) (yÎ2p++mf + p[

+ /я-(ст-р±)(ст-п)

2<Др+(Е + т)

w =

w.

(55)

Используя это выражение в нижнем компоненте спинора (53), после несложных преобразований получаем:

[(ст-р±) + (72/>+-/и)(ст-п)

2*Jlp+ х х ^¡2р+ + m - (ст • р± ) (ст ■ n)J у.[Е + т) 2-j2p+[(a-p±) + (a-n)pz]

w =

(56)

Отметим, что в формализме светового конуса спиральность X при р± = 0 является обычной, т. е. совпадает с проекцией спина на 3-им-пульс частицы, но при р± ф 0 это разные величины.

2л/2р+(Е + т)

w ■

стр

Е + т

w.

Тем самым полученный спинор Хотличает-ся от привычного спинора м> только спиновым вращением, которое есть известное преобразование Вигнера — Мелоша.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Павлов, Ф.Ф. Оценка релятивистской поправки к средней спиральности протона в дейтроне [Текст] / Ф.Ф. Павлов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки.— 2011.- № 3 (129).- С. 143 - 152.

2. Ivanov, I.P. DifFractive production of S and D wave vector mesons in deep inelastic scattering [Электронный ресурс] / I.P. Ivanov // arXiv: hep-ph/9909394.

3. Choi, H.-M. Electromagnetic structure of the p meson in the light-front quark model [Text] / Ho-Meoyng Choi, Chueng-Ryong Ji//Phys. Rev. D-2004-Vol. 70-P. 053015-1-053015-14.

4. Brodsky, S.J. Quantum chromodynamics and other field theories on the light cone original research article [Text] / S J. Brodsky, P. Hans-Christian, S.S. Pinsky // Phys. Rep.- 1998,-Vol. 301,- P. 229 - 486.

5. Lepage, G.P. Exclusive processes in perturbative quantum chromodynamics [Text] / G.P. Lepage, S J. Brodsky // Phys. Rev. D.- 1980.- Vol. 22,- P. 2157 - 2198.

6. Melosh, H.J. Quarks: currents and constituents [Text] / HJ. Melosh // Phys. Rev. D.- 1974,- Vol. 9.-P. 1095-1112.

7. Kondratyuk, L.A. The scattering problem for relati-vistic systems with a fixed number of particles in light-front

dynamics [Text] / L.A. Kondratyuk, M.V. Terent'ev // Sov. J. Nucl. Phys.- 1980.—Vol. 31- P. 561 - 570.

8. Терентьев, M.B. О структуре волновых функций мезонов как связанных состояний релятивистских кварков [Текст] / М.В. Терентьев // Ядерная физика.- 1976.- Т. 24,- С. 207 - 213.

9. Machleidt, R. The Bonn meson-exchange model for the nucleon-nucleon interaction [Text] /R. Machleidt, K. Holinde, Ch. Elster//Phys. Rep.- 1987,-Vol. 149.-P. 1 - 89.

10. Lacombe, M. Parametrization of the deuteron wave function of the Paris N-N potential [Text] / M. Lacombe, B. Loiseau, R. Vinh Mau [et al.] // Physics Letters B. - 1981.—Vol. 101- Iss. 3.-P. 139 - 140.

11. Anselmino, M. The theory and phenomenology of polarized deep inelastic scattering [Электронный ресурс] / M. Anselmino, A. Efremov, E. Leader // arXiv:hep-ph/9501369v2.

12. Anthony, P.L. Measurements of the q2 -dependence of the proton and neutron spin structure functions gf and g" [Электронный ресурс] / P.L. Anthony, R.G. Arnold, T. Averett [et al.] I I arXiv: arXiv:hep-ph/0007248vl.

13. Ciofi degli Atti, C. Spin structure function of the deuteron in the resonance region and the GDH sum rule for the neutron [Электронный ресурс] / С. Ciofi degli Atti, S. Scopetta, A.Yu. Umnikov [et al.] // arXiv:nucl-th/9602026vl.

14. Melnitchouk, W. Deep inelastic scattering from polarized deuterons [Text] / W. Melnitchouk, G. Piller and A.W. Thomas // Phys.Lett. В.- 1995.- Vol. 346.- P. 165-171.

15. Umnikov, A.Yu. Deep inelastic scattering on the deuteron in the Bethe-Salpeter formalism. II. Realistic

NN interaction [Электронный ресурс] / A.Yu. Umnikov, EC. Khanna, L.P. Kaptari // arXiv:hep-ph/9608459vl.

16. База экспериментальных данных HEPDATA по физике высоких энергий, Университет Дарема, Англия [Электронный ресурс] / Режим доступа: http://durpdg.dur.ac.uk/HEPDATA/PDF.

17. Glück, М. Models for the polarized parton distributions of the nucleón [Text] / M. Glück, E. Reya, M. Stratmann [et al.] // Phys. Rev. D.- 2001,- Vol. 63,-P. 094005-1-094005-12.

18. de Dorian, D. Sea quark and gluon polarization in the nucleón at NLO accuracy [Text] / D. de Florian, G.A. Navarro, R. Sassot // Phys. Rev. D.- 2005,-Vol. 71- P. 094018-1 - 094018-12.

19. Leader, E. Impact of CLAS and COMPASS data on polarized parton densities and higher twist [Text] / E. Leader, A.V. Sidorov and D.B. Stamenov // Phys. Rev. D.- 2007,- Vol. 75,- P. 074027-1 - 074027-10.

20. Anthony, P.L. Measurement of the deuteron spin structure function gf(jc) for 1 (GeV/c)2< Q2<40 (GeV/c)2 [Text] / P.L. Anthony, R.G. Arnold, T. Averett [et al.] // Phys. Lett. В.- 1999.- Vol. 463,- P. 339 - 345.

21. Abe, K. Measurements of the proton and deuteron spin structure functionsgj andg2 [Text] / K. Abe, T. Akagi, P. L. Anthony [et al.] // Phys. Rev. D.- 1998,- Vol. 58.-P. 112003-1 -112003-54.

22. Adeva, B. Spin asymmetries^ and structure functions gx of the proton and the deuteron from polarized high energy muon scattering [Text] / B. Adeva, T. Akdo-gan, E. Arik [et al.] // Phys. Rev. D.- 1998,- Vol. 58.-P. 112001-1- 112001-17.

23. Берестецкий, В.Б. Квантовая электродинамика [Текст] / В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский. - М.: Наука, 1989. - С. 109.

УДК 539.12

В. В. Кисель, Е.М. Овсиюк, О.В. Веко, В.М. Редьков

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА ВЕКТОРНОЙ ЧАСТИЦЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ НА ЧЕТЫРЕХМЕРНОЙ СФЕРЕ

Квантование движения частиц в однородном магнитном поле — классическая задача теоретической физики [1—3]. За последние 25 лет была детально исследована более общая проблема для пространств с неевклидовой геометрией, гиперболической плоскости Лобачев-

ского Н2 и сферической плоскости Римана [4—11]. Система оказалась интересной как в рамках классической механики, так и с кванто-вомеханических позиций. Обобщение анализа на 3-мерные пространства Лобачевского Щ и Римана 53 было проведено относительно не-