Методика вычисления упругого рассеяния поляризованного нуклона на поляризованном дейтроне в переменных светового конуса Текст научной статьи по специальности «Физика»

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА

УДК 539.171.016, 539.128.2, 539.171.11

Ф.Ф. Павлов

МЕТОДИКА ВЫЧИСЛЕНИЯ УПРУГОГО РАССЕЯНИЯ ПОЛЯРИЗОВАННОГО НУКЛОНА НА ПОЛЯРИЗОВАННОМ ДЕЙТРОНЕ В ПЕРЕМЕННЫХ СВЕТОВОГО КОНУСА

F.F. Pavlov

St. Petersburg State Polytechnical University, 29 Politekhnicheskaya St., St. Petersburg, 195251, Russia

THE CALCULATION PROCEDURE OF ELASTIC SCATTERING OF A POLARIZED NUCLEON ON A POLARIZED DEUTERON

Рассматривается релятивистский дейтрон как система двух нуклонов (двухнуклонное приближение) в формализме светового конуса. Дейтрон рассматривается как суперпозиция двухнуклонных фоковских состояний с инвариантной массой, зависящей от относительного импульса протон-нейтронной пары. Показана процедура последовательного вычисления упругого рассеяния поляризованного нуклона на поляризованном дейтроне в переменных светового конуса.

ПОЛЯРИЗОВАННЫЙ ДЕЙТРОН. ПОЛЯРИЗОВАННЫЙ НУКЛОН. УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ. СВЕТОВОЙ КОНУС. НУКЛОН-НУКЛОННЫЕ АМПЛИТУДЫ. ИНВАРИАНТНЫЕ АМПЛИТУДЫ.

The paper views a relativistic deuteron as a system of two nucleons (a two-nucleon approach) in a formal light cone description. The deuteron is considered as a superposition of two-nucleon Fock states with the invariant mass depending on the relative momentum in a proton-neutron pair. A procedure for consistent calculation of elastic scattering of a polarized nucleon on a polarized deuteron is shown.

POLARIZED DEUTERON. POLARIZED NUCLEON. ELASTIC SCATTERING. LIGHT CONE. NUCLEON-NUCLEON AMPLITUDES. INVARIANT AMPLITUDES.

Прецизионные измерения нуклон-нуклон-ного рассеяния (АА-рассеяния) являются одной из главных задач на всех протонных ускорителях мира. Исследования поляризационных эффектов в АА-взаимодействиях проводятся на встречных пучках и ускорителях высокой энергии в крупнейших международных центрах физики высоких энергий. При извлечении спиновых амплитуд протон-нейтронного рассеяния (ря-рассеяния) из прецизионных данных

по протон-дейтронному и дейтрон-дейтронно-му рассеянию (рБ- и ББ-рассеянию) при релятивистских энергиях требуется адекватное описание дейтрона и амплитуд АА-рассеяния. Создание все новых методов по получению пучков поляризованных протонов и дейтронов дает возможность изучения спиновых наблюдаемых в ря-рассеянии, что существенно расширит имеющуюся базу данных. Например, эффект спиновой фильтрации [1] предполагает

создание поляризованных пучков протонов и антипротонов путем удаления из пучка компоненты с заданной проекцией спина. Хотя и принято считать, что поляризационные эффекты исчезают с ростом энергии, известные опыты по поляризационному протон-протонному (до-рассеянию) в Аргонской национальной лаборатории, продолженные впоследствии в Брукхэйвенской национальной лаборатории, показали, что при энергиях до 10 ГэВ в лабораторной системе существуют нетривиальные и сильные спиновые эффекты [2].

Многообещающим представляется подход к спиновым эффектам, основанный на методах релятивистской теории поля на световом конусе, успешно примененный ранее в квантовой хромодинамике (КХД) для описания спиновых эффектов в дифракционном глубоконеупругом рассеянии [3].

Цель данной работы состоит в развитии технического аппарата для описания релятивистского рассеяния поляризованного нуклона на поляризованном дейтроне в формализме светового конуса.

В настоящую работу включены вычисления набора спиральных амплитуд ЛЛ-рассеяния в базисе светового конуса и методика вычисления релятивистской амплитуды упругого ну-клон-дейтронного рассеяния (ЛО-рассеяния) с применением этого формализма. Дейтрон рассматривается как релятивистская двухчастичная система со спиновыми конституентами, и строится базис спиральных состояний, а также вершинные функции дейтрона на световом конусе.

Дейтрон как объект исследования

Дейтрон является слабосвязной нейтрон-протонной системой, и взаимодействие частиц высокой энергии с дейтроном традиционно описывается теорией многократного рассеяния Глаубера — Грибова [4, 5]. В релятивистской области энергий для интерпретации прецизионных данных по спиновым наблюдаемым дейтрон требует адекватного теоретического описания с выходом за привычное нерелятивистское приближение. В работе используются развитые ранее методы релятивистской теории поля на световом конусе, с последовательным релятивистским описанием спиновых степеней сво-

боды в дейтроне. В данной работе на дейтрон обобщается техника, развитая ранее в работе [3], для квантово-хромодинамического описания спиновых явлений в эксклюзивном рождении векторных мезонов в глубоконеупругом рассеянии лептонов на протонах. Здесь техника светового конуса позволила последовательно учесть вклады релятивистских, так называемых «нижних», компонент спиновой волновой функции кварков; именно они определяют амплитуды с переворотом спина. В КХД теории рождения векторных мезонов, при малых значениях бьеркеновской переменной х, ситуация заметно упрощается точным сохранением ^-канальной спиральности кварков в фундаментальном КХД взаимодействии кварков с глюонами. Однако такие упрощения нельзя ожидать в ЛЛ-рассеянии при умеренных энергиях. Поэтому строится разложение амплитуды рассеяния по фермиевским вариантам и для каждого варианта взаимодействия (скалярного $ = I ® I, псевдоскалярного Р = у5 ® у 5, векторного V = уц®уц , аксиально-векторного А = у5уц®у5уц и тензорного Т = сцу ® сцу) вычисляется полная система спиральных амплитуд в базисе светового конуса. Такое представление спиральных амплитуд в указанном базисе ранее не использовалось. С точки зрения опыта вычисления спиновых эффектов в рождении векторных мезонов оно представляется удобным для последующего описания рассеяния на дейтроне как частицы со спином 1. Если в физике высоких энергий техника светового конуса обычно используется для выделения ведущего вклада в разложение амплитуды по обратным степеням энергий, то в данной работе все расчеты проводятся точно с удержанием всех членов в спиральных амплитудах.

Инвариантное разложение амплитуды ЛЛ-рассеяния

Как обсуждалось во введении, слабосвязанный дейтрон аппроксимируется протон-нейтронным фоковским состоянием и в формализме на световом конусе описывается как суперпозиция протон-нейтронных состояний. Рассмотрим амплитуду ЛО-рассеяния в импульсном приближении. Соответствующая диаграмма Фейнмана приводится на рис. 1. Она

I Рз>"3

Рис. 1. Фейнмановская диаграмма рассеяния нуклона на дейтроне

включает в себя амплитуду АА-рассеяния, а также вершину перехода дейтрона в протон и нейтрон и имеет вид привычной фермионной петли.

Вычисление релятивистской амплитуды АА-рассеяния требует представления в виде релятивистски-инвариантного разложения по фермиевским вариантам [6 — 8]:

Ф = Х Вк [и, V)Оки^1, vl)]x

x[u (Р2, h)Oku( Pi, Xj)],

(1)

где Oi = 1, O2 =Y5, O3 = Уц, O4 =У5 Уц , O5 =Сцу

I — единичная 4-матрица; уц — 4-матрицы Дирака; у5 = iy0yx у y у z; сцу = 2 (v-YvYj

u (pi, X i) — спинор протона в дейтроне с импульсом Pi и спиральностью s = Xi/2, Xi =±1 u (p2, X2) — спинор рассеянного протона в дейтроне с импульсомp2 и спиральностью s = X2 /2 X2 =±1; u(qi, vi) — спинор налетающего нуклона с импульсом qi и спиральностью s = vi /2 vi =±1; U(q2, v2) — спинор рассеянного нуклона с импульсом q2 и спиральностью s = v2 /2 v2 = ±1. Коэффициенты Fk (k = 1 — 5) называются инвариантными амплитудами.

В работе [8] на основе базы данных по NN-рассеянию SAID (Scattering Analysis Interactive Dial) изучалось поведение инвариантных амплитуд Fk в зависимости от кинетической энергии одного из нуклонов в лабораторной системе отсчета Tlab в диапазоне от 800 до 2500 МэВ и от переданного импульса Q при Q = 0, 100, 200, 500 МэВ/с.

Амплитуда нуклон-дейтронного рассеяния в формализме светового конуса

При использовании принципов написания дисперсионных интегралов и стандартных правил Фейнмана амплитуда однократного АО-рассеяния представляется в виде

ААо = (-1)^ -

(2п) /

хХ рк [[ ^ v 2)Oku(ql,

к

Яр{/ (грКр(р))х

х -\—

( -т2 + /е)х

х/(-р3 + т)., (г уГ)х

х( - m2 + ie)x xi(p2 + m) -iOk •/(p + m)

х(2 - m2 + ie)

(2)

где р1, р2 — 4-векторы импульсов протонов; интегрирование ведется по 4-вектору импульса нейтрона р3, причем контур интегрирования замкнут вокруг полюса нейтронного пропага-тора (массы всех нуклонов равны т); под импульсом ^со «шляпкой» подразумевается выражение р = ; Гр — полная вершинная функция распада дейтрона на протон-нейтронную пару в начальном состоянии, а Г ^ — полная вершинная функция дейтрона в конечном состоянии [9—13]; Кр(р), рар) — 4-векторы поляризаций дейтрона в начальном и конечном состояниях [9 — 13]; р = ±1, 0 — спиральность дейтрона; под дважды повторяющимся индексам а и в всегда подразумевается суммирование. «Волна» над буквой обозначает конечное состояние. В дальнейшем будем опускать 4-тен-зорный индекс ц над 4-вектором.

Вычисление шпура в амплитуде (2) подробно рассматривается в работах [3, 9]. Тем не менее, напомним основные этапы расчета амплитуды однократного АО-рассеяния. При высоких энергиях удобно использовать параметризацию для 4-импульсов в переменных светового конуса [3, 9, 10, 12]. Рассмотрим рассеяние в системе Брейта, в которой плюсовые компоненты 4-импульса дейтрона не меняются

k

до и после рассеяния, а поперечные импульсы равны по значению и противоположны по направлению:

2

Р =

Р =

Р+, Р , --

р+, р- 4';

2

Р2 = р2 = 2Р+ Р = М

+ - 4

О

(3)

(4)

(5)

где МО = 1875,6 МэВ/с2 — масса дейтрона, Q — поперечный переданный импульс.

Для 4-импульсов нуклонов рх, р2, р3 в дейтроне используем параметризацию:

Р1 =

гР+, уР-, k - г 2

гР+ уР-, к + г—

Р2 =

Рз =((1 - г)Р+, (1 - у)Р-,

-к - С - г)4),

(6) (7)

(8)

МО +

V ° 4 у

йу йг й к ;

тогда

Р12 - т2 = гу (( + 0 2/4)--(к-/2)2 -т2;

Р22 - т2 = гу (( + 02 /4)--(к + /2)2 -т2 ; Рз2 - т2 = (1 - г )(1 - у) (( + 02/4 )-

(9)

(10)

-(-к - (1 - г )4/2 )2 -

т .

Удобно провести интегрирование по у, замыкая контур интегрирования вокруг полюса нейтронного пропагатора р| = т2.

Это приводит к выражению

! т2 +(-к - (1 - г )4/2 )2

у=уз =1--—^—\ ; (12)

(1 - г) (( + 02/4)

Рз2 - т2 =-(1 - г) (( + 02 /4)) у - уз3.

Используя это значение у, получаем после простых преобразований:

(13)

(14)

(15)

(16)

где

Р2 -т2 = г(Мф -М2); Р22 - т2 = г (МО - М2),

,,2 к2 + т2 М =-

г (1 - г)

2 2 2 к2 + т М2 =-

г(1 - г)

где к — относительный поперечный импульс частиц 1 и з, к — относительный поперечный импульс частиц 2 и з, причем к = к + (1 - г )4 .

Перейдем к интегрированию по переменным светового конуса:

й4Рз = йЕз йРзг йРз± = ->2 Л

Далее для нейтрона на массовой поверхности Р2 = т2 можно воспользоваться условием полноты:

Рз - т =Е V (Рз, ^з ) (Рз, ^з) (17)

А,=±1

где V (Рз, А.з) — спинор нейтрона с импульсом -Рз и спиральностью - я = А.з /2 (выходящий антифермион с точки зрения фейнмановской диаграммы), и сделать в фейнмановском следе (2) замену.

Промежуточные протоны с импульсами Р1 (' = 1, 2) будут вне массовой поверхности и Р2 ф т2, что дает правильные энергетические знаменатели.

Введем вместо 4-векторов Р1 (/ = 1, 2) для внемассовых протонов 4-векторы

к =

т2 + р2±

к += Р( +, к(-= V. '1 , Р/1

л

2 Р1+

такие, что к2 = т2 .

Запишем Р { + т в виде

Р/ + т = Р1+У_ + Р/ _У+ - У1 • Р/1 + т =

= к/+У-+ к1 -У+ - У1 • Рг 1+ т + +Р/-У+ - к1 -у+ =

2 2 г Р/2 - т2 = /г/ + т + -

2 Р,

У+

(18)

где

У± = ( 0 ±у г ), У1=(г х, У у )•

Поскольку к2 = т2 , то в равенстве (18) можно снова воспользоваться условием полноты:

Р/ + т = X и((,Х/)и((,Х/) +

у=±1

2 2 Р2 - т2 +—-У+

2 Р,

(19)

А1 =-Ат -

2(2п)3 •'г 2(1 - г)

хХ ¥к [и ^ у 2)Oku(ql, у1)]х

к

х X

Аз

V (Рз, Х3 )Г *АР)*и(к2, ^2),

ММ2 - Мф

х[и (к2, X 2)Оки(к1, Х^]х и (к1, Х^^У (Рз, Х3)

М2 - Мф

(20)

АЛФ =-

1 с йгй2к

ь—х

2(2п)3 •'г 2(1 - г)

х X ' ^ ' (21)

А<1 Аз

где Ф^^ , ФХгХз — полные вершинные функции дейтрона в начальном и конечном состояниях, соответственно [9 — 13]:

Ф

и (к1, Х^^^ (Рз, Х3)

ХДз

М2 - Мф

(22)

Ф

Х3Х2

V (Рз, Хз ) а^'К (к2, ^2 ).

ММ2 - Мф

; (23)

ФХ2 ^ Х V! — амплитуды ЛЛ-рассеяния (1):

Фх2'V2^ 'V1 = X ¥к [иV2 )0ки(У1, V1)]х

к

х[и (к2, X 2)Оки(к1, Х1)]. (24)

Сразу же заметим, что возникающие вы-

Г

Второй член в формуле (19) отвечает, очевидно, распространению протона вне массовой поверхности. В дифракционном глубоко-неупругом рассеянии при малых х его вклад исчезающе мал. Априори можно думать, что из-за очень малой энергии связи дейтрона этот внемассовый вклад будет мал и в Лф-рассеянии. Опуская внемассовые вклады в выражении Р 1 + т, получим для амплитуды (2) выражение вида

1 1 г йгй2к

ражения

в

М2 - М\

и

ММ2 - Мф

сводятся к вол-

Амплитуду (20) также можно представить в более компактном виде:

новой функции дейтрона [3, 9 - 13]. Здесь М есть не что иное, как квадрат инвариантной массы протон-нейтронной пары с импульсами к1 и кз на массовой поверхности в начальном состоянии (15), а ММ2 - квадрат инвариантной массы протон-нейтронной пары с импульсами к2 и кз на массовой поверхности в конечном состоянии (16).

Таким образом, дейтрон со спиральностью р представляется как система протон-нейтрон со спиральностями Х1 и Хз; рассеяние происходит с изменением спиральности Х1 нуклона-мишени (протон) на спиральность Х2 ; после рассеяния система протон-нейтрон со спиральностями Х2 , Хз проецируется на дейтрон в спиновом состоянии со спиральностью р'; по всем промежуточным спиральностям Х1 , Х2 , Хз идет суммирование, и это суммирование заменяет вычисление фейнмановских следов.

Практическое применение этой техники требует знания матричных элементов всех операторов Ок между спиральными состояниями в базисе светового конуса. Требуется также расчет матричных элементов для вершинных функций, то есть знание спиральной структуры волновой функции дейтрона на световом конусе. Часть этих матричных элементов содержится, например, в работе [3], часть рассчитана и приведена в следующем разделе данной статьи.

*

а

Спиноры для частицы со спином 1/2 в формализме светового конуса

В формализме светового конуса для описания частицы со спином 1/2 и 4-импульсом Р = (р+ , Р-, Pl) используются следующие спиноры [3, 10]:

и (р, Х) =

((+ + рт + а- рЛ

№ р+

Хх

(25)

1 0

где Р = Уо = 0 -1J ; а,- =

спиноры хх при Х = ±1 имеют вид

0 а,- 1 0

Хх=-1 = ^к0,1,0,-1)' .

(26) (27)

как

±- ((р+-Рт + а- Р±)х_Х. № р+

В вычислениях матричных элементов будут встречаться спиноры, характеризующие движение налетающей частицы против оси столкновений г. Поэтому ниже приводится инвертированный спинор для движения частицы против оси г:

и (ц, V) = = ' ((ц- + Рт_а-4±)ХV ,

(29)

Спиноры V (р, X) для античастицы выглядят

V (р, х) =

где спиноры Х V при v = ±1 имеют вид

Х V=1 (0, _1,0, _1)г, (30) Х v=_l (-1,0,1,0 ). (31)

Матричные элементы для рассеяния частиц со спином 1/2 с использованием данных спиноров приведены в табл. 1 — 4.

Таблица 1

Матричные элементы для рассеяния частицы со спином я = 1/2 и спиральностью Х = ±1

Вершина Г и (к, Х)Ги( р, X) и (к, _Х)Ги(р, Х)

У+ 2 0

У_ р (т2 _к(_х)р(х)) к+р+ /Нк (Х)_ р (Х))

(л-у) (а(Х)к(_Х) + а (_Х)р(Х) 1 к+ р+ ) (1 11 -та (Х)---

I Г 1 1 1 т —+-- 1 к+ р+) к(Х) р(Х) к+ р+

У 5 Х ( 1 1 1 Хт--- 1 к+ р+) Г к(Х) р(Х)^

У+У5 2Х 0

У-У5 _ тХг ( + к (_Х)р (Х)) к+р+ _ кХ р+к (Х)+р(Х))

Окончание таблицы 1

Вершина Г и (к, Х)Ги( р, Х) и (к, -Х)Ги(р, Х)

(а-у)у5 -Х 'а(Х)к(-Х) + а(-Х)р(Х) , к+ ' Р+ У Г1 11 -Хта (Х) —--- 1 к+ Р+У

0 21а (Х)

т к+ Р+ Г а(Х)к(-Х) + а(-Х)р(Х) 1 к+ Р+ 1 кР (-т2а(Х) + а(-Х)к(Х)р(Х)) к+р+

Г1 11 Хт [а, Ь] —--- 1 \ к+ Р+У Х[а,Ь ]Г к « + Р(Х) 1 \ к+ Р+ . 1 У

П р и м е ч а н и е: каждый элемент таблицы необходимо умножить на фактор ^/Р1+Р2+ •

Т а б л и ц а 2

Матричные элементы рассеяния частицы со спином я = 1/2 и спиральностью V = ±1 для инвертированных

спиноров (для рассеяния против оси z)

Вершина Г и (02, у)Ги(^,, V) и (02, ^)Ги(0,, v)

У+ (( ^2 (^01 ( V)) 01-02-У 7 (02 ( v) 01 ( 01-02-

У_ 2 0

(а •У) а М02 (v) + а М01 (-v) 02- 01- та(-v) — - — 1 ,02- 01-у

I т — + — 1 ,02- 01-у 02 М 01 (-V) 02- 01-

У 5 vm Г—-— V 02- 01-, v Г 02 М 01 Н) V 02- 01- 1

У+У5 V ( т2 + 02 (v)01 М) vm (0 М + 01 (-v))

1 01-02- У 102 01-02-

У-У5 2v 0

(а^У)У5 ГаЫ02(v)!а(^01 НЛ 1 02- 01- J vmа (-v) Г—+— V 02- 01-, \ /

гт Г— —1 V 02- 01-1 г '02 М ! 01 Н)1 V 02- 01- 1

Окончание таблицы 2

Вершина Г и (02, v)Гu(01, V) и (02, _у)Ги(0,, V)

+ -т Га( —V)02 М а(^01 Н) —-— (т2а (_ а(\')01 (—V)02 (—V))

01_02_ 1 02_ 01_ у 01_02_ V

^ _ 0 _2-а (_у)

-vm [а, Ь] Г +X у V 02_ 01_у —v[a, Ь] Г02 И) ! 01 И) 1 02 _ 01_ у

П р и м е ч а н и е: каждый элемент таблицы необходимо умножить на фактор .

Матричные элементы дейтронной вершины в начальном состоянии

Т а б л и ц а 3

Вершина Г и (Р1, Х)Гу (рз, X) и (Р1, Х)Гу (рз, _Х)

У+ 0 2

У_ _ ТГ~ ((1 (_Х) + Рз (_")) р1+р3+ --!_ (т2 + (1 (_Х)рз (X)) Р1+Рз+V '

(а •У) _ та (_X) Г +у V Р1+ Рз+) Га(Х)Р1(_Х) + а(_Х)рз (Х) 1 Р1+ Рз+ )

I Р1 (_Х) Рз (_Х) Р1+ Рз+ т Г _ _±_ у , Р1+ Рз+)

П р и м е ч а н и е: каждый элемент таблицы необходимо умножить на фактор -\/р1+р37 .

Спиральные амплитуды нуклон-нуклонного рассеяния в формализме светового конуса

Мы будем использовать спиноры в формализме светового конуса, когда две сталкивающиеся частицы движутся вдоль двух граней светового конуса, так что если для первой частицы большой компонентой является р1+ = р+, то для второй — 01_ = 0_ (рис. 2) и

2 2 т + р2± Р1_=—;—— << Р1+

2 2 т2 + а2± 01+ = —;—— << 01-. 201_

Считается, что частица с импульсом р1 движется вдоль оси г с положительной компонентой 3-импульса, а частица с импульсом 01 — против оси г:

2 Р1+

Рис. 2. Столкновение двух частиц в переменных светового конуса

Т а б л и ц а 4

Матричные элементы дейтронной вершины в конечном состоянии

Вершина Г V (р3, Х)Ги( р2, Х) V (р3, _Х)Ги( р2, Х)

У+ 0 2

У_ -Щ- (кз (Х) + р2 (Х)) р2+р3+ --!_ (т2 + рз (_Х)р2 (Х)) Р2+рзН ^

(а-у) ( 1 1 1 та(Х) -+-- V рз+ р2+) (а(Х)рз(_Х)+ а(_Х)р2(Х) V рз+ Р2+ J

I РЗ (Х) Р2(Х) РЗ+ Р2+ (1 1 1 т--+-- V рз+ р2+ )

П р и м е ч а н и е: каждый элемент таблицы необходимо умножить на фактор ^/рз+"р2+ . О б о з н а ч е н и я к табл. 1 — 4:

а (Х) = _Хах _ шу ; (л-у) = ах ух +ау у у ; [л Ь ] = ахЬу _ ауЬх ; а = (( ,ау ); Ь = (ЬХ ,Ьу ); ааЬ = 2[(а-у)(Ь-у)_(Ь-у)(а-у)] ; аа + = 2[(а-у)у+ _у+ (а-у)] = ахах+ + ауау+.

Например, чтобы получить у х , необходимо приравнять ах = 1, ау = 0; чтобы получить у у , необходимо приравнять ах = 0, ау = 1; чтобы получить аху , необходимо приравнять ах = 1, ау = 0, Ьх = 0, Ьу = 1.

р =

Ц =

2 2 т2 + р2±

р+, р1_ = 11 , Рц

2 р+

2 2 т2 + а2± Ц1+ = 0 1Х , , 4ц 2Ц_

(32)

(33)

5 = 2р+Ц_

(36)

V )

то есть большими компонентами являются р1+ = р+ и ц1_ = соответственно. Для рассеянных частиц

( т2 + р2± 1

р2 = р+, р2_ = 0 2± , Р21 ;

V 2р+ )

Ц2 =

2 2 т2 + а2х

?2+ = 0 2± , , 421

2ц_

Л

(34)

(35)

то есть р+ и сохраняются при рассеянии.

В конусной технике удобно ввести переменную

вместо часто используемой переменной квадрата суммы 4-векторов импульсов р и ц. Если т , ц — массы сталкивающихся частиц, то квадрат полной энергии сталкивающихся частиц в системе центра инерции равен:

W2 = (р + ц )2 = т2 + ц2 + 2 рц =

2 2

т1ц1 2 2 = ^ + 11 + т1 +ц1,

где комбинации

2 2 2 2 2 2 т1 = т2 + р1 , ц1=ц2 + 41

называют квадратами поперечной массы. Видно, что при высоких энергиях W2 « 5.

В табл. 5 — 9 приведены пять фермиевских вариантов, по которым разлагаются амплитуды ЛЛ-рассеяния.

Т а б л и ц а 5

Скалярный вариант S = [и (р2, Х2 )/и( р1, Х1)] [и (ц2, v2 )1и(ц1, v1)]

+ + __ + _ _ +

+ + 4т2 [р2 (_1)_р (_1)^Х Х[ц2 (1)_Ц (1)] 2т [Ц2 (1)_ 91 (1)] 2т [ р2 (_1)_ р (_1)]

— [ р2 (1)_ р1 (1)]Х хЦ (_1)_Ц (_1)] 4т2 2т [ р2 (1)_ р1 (1)] 2т [Ц2 (_1)_ 91 (_1)]

+ _ 2т [Ц2 (_1)_ 91 (_1)] 2т [ р2 (_1)_ р1 (_1)] 4т2 [ р2 (_1)_ р1 (_1)^Х Х[Ц2 (_1)_ Ц (_1)]

_ + 2т [ р2 (1)_ р1 (1)] 2т [Ц2 (1)_ 91 (1)] [ р2 (1)_ р1 (1)]Х х[ц2 (1)_ Ц (1)] 4т2

В табл. 5 — 9 в боковиках дано чередование знаков величин Х2 и V2 , в головках — знаков Х1 и V!.

Т а б л и ц а 6

Псевдоскалярный вариант P = [и (р2, Х2^и( р1, Х1)] (92, V2)Y5u(9l, Vl)]

+ + __ + _ _ +

+ + 0 [ р2 (_1)_ р1 (_1)^Х Х[Ц2 (1)_ 91 (1)] 0 0

— [ р2 (1)_ р1 (1)]Х х[Ц2 (_1)_ 91 (_1)] 0 0 0

+ _ 0 0 0 _[ р2 (_1)_ р1 (_1)^Х Х[92 (_1)_ 91 (_1)]

_ + 0 0 _[ р2 (1)_ р1 (1)]Х х[92 (1)_ 91 (1)] 0

(в Я Я ч ю (в Н

+ 1 X 1 _ 1 !_! ^-( г5, ^ ^ 1 Со Х О} | X 1 ^_^ 1 ^ x x ? ^ x СМ гм | £ Со О} | X С- Л гч ^—4 1 , ^ П» г £ ^ ГМ ъ' 1 ^ ^ 3 x 7 ^ ^ ^ ^ x ^ 1 ^ § 1 1 | (N1 с, | ^ + х 1

1 + X 1 _ 1 --ч ^ 1 ^ I ^ | | ? Со О} | X 1 _ 1 «а? 1 с гм ^ 1 | X £ Со О} | X ^ С) ^ ^ | Т"4, ^ ^ 71 1 СГ 1 | ^ ГМ 1 Ч £ | ^ + V -Г1 1 X ^ 4—4 г г

1 1 х 1-1 X см £ ^ гм X 1 ^_^ 1 ^ ^ - !_ '"Г ^ 4—4 Тн '-4 ^ - 1 71" ^ ^ см + ГМ I со « | 1 + X Со ГМ X 1 _ 1 !_! , | ^ 1 Со Х О} | X 1 _' 1 | | ? Со

+ + £ ^ О | 2 7 ГМ I со Й | ^ + X £ 1 X |_| ^ Тс ^ Л 1-| X 1 ^_^ 1 ,-ч ^ ? 2 ГМ ГМ , £ | £ Со О} | X 1 _ ' 1 ^ 5 ^ 1 | л ? Со

+ + 1 1 1 + + 1

Используя табл. 5 — 9, нетрудно выписать явно вклады разных вариантов в конусные спиральные амплитуды АЛ-рассеяния. Так например,

1. Ф++++= 4т2^ + |2о + -[т2 -Р1 (1)р2 (-1) х т2 - ql (-1)- (1)]--2 [ Р2 (-1)^2 (1) + Р1 (%1 (-1)]} Ъ +

+ + -

о

2

т

+ Р1 (1)Р2 (-1)]х

х

т2 + ql (-1)2 (1)1-

-2 [ Р2 (-1)q2 (1) + Р1 (l)ql (-1)]} Ъ

+1 т [ Р2 (-l)q2 (1)+

+

+Р1 (1)^ (-1)]-8т2}Ъ; 2. Ф+_++= 2т [q2 (-1)-ql (-1)] +[т2 -Р1 (1)Р2 (-1)]х

х[q2 (-1)-ql (-1)] Ъ + + { [т2 + Р1 (1) Р2 (-1)]х

х[ql (-1) + q2 (-1)]-4тР2 (-1)} ^ + [т2 Р2 (-1) + +Р1 (1)1 (-% (-1)]-

-4т [ql (-1) + q2 (-1)]} ; 3. Ф_++_=[ Р2 (1)- Р1 (1)]х

х[q2 (1)-ql (1)] Ъ -

-[Р2 (1)-Р1 (l)][q2 (1)-qx (1)]^

+^ [ Р2 (1)-Р1 (1)]х х[q2 (1)-ql (1)]Ъ -

2т2

+

8т2

(37)

(38)

[ Р1 (1) + Р2 (1)]х

о

х[ql (1) + q2 (1)]Ъ -

[Р1 (1)Р2 (1) + ql (1)^2 (1)]Ъ. (39)

Результаты и их обсуждение

Итак, при очень высоких энергиях, когда о = 2>> т2, результаты показывают, что имеется определенная иерархия спиральных компонент в фермиевском разложении как функции от о. Так, для скалярного и псевдоскалярного вариантов все конусные спиральные амплитуды имеют одинаковую зависимость от о. Для векторного и псевдовекторного вариантов главными являются амплитуды без переворота спина: ф++++ , ф____, Ф^.^ , ф^^ ~ о Ъ, а амплитуды с переворотом спина асимптотически

т

убывают, например ф+-++--Д-Ъ. Характер

о

энергетической и угловой зависимостей инвариантных функций приводится в работе [8].

Данная работа вносит многообещающий вклад в программу полного релятивистского описания спиновых явлений в АБ-рассеянии при промежуточных и высоких энергиях. Предлагаемый нами формализм необходим для теоретической интерпретации экспериментальных данных по рассеянию поляризованных протонов и дейтронов на поляризованных дейтронах. Основным аппаратом при этом будет техника вычисления амплитуды в базисе светового конуса. Техника светового конуса привлекательна своей приближенностью к привычной нерелятивистской квантовой механике и активно используется в литературе. Последовательной формулировки ЛБ-рассеяния на световом конусе, однако, не имелось, и такая формулировка, раскрытая во введении, была основной задачей настоящей работы. В отличие от применения динамики на световом конусе к ультрарелятивистскому случаю, где обычно вычисляются асимптотические по энергии вклады, мы не делаем высокоэнергетических приближений и вычисляем все вклады в амплитуду. Приводится полный набор всех спиральных амплитуд, рассматриваются глобальные свойства спиральных амплитуд. В последующем полученные результаты могут быть применены к релятивистскому вычислению амплитуд многократного рассеяния в ЛБ-и ББ-рассеянии и анализу роли релятивистских эффектов при извлечении спиновой структуры РП-рассеяния из экспериментальных данных по РБ- и ББ-рассеянию, а также описанию других реакций с участием дейтронов.

В заключение автор выражает глубокую благодарность доктору физико-математических наук, профессору Н.Н. Николаеву, сотруднику Института теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН, — за генерацию нетради-

ционных и плодотворных идей в теоретической физике; С.И. Манаенкову, сотруднику Петербургского института ядерной физики им. Б.П. Константинова РАН, — за критические замечания и тщательную проверку вычислений.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Nikolaev, N. Spin filtering of stored (anti)protons: from FILTEX to COSY to AD to FAIR [Text] / N. Nikolaev, F. Pavlov //In: AIP Conference Proceedings Polarized Antiproton Beams — How. Ser. 'Polarized Antiproton Beams — How — An International Workshop'sponsors: Cockcroft Institute. Warrington, 2008.- P. 34-43.

2. Gordon, L.E. Spin structure of the proton and large pTprocesses in polarizedpp collisions [Text] / L.E. Gordon, G.P. Ramsey // Phys. Rev. D.- 1999. -Vol. 59.-P. 074018-1-074018-12.

3. Ivanov, I.P. Diffractive production of S and D wave vector mesons in deep inelastic scattering [Электронный ресурс] / I.P. Ivanov // arXiv: hep-ph/9909394.

4. Glauber, R.J. High-energy scattering of protons by nuclei [Text] / R.J. Glauber, G. Matthiae // Nuclear Physics B.- 1970. -Vol. 21.- P. 135-157.

5. Грибов, B.H. Глауберовские поправки и взаимодействие адронов с ядрами при высоких энергиях [Текст] / В.Н. Грибов // ЖЭТФ.- 1969. -Т. 56.-С. 892-901.

6. Берестецкий, В.Б. Квантовая электродинамика [Текст] / В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Пи-таевский. - М.: Наука, 1989. - C. 313.

7. Волков, Д.В. Полюса Редже в амплитудах ну-клон-нуклонного и нуклон-антинуклонного рассеяния [Текст] / Д.В. Волков, В.Н. Грибов // ЖЭТФ.-1963. -Т. 44.- С. 1068-1077.

8. Павлов, Ф.Ф. Поведение инвариантных амплитуд нуклон-нуклонного рассеяния [Текст] / Ф.Ф. Павлов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки.- 2011.- № 4 (134).- С. 176-185.

9. Павлов, Ф.Ф. Оценка релятивистской поправки к средней спиральности протона в дейтроне [Текст] / Ф.Ф. Павлов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки.-2011.- № 3 (129).- С. 143-152.

10. Павлов, Ф.Ф. Расчет спин-зависимой структурной функции дейтрона в переменных светового конуса [Текст] / Ф.Ф. Павлов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки.- 2012.- № 1 (141).- С. 118-128.

11. Pavlov, F.F. Relativistic nuclear corrections to the spin structure function of the deuteron in the light-cone variables [Text] / F.F Pavlov // Journal of Experimental and Theoretical Physics.- 2012.-Vol. 114.- P. 946-954.

12. Павлов, Ф.Ф. Вычисление матричных элементов электромагнитного тока дейтрона в переменных светового конуса [Текст] / Ф.Ф. Павлов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки.- 2012.- № 3 (153).- С. 99-110.

13. Павлов, Ф.Ф. Угловое условие для матричных элементов электромагнитного тока дейтрона [Текст] / Ф.Ф. Павлов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки.- 2012.-№ 3 (153).- С. 111-118.

ПАВЛОВ Федор Федорович — ассистент кафедры экспериментальной физики Санкт-Петербургского государственного политехнического университета.

195251, г. Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29 [email protected]

© Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, 2013