CC BY
46
_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том IV ' 1973
№ Г
УДК 532.526.3
РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ МЕТОДОМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ СООТНОШЕНИЙ
В. А. Баранов
Приводится вывод интегральных соотношений для пространственного несжимаемого пограничного слоя. Дано описание конечноразностной схемы расчета. В качестве примера расчета рассмотрен случай скользящего крыла с неравномерным по д; и г распределением отсасывания. Приведены значения коэффициентов трения па стеаке для нескольких законов распределения скорости отсасывания.
Расчет характеристик пространственного пограничного слоя представляет собой одну из актуальных задач аэродинамики. В настоящее время имеется ряд работ, где описываются точные конечноразностные методы решения задачи [1], [2] и [3]. Однако их применение даже при наличии быстродействующих вычислительных машин связано со значительными трудностями—необходимостью запоминания больших массивов чисел, довольно большим временем расчета.
В 1960 г. А. А. Дородницын [4] предложил метод интегральных соотношений для решения двумерных задач в несжимаемой жидкости. Это позволило существенно сократить время расчета, сохранив при этом приемлемую для практики точность [5]. В работе [6] этот метод был распространен на случай сжимаемого газа, а в работах [7], [8] он применялся для расчета отдельных случаев трехмерного пограничного слоя, сводящихся к двумерным— скользящего крыла, линии растекания, конических течений.
В настоящей статье приводится метод расчета более общего случая пространственного пограничного слоя в несжимаемой жидкости, который можно рассматривать как развитие метода интегральных соотношений [4] на трехмерный пограничный слой.
1. Уравнения трехмерного пограничного слоя в декартовых координатах в несжимаемой жидкости имеют вид [9]
иих 4- гшу + тиг = ие иех + те иег + шуу-и‘тх + VII)у -|- тт2 = ие чюех 4- те тег чтуу]
ю
их 4- Чу 4- чюг = 0\
_у = 0; м = да = 0; v = v0(x,z);
у оо , и -* ие, т -» ше.
Введем безразмерные переменные:
х = л:/6; ^ =у\Ь у'Ие ; г — г/Ь; и = и/ие; V — vjvoa VКе ;
», = »>«,; йе = «е/«оо; Ие = и«Л'; а; = т!те,
где л:, з», 2 — прямоугольные координаты, ось у направлена по нор-, мали к поверхности; х, г — вдоль хорды и вдоль размаха крыла; Ь —
хорда крыла; к, V, да, ие, п)е, и
ГУоо—компоненты скорости течения по координатам х, у, г внутри пограничного слоя, на его внешней границе и в набегающем потоке; ч — кинематический коэффициент вязкости. Заметим, что при этом за характерную скорость набегающего потока взята величина и«,— составляющая скорости по направлению перпендикуляра к передней кромке крыла (фиг. 1), так как приводимые ниже результаты расчета относятся к случаю скользящего крыла с неравномерным по х и г отсасыванием.
Для безразмерных величин (черточки опустим) имеем
аеиих + юи + 11)е тиг = иех (1 - ы2) 4- ~1 (1 — ««») + «уу; (1 >
ие
*18)
ие ичюх + + те ттг = ие —^ (1 — ит) + (1 — ъу2) — (2)
е
ие и, 4- V, 4- &е тг = -иехи- чю„ да; (3)
у — 0; и = № — 0; V = у0(хг); у -* оо ; и 1; да 1.
Умножив уравнение (1) на <р' (и), а (3) на ср (и) и сложив, получим
»*(«?)* + (V?), + ™е(™?)г = иех(\-и2)^’ + ^е~ +
ие
4- «у, 9' — и„ и? — дагг да®.
Умножив уравнение (2) на /'(ю), а (3) — на /(«у) и сложив, получим
(«Д + («Д + «». (®/), = Ие ^ (1 — 1111))/' + Т£)е2(1 — т2)Г 4-
«V
+ - исх «/— “’/•
И
При интегрировании этих уравнений по у от 0 до оо сделаем замену переменных:
е“ Ж[ду~Ч“'х- 2)’
После интегрирования и несложных преобразований получим интегральные соотношения:
ие(\ и<рв'<*и-^ + | да=р6 йи\ =v9- + иех [ (1 - и2) Ми +-
'О /.к \0 'г ' ' ,б
и 1 1 1 1 "
+ дай (1 — иъи)<?'Ми — иех | щЬйи — ®'е2| да?6 йи — ]’ (4)
ие(^и/& йчю\ + да,, да/Фй-геА = ^о —^ т!' + тег |(1 —‘^2) йти -'г
4 0 / X О -2 . . О
«I 1 1 1 1
+ и^|(1~-ида)/'0^да—даег|да/2^да —не:г|й/2^да — -у- йда. (5)
г О О •, (I . о ш •
Отметим,1 что, поскольку исходные уравнения и преобразования симметричны относительно и, да, х, г, система интегральных соотношений также симметрична относительно и, да и х, г.
Следуя работе [4], в Д^-м приближении в качестве <р(и) и /(да) возьмем систему функций (1— и)п, (1—1С')Л, /1=1, ... , Л/; будем иметь 2тУ соотношений. Функции 6 (и, х, г) и 2 (да, л;, г) представлены с помощью интерполяционных многочленов через значения этих функций в точках ик, = Л/Л^, 6=0, ... , Л/—1:
0 = г _!_ /г X 6*2=: Г~да ^ г)Рк ^ (6)
й=0 й=0
где рк — многочлены степени ТУ— 1, в точках ик = к/Ат равные 1 —^ , а во всех остальных узлах обращающиеся в нуль.
В соотношениях (4) и (5) ряд членов представляет собой интегралы, содержащие в подынтегральной функции другую переменную. Зависимости и (да) и да (и) можно определить следующим образом: профили скоростей и (у) и ‘во (у) вычисляются по известным значениям 0* и 2Й с использованием представлений (6):
и и>
у = | Ми, у = | 2^да.
о и
Исключая из этих зависимостей координату у как параметр, получим функции и (да) и да (и). Таким образом, упомянутые выше интегралы есть функции от 6Й и 2*.
Практически вычисление этих интегралов осуществляется с использованием соотношений
Л^ —1 п 1
Значения вспомогательных функций г, д в узловых точках определяются из уравнений связи
Вычисляя из этих соотношений производные гкх, гк2, дкх и через производные от бй и 2* и используя их в соотношениях (4), (5), получим квазилинейную систему уравнений в частных производных относительно и 2*. В частных случаях течений около линии растекания [10] и на скользящем крыле [11] эта система преобразуется в систему обыкновенных дифференциальных уравнений.
Отметим, что существует другой способ получения интегрального соотношения, заменяющего (5). Этот способ аналогичен изложенным в работах [6], [7] и [8]. Основной переменной считается и или в противоположном случае но. Умножив (1) на '{и), (2)— на ср, (3) —на чюу, сложив и проинтегрировав с заменой переменной у на и, придем к частным производным от интегралов
^иякрв и . Использовав для получения зависи-
мости да (и) представление (7), получим систему уравнений в частных производных относительно 8Й и <7*. Однако результаты расчетов, проведенных для случая скользящего крыла, показали [11], что полученная таким способом система уравнений обладает меньшей точностью в описании трехмерного пограничного слоя, особенно в отношении характеристик профиля составляющей вектора скорости в направлении, перпендикулярном внешней линии тока, по сравнению с изложенным.
2. Система уравнений относительно 6* и 2^ имеет вид
где матрицы. А, В, ... Н есть функции х,, г, 0, 2.
В работе [12] показано, что возмущения в трехмерном пограничном слое распространяются вдоль линий тока (субхарактеристики системы дифференциальных уравнений) с местной скоростью течения и в нормальном к поверхности направлении (характеристики) путем диффузии. Зона влияния некоторой точки представляет собой цилиндрическую поверхность, направляющими которой являются линии тока, а образующие перпендикулярны стенке. Следовательно, течение в пограничном слое определяется граничными условиями на стенке и на внешней границе пограничного слоя и начальными условиями на некоторых поверхностях, перпендикулярных стенке, из которых линии тока попадают в исследуемую область.
Учитывая результаты работы [12], можно предположить, что система (9) является гиперболической. Начальные условия для
(8)
АЪх + ВЪг-\-С2 “ Шх 4- ЕЯг 4- О0Л
(9)
этой системы можно задать в случае стреловидного крыла на двух линиях растекания—критической линии и оси симметрии, в случае скользящего крыла —на критической линии и в направлении, перпендикулярном передней кромке.
Пусть на прямых 1А и 1В (см. фиг. 1) заданы значения Вк и Для составления конечноразностной схемы, аппроксимирующей систему (9), рассмотрим элемент сетки с шагом Ах, Аг. В точках 1, 2 и 4 значения 0А и известны, требуется найти их значения в точке 3. Используя ряд Тейлора для некоторой функции у(х, г) в окрестности точки О — центра элемента сетки
За:3 йг2
У —Уъ + У о х &Х + у0 г 82 +У0хх~2 Г Уо гг +
можно получить следующие соотношения:
I А*» Л*; (10)
* О О Л, *>1.
Уох= -Уя ~Уз±£'~* + £ Иг*; (11)
г Л п,к>\
Уйг = Уй :: -- + £ Дл:24 Дг2л; (12)
я, к>Л
У о = —+ Уо XX ^Г- + .Уо и Ч--Уо хг Ьх Д г +- X Ал2*Дг2л. (13)
^ ° ° п,к>2
Если пренебречь квадратичными членами и выразить из (10) значение уз через у0, подставить в (11) и (12) и записать систему (9) в точке О — центре элемента сетки, то получим систему нелинейных уравнений относительно Уо = {^1 2й}о. решить которую можно последовательными итерациями, а затем из (10) найти у3. Точность при этом равна 0(Дл:2, Дг2). Этот способ можно рассматривать как распространение методики, описанной для двумерного случая в [13].
Однако возможен и другой способ [3]. Система (9) записывается также в точке О, но если коэффициенты А, В, ... , Н вычислить по соотношению (13), куда входят известные величины у2, у а производные заменить выражениями (11), (12), то получим линейную систему относительно у,. При этом необходимость итераций отпадает, а порядок точности сохраняется. В конкретных примерах расчета были опробованы оба способа; второй способ требует примерно в четыре раза меньше времени.
3. В качестве примера расчета был рассмотрен случай скользящего крыла с неравномерным по х и г распределением отсасывания. Распределение коэффициента статического давления по поверхности крыла с углом стреловидности / — 35° приведено на
фиг. 2; видно, что огрыв пограничного слоя при отсутствии отсасывания имеет место при л; ^0,3.
Расчеты проводились при N = 4; Ах = 0,0005 ■+■ 0,001; Дг = 0,001 0,005,
точность расчетов проверялась путем сравнения с результатами, полученными при шаге, вдвое меньшем; признаков неустойчивости использованной конечноразностной схемы при этом не отмечалось.
х=0,т? .....
0,02$
1,5-
х-0,137. Т—ш(й) —щ(Ю
Х'0,1625
р—.
х=в,т
-
.
=Т=1
Фиг. 3
%
-2
-1
*5
/
15
х=0,1375
> /
/
0,025
/ |\ х-0,1 375 —*,т ыв(0)
£ \
(Л ч
*— — ■ —
0,025
Х‘0,15
~
^ У у N
ч Г— и -
0,025
X* 0,137$
\ -.1
и 0,025 7
4,(4) V X -0,1375
1,5 \ Ч
N.
1
0,025
1.5 1
1.5 1
V
1
Х'0,1?
•
I. ,
0,025
Х‘ 0,1625
-
0,025
Х-0,175
-
— —
0,025 Фиг. 4
х-0,1625
■
«в ч
0,025
ОМ г
Х= 0,175
0,025 ■0,05' г
Фиг. 5
На фиг. 3 и 4 приведены результаты расчета коэффициентов трения для распределения интенсивности отсасывания на стенке по закону
' X— хп \
Х — Х0
а
1
„--6 х-*о_{х Х-Л~°
а I а )\ Ь
■о0 = 0 вне области х0 <л: < х0 + а, г>£.
а
1
при г < 0;
при 0 <2 <6;
Расчеты проводились при л:0 = 0,125, а = 0,025, 6 = 0,025 (см. фиг. 3); 6 = 0,005 (см. фиг. 4).
Начальные условия для системы (9) при х = х0, z> 0 и х^>х0, z = 0 были взяты из расчетов на скользящем крыле. Видно, как изменяются величины иу(0) и ffi>j,(0) от величин, соответствующих скользящему крылу с отсасыванием, до величин, соответствующих случаю без отсасывания.
Результаты, приведенные на фиг. 5, соответствуют случаю
^„36*-*° (\ — ЛИ*А±.(\ _ *
0 а V а I ь V ь
z»0 = 0 вне области хй<^х<^х0 4- а, 0<z<6.
Приведенные результаты показывают, что практически влияние возмущения (в рассматриваемых примерах,— изменение скорости отсасывания) имеется в основном в области следа по направлению внешнего течения.
ЛИТЕРАТУРА
1. D е г J., R а е t z G. S. Solution of general three-dimensional laminar boundary layer problems by an exact numerical method, New York,
JAS, Paper No 62—70.
2. Шевелев Ю. Д. Численный расчет пространственного пограничного слоя в несжимаемой жидкости. Изв. АН СССР, МЖГ,
1966, № 5.
3. D w у е г Н. A. Calculation of three-dimensional and time dependent boundary flows. A1AA Paper, 1968, No 740.
4. Дородницын А. А. Об одном методе решения уравнений ламинарного пограничного слоя. .Прикладная механика и техническая физика', № 3, 1960.
5. Bethel Н. Е. On a convergent multi-moment method for the laminar boundary equations. The Aeronautical Quarterly, 1967, v. XVIII, pt. II.
6. Павловский Ю. H. Численный расчет ламинарного пограничного слоя в сжимаемом газе. „Журн. вычислит, матем. и математ. физ.“, т. 2, № 5, 1962.
7. Б а ш к и н В. А. Ламинарный пограничный , слой на бесконечно длинных эллиптических цилиндрах при произвольном угле скольжения. Изв. АН СССР,- МЖГ, 1967, № 5.
8. Баш кин В. А, Расчет уравнений пространственного ламинарного пограничного слоя методом интегральных соотношений. „Журн. вычислит, матем. и математ. физики", т.'8, № 8, 1968.
9. С т р у м и н с к и й В. В. Общая теория пространственного
пограничного слоя на произвольной поверхности. Труды ЦАГИ, вып. 693, 1956. -
10. Баринов В. А. Трехмерный пограничный слой в окрестности критической линии скользящего крыла при неравномерном отсасывании. .Ученые записки ЦАГИ“, т. Ill, № 1, 1972.
11. Баринов В. А. Расчет ламинарного пограничного слоя на скользящем крыле методом интегральных соотношений. „Ученые записки ЦАГИ“, т. Ill, № 5, 1972.
12. Wang К- С. On the determination of the zones of influence and dependence for three-dimensional boundary-layer equations. J. Fluid Mech.,
1971, v. 48, pt. 2.
13. Петухов И. В. Численный расчет двумерных течений в пограничном слое. Сб. „Численные методы решения дифференциальных и интенсивных уравнений и квадратурные формулы”. М., .Наука*, 1964.
Рукопись поступила 6jlV 1<Л2 г.
