Трехмерный пограничный слой в окрестности критической линии скользящего крыла при неравномерном отсасывании Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТРЕХМЕРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В ОКРЕСТНОСТИ КРИТИЧЕСКОЙ ЛИНИИ СКОЛЬЗЯЩЕГО КРЫЛА ПРИ НЕРАВНОМЕРНОМ ОТСАСЫВАНИИ

В. А. Баринов

Описывается численный метод расчета уравнений несжимаемого пограничного слоя, являющийся обобщением метода интегральных соотношений А. А. Дородницына на трехмерный пограничный слой. Приводятся результаты расчета характеристик пограничного слоя для различных законов распределения интенсивности отсасывания на передней кромке вдоль размаха крыла.

Важной особенностью обтекания стреловидного крыла является возможность распространения турбулентных возмущений по всему размаху крыла вдоль некоторой окрестности передней критической линии. На экспериментальном самолете с отсасыванием воздуха из пограничного слоя [1| было опробовано несколько способов предотвращения распространения возмущений. Один из них — применение отсасывания воздуха из окрестности критической линии через щели, расположенные перпендикулярно критической линии.

Решение задачи о пограничном слое в окрестности критической линии скользящего крыла при постоянной вдоль размаха крыла скорости отсасывания известно из работы [2|. Представляет интерес определение характеристик пограничного слоя при неравномерном распределении отсасывания.

Для течения на цилиндрическом теле, обтекаемом со скольжением, уравнения трехмерного пограничного слоя [3] и граничные условия имеют вид:

ди да . Ои 1 Ор д2 и

Умножим уравнение (2) на/'(та), а уравнение (3)—на /(да) и сложим; уравнение (1) умножим на <?'("). уравнение (3) —на <р (и) и также сложим. В результате получим

^ \ ^ / ч / д*и , /1 ,

ду (‘У<р) (#г = + (1 ~ и‘) ? — “?•

Введем функции

1

дтю/ду ’

О —

1

ди/ду ’

(5)

(6)

(?)

Тогда после интегрирования уравнений (5) и (6) по у при условии, что /(да) и »(и) дважды дифференцируемые и достаточно быстро стремящиеся к нулю функции при у -*• оо, получим интегральные соотношения

і і | те*?(и)Ь du — v0(f (0) - - J м?&йи -

іїи | <?' (1 —«г)6 du.

(9)

В Д^-м приближении в качестве /(да) и <р(и) возьмем систему функций (1 —да)" и (1 — и)п, где /1=1,2,..., (Л/— 1), и составим 2Ы—2 интегральных соотношений. Функции Й и 6 представим интерполяционными многочленами через значения функций в точках и„ », = //N [і = 0, 1...(Л/— 1)1:

.V —і

Й = т—її

А = 0 Л’-1

Є=!—Р. (и),

(Ю)

(II)

*=о

где рк(гV) и рк(и)— многочлены степени -V— 1, в точках и„ равные 1 —к/Ы, а во всех остальных точках обращающиеся в нуль; и 6* — значения функций О и 0 в точках и,, да, = 6/Л'.

В интегральных соотношениях (8) и (9) необходимо задать еще зависимости м(да) и «/(и). Эти зависимости можно определить следующим образом: профили скоростей да (у) и и (у) вычисляются по известным значениям и с использованием (10) и (11) из соотношений (7):

V/ и

у—\ у= [0(и)^й.

Исключая из этих зависимостей координату у как параметр, получим функции и (да) и да(и). Таким образом, входящие в интеграль-

1 1

ные соотношения (8) и (9) выражения | «/(то)2(/да и |да?(и)0 йи

(I о

есть функции от 2*, О*.

Практически вычисление этих интегралов осуществляется-с использованием соотно1иений

и = 1

гг; = 1 —

г (да) Щт) ’

</(и)

О (и) '

/V -I

Г(ю)= £ гк

А=0 /V—1

*=0

РчЫ

1 _ А *

/V

рЛч)

I - А л/

<7о —

(12>

(13>

Эти соотн01нения удовлетворяют граничным условиям (4). Значения вспомогательных функций г (да) и </(«) в узловых точках гк и I]к определяются по известным значениям 2,( и 0к из соотношений

к/А/ "II

= | Ыи' ГДе И* “ " ( ® = 1 ~ (14)

и

к N

— I Ьс/и =

| Яйи>, где да* = да | и = А | = 1 — у- . (15}

о о

Для получения уравнений относительно 2N функций 2* и используем 2N—2 интегральных соотношений (8) и (9) и две контурные связи:

ди /Л\ I I ^ /ПЧ

(0) “ 1 + ду(0): (0) = (0)>

которые с использованием аппроксимаций (10) и (И) запишутся в виде

£4*2* ~ г>о(*)2о ; £ 4*0* — г>06о — &о , (16)

*-0 к —0

где А„ — постоянные коэффициенты.

При умножении уравнений пограничного слоя на наиболее быстро стремящиеся к нулю функции (1—да)л/ и (1—и;* последующее интегрирование сводится к интегрированию на малом участке около стенки, поэтому использование контурных связей вместо интегральных соотношений при / = (1—®/)* и <р = (1 — и)” представляется вблизи стенки более точным.

Практически система дифференциальных уравнений для 4№ — 2 функций 2*, 0*, гк, qk^z) состоит из 2/У — 2 интегральных соотношений (8) и (9), двух контурных связей (16) и 2/У-2 продифференцированных соотношений (14) и (15). Значения переменных, соответствующие случаю бесконечного скользящего крыла, определяются из системы нелинейных алгебраических уравнений при условии 2* = 0* = гк= = 0.

Отметим, что можно получить еще и другое интегральное соотношение, если умножить уравнение (1) на f(w), уравнение (2) на и/'(ъи) и уравнение (3) на и/. После сложения и интегрирования по у с заменой переменных (7) получим

І іт/ЯсІїі) «=

2(0)

ї£> -

+1(і - 2иг)

(17)

Интегральное соотношение такого типа с использованием аппроксимации (12) применялось при расчете профилей скорости и температуры в сжимаемом пограничном слое [5]. Однако численные расчеты показали, что система уравнений, полученная с использованием соотношения (17), оказалась устойчивой лишь при малых значениях скорости отсасывания и0(г)~ — 2. При больших значениях х>0 решение начинает расходиться. Приводимые численные результаты были получены с использованием соотношений (8) и (9) при N=4.

Для оценки точности метода сравним результаты расчета по предлагаемому методу с точными данными [81:

Характеристики пограничного слоя

Результаты предлагаемого метода

й“ -ТГ <°>

дне

-д7 (0)

оэ

Ь*и = / (I — и) (іу

О

ос

V = I (1 —

3 к

и (I — и) (іу — | ю ( \ —ю) йу

о

00

=

о

со

!,2327 0.5703

0,6)7 1.027 0.292 0,406

Точные значения (81

1,2326

0,5705

0,648

1.026

0,292

0,405

Как видим, точность предлагаемого метода достаточно высока. В качестве примера приведем результаты расчета уравнений пограничного слоя для случая, когда скорость отсасывания задается

X { X \

на участке [ — а, 0| в виде параболы (г) = бг^ |--------Ь 1 , а вне

этого участка равна нулю. Результаты приведенных расчетов при различных значениях г>0Г| и а показали, что изменение характеристик

На фиг. 4 и 5 приведены результаты расчета для случая периодического расположения участков отсасывания. На расстоянии г=г:0,4 происходит установление режима: характеристики пограничного слоя перед некоторым участком отсасывания и соответствующие характеристики перед предыдущим участком отсасывания

и 2.0

одинаковы, т. е. возникает периодический пограничный слой с длиной волны, равной расстоянию между участками отсасывания. Видно, что колебание толщины потери импульса происходит около величины, соответствующей равномерному отсасыванию. Профиль N также колеблется; при этом имеют место существенные отклонения от случая равномерного отсасывания.

ЛИТЕРАТУРА

1. .Astronautics and Aeronautics', 1966, v. 4, No 7.

2. Sin ha K. D. P. The laminar boundary layer with distributed suction on an infinite yawed cylinder. London, 1956, CP, No 214.

3. С т p у м и н с к и й В. В. Обща» теория пространственного пограничного слоя произвольной поверхности. Труды 11АГИ, вып. 693,

1956.

4. Дородницын А. А. Об одном методе решения уравнений ламинарного пограничного слоя. .Прикладная механика и техн. физика', 1960, № 3.

5. Павловский Ю. Н. Численный расчет ламинарного пограничного слоя в сжимаемом газе. .Журнал выч. мат. и матем. физики”. 1962, т. 2, № 5.

6. Башкин В. А. Расчет уравнений пространственного ламинарного пограничного слоя методом интегральных соотношений. .Журнал выч. мат. и матсм. физики', 1968, т. 8, № 6.

7. Башкин В. А. Численное интегрирование уравнений пространственного ламинарного пограничного слоя на линиях растекания. .Журнал выч. мат. и матем. физики*, 1970, т. 10, № 6.

8. Шлихт инг Г. Теория пограничного слоя. М., Изд. иностр. лит., 1956.

Рукопись поступила IIVI 1971 г.