CC BY
45
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГ И
Том III
1972
№ 5
УДК 532. 526.3
РАСЧЕТ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ НА СКОЛЬЗЯЩЕМ КРЫЛЕ МЕТОДОМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
СООТНОШЕНИЙ
Описывается численный метод расчета уравнений несжимаемого трехмерного пограничного слоя на скользящем крыле, который является развитием метода интегральных соотношений А. А. Дородницына. Приводятся примеры расчета двух течений — при отсасывании газа через поверхность и без отсасывания. Результаты, полученные предлагаемым методом, практически совпадают с результатами расчета конечноразностным методом.
Метод интегральнкх соотношений, предложенный вначале для двумерного пограничного слоя в несжимаемой жидкости [1], был затем распространен на более общий случай течений сжимаемой жидкости [2], в том числе и для трехмерного течения на скользящем крыле или для конических течений [3, 4].
В работах [2—4] профиль скорости в пограничном слое вдоль размаха крыла и профиль температуры представлялись в виде полинома от компонента скорости, направленного вдоль хорды крыла. В настоящей статье при расчете несжимаемого пограничного слоя на скользящем крыле для профиля скорости вдоль размаха принято представление, аналогичное представлению для профиля скорости, направленной вдоль хорды крыла. В такой постановке ранее была решена задача о пограничном слое в окрестности критической линии скользящего крыла [5]. Предлагаемый метод расчета можно рассматривать как распространение метода [1] на трехмерный пограничный слой.
Уравнения пограничного слоя в несжимаемой жидкости на скользящем крыле с неизменным вдоль размаха профилем имеют вид [6]
В. А. Баринов
дх + ® ду ~~* ду» ’ дх + ду ~ °’
и — тю = О, V = ъ0(х) при у = 0; и -» ие, тю -» те при _у ^ оо.
Произведем замену переменных:
х~— й=>-2-1/Р? ,7 _ ие ™
л •У-*~ГУЯе’
■ х
^Йё, « = — , да = —, $ = \йейх, Ч1 = й,у, и„ ’ и ’ но, У
51_в + 4.-Ь.^ Ке=“нА,Ке„=^±^.
и, Л * *
Здесь принято: х, у, г — координаты в направлениях, перпендикулярном передней кромке, по нормали к поверхности и вдоль размаха соответственно; Ь, «со, — длина хорды и компоненты скорости набегающего потока в направлениях х и г; V — кинематический коэффициент вязкости.
Для безразмерных величин (черточки опустим) имеем:
ди , да 1 йие ,л , д2и ,1ч
и—-+г>1—- = —-—е- (1 —■ и2) + -; 1)
# д-ц иеа\ <^2
+ (2>
ж + ^=0; <3>
и = т = 0, (£) при •») = 0; и, <т -* 1 при т] -» оо.
Умножив уравнение (1) на /'(и), (3) — на /(и) и сложив, получим
ЖМ + ^'Я-Х1Г«+Гт£- <4>
Умножив уравнение (2) на ф'(®) и (3) — на ®(ге)) и сложив, получим
д ! \ г & /■ л , д2 ни
+ • »5>
При интегрировании уравнений (4) и (5) по т] от т) = 0 до г( = оо
сделаем замену переменных:
" 1 В = -Дя-. (6)
ди/дц ’ дю/дт}
. После интегрирования и несложных преобразований получим интегральные соотношения:
= „0/(0)+ 1 6/' (1 - «2) йи - | ^йи,
0 0 0
А- jQufdw^vMO)-У^-j?Qdw.
о
(?)
В М-м приближении в качестве /(и) и у(и>) возьмем систему функций (1—и)п, (1 — т)п, «= 1,...,М и составим 2М интегральных соотношения. Функции 6 и 12 представим интерполяционными
, „ к многочленами через значения функции в точках ик,
& — 0,..., М — 1:
| М-1 | м—1
*=0 к-0
к
где рк — многочлены степени М— 1, в точках Ий=д* равные
£ е* (*)/>*(«); 2 = (8)
А м
1 —-д^-, а во всех остальных узлах обращающиеся в нуль, Ьк и
&
2* — значения функций 6 и 2 в точках и, т — к — 0,...,М—1.
Во втором из интегральных соотношений (7) необходимо найти зависимость и (ни). Эту зависимость можно определить следующим образом: профили скоростей и(т[) и ту (т)) вычисляются по известным значениям и 2* из уравнений (6) с использованием представлений (8):
а и>
71 = |бй?и, г, = | 2а? и;, о о
Исключая из этих зависимостей координату -ц, получим функцию
и(11)). Таким образом, | 2и<р йио есть функция от 0* и 2А.
о
Практически вычисление этого интеграла осуществляется с использованием соотношений
Г(И)) ^ р (да) .
м — 1 о ’ г==£ Гк к ’ г« = 2°- <9>
*=° 1 ~ -тг
М
Значения вспомогательной функции г (те») в узловых точках определяются из уравнений связи
к
/ ь м 1
———^=^2йи)= § Ыи, А=1,...,Л1—1. (10)
Назовем описанный метод расчета методом 1. Конкретные расчеты проводились при М = 4.
Приведем систему определяющих уравнений, при этом уравнения для Ьк возьмем из работы [7] и возвратимся от переменной \ к переменной х:
, _ и Сы
г =
еЮ
1 — • •> 4; Л-1,....4; У = 1,2,3; 5=1,2,3;
повторение индексов I, ] в произведении означает суммирование,
Л.
2.
и,= 1
Ио
/> = 200; 55/3; —30; 35;
97 129 —31 3 940 —3424/3 280 -96
137/72 75/8 43/8 23/72 133/6 244/9 -139/3 -4
-37/2 -45/2 17/2 1/2 . у С -532/3 688/3 -52 16/3
177/8 195/8 —149/8 41/8 443/2 —1060/3 175 —36
£ =
4/15 1/15 4/45 -7/90 1/2 -1/6 1/6
1/5 1/30 1/45 ; Д = 0 1/5 1/30 1/45
17/105 1/210 1/105 1/252 3/20 1/60 1/180
2/15 -1/105 2/315 1/252 17/140 1/420 1/420
? = у ^ (и), 37\ (и), Та (и), -1- Тъ (и);
32и3
; Тх — — 1л (1 — и) — и + и2---------------------— и3;
3 3
и3; Г, = — 31п (1—и) — 3 и — и2
ия\
Т0 = 31п(1 — ы) + 6и — 8и2 Г2 = 31п (1 — и) + Зи + —
3 о
рй = -1- |з — 22и -Ь48и* — 32и3); /?! = 3(Зи - Юн* + 8и3);
рг = — Зи + 16и2 — 16и3; рй=.~-(и — 6и2 + 8и3).
Начальные значения в окрестности критической линии х = 0 имеют вид
6, Я, г = А, У \
1,147753; Л, = 1,400804; А
1 йие
2 йх * II О
х,
где л0 = 1,14//ьа; д^мтклм; л2= 1,892995; А3 = 3,189265;
A^ = 2,480760; Аь = 2,531505; Л6 = 2,830786; Л7 = 3,944917;
Л8= 1,399886; Л9 = 0,740184; Л,0 = 0,333449.
Если умножить уравнение (1) на и»/' (и), уравнение (2) — на/(и),
а (3) — на 1&/(и) и затем сложить и проинтегрировать, то можно
получить интегральное соотношение, в котором необходимо вычи-1
слить интеграл {Ыwfdu. Зависимость да (и) можно представить
о
в виде (9):
ЛГ—I
ни
Як
рЛи)
, Яо — ®о-
м
Из интегральных соотношений при /=(1 —и)", п-= 1,.. .,М — 1 можно получить дифференциальные уравнения для дк,!г= —
Этот метод, назовем его методом 2, аналогичен изложенным в работах [2—4].
Точность различных модификаций метода интегральных соотношений оценим путем сравнения с результатами расчетов конечноразностными методами [8]* и [9].
В первом примере расчета рассмотрим течение без отсасывания.
На фиг. 1 приведено соответствующее углу стреловидности X = 35° характерное для крыловых профилей распределение коэффициента статического давления р = />ао2 и формпараметр
оо ^ сю
где 8** — толщина потери импульса для профиля и {у). отрыв пограничного слоя происходит при х = 0,3. приведены результаты
/
Видно, что На фиг. 2 расчета безразмерного профиля ско рости в направлении, перпендикулярном линии тока на внешней
Р
-1
к= 550
-Р
к
N V & Г \ X
-01— V
Фиг. 1
Ке,
УИе
0,5
\ = 35°
О О
' ^0
/ 7
1 —■— метод 7 п 2 о ко/гечноразнвстный метод С#]
0,20
015
010
ЪГ х-0 гУ \
7 / \ \
( \ А
/
1 * \
\ \
А Р ч
\
* г метод 1 \ 2 | о яонечноразяост-ный метод \_6]
0,05
и-ьт
0,1
0,02
-0,02
-ОМ
05
г Х=0,125
-
N
- £=0,20
—Л!
■ч
0,5
Т х=0,25
ЯР а.
Фиг. 3
Фиг. 2
границе пограничного слоя и — 'ии = МУи.2е-\- ,гю'ге1и,е'1ае. Результаты сравнения показывают, что метод 1 позволяет получить более точное описание течения в пограничном слое, чем метод 2.
* Расчеты по методу [8] были выполнены А. В. Зубцовым.
На фиг. 3 приведены значения чисел , где Л^ах—
максимальное значение скорости в направлении, перпендикулярном внешней линии тока, 80,1 — расстояние от стенки, при котором величина N равна 0,1 1Утах. Этот график также показывает, что точность метода 1 существенно выше.
Пе^23}7-10еу \=30°{_10'_
г* )Д
- / г
, у
У
У
г* •т 1 1
-/ У метод / о ионечноразностный метод [V] * я »
0 № в£0 0,75 х
Фиг. 5
В качестве второго примера рассмотрим случай при наличии отсасывания. На фиг. 4 приведено распределение коэффициента давления р и интенсивности отсасывания. На фиг. 5 представлены результаты расчета чисел Иел? методом 1 и конечноразностными методами [8] и [9]. Видно, что эти результаты хорошо согласуются.
Более высокую точность метода 1 по сравнению с методом 2 можно объяснить тем, что для описания профиля да (у) используется лучшее представление в форме (8) и в четвертом приближении четыре параметра —20. 2з. а по методу 2 только три— цу,
^2, <73. Правда, при этом число дифференциальных уравнений возрастает до 11 вместо 7 [или до 8 вместо 7, если гк определять непосредственно из соотношений (Ю)], однако точность результатов оправдывает большие затраты машинного времени
1. Дородницын А. А. Об одном методе решения уравнений ламинарного пограничного слоя. „Прикл. механика и технич. физика*. I960, № 3.
2. Павловский Ю. Н. Численный расчет ламинарного пограничного слоя в сжимаемом газе. „Журн. вычисл. матем. и матем. <физ.“, т. 2, № 5, 1962.
3. Башкин В. А. Ламинарный пограничный слой на бесконечно длинных эллиптических цилиндрах при произвольном угле •скольжения. „Изв. АН СССР — МЖГ\ 1967, № 5.
4. Б а ш к и н В. А. Расчет уравнений пространственного ламинарного пограничного слоя методом интегральных соотношений. „Журн. вычисл. матем. и матем. физ.“, т. 8, № 6. 1968.
5. Баринов В А. Трехмерный пограничный слой в окрестности критической линии скользящего крыла при неравномерном отсасывании. .Ученые записки ЦАГИ“, т. Ill, № 1, 1972.
6. Струминский В. В. Общая теория пространственного пограничного слоя на произвольной поверхности. Труды ЦАГИ, лвып. 693, 1956.
7. Лю Шэнь-Цюань. Расчет ламинарного пограничного слоя в несжимаемой жидкости при наличии отсоса или вдува. .Журн. вычисл. матем. и матем. физ.“, т. 2, № 4, 1962.
8. Петухов И. В. Численный расчет двумерных течений в пограничном слое Численные методы решения дифференциальных и интенсивных уравнений и квадратурные формулы. М., „Наука", 1964.
9. Der J., Raetz Q. S. Solution of general three-dimensional laminar boundary-layer problems by an exact numerical method. New York, 1962 (IAS Paper, No 6270).
10. Pfenninger W., Bacon J. W. About the development of ■swept laminar suction wings with full chord laminar flow. .Boundary layer ■and flow control-, vol. 2. Oxford and oth., 1961.
Рукопись поступила 221X11 1971
