CC BY
25
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том V
197 4
№ 2
УДК 532.526.3
О ГИПЕРБОЛИЧНОСТИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ИМПУЛЬСОВ В ТРЕХМЕРНОМ НЕСЖИМАЕМОМ ЛАМИНАРНОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
Излагается метод расчета несжимаемого пространственного ламинарного пограничного слоя, основанный на использовании интегральных уравнений импульсов. На основе расчетных данных для скользящего крыла показано, что определяющие уравнения являются гиперболическими. Приводятся угловые коэффициенты характеристик в различных точках вдоль хорды.
Расчет течения в пространственном пограничном слое представляет одну из актуальных задач современной аэродинамики. Наряду с точными методами ([ 1 —3] — конечноразностные методы, [4| — метод интегральных соотношений) приближенные методы расчета [5—9] применяются для исследования трехмерного пограничного слоя.
Для плоского пограничного слоя К. Польгаузен [10] предложил простой и физически наглядный приближенный метод. Этот метод был распространен на случай пространственного пограничного слоя на скользящем крыле В. В. Струминским [5]. В настоящей статье приводятся соотношения для пространственного пограничного слоя на поверхности, допускающей введение декартовых координат. Эти соотношения позволяют выяснить характерные особенности пространственного пограничного слоя.
1. Уравнения пространственного пограничного слоя для несжимаемой жидкости имеют в декартовых координатах вид [П]
В. А. Баринов
иих + юиу + чюиг = ие иех + те иег + шуу, и<Шх + VI!) у + ‘Ш'0)г = ие 10 ех + ЧЮе Шуу;
их + чу + = 0;
у = 0, и —10 = 0, V = 0;
_у-»оо, и-+ие, 10-±ТЮе,
(0
где х, у, г — прямоугольные координаты вдоль хорды крыла, по нормали к поверхности и вдоль размаха крыла, и, V, но — соответствующие компоненты скорости.
Введем следующие определения и безразмерные переменные
— х — г — у ~ гп~ — а — 10) ир
х= , г = -т- , _у = -£- у Ке, и = — , т = — , м = — ,
о ’ о ’ Ь ' ’ ие ’ те ’ е ^оо
— Щ1е „ иГГ Ь
1$) — — Ке —-----------------------
е ~~ х)оо ’ V ’
00 СО 00
| (1 — и)йу, 82 = | и(1 — и) с1у, \= §ш>(1 — и)йу,
ООО
со со со
^1= | (1 - 'а>)йу, ?2 = |да(1 — чо)йу, Тз= |и(1 — чю)йу,
0 0 о
где Ь — хорда крыла, г>оо — скорость невозмущенного потока. Интегрируя уравнения (1) по у от 0 до оо, получим
«в 82 х + 83, = Иу (0) — 43)е ^-(Т! + ь9) — иех(§! + 282) — чюех 83,
«в Тз х ч- ®,Т» г = ®У (°) — (81 + Тз) — Щ г (т.1 + 2т2) - Тз
(2)
е
(черточки в обозначениях опущены).
Интегральные соотношения такого типа используются во всех приближенных методах [5—9].
Следуя работам [5], [10], принимаем зависимость скоростей и(у) и (у) в виде полиномов четвертой степени:
« = ?(-£-), ®=/(-у-)> (3)
где 8, у — толщины пограничного слоя.
Коэффициенты полиномов определим из следующих условий:
у = 0, и = и> = 0, ие иех + 1И}еиег+ иуу (0) = О, ие чюех + чюе чюег + туу (0) = О,
^ = 8, и=1, иу = иуу — О,
_У=Т, гг>=1, му = туу = 0.
Определенные из системы (4) коэффициенты будут зависеть от формпараметров
*= (»« Р=(“'м+ив^-г2. (5)
Используя зависимости (3), можно определить все величины, входящие в уравнения (2):
(4)
-^ = /ч(л), = = Г8(Х,!х,/г), я =
Подставив соотношения (6) в уравнения (2), получим систему уравнений в частных производных относительно 8, у, которую можно решить конечноразностными методами, аналогичными изложенным в работах [1—3].
Как и в двумерном случае, целесообразно перейти от форм-параметров X, ¡х к формпараметрам
определить, используя точные автомодельные семейства профилей скорости. Одним из таких семейств профилей является семейство профилей Фолькнера—Скэн. Для расчета течения на скользящем крыле можно взять семейство профилей Кука, соответствующее следующему распределению скоростей на внешней границе: Ч'.'—'Х"1, we = const [12].
2. В работе [13] приведено исследование зон влияния несжимаемого течения вязкой жидкости на основе уравнений Навье — Стокса и уравнений трехмерного пограничного слоя. Показано, что распространение возмущений в течении Навье —Стокса происходит за счет бесконечно большой скорости распространения возмущений давления и вязкой диффузии. Это обусловливает эллиптичность уравнений. В уравнениях же пограничного слоя давление есть известная функция координат, а в результате процесса вязкой диффузии передача возмущений с бесконечно большой скоростью происходит лишь в направлении оси у, возмущения же по осям х, z передаются путем конвекции вдоль линий тока. Это вызвано тем, что при выводе уравнений пограничного слоя из общих уравнений Навье—Стокса пренебрегается членами, учитывающими вязкую диффузию по осям х и z.
Таким образом, если в течении Навье —Стокса процесс диффузии и процесс распространения невязких возмущений с бесконечно большой скоростью звука превалируют над процессом передачи возмущений путем конвекции, то в пограничном слое конвекция становится основным процессом, обеспечивающим распространение возмущений вдоль осей х, z, а это приводит к конечной скорости распространения возмущений вдоль осей х я z в несжимаемом пограничном слое.
В связи с изложенным следует ожидать, что поскольку в уравнениях импульсов выполнено интегрирование по у, то при конечной скорости распространения возмущений они должны быть гиперболическими. Для проверки этого предположения выпишем
и характеристические функции
из системы уравнений (2) систему уравнений лишь для производных от 82 и у2:
ие\х + (Рз + 2/„/>3/ц + &/?Зй) 82 2 + ®Д2/да/?3/щ — к2Рз к) Т2г= • ■ •
ие (2Л + <3г *) »2 л + ие ^3+2/^ (¿з/^—кЯц *) ъ х + ™е Ъг= • • • • | (7>
Характеристическое уравнение для системы вида
Дц 82 дт + а\2 Ъ х + ^11 82 г + ^12 Тг г = • • • >
а11 82 л: + а22 Т2 ^ + ^21 82 2 ~Ь ^22 Т2 г = • ■ • можно записать следующим образом [14]:
¿#ц, ¿>12 ^]2
'21 '
22
¿а
22
= 0.
Следовательно, характеристическое уравнение для системы (7) имеет вид
(р3 + 2/и />з/в + кРз к) ~ ¡4. (2/да />з/в — к- /?з к)
— Ч2 /„ -г* + <3з «е, 4Юе—Ые (Я3+2/ш «Зз/^—¿С2з*)
= 0, (8)
где t = dy¡dx — тангенс угла наклона характеристики к оси л:.
ДО
Из уравнения (8) видно, что можно представить Ь=—1е-т, при
этом величина т зависит от конкретных значений формпарамет-ров /в, /ц,, для чего необходимо произвести расчет конкретного случая.
В качестве примера расчета было взято течение на скользящем крыле с углом стреловидности х = 35°. Распределение коэффициента статического давления р =Р 2^°° приведено на фиг. 1,
Р^со/2 ,
здесь же приведено изменение по х формпараметра/„ = —-—. Видно, что отрыв пограничного слоя имеет место при
В случае скользящего крыла имеем /ш = 0. Расчет характеристических функций = Ьт = п)„~{г, р3, С1з производился с
использованием семейства профилей Кука [12], при этом для профилей скорости использовались более полные и более точные численные результаты, полученные М. А. Алексеевым.
Фиг. 2
На фиг. 2 приведена зависимость /?3(/н, А). Сравнение данных по описанному способу (трение, толщины 82, у2) с результатами расчета по точным методам показало хорошую сходимость приближенного метода.
Используя полученные расчетные данные, было установлено, что уравнение (8) имеет в каждой точке два действительных корня. Это означает, что уравнения импульсов являются гиперболическими.
т
1
т м У с 1
о / /
О О /
1 г
/ о° /
\ л [°° у> 77,, £
¿.С №
ро. г
5'
02
0,1
1
2- А
Г
© 1 /
о ?/
N ^ . 5^
/ N О, к
/ >оО- \ 3
у 7
0 0,1 0,2 0,3 £ 0 0,1 0,2 0,3 х
/—характеристики; 2—внешняя линия тока; 3—предельная линия тока;
4-критическая линия; 5—линия отрыва
Фиг. 3
Численные значения угловых коэффициентов характеристик приведены на фиг. 3, где они сопоставляются с угловыми коэффициентами линии тока на внешней границе tg а = ~ и предельной линии
А ^ и>е™у(0) 0
тока, т. е. линии тока при у 0, а = —- —ш . Здесь же приведены
Не Чу (У))
две характеристики, внешняя и предельная линия тока, исходящие из точки с координатами х = 0,01; 2 — 0. Видно, что область влияния, определяемая характеристиками, приближенно совпадает с областью течения, ограниченной внешней и предельной линиями тока.
Установление типа уравнений имеет значение при постановке краевых задач. Согласно работе [13] и полученным в настоящей работе результатам для решения задач о пограничном слое, например, на стреловидном крыле, необходимо задать начальные значения на оси симметрии крыла и на передней критической линии.
ЛИТЕРАТУРА
1. DerJ., Raetz G. S. Solution of general three-dimensional laminar boundary layer problems by an exact numerical method. New York, IAS Paper No 62-70.
2. Ш e в e л e в Ю. Д. Численный расчет пространственного пограничного слоя в несжимаемой жидкости. „Изв. АН СССР, МЖГ“, № 5, 1966.
3. Dwyer Н. A. Calculation of three-dimensional and time dependent boundary flows. AIAA Paper, No 740, 1968.
4. Баринов В. А. Расчет пространственного ламинарного пограничного слоя в несжимаемой жидкости методом интегральных соотношений. „Ученые записки ЦАГИ“, т. IV, № 1, 1973.
5. Струминский В. В. Теория пространственного пограничного слоя на скользящем крыле. Сб. теоретических работ по аэродинамике. М., Оборонгиз, 1957.
6. Z a a t J. A simplified method for the calculation of three-dimensional laminar boundary layer. Сб. „Verslagen en verhandelingen Nat. Lucht-vaartlaboratorium“. Amsterdam, vol. 21, 1959.
7. С о о k e J. Approximate calculation of three-dimensional laminar boundary layer. „ARS R&M“ № 3201, 1961.
8. Eichelbrenner E., Oudart A. Methode de calcul de la
■couche limite tridimensionale. Application a un corps fusile incline sur le
vent „ONERA Publ“ No 76, 1955.
9. Lindfield A. W., Pinsent H. G., Pinsent P. A. Approximate methods for calculating three-dimensional boundary layer on a ■wings. Сб. »Boundary layer and Flow Control. Its Principles and Application“. Oxford and others, vol. 2, 1961.
10. Pohlhausen K. Zur naherungsweisen Intergration der laminaren Differentialgleichung der laminaren Reibungsschicht. ZAMM, В. 1, 1921.
11. Струминский В. В. Общая теория пространственного пограничного слоя на произвольной поверхности. „Труды ЦАГИ“, вып. 693, 1956.
12. С о о k е J. С. The boundary layer of a class of infinite jawed
cylinders. „Proc. Camb. Phil. Soc.\ vol. 46, 1950.
13. Wang К. C. On the determination of the zones of influence and dependence for three-dimensional boundary layer equations. J. Fluid Mech., vol. 48, 1971.
14. Б e p e з и н И. С., Жидков H. П. Методы вычислений. М., ■Физматгиз, т. II, 1962.
Рукопись поступила 3/ VI 1973 г .
