CC BY
72
УДК 539.3
Н.Н. БЕЛОВ, д-р физ.-мат. наук, профессор,
Н.Т. ЮГОВ, д-р физ.-мат. наук, профессор,
Д.Г. КОПАНИЦА, д-р техн. наук, доцент,
С.А. АФАНАСЬЕВА, канд. физ.-мат. наук, СНС,
А.А. ЮГОВ, асп.,
П. В. ДЗЮБА, МНС
РАСЧЕТ ПРОЧНОСТИ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ПЛИТ ПРИ ВЫСОКОСКОРОСТНОМ УДАРЕ*
Предложена математическая модель, описывающая в рамках механики сплошной среды поведение железобетона в условиях высокоскоростного удара и взрыва. Методом компьютерного моделирования в диапазоне скоростей удара 50-500 м/с исследован процесс ударного взаимодействия компактного стального цилиндрического ударника с бетонными и железобетонными прямоугольными плитами.
Введение
Несмотря на то, что в настоящее время довольно много работ посвящено математическому моделированию процессов соударения твердых тел с различными мишенями (монолитными, слоистыми, слоисто-разнесенными) из металлов, керамики, композиционных материалов [1-4], вопрос о расчете процесса пробития твердыми телами железобетонных плит остается открытым.
В [5] содержатся данные экспериментальных и теоретических исследований по ударному взаимодействию тел цилиндрической формы с оживиль-ной головной частью с бетонными и железобетонными плитами в диапазоне скоростей удара 100-650 м/с и углов встречи 0-400 (от нормали к поверхности преграды). К проблеме динамического разрушения бетона используется феноменологический подход. Проведено решение задачи о взаимодействии жесткого идентора с бетонными плитами в двумерной осесимметричной постановке. Диаметр ударника в проведенных экспериментах выбирается меньше характерного размера армирующей сетки. Сделана оценка влияния армирования бетона на характер взаимодействия тела с преградой. Арматура моделируется ячейками, жестко закрепленными в начальном положении. Положение «замороженных» ячеек определяется конструкцией и расположением в преграде армирующих сеток. Размер этих ячеек подбирается из условия равенства площади сечения арматуры их площади. Там же делается вывод, что армирование бетонной преграды улучшает ее несущую способность, препятствуя общим разрушениям, но не оказывает заметного влияния на характер местного разрушения, а также что армирование бетона не оказывает значительного влияния на процесс проникания тел в типовые железобетонные преграды. Однако такой подход завышает влияние арматуры из-за допущения абсолютной её жесткости и не позволяет правильно копировать конструкцию сеток. Он
* Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ №04-01-00856.
непригоден, если диаметр ударника больше характерного размера армирующей сетки.
В данной работе предлагается математическая модель, описывающая в рамках механики сплошной среды поведение железобетона в условиях высокоскоростного удара и взрыва. Основанная на ней методика расчета позволяет рассчитывать в полной трехмерной постановке ударное взаимодействие твердых деформируемых тел с конструкциями, содержащими слои бетона и железобетона, и в случае, когда характерный размер ударника больше размера армирующей сетки.
В [2] приведена математическая модель, позволяющая описывать поведение твердых деформируемых тел в условиях высокоскоростного удара и взрыва.
Отрывное разрушение в ней рассматривается как процесс роста и слияния пор в пластически деформированном материале под действием растягивающих напряжений.
Локальным критерием прочности материала при таком подходе является предельное значение относительного объема пустот. Локальным критерием сдвигового разрушения служит предельная величина пластических деформаций. Решение задачи об ударном взаимодействии ударника произвольной формы с железобетонными плитами будем проводить в рамках модели пористого упругопластического тела [2].
Удельный объем пористой среды и представим в виде суммы удельного объема матрицы ит и удельного объема пор ир. Пористость материала характеризуется относительным объемом пустот 2, либо параметром а = и/ит кото-
Система уравнений, описывающая движение пористой упругопластической среды и включающая в себя законы сохранения массы, импульса и энергии, имеет вид:
1. Математическая модель
1
рые связаны зависимостью а
1 —
л л 2
где ґ - время; V - объем интегрирования; S - его поверхность; п - вектор
АЛЛ Л
нормали к поверхности, 7 = — р g + 5 - тензор напряжений; 5 - его девиатор;
А
р - давление; g - метрический тензор; и - вектор скорости; т- — и
Е = 8 + и------полная удельная энергия; в - удельная внутренняя энергия;
2
А А ґ А А Л А
е = ё — I ё : § I §/3 - девиатор тензора скоростей деформаций;
А / ч А1 ААААА
ё = ( + УиТ 1/2 - тензор скоростей деформации; 5 = 5+ 5-а- а 5 -производная девиатора напряжений в смысле Яуманна - Нолла;
1 (0 -сіо + 12Ді0)
Д = Ді0 ( Ч)
9рт 0 СІо + 8Мі
7т - эффективные модуль сдвига
и предел текучести соответственно; ш = (мТ — Ум )2 - тензор вихря;
Яше, Рт0, сто - константы материала; п = 1 — Рт0 и; Ушо - коэффициент Грю-
а
найзена матричного материала. Параметр X исключается с помощью условия текучести.
Для замыкания системы (1) уравнение, описывающее изменение параметра а при растяжении, взято в виде [2]
. 2/
(а —1)13 Ар (2)
ёа = — (а0 — 1)3 , ч і
& п
1
Оно используется при Ар = р + —L Ьп I--------I < 0.
а ^а-1 у
ёа _ ^
В противном случае -----= 0. Приняты следующие обозначения: а0 - началь-
Ж
ная пористость в материале; Пь ^ - константы материала.
Для металлов —т = —, где —8 - предел текучести материала матрицы. а
При а = а0 = 1,0003 и X = 0 система уравнений (1) описывает деформирование матричного материала в рамках модели упругого тела.
Бетон при динамическом нагружении до разрушения описывается моделью линейно-упругого тела, обладающего физико-механическими свойствами бетона. После разрушения - это упругопластическое, изотропно-упрочняющееся тело с физико-механическими свойствами гранулированной среды. Сопротивление сдвиговым деформациям такой среды во много раз меньше, чем в бетоне до разрушения, и она не может сопротивляться растяги-
вающим напряжениям. Для разрушенного бетона предел текучести зависит от давления и определяется по формуле
)Р
°г — ашт +
(а -а
V шах шт,
(а -а ■
V шах шт
)+Кр
где к1 = 0,82; ашт = 0,0077 ГПа; ашах = 0,0216 ГПа.
В качестве условия прочности используется критерий, предложенный для бетона в [6]
312 - [А11 + В]
1 -С1 - с)
(3)
где 11, 12, 13 - первый инвариант тензора напряжений, второй и третий инварианты девиатора напряжений, соответственно:
Яс - Яр:
В = ЯсЯр;
3Т2
С = с
ЯЯр
Яс, ЯР, Тс - пределы прочности при одноосном сжатии, растяжении и чистом сдвиге.
Поверхность (3) для изотропных материалов должна отвечать условию выпуклости (в соответствии с постулатом Друккера и Хилла), которое накладывает следующее ограничение на расчетные параметры
Т
0,530 < -
■ < 0,577.
Численные значения А, В, С определяются через пределы прочности бетона при растяжении, сжатии и сдвиге, полученные при динамическом нагружении [7]. При расчете железобетонных плит слой бетона с арматурой заменяется упругопластической средой (рис. 1), представляющей собой гомогенную двухфазную смесь материалов стали и бетона, начальная плотность которой р0жб определяется по формуле
р0жб — ^1р0с + "V2р0б , где у1, у2, р0с, р0б - начальные объемные концентрации и плотности стали и бетона (у1 + у2 = 1).
Объемные концентрации определяются через площади, занятые сталью и бетоном в сечении, перпендикулярном направлению арматурного стержня:
V! —
4^1 • п 4Ь '
V 2 —1-^
где Ь - длина, п - число прутков в полосе на длине Ь, й1 - диаметр прутка. Уравнение состояния железобетона (смеси) имеет вид
р [1 -М|л
ГОжб^О I 1 2 I 1
Р =-----------Т2-^ + ГРожб
(1 - дп)
П = 1 - р0жб - и , где и - удельный объем смеси, у0 - коэффициент Грюнайзена, 1
и0 жб
0 жб
железобетон
Iа1
• О О О С) о •
1 Т г т прутки/ 1
стальные бетон /*
о о о о о о о
, /
бетон
Рис. 1. Схема железобетона
Коэффициенты с0 и д линейной зависимости скорости ударной волны Б в смеси от массовой скорости и Б = с0 + ц-и определяются через ударные адиабаты компонент смеси: Д- = сю + - и1 (/ = 1, 2).
В переменных (и, р) ударная адиабата смеси имеет вид:
>(р )=!
ш.
і=1
р 11
—— +-------
рі 0 Сі0 4 2
VгPг 0
где т1 = —^-----массовые концентрации стали (1 = 1) и бетона (1 = 2) в арми-
Р,
0 жб
рованном слое бетона (ш\ + т2 = 1, р!0 = р0С, р20 = р0б)
Используя для смеси соотношения на ударной волне
В = и
0 жб л
и0 жб -и(Р)’
и =
можно построить зависимость скорости ударной волны от массовой скорости и определить коэффициенты с0 и д.
1 2
Скорость звука с0 можно рассчитать и по формуле — = ^
V
і=1 сі 0
Коэффициент Грюнайзена у0 для смеси определяется через коэффициенты Грюнайзена компонентов у ю
2
С
і0
иі0
2
и0жб = ^ т и0г
У0 .'=1 ' У. 0 '
Модуль сдвига смеси и и предел текучести ст определяются по формуле
1
и=—--------—, = т1°,1 + т2^, 2 ,
Ч + 2
и01 и02
где ц0.,оя- (. = 1, 2) - соответственно модули сдвига и пределы текучести компонентов смеси. В отличие от бетона, который разрушается хрупко, гомогенная двухфазная смесь стали и бетона разрушается так же, как пластичные материалы. Локальным критерием отрывного разрушения при таком подходе, как уже указывалось выше, является предельная величина относительного объема пустот ^*. Локальным критерием сдвигового разрушения является критерий, основанный на предельной величине работы пластической деформации Ар*. Считается, что при Ар = Ар* элемент материала разрушается. В нем появляются трещины, раскрытие которых происходит при возникновении растягивающих напряжений. Разрушенный материал ведет себя как гранулированная среда, которая выдерживает сжимающие и сдвиговые усилия, но не выдерживает растягивающих напряжений.
2. Результаты расчета
Исследование влияния армирования бетона на ударное взаимодействие с металлическими ударниками, характерный размер которых больше характерного размера армировочной сетки, проведено на примере решения следующей задачи. Стальной цилиндрический ударник массой 164,6 кг, высота которого к равна диаметру ё0 и равна 300 мм, взаимодействует с железобетонной плитой толщиной Н0 = 600 мм со скоростью и0.
Армирование плиты выполнено двумя сетками с ячейкой 120x120 мм арматурой класса А-Ш диаметром 32 мм. Сетки симметрично расположены в плите относительно её срединной поверхности с защитным слоем 30 мм. Для сравнения помимо железобетонных плит рассмотрено разрушение бетонных плит. Расчёт проведен для трех скоростей удара: и0 = 50 м/с; и0 = 300 м/с; и0 = = 500 м/с. Данные математического моделирования представлены на рис. 2, 3.
При скорости удара 50 м/с процесс взаимодействия ударника с бетонной плитой продолжается до 0,4 мс, а затем со скоростью 11 м/с ударник отскакивает от неё. Относительная глубина внедрения Н/ё0 = 0,03. Максимальные сжимающие напряжения в бетонной плите достигаются у поверхности контакта с ударником (0,17 ГПа < Р < 0,29 ГПа). Под ударником материал разрушен на глубину до 0,6 ё0.
Увеличение скорости удара до 500 м/с приводит к более интенсивному процессу разрушения в железобетонной плите. В момент времени 0,1 мс ударник в плите достиг первого армированного слоя бетона. По плите в сторону тыльной свободной поверхности распространяется ударный фронт, за которым давление достигает величины 0,73 ГПа. Ударная волна к этому моменту времени распространилась от поверхности контакта с ударником на
расстояние, равное, примерно, диаметру ударника й0. От лицевой свободной поверхности в глубь ударно-сжатого бетона распространяются волны разгрузки, понижающие уровень сжимающих напряжений. Скорость ударника упала до 446 м/с. Относительная глубина внедрения НМ0 = 0,14. Это хорошо видно из рис. 2, где изображено поле давлений в железобетонной плите на момент времени 0,1 мс. Пробитие первого армированного слоя происходит к моменту времени 0,3 мс.
X = 0,1 мс
Рис. 2. Поля давлений в бетонной плите, армированной стальной сеткой. Скорость удара - 500 м/с
На этот момент времени ударная волна в бетоне, достигнув второго армированного слоя, расщепилась на проходящую в слой и отраженную в бетон ударные волны. Ударная волна во втором армированном слое при выходе на поверхность раздела с бетоном расщепляется на проходящую в бетон ударную волну и отраженную в армированный слой волну разгрузки. Произошло отражение ударного фронта от тыльной свободной поверхности в виде волны разгрузки. Происходит взаимодействие встречных волн разгрузки, распространяющихся от свободной тыльной и лицевой поверхностей, в результате чего материал у свободной тыльной поверхности в армированном слое подвергнут воздействию растягивающих усилий величиной до -0,11 ГПа. Скорость ударника на этот момент времени достигает величины 400 м/с, а НМ) = 0,42.
Процесс откольного разрушения с тыльной поверхности железобетонной плиты начинается с момента времени 1 мс. Практически вся плита подвергнута сжимающим усилиям величиной до 0,12 ГПа. Максимальные сжимающие напряжения величиной до 0,25 ГПа в бетоне достигаются в области под ударником. Глубина проникания ударника в бетон НМ0 = 1,25, а скорость упала до 303 м/с. Пробитие второго армированного слоя, а следовательно, и всей железобетонной плиты произошло в момент времени 2 мс. Расчет прове-
ден до момента 2,9 мс. Картина разрушения железобетонной плиты на этот момент времени приведена на рис. 3.
В запреградном пространстве ударник имеет скорость 232 м/с. В плите произошел откол материала, как с лицевой, так и тыльной поверхностей диаметром до 3^0. В обоих армированных слоях образовалось отверстие диаметром 1,22^о. Армированные слои оголились. В бетоне отверстие по форме напоминает фигуру, состоящую из цилиндра высотой 0,6а?0 и диаметром 1,22^0 и усеченного конуса с нижним основанием диаметром 3,Ы0 у поверхности второго армированного слоя.
1 = 2,9 мс
Рис. 3. Картина разрушения бетонной плиты, армированной стальной сеткой. Скорость удара - 500 м/с
Данные сравнения
Время процесса, мс Железобетонная плита Время процесса, мс Бетонная плита
НМ0 и, м/с Н/й0 и, м/с
0,2 0,17 246 0,2 0,17 254
0,5 0,39 214 0,5 0,42 240
1,8 1,16 141 1,8 1,25 151
3,5 1,84 89 3,5 1,98 119
4,5 2,14 85 4,3 2,3 116
5,2 2,34 84 - - -
Для исследования влияния армирования бетонной плиты проведено сравнение результатов соударения стального ударника со скоростью 300 м/с с плитой, содержащей армированные слои, и с монолитной бетонной. Данные математического моделирования приведены на рис. 4, 5.
Результаты сравнения по скорости и глубине внедрения Н/ф0 в железобетонную и бетонную плиты в различные моменты времени процесса приведены в таблице. К моменту времени 1,8 мс ударник в железобетонной плите
пробил первый армированный слой и внедрился в бетон на глубину Н = 1,16^0. Плита подвергнута воздействию сжимающих напряжений (0,05 ГПа < Р< 0,19 ГПа). С тыльной поверхности мишени в результате от-кольного разрушения началось выкрашивание бетона. К этому моменту времени началось откольное разрушение и в бетонной плите. Уровень сжимающих напряжений в ней почти в полтора раза выше, чем в железобетоне (0,1 ГПа < Р < 0,26 ГПа). Максимальные значения достигаются в области контакта с ударником. Относительная глубина и скорость внедрения соответственно равны Н/ё0 = 1,25, и = 151 м/с. Пробитие бетонной плиты практически произошло к 3,5 мс. Расчет проведен до 4,5 мс. Картина пробития бетонной плиты в этот момент времени приведена на рис. 4.
1 = 4,3 мс
Рис. 4. Картина разрушения бетонной плиты. Скорость удара - 300 м/с
В ней образовался кратер, по форме напоминающий конструкцию из двух усеченных конусов с общим основанием 1,9^0. Диаметр верхнего основания равен 2,2ё0, нижнего - 2,Ы0. Скорость ударника в запреградном пространстве равна 116 м/с.
К моменту времени 3,5 мс ударник в железобетонной плите достигает второго слоя армирования. Скорость внедрения понизилась до 89 м/с. Пробитие второго слоя армирования, а следовательно, и мишени заканчивается к моменту времени 4,5 мс. Расчет проведен до 5,2 мс. Картина деформации и разрушения железобетонной плиты приведена на рис. 5.
В запреградном пространстве ударник имеет скорость 85 м/с. В железобетонной плите вследствие откольного разрушения бетон над первым армированным слоем полностью выкрошился. Как в первом, так и во втором армированных слоях образовались сквозные отверстия диаметром 1,2^0. С тыльной стороны в бетоне произошел откол диаметром 3^0. Отверстие в бетоне напоминает фигуру, состоящую из цилиндра диаметром 1,2^0 и высотой 0,9й0 и усеченного конуса, верхнее основание которого является нижним основанием цилиндра. Диаметр нижнего основания равен 2,2^0.
t = 5,2 мс
Рис. 5. Картина разрушения бетонной плиты, армированной стальной сеткой.
Скорость удара - 300 м/с
Таким образом, армирование бетонной плиты для рассмотренных ударника и скорости удара приводит к потере запреградной скорости на 26,7%.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Высокоскоростное взаимодействие тел / Фомин В.М., Гулидов А.И., Сапожников Г.А. и др. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1999. 600 с.
2. Компьютерное моделирование динамики высокоскоростного удара и сопутствующих физических явлений / Белов Н.Н., Демидов В.Н., Ефремова Л.В. и др. // Изв. вузов. Фи-зика.-1992. № 8. С. 5-48.
3. Высокоскоростные ударные явления / Пер с англ. под ред. В.Н. Николаевского. М.: Мир, 1973. 457 с.
4. Динамика удара / Пер. с англ. под ред. С.С. Григоряна М.: Мир, 1985. 296 с.
5. Исаев А.Л. Влияние армирования бетона на результаты динамического нагружения внедряющимися телами // Труды межд. конф. «III Харитоновские научные чтения». Саров: ВНИИЭФ, 2002. С. 150-156.
Материал поступил в редакцию 10.04.04.
N.N. BELOV, N.T. YUGOV, D.G. KOPANITSA, S.A. AFANASJEVA,
A.A YUGOV, DZYUBA
CALCULATION OF DURABILITY OF REINFORCED-CONCRETE SLABS AT HIGH-VELOCITY IMPACT
The mathematical model within the framework of the mechanics of the continuous environment describing the reinforced-concrete behavior in conditions of high-velocity impact and explosion is offered. The process of impact interaction of initial steel cylindrical striker with concrete and reinforced-concrete rectangular slabs was investigated by the method of computer modeling in a range of striker speeds 50-500 m/sec.
