Расчет полей деформаций в задачах обработки материалов давлением Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестник ДВО РАН. 2006. № 4

Лошманов Антон Юрьевич

Аспирант лаборатории механики деформируемого твердого тела Института машиноведения и металлургии ДВО РАН (г. Комсомольск-на-Амуре). В 2005 г. с отличием окончил факультет компьютерных технологий Комсомольского-на-Амуре государственного технического университета, где ему была присуждена квалификация инженера-математика по специальности «Прикладная математика, математическое моделирование». Параллельно с основной учебой прошел обучение в Межотраслевом региональном центре повышения квалификации и профессиональной переподготовки специалистов при КнАГ-ТУ и получил свидетельство о повышении квалификации по специальности менеджер (администратор) компьютерных сетей и баз данных.

Начиная с третьего курса университета А.Ю.Лошманов занимается научной работой под руководством к.ф.-м.н. Анастасии Андреевны Буханько, опубликовал свою первую научную работу по данной тематике, которая открыла путь к расчету полей деформаций в определенном виде технологических процессов обработки материалов давлением.

Диссертационная работа Антона Юрьевича посвящена методам расчета полей деформаций в окрестности точек и линий разрыва поля скоростей перемещений. Научный руководитель - д.ф.-м.н., профессор, заслуженный деятель науки РФ Александр Игоревич Хромов.

Материалы исследований представлены на двух Дальневосточных математических школах-семинарах им. академика Е.В.Золотова (в 2004 и 2005 гг.), на VIII краевом конкурсе-конференции молодых ученых (Хабаровск, 2006). По теме научного исследования автором разработана программа «Концентраторы деформаций. Определение полей деформаций в их окрестности» и получено свидетельство об официальной регистрации данной программы.

А.Ю.ЛОШМАНОВ

Расчет полей деформаций в задачах обработки материалов давлением

Представлен анализ полей остаточных деформаций в окрестности их особенностей (точек, линий разрыва поля скоростей перемещений) в ряде задач обработки материалов давлением.

Calculation of strain fields in problems of material processing by pressure. A.Yu.LOSHMANOV (Institute of Machining and Metallurgy, FEB RAS, Komsomolsk-on-Amur).

Аnalysis of strain residual fields in the neighborhood of their features (i.e. points, lines of discontinuity of displacement velocity field) as an example of some problems of material working by pressure is provided.

Одной из проблем расчета элементов конструкций с использованием моделей сплошной среды является расчет параметров физических полей в окрестности их сингу-лярностей (точек, линий и поверхностей разрывов различного порядка). Применение традиционных конечно-разностных и конечно-элементных методов, использующих свойство непрерывности функций и соответствующих их производных, существенно ограничено сходимостью и аппроксимацией процесса расчета. Поэтому в работе исследование полей в окрестности их особенностей проводилось аналитическими методами. Представлен анализ полей деформаций в окрестности точек резкого изменения формы тела, а также в точках разрыва поля скоростей перемещений в ряде задач технологической теории пластичности.

Основные соотношения. Ассоциированный закон течения

е- = ^0, ¿> 0,/, - = 1,2,3, (1)

= 1 (V- + V,,)

^ = 2

где / (о -) - функция текучести, оу, еу - тензоры напряжений и скоростей деформаций, V - вектор скорости перемещений.

Будем рассматривать идеальное жесткопластическое тело [2] при условии текучести

(о11 -022 )2 + 4о122 = Ак2, удовлетворяющем условию несжимаемости, которое следует из (1):

¿К дУу п —- + —- = 0. (2) дх ду (2)

В качестве меры деформаций будем использовать тензор конечных деформаций Аль-манси Еу , который связан с дисторсией А.у = дХу/дх, соотношением

Е- = 2 ( - АкАк)) - = 1,2,3

где X,., х - соответственно лагранжевы и эйлеровы координаты. Тензоры Е ,у и е у связаны соотношением

(3)

ВЕу ёЕу дК дКк

-- = — + Ел — + = еу, к = 1,2,3, (4)

В/ ёг дху - Эх, " (4)

ё д д т. „ где — =--1--Ук. В компонентах дисторсии (4) примет вид:

ёг дг дхк

БА- дА дА- _ , дКк

- + -

Вг дг дхк к к дх,

к + А- -£- = 0, к = ^^ (5)

Решение задач теории плоской деформации идеального жесткопластического тела основано на построении двух взаимно ортогональных семейств линий скольжения а и в,

касательные к которым совпадают в любой точке с направлением максимальных касательных напряжений и скорости деформации сдвига. Дифференциальные уравнения линий скольжения:

/

йх

= ^ф,

/йУЛ

йх

V А

= - ^ф,

где ф - направленный против движения часовой стрелки угол наклона характеристик семейства а к оси абсцисс.

Проекции вектора скорости перемещения и и V на криволинейные оси а и в удовлетворяют соотношениям Гейрингер:

йи - vdф = 0, ^ + ийф = 0.

(6)

В [1, 4, 5] на основе теории разрывов Адамара-Томаса получены соотношения, определяющие деформации на линии разрыва скоростей перемещений. Изменение компонентов

тензора Альманси на линии разрыва выражается через величину Ж = И/к, где абсолютное значение величины

И = Ж к

О + V,

(7)

имеет физический смысл объемной плотности энергии диссипации, получаемой материальной частицей при пересечении линии разрыва скоростей перемещений. В (7) \УТ] -разрыв касательной составляющей скорости перемещений, Уу - нормальная компонента скорости движения частиц на линии разрыва, О - нормальная скорость распространения линии разрыва. Тогда тензор Альманси определяется следующим образом:

*=2

0 -Ж -Ж -Ж2

(8)

Некоторые задачи обработки материалов давлением

1. Рассмотрим течение жест-копластического материала по каналу постоянной высоты с угловым изгибом. Предполагается, что внутренняя поверхность канала абсолютно гладкая. Пусть скорость движения материала в канале равна V, скорость угловой точки канала - т = а'(()1 + Ь'У) ] (рис. 1). Изменение положения точки О показано на рис. 2а.

Выберем систему координат с началом в угловой точке. Течение материала в канале можно рассматривать в каждый момент времени как течение материала относительно точки О со скоростью и = V + т (рис. 2б).

Рис. 1. Течение жесткопластического материала по каналу с угловой точкой

Рис. 2. Течение жесткопластического материала по каналу: при движении центра веера (а), при неподвижном центре веера (б)

Пластическая область состоит из центрированного веера ОАВ : а-линии - окружности с центром в точке О, Д-линии - прямые, сходящиеся в точке О. Поле скоростей в центрированном веере ОАВ имеет вид:

и = -(У + да), v= 0.

В выбранной системе координат центр веера ОАВ является неподвижным:

а'(7) = 0, Ь'(7) = 0, — = 0.

да

Когда в центре веера линий скольжения сходятся линии семейства Д, то, переходя к пределу ^ —> 0, $ —^ система дифференциальных уравнений (5) в условиях плоской деформации преобразуется к виду

йац г 2 гч

—] -апБ1пасоБа + а21соБ а = 0,

йа

ёа12 г 2 гч

—— ] -а12Б1пасоБа + а22соБ а = 0,

йа

г • 2 • /-V

—^а] -апБ1па + а21Б1пасоБа = 0, (9)

йа,

йа

22 / - а12 б1п2 а + а22 б1п а соб а = 0,

где / =

и - а'соБа-Ь'Б1па

и + ду/да

Решая систему дифференциальных уравнений (9) с начальными условиями

а0 =—, А =

1 0 0 1

Рис. 3. Поле линий скольжения и матрица Рис. 4. Распределение Рис. 5. Поле линий скольжения и матри-

при прессовании

деформаций при пря- ца при обратном прессовании мом и обратном прессо-

получим:

Л, ч . л/2 (л п\ .

a11 = -^-(ctga + a)sina + ^-l 1 - — sina,

л/2^ + ч . л/2 ( п V . л/2 a21 =—(1 + atga)sina +—I 1 —

2 v 7 2 l 4

V2 , . п

sinatga--1 1 — + a

2cosal 4

л/2, ч . л/2 ( п a12 =—(ctga + a)sina--1 1 + —

12 2 V ; 2 l 4

sin a,

л/2 ^ . ч . л/2 ( nV л/2

, =—(1 + atga)sina--

1 + — sinatga +-11 + — a .

4 ) 2cosa l 4

п

Подставляя найденные компоненты дисторсии в (3), получим распределение деформаций в окрестности центра веера OAB линий скольжения (рис. 1).

2. Исследуем прессование полосы через прямоугольную матрицу [3]. Прессование в условиях плоской деформации рассматривали В.В.Соколовский, Р.Хилл, Г.И.Быковцев.

Допустим, что матрица симметрична и имеет жесткие прямолинейные стенки (рис. 3). Через матрицу прессуется полоса из идеального жесткопластического материала: полоса с начальной толщиной H, двигаясь со скоростью V0 под давлением снизу, выходит из матрицы с редуцированной толщиной h. Вследствие несжимаемости материала скорость полосы

H

на выходе из матрицы V1 = ~ Vo- Будем рассматривать матрицу с редуцированием в 50% ,

J\ h 1

т.е. с обжатием заготовки R = 1--= — и скоростью на выходе V1 = 2V0.

H 2

Вследствие симметрии пластической области рассмотрим только одну половину пластической области, по левую сторону от линии симметрии. Полагается, что a-линии - окружности с центром в точке A, ^-линии - прямые, сходящиеся в точке A. Пластическая область состоит из центрированного веера ABC и жесткой зоны ADB.

Граничные условия для скоростей на жесткопластических границах имеют следующий вид:

на линии BC: v = V0cosp, pe

на линии AC: u = y¡2V0, на линии BA: и = 0.

п п

"4,Т

a

Поле скоростей в центрированном веере, вследствие соотношений (6), примет вид:

u = V

. V2

sin ф +——

v = V0cosf, фЕ

п п 4' 4

Используя соотношения на линиях разрыва скоростей перемещений (7)-(8) и решая систему дифференциальных уравнений (9), получим распределение поля остаточных деформаций в полосе на выходе из матрицы (рис. 4) (вследствие симметрии процесса показана половина чертежа).

3. Рассмотрим поля деформаций при обратном прессовании (рис. 5) и прошивке (рис. 6а) в гладком контейнере. Процессы прямого прессования, обратного прессования и прошивки аналогичны с точки зрения неоднородного пластического течения. Оба процесса сводятся к уже рассмотренному процессу прямого прессования. Очевидно, что при таком наложении скоростей неоднородное пластическое течение и распределение деформаций в пластической области не меняются. На рис. 4 и рис. 6б представлены распределения остаточных деформаций соответственно при обратном прессовании и прошивке.

4. Рассмотрим процесс выглаживания поверхности угловым штампом. Область пластического течения и поле линий скольжения представлены на рис. 7.

Пластическая область состоит из треугольников ABD и AEC равномерного напряженного состояния и центрированного веера ADE, в центре которого сходятся прямолинейные линии семейства ß, а -линии окружности с центрами в точке A. Линия CC' - линия первоначальной недеформи-рованной поверхности материала, BB' - линия выглаженной поверхности материала, BB' F'F - деформированная область, содержащая остаточные деформации.

Поле скоростей однородно

во всей пластической области. На жесткопластической границе BDEC проекция ускорости перемещения вдоль ß равна нулю. Тогда, согласно уравнению Гейрингер, выполняющемуся вдоль оси а, проекция u на каждой линии аявляется постоянной и при краевом условии на AB равна u = л/2 sin0. Основные величины, описывающие рассматриваемую схему, связаны соотношениями:

Рис. 6. Прошивка полосы: а -распределение деформаций

поле линий скольжения и матрица; б -

Рис. 7. Выглаживание поверхности угловым штампом

h =-

sin в — sin

'п в Л

--в—ш

2 Г

cos(n — 2в—ш) =

cos^

1 + sin^

Распределение деформаций на линии разрыва определяется удельной диссипацией энергии (7)-(8), зависящей от составляющих скорости перемещения:

V = V" = 0,

[¥т] = и +- и ~ =-12ъте

и нормальной скорости О распространения линии ВБЕС:

для линии ВБ О = 008

п

-в

для линии БЕ О = -

1

БШв - БШ

'п в 4

--в-ш

2

у

СОБ в СОБ + БШ

п

--в-ш

2

■ г 1 Бшд ——=

л/2

где

3п „ 3п

--— в,--— в +ш

4 4

Б1П

для линии ЕС О = -

' п а л

+в+ш

БШв - б1П

п

-в-ш

СОБв + СОБ

п

-в-ш

Определение деформаций в окрестности точки сводится к интегрированию системы

1 01

дифференциальных уравнений (9) с начальными условиями А =

^ЕС 1

На рис. 7 представлено распределение остаточных деформаций для случая 8 = 30°.

Предложенный подход позволяет описывать поле остаточных деформаций при технологических процессах обработки материалов давлением: в листовых деталях при их выглаживании угловым штампом; при прямом и обратном прессовании полосы через прямоугольную матрицу, при прошивке полосы; при выглаживании поверхности угловым штампом.

ЛИТЕРАТУРА

1. Буханько А.А., Лошманов А.Ю. Поля деформаций в окрестности особенностей пластической области // Проблемы механики сплошных сред и смежные вопросы технологии машиностроения: сб. докл. третьей конф. Владивосток; Комсомольск-на-Амуре, сент. 2004 г. Комсомольск-на-Амуре: ИМиМ ДВО РАН, 2005. С. 233-241.

2. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука, 1998. 529 с.

3. Лошманов А.Ю., Буханько А.А. Исследование полей деформаций в задаче о прессовании полосы // Даль-невост. мат. шк.-семинар им. акад. Е.В.Золотова (Владивосток, 6-11 сент. 2004 г.): тез. докл. Владивосток: Изд-во Дальневост. ун-та, 2004. С. 107-108.

4. Хромов А.И., Буханько А.А., Степанов С.Л. Концентраторы деформаций // Докл. АН. 2006. Т. 407, № 6. С. 777-781.

5. Хромов А.И. Локализация пластических деформаций и разрушение идеальных жесткопластических тел // Докл. АН. 1998. Т. 362, № 2. С. 202-205.