CC BY
39
Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. — 2009. — № 2(19). — С. 252-256
единого потенциала// Вычисл. мех. сплош. сред, 2009. — Т. 2, №2. — С. 96-107.
Поступила в редакцию 04/09/2009; в окончательном варианте — 14/10/2009.
MSC: 74G55
SEPARATRIX IN RIGID TENSION-TORSION LOADING PROBLEM
V. V. Struzhanov1, E. Yu. Prosviryakov2
Institute of Engineering Science, Urals Branch, Russian Academy of Sciences,
91, Pervomajskaya str., Ekaterinburg, 620219.
Ural State University,
51, prosp. Lenina, Ekaterinburg, 620083.
E-mails: stru@imach.uran.ru, evgen_pros@mail.ru
In this work construction separatrix is constructed at tension with torsion of one mechanical system for rigid loading which structure includes material possessing a property of deformational loss of strength (properties of a material are described by uncon-vex potential).
Key words: tension with torsion, separatrix, stability, stability loss, bifurcational multitude.
Original article submitted 04/09/2009; revision submitted 14/10/2009.
Valeriy V. Struzhanov (Dr. Sci. (Phys. & Math), Chief Research Scientist, Division of Machines Mechanics & Technology. Eugeniy Yu. Prosviryakov, Postgraduate Student, Dept. of Theoretical Mechanics.
УДК 539.374.1
АДИАБАТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДИССИПАЦИИ ЭНЕРГИИ В ОКРЕСТНОСТИ ЦЕНТРА ВЕЕРА ХАРАКТЕРИСТИК
А. А. Буханько1, Е. П. Кочеров2, В. А. Самойлов1
1 Самарский государственный аэрокосмический университет им. ак. С. П. Королёва, 443086, Самара, Московское ш., 34.
2 ОАО «Самарское конструкторское бюро машиностроения», 443009, Самара, Заводское ш., 29.
E-mails: abukhanko@mail.ru, scbm@samaramail.ru
В рамках теории плоской деформации идеального жёсткопластического тела на примере задачи о растяжении полосы с V-образными вырезами рассматривается метод расчета адиабатического распределения диссипации механической энергии в окрестности центра веера линий скольжения.
Ключевые слова: пластичность, диссипация энергии, деформация, разрушение.
Анастасия Андреевна Буханько (к.ф.-м.н.), доцент, каф. прочности летательных аппаратов. Евгений Павлович Кочеров, главный конструктор. Виталий Андреевич Самойлов, аспирант, каф. прочности летательных аппаратов.
Диссипация механической энергии при пластическом деформировании материалов является одним из основных источников повреждения структуры материала и, как следствие, его разрушения. При изучении процессов распространения трещины и разрушения материала в окрестности угловых вырезов возникает задача об адиабатическом распределении диссипации механической энергии в окрестности особой точки поля линий скольжения в виде центра веера.
1. Диссипация энергии. Удельная мощность диссипации энергии согласно [1] определяется выражением
(Ш _ оЬ
где к —предел текучести, 7тах ^ 0 — максимальная скорость сдвига:
(1)
"Ттах —
ду \ 1
ди ~д/3
(2)
У*
Здесь а, в — линии скольжения; Д, Б — радиусы кривизны линий скольжения, а и, V — проекции скоростей перемещений на линии а и в соответственно.
Для определения удельной энергии диссипации механической работы, произведенной частицей, уравнение (1) должно быть проинтегрировано вдоль траектории движения частицы. На рис. 1 в окрестности центра веера линий скольжения в представлено поле скоростей перемещений и траектория I движения частицы с начальной точкой А, лежащей на границе веера при у — у0. Компоненты скоростей и, V отнесены, соответственно, к линиям а и в.
Пусть центр веера О движется со скоростью т, а скорость перемещения частиц "Ур определяется в некоторой неподвижной системе координат компонентами и и V. Введём подвижную систему координат ХОУ. Поле скоростей перемещений в ней определяется разностью СУр — т) с компонентами и* и V* [2]. Пусть некоторая частица занимает положение точки А в момент времени ¿о. В интервале времени [¿о^к] частица будет пересекать веер, и в ней будет накапливаться удельная диссипация энергии. Из (1) следует
Рис. 1
д§.
4*,
<й
Рис. 2
ш 2к
¿к
(3)
Вдоль траектории I изменяются расстояние от частицы до центра веера Д и угловое расстояние от начального луча уо, которым соответствуют элементы длин дуг ¿Б и ¿Д (см. рис. 2):
¿1 = ^(¿Н)2 + (¿Б)2, (1Н = ¿Б = -и* А = —Н(1ср,
откуда
Л
Д^у ¿Д
—-, Л =--.
**
(4)
— V
7
Буханько А. А., Ко черов Е.П., Самойлов В. А.
Согласно (2)—(4) после замены переменной интегрирования t на у, получим
W 2к
tk
= Ym
fdt =
dv* da
+ u*
dy
Rk
+
Vо
Ro
du*
-dR.
(5)
Если в-линии— прямые (Б ^ то), то второй интеграл равен нулю, и для любой траектории накопление диссипации определяется первым слагаемым. Если начальное положение частицы, определяемое точкой А, стремится к точке О (А ^ О), то второй интеграл также будет стремиться к нулю, и предельные значения Ш будут определяться выражением
W 2к
dv* da
, * , da + u —г-
(6)
Заметим, что предельные деформации частицы в веере будут происходить только при Ур ^ 0, и значение уи будет определяться из условия Ур = 0.
2. Задача о растяжении полосы с вырезами. На рис. 3 представлено известное решение Е. Ли [3] задачи о растяжении полосы с У-образными вырезами, предполагающее сохранение угла 6 выреза с течением времени при условии, что центр веера характеристик всегда находится на свободной поверхности.
Поле скоростей в окрестности угловой точки А определяется следующими соотношениями [4]:
- в веере ЕАЕ:
v = V cos у,
- в веере BAD: u = — V sin у,
= ^(sin^ - А/2),
[Ы-'п]-,
= V(— cos у + л/2),
(7)
Точка A (центр веера характеристик) движется со скоростью
1 + cos ó sin ó
V, 0
(8)
Рис. 3
В виду симметрии пластической области далее будем рассматривать верхнюю часть полосы. В неподвижной системе координат xOy компоненты скорости перемещения частиц Vp связаны с проекциями скоростей u, v на криволинейные оси a, в соотношениями [5]
Vp = u cos у — v sin y, Vyp = u sin y + v cos y,
и согласно (7) равны величинам:
VP = -V2Vcoscp, VP = V(Í - V2smcp).
(9)
В подвижной системе координат ХОУ скорость перемещения частиц определяется разностью — т), и согласно (8), (9) её компоненты и модуль определяются следующими выражениями:
1
*
v
*
u
v
u
u
v
m
Vp = VP _ mx = J_
X sin 0
(1 + COS Ö — a/2 COS (f sin (5),
(10)
VP = VP -my = 1/(1 - л/2 sin ip),
Vp = +cos¿)(l - л/2 cos <p sin S) + sin2 S(1 - a/2 sin y). (11)
Компоненты и*, V* поля скоростей перемещений в подвижной системе координат согласно (10) получим в виде
и* = Vt cos w + УЛ sin w =- cos w + cos((5 — íp) — a/2 sin S
X 1 sin 0 L
v* = —Vx sin 4> + Vy cos f = —:—j [sin <p — sin(¿ — (p)].
(12)
Согласно (6), (12) адиабатическое распределение диссипации механической энергии в окрестности вершины углового выреза А (центра веера характеристик) при условии у = а + во будет определяться выражением
ak
W г- f da — = —а/2 sin S / --=-.
2k J cos a + cos(0 — a) — v 2 sin 0
Из условий рассматриваемой задачи следует, что a0 = п/4, а ak определяется равенством Vp = 0 согласно (11).
Работа выполнена в рамках АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010) (РНП 2.1.1/889)».
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Быковцев Г. И., Ивлев Д. Д. Теория пластичности. — Владивосток: Дальнаука, 1998. — 528 с.
2. Буханько А. А., Лошманов А.Ю., Хромов А. И. Расчёт полей деформаций в задачах обработки материалов давлением при наличии особенностей поля скоростей перемещений // КШП ОМД, 2006. — №9. — C. 22-27.
3. Lee E.H. Plastic Flow in a V-Notched Bar Pulled in Tension// J. Appl. Mech., 1952. — Vol. 19. — P. 331-336.
4. Хромов А. И., Козлова О. В. Разрушение жесткопластических тел. Константы разрушения. — Владивосток: Дальнаука, 2005. — 159 с.
5. Хромов А. И. Деформация и разрушение пластических тел. — Владивосток: Дальнаука, 1996. — 181 с.
Поступила в редакцию 14/VIII/2009; в окончательном варианте — 12/X/2009.
Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. — 2009. — № 2(19). — С. 256-260
MSC: 74C05
ADIABATIC DISTRIBUTION OF ENERGY DISSIPATION IN THE NEIGHBORHOOD OF CHARACTERISTICS SPECTRUM CENTER
A. A. Bukhanko, E.P. Kocherov, V. A. Samoylov
1 S. P. Korolyov Samara State Aerospace University, 34, Moskovskoe sh., Samara, 443086.
2 Joint Stock Company "Samara Machine-Building Design Bureau", 29, Zavodskoe sh., Samara, 443009.
E-mails: abukhanko@mail.ru, scbm@samaramail.ru
The method of analysis of adiabatic distribution of mechanical energy dissipation in the neighborhood of the slip line spectrum center is studied within the ideal rigid-plastic body theory on the example of the V-shape strip tension problem.
Key words: plasticity, energy dissipation, strain, fracture.
Anastasia A. Bukhanko (Ph. D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept. of Strength of Flying Vehicles. Eugeny P. Kocherov, Chief Designer. Vitaliy A. Samoylov, Postgraduate Student, Dept. of Strength of Flying Vehicles.
УДК 539.374.1
МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ В ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
Н. Н. Столяров, Н. И. Дедов, В. Н. Исуткина
Самарский государственный технический университет, 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
E-mail: tpm@samgtu.ru
Даётся описание методов планирования экстремальных экспериментов применительно к задачам оптимизации пластин и оболочек. Приведены результаты оптимизации для пластины в нелинейной постановке.
Ключевые слова: напряжение, деформация, оптимизация, планирование, экспе-
В работе предлагается алгоритм решения задач оптимизации гибких пластин и оболочек, основанный на использовании методов теории планирования экстремальных экспериментов. Решаются задачи минимума веса, равнопрочности и наибольшей жесткости [1]. Введём в рассмотрение функционал
Николай Николаевич Столяров (д.ф.-м.н., проф.), профессор, каф. механики. Николай Иванович Дедов (к.т.н., доц.), доцент, каф. механики. Вера Николаевна Исуткина (к.ф.-м.н.), ассистент, каф. высшей математики и прикладной информатики.
Original article submitted 14/VIII/2009; revision submitted 12/X/2009.
римент.
(1)
